19.2.2 證明舉例-證明線段和角相等 同步練習(xí)

19.2.2證明舉例—證明線段和角相等一、解答題1．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，在正方形中，點(diǎn)、分別在、邊上，且，聯(lián)結(jié)、．求證：．2．（2022·上海·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在已知△ABC中，AB=AC，點(diǎn)在BC上，過(guò)點(diǎn)的直線分別交AB于點(diǎn)E，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且BE=CF．求證：DE=DF．3．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求證：BD=CE4．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，AB=AC，E是AD上的一點(diǎn)，∠BAE=∠CAE．求證：∠EBD=∠ECD．5．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：如圖，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5，BD，CE分別是邊AC，AB上的高，BD，CE相交于H，求∠BHC的度數(shù)．6．（2019·上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬大境初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求證：∠C=∠E．

19.2.2證明舉例—證明線段和角相等（解析版）一、解答題1．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，在正方形中，點(diǎn)、分別在、邊上，且，聯(lián)結(jié)、．求證：．【答案】詳見(jiàn)解析【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根據(jù)已知條件可證≌，即可得出.【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，．在與中，，∴≌（SAS）．∴．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方形四邊相等，四角相等都等于90°是解題關(guān)鍵.2．（2022·上海·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在已知△ABC中，AB=AC，點(diǎn)在BC上，過(guò)點(diǎn)的直線分別交AB于點(diǎn)E，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且BE=CF．求證：DE=DF．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】過(guò)點(diǎn)作交于，根據(jù)平行的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得，進(jìn)而得到，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得BE=GE，從而得到GE=CF，利用AAS證得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DE=DF.【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)作交于，∴，∵∴∴∴．又∵∴．∵在和中，∴（AAS）．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解答本題的關(guān)鍵.3．（2022·上海·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求證：BD=CE【答案】證明見(jiàn)詳解．【分析】根據(jù)“ASA”證明△ABE≌△ACD，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得到結(jié)論.【詳解】證明：在△ABE和△ACD中，∵，△ABE≌△ACD(ASA)，∴AE=AD，∴BD=AB–AD=AC-AE=CE．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵．4．（2022·上海·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，AB=AC，E是AD上的一點(diǎn)，∠BAE=∠CAE．求證：∠EBD=∠ECD．【答案】見(jiàn)解析【分析】先證明△ABD≌△ACD，得到∠ADB=∠ADC，BD=CD，再證明△BDE≌△CDE，問(wèn)題得證．【詳解】證明：在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD，∴∠ADB=∠ADC，BD=CD，在△BDE和△CDE中∴△BDE≌△CDE，∴∠EBD=∠ECD．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理并根據(jù)題意靈活選擇方法是解題關(guān)鍵．5．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：如圖，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5，BD，CE分別是邊AC，AB上的高，BD，CE相交于H，求∠BHC的度數(shù)．【答案】135°【分析】先設(shè)∠A=3x，∠ABC=4x，∠ACB=5x，再結(jié)合三角形內(nèi)角和等于180°，可得關(guān)于x的一元一次方程，求出x，從而可分別求出∠A，∠ABC，∠ACB，在△ABD中，利用三角形內(nèi)角和定理，可求∠ABD，再利用三角形外角性質(zhì)，可求出∠BHC．【詳解】解：∵在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，故設(shè)∠A=3x，∠ABC=4x，∠ACB=5x．∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°，∴∠A=3x=45°．∵BD，CE分別是邊AC，AB上的高，∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，∴在△ABD中，∠ABD=180°-∠ADB-∠A=180°-90°-45°=45°，∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°．【點(diǎn)睛】本題利用了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)．解題關(guān)鍵是熟練掌握:三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．6．（2019·上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬大境初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求證：∠C=∠E．【答案】見(jiàn)解析.【分析】由∠BAE=∠DAC可得到∠BAC=∠DAE，再根據(jù)“SAS”可判斷△ABC≌△ADE，根據(jù)全等的性質(zhì)即可得到∠C=∠E．【詳解】∵∠BAE=∠DAC，∴∠BAE﹣∠CAE=∠DAC﹣∠CAE，即∠BAC=∠DAE，