黑龍江省哈爾濱市第一中學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

哈爾濱市第一中學(xué)校2024－2025學(xué)年度上學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘，分值：150分第Ⅰ卷選擇題（48分）一、單項(xiàng)選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分，每個(gè)小題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．）1.直線的傾斜角量（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)直線方程求出直線的斜率，再得出直線的傾斜角.直線的斜率為，又傾斜角的范圍在之間，所以直線的傾斜角是.故選：A.2.若橢圓焦點(diǎn)在軸上且經(jīng)過點(diǎn)，焦距為6，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析】由平方關(guān)系結(jié)合已知即可求出，由此即可得解.由題意得橢圓焦點(diǎn)在軸上且經(jīng)過點(diǎn)，焦距為6，所以，，則，，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.3.空間向量在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)投影向量公式計(jì)算即可.，，由投影向量的定義和公式可知在的投影向量為，故選：C.4.“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行的條件進(jìn)行判斷當(dāng)時(shí)，直線與直線，即為直線與直線的斜率都是，縱截距不同，則兩直線平行，是充分條件；若直線與直線平行，當(dāng)時(shí)，兩直線方程都為，直線重合不符合題意，當(dāng)時(shí)，兩直線平行則斜率相等，截距不相等，解得，是必要條件；故選：C5.設(shè)點(diǎn)，直線：，當(dāng)點(diǎn)到的距離最大時(shí)，直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】整理直線的方程，可得直線恒過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到的距離最大時(shí)，即可求解.∵直線：，∴可將直線方程變形為，由，解得，由此可得直線恒過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到的距離最大時(shí)，，則由，得.故選：A.6.設(shè)直線l：，點(diǎn)，，P為l上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，則即為的最小值.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，則有，解之得，則，則的最小值為故選：B7.如圖，平行六面體的所有棱長為2，四邊形ABCD是正方形，，點(diǎn)是與的交點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用基底表示向量，再將異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為向量夾角的余弦公式，即可求解.取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，所以直線與所成角即為與所成的角，所以，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以直線與所成角的余弦值為.故選：B．8.某圓拱橋的拱高為，現(xiàn)有寬，水面以上的高度為米的一艘船恰能從橋下通過，則該拱橋的水面跨度（單位：）在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】適當(dāng)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合弦長的求法可得拱橋的水面跨度，進(jìn)而得解.由題意，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，，其中為圓拱橋的圓心．設(shè)拱橋所在的圓的方程為，則，解得，，則圓形拱橋的水面跨度為，故選：B.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，全部全對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.若直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的長度可能等于（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)，可得，即可根據(jù)圓的弦長公式求解.設(shè)圓心到直線的距離為，由于直線恒過原點(diǎn)，且，故，又，即，故選：BCD．10.下列命題中，正確的是（）A.兩條不重合直線的方向向量分別是，，則B.直線l方向向量，平面的法向是，則C.兩個(gè)不同的平面，的法向量分別是，，則D.直線l的方向向量，平面的法向量，則直線l與平面所成角的大小為【答案】AC【解析】【分析】由可判斷A；由可判斷B；由可判斷C；根據(jù)線面角的向量公式直接計(jì)算可判斷D.A選項(xiàng)：因?yàn)?，且不重合，所以，A正確；B選項(xiàng)：因?yàn)椋运曰?，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：因?yàn)椋?，C正確；D選項(xiàng)：記直線l與平面所成角為，則，因?yàn)?，所以，D錯(cuò)誤.故選：AC11.已知兩圓方程為與，則下列說法正確的是（）A.若兩圓有3條公切線，則B.若兩圓公共弦所在的直線方程為，則C.若兩圓公共弦長為，則D.若兩圓在交點(diǎn)處的切線互相垂直，則【答案】ABD【解析】【分析】選項(xiàng)A，由兩圓有條公切線，則兩圓外切，由兩圓圓心距與半徑關(guān)系得；選項(xiàng)B，若兩圓相交，由兩圓方程作差得公共弦方程，先待定再驗(yàn)證相交可知；選項(xiàng)C，由半弦長、半徑及圓心距關(guān)系可得；選項(xiàng)D，結(jié)合圖形，由，可得等量關(guān)系求解.設(shè)圓為圓，圓的圓心為，半徑，設(shè)圓為圓，圓的圓心為，半徑，.A選項(xiàng)，若兩圓有3條公切線，則兩圓外切，所以，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，由兩式相減并化簡得，則，此時(shí)，滿足兩圓相交，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，由兩式相減并化簡得，到直線的距離為，所以，即，則解得或，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，若兩圓在交點(diǎn)處的切線互相垂直，設(shè)交點(diǎn)為，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，所以，D選項(xiàng)正確.故選：ABD第Ⅱ卷非選擇題（92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.設(shè)m為實(shí)數(shù)，若方程表示圓，則m的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】將方程配成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.方程，即若它表示圓，則，即故答案為：.13.已知平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)在平面外，若一個(gè)法向量為，則Q到平面的距離為______．【答案】##【解析】【分析】求出，得到點(diǎn)到平面的距離公式求出答案.因?yàn)?，所以Q到平面的距離為.故答案為：14.點(diǎn)是橢圓的左、右頂點(diǎn)，是橢圓上不同于的任意一點(diǎn)，若直線的斜率之積為，則橢圓的離心率為______.【答案】##【解析】【分析】由斜率公式、點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件等式可得，結(jié)合離心率公式即可求解.由題意方程可知，，，設(shè)，所以，，則，整理得：，①，又，得，即，②，聯(lián)立①②，得，即，解得.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.如圖所示：多面體中，四邊形為菱形，四邊形為直角梯形，且，平面，．（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】由線面垂直性質(zhì)定理得，菱形對(duì)角線垂直，可證；建立空間直角坐標(biāo)系，用平面與平面的法向量，求夾角余弦值，再轉(zhuǎn)換為正弦值.【小問1】因?yàn)槠矫?，平面，所以；底面為菱形，所以；又因?yàn)椋矫?，所以平?【小問2】如圖：

設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，則，所以平面.故可以以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)闉橹本€與平面所成的角，所以.又，所以，，，，，則，.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則，取，則，則，又為平面的法向量，設(shè)平面與平面所成的角為，，則，，即平面與平面所成角的正弦值為.16.已知直線和的交點(diǎn)為P．（1）若直線l經(jīng)過點(diǎn)P且與直線平行，求直線l的方程：（2）若直線m經(jīng)過點(diǎn)P且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為5，求直線m的一般式方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）求出已知直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線的平行關(guān)系，即可求得答案；（2）設(shè)直線方程的截距式，由題意列出相應(yīng)方程組，即可求得答案.【小問1】聯(lián)立，解得，即，直線l經(jīng)過點(diǎn)P且與直線平行，故設(shè)直線l方程為，將代入得，故直線l方程為；【小問2】由題意知直線m經(jīng)過點(diǎn)P且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為5，則其在坐標(biāo)軸的截距不為0，設(shè)其方程為，與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，則，解得或，故直線m的方程為或，即或.17.已知圓C過點(diǎn)，且圓心C在直線上．（1）求圓C的方程；（2）若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過直線反射，反射光線恰好平分圓C的圓周，求反射光線的一般方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求AB的垂直平分線方程，聯(lián)立直線l的方程可得圓心坐標(biāo)，然后可得半徑，進(jìn)而得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的特征列方程可得，利用直線點(diǎn)斜式方程即可得出結(jié)果.【小問1】由，得直線AB的斜率為，線段中點(diǎn)所以，直線CD的方程為，即，聯(lián)立，解得，即，所以半徑，所以圓C的方程為；【小問2】由恰好平分圓C的圓周，得經(jīng)過圓心，設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則直線MN與直線垂直，且線段MN的中點(diǎn)在上，則有，解得，所以，所以直線CN即為直線，且，直線方程，即.18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)M在上，且.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與交于A，B兩點(diǎn)，且的面積為求的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由已知可得，由橢圓的定義可得，根據(jù)橢圓中，，的關(guān)系可得，即可求解；（2）設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，聯(lián)立直線和橢圓構(gòu)成的方程組，根據(jù)可得，由韋達(dá)定理可得，，再根據(jù)，可得【小問1】由題意，設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，即，所以，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2】設(shè)Ax1,由聯(lián)立得，由題意，即，，，顯然直線過定點(diǎn)，所以，所以，即，所以，解得或，均滿足，所以或.19.已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點(diǎn)，B，D分別是的左、右頂點(diǎn)，．（1）求的方程；（2）設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）結(jié)合題意得到，，再結(jié)合，解之即