重難點25 直線與圓綜合（舉一反三）（新高考專用）（學生版） 2025年高考數(shù)學一輪復(fù)習專練（新高考專用）

重難點25直線與圓的綜合【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1圓的弦長與中點弦問題】 2【題型2圓的切線及切線方程問題】 3【題型3直線與圓中的面積問題】 3【題型4直線與圓中的最值問題】 4【題型5距離及其新定義問題】 5【題型6阿波羅尼斯圓】 6【題型7直線與圓中的定點、定值、定直線問題】 7【題型8直線與圓中的向量問題】 8【題型9直線與圓中的探索性問題】 81、直線與圓的綜合直線與圓是高考的重點、熱點內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，直線與圓結(jié)合命題時，主要考察直線與圓的位置關(guān)系、圓的弦長、面積、最值問題等，多以選擇題或填空題的形式考查，難度中等；有時也會出現(xiàn)在壓軸題的位置，此時多與導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線等相結(jié)合，難度較大，需要學會靈活求解.【知識點1直線與圓相交時的弦長求法】1．圓的弦長的求法：設(shè)直線l的方程為y=kx+b，圓C的方程為，求弦長的方法有以下幾種：

(1)幾何法

如圖所示，半徑r、圓心到直線的距離d、弦長l三者具有關(guān)系式：.(2)代數(shù)法

將直線方程與圓的方程組成方程組，設(shè)交點坐標分別為A,B.

①若交點坐標簡單易求，則直接利用兩點間的距離公式進行求解.

②若交點坐標無法簡單求出，則將方程組消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系可得或的關(guān)系式，通常把或叫作弦長公式.【知識點2圓的切線及切線方程問題】1．自一點引圓的切線的條數(shù)：

(1)若點在圓外，則過此點可以作圓的兩條切線；

(2)若點在圓上，則過此點只能作圓的一條切線，且此點是切點；

(3)若點在圓內(nèi)，則過此點不能作圓的切線.

2．求過圓上的一點的圓的切線方程：

(1)求法：先求切點與圓心連線的斜率k()，則由垂直關(guān)系可知切線斜率為，由點斜式方程可求得切線方程.如果k=0或k不存在，則由圖形可直接得切線方程.(2)重要結(jié)論：①經(jīng)過圓上一點P的切線方程為.

②經(jīng)過圓上一點P的切線方程為.

③經(jīng)過圓+Dx+Ey+F=0上一點P的切線方程為.【知識點3解決直線與圓有關(guān)的最值與范圍問題的常用方法】1．利用直線與圓的位置關(guān)系解決最值(取值范圍)問題的解題方法直線與圓中的最值問題一般是根據(jù)條件列出所求目標——函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，應(yīng)用不等式求出其最值(取值范圍).對于圓的最值問題，要利用圓的特殊幾何性質(zhì)，根據(jù)式子的幾何意義求解，這常常是簡化運算的最佳途徑.

①形如u=的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題.②形如t=ax+by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.

③形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題.【題型1圓的弦長與中點弦問題】【例1】（2024·河南·模擬預(yù)測）直線l:x+y=1，圓C:x2+y2?2x?2y?2=0.則直線l被圓C所截得的弦長為（

）A．2 B．23 C．27 【變式1-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知直線l:y=x+m(m>0)與⊙C:(x?1)2+y2=2交于A，B兩點，若A．1 B．2 C．2?1 D．【變式1-2】（24-25高二上·陜西西安·開學考試）直線l過點2,1，且與圓C：x?22+y?4A．6 B．7 C．8 D．9【變式1-3】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）直線l:y=kx?2與圓C:x2+y2?6x?7=0交于A，A．7,4 B．27,8 C．3【題型2圓的切線及切線方程問題】【例2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知圓C:x2+y2+4x+6y+12=0，直線l過點P?1,0，則“直線l的方程為4x?3y+4=0A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式2-1】（2024·四川攀枝花·三模）由直線y=x上的一點P向圓x?42+y2=4引切線，切點為QA．2 B．2 C．6 D．2【變式2-2】（2024·天津和平·二模）過直線y=x上的點P作圓C：x+32+y?52=4的兩條切線l1，l2，當直線l1，A．1,1 B．35,35 C．【變式2-3】（2024·湖南永州·一模）在平面直角坐標系中，過直線2x?y?3=0上一點P作圓C:x2+2x+y2=1的兩條切線，切點分別為A．265 B．255 C．【題型3直線與圓中的面積問題】【例3】（23-24高二上·福建南平·期末）已知圓C的圓心在直線l1:x?y?3=0上且圓C與x軸相切于點(1)求圓C的方程；(2)已知直線l2:x+2y?1=0與圓C相交于A,B兩點，求【變式3-1】（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圓O：x2+y(1)若直線l與圓O交于不同的兩點A，B，當∠AOB=90°時，求k的值；(2)若k=12時，點P為直線l上的動點，過點P作圓O的兩條切線PC，PD，切點分別為C，D，求四邊形【變式3-2】（23-24高二上·河南·階段練習）已知圓M經(jīng)過A1,5(1)求圓M的方程；(2)已知斜率為?12的直線l經(jīng)過第三象限，且與圓M交于點E,F，求【變式3-3】（2024·江蘇蘇州·三模）已知圓O:x2+y2=4，直線l1:x=m，直線l2:y=x+b和圓交于A，B兩點，過(1)求實數(shù)b的取值范圍;(2)若m=?4，求四邊形ABDC的面積取最大值時，對應(yīng)實數(shù)b的值;(3)若直線AD和直線BC交于點E，問是否存在實數(shù)m，使得點E在一條平行于x軸的直線上?若存在，求出實數(shù)m的值;若不存在，請說明理由.【題型4直線與圓中的最值問題】【例4】（2024·四川樂山·三模）已知圓O:x2+y2=16，點E是l:2x?y+16=0上的動點，過E作圓O的切線，切點分別為A,B，直線AB與EO交于點A．2 B．5 C．6 D．7【變式4-1】（2024·廣東珠?！ひ荒＃┮阎cA?1,0，B0,3，點P是圓x?32+yA．6 B．112 C．92 【變式4-2】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知圓C:x2+2x+y2=0，點P為直線2x+y?2=0上的一點，過P作圓C的切線，切點分別為A．455 B．38 C．?【變式4-3】（2024·陜西西安·一模）已知圓O的方程為：x2+y2=1，點A2,0，B0,2，P是線段AB上的動點，過P作圓O的切線，切點分別為C，D，現(xiàn)有以下四種說法：①四邊形PCOD的面積的最小值為1；②四邊形PCOD的面積的最大值為3；③PC?PDA．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④【題型5距離及其新定義問題】【例5】（2024·四川成都·三模）已知圓C：x2+y2=1，直線l：x?y+c=0，則“c=22”是“圓CA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要【變式5-1】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知實數(shù)a，b滿足a2+b2+1=2a+2bA．1 B．2 C．4 D．16【變式5-2】（2024·河南·模擬預(yù)測）一直線族的包絡(luò)線是這樣定義的曲線：該曲線不包含于直線族中，但過該曲線上的每一點，都有直線族中的一條直線與它在這一點處相切.若曲線C是直線族t2?1x?2ty+2t2+2=0t∈R的包絡(luò)線，則C【變式5-3】（2024高三·全國·專題練習）已知點Px,y是圓(x+2)(1)求P點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值和最小值．(2)求x?2y的最大值和最小值．(3)求y?2x?1【題型6阿波羅尼斯圓】【例6】（2024·廣西河池·模擬預(yù)測）古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個結(jié)論：平面內(nèi)與兩點距離的比為常數(shù)λ（λ≠1）的點的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓.已知點O0,0，A15,25，動點Px,y滿足POPA=52，若點PA．12 B．1 C．2 【變式6-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：在平面上，若動點P到相異兩點A和B距離比值為不等于1的定值，則動點P的軌跡是圓心在直線AB上的圓，該圓被稱為點A和B相關(guān)的阿氏圓．已知P在點A和B相關(guān)的阿氏圓O:x2+y2=4上，其中點A?4,0，點QA．32?1 B．32+1【變式6-2】（2024·廣西·模擬預(yù)測）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個動點P到兩個定點的距離之比為常數(shù)λ（λ>0且λ≠1），那么點P的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓.若點P到A2,0，B?2,0的距離比為3，則點P到直線l：22A．32+23 B．2+23 C．【變式6-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得?阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點A,B的距離之比為定值λ(λ>0，且λ≠1)的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系xOy中，A?2,0,B4,0，點P滿足PAPB=12A．C的方程為(x+4)B．當A,B,P三點不共線時，則∠APO=∠BPOC．在C上存在點M，使得|MO|=2|MA|D．若D2,2，則PB+2【題型7直線與圓中的定點、定值、定直線問題】【例7】（2024高三·全國·專題練習）已知圓A：(x+2)2+y2=25，A為圓心，動直線l過點P(2,0)，且與圓A交于B，C兩點，記弦BC(1)求曲線E的方程；(2)過A作兩條斜率分別為k1，k2的直線，交曲線E于M，N兩點，且k1【變式7-1】（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期末）圓G經(jīng)過點2,23,?4,0(1)求圓G的標準方程；(2)若圓G與x軸分別交于M,N兩點，A為直線l:x=16上的動點，直線AM,AN與曲線圓G的另一個交點分別為E,F，求證直線EF經(jīng)過定點，并求出定點的坐標．【變式7-2】（23-24高二上·江蘇泰州·階段練習）已知△AMN的三個頂點分別為A3,0，M0,1，N0,9，動點P(1)求動點P的軌跡T的方程；(2)若B，C為（1）中曲線T上的兩個動點，D為曲線x+12+y2=4x≠?3上的動點，且【變式7-3】（23-24高二上·重慶·階段練習）已知圓C與直線x?3y+2=0相切于點1,3，且圓心C(1)求圓C的方程；(2)過點A1,0作直線交圓C于M，N兩點，且M，N兩點均不在x軸上，點B4,0，直線BN和直線OM交于點G.證明：點【題型8直線與圓中的向量問題】【例8】（2024·安徽·一模）已知直線x+y?k=0k>0與圓x2+y2=4交于不同的兩點A,B，O是坐標原點，且有A．3,6 B．2,6 C．【變式8-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C:x?12+y2=4，P為直線l:x+y+3=0上的一個動點，過點P作圓C的切線PM，切點為點M，當A．4 B．2 C．2 D．3【變式8-2】（2024·河北唐山·二模）已知圓C：x2+y?32=4，過點0,4的直線l與x軸交于點P，與圓C交于A，BA．0,1 B．0,1 C．0,2 D．0,2【變式8-3】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）設(shè)點Pa,b，若直線l:ax+by=1與圓O:x2+y2=4交于A,BA．12,22 B．0,22【題型9直線與圓中的探索性問題】【例9】（23-24高一下·云南昆明·期末）已知直線l:y=kxk≠0與圓C:x2+y(1)若AB=14(2)在x軸上是否存在點M，使得當k變化時，總有直線MA，MB的斜率之和為0，若存在，求出點M的坐標，若不存在，說明理由【變式9-1】（23-24高二上·廣東廣州·期中）圓C:x(1)若圓C與y軸相切，求圓C的方程；(2)已知a>1，圓C與x軸相交于兩點M，N（點M在點N的左側(cè)）．過點M任作一條直線與圓O:x2+y2=9相交于兩點A，B．問：是否存在實數(shù)【變式9-2】（23-24高二上·廣東廣州·期末）已知圓心C在直線y=?2x上，并且經(jīng)過點A2,?1，與直線x+y?1=0(1)求圓C的標準方程；(2)對于圓C上的任意一點P，是否存在定點B（不同于原點O）使得PBPO恒為常數(shù)？若存在，求出點B【變式9-3】（23-24高二上·福建泉州·期中）已知半徑為2的圓C的圓心在x軸的正半軸上，且直線l:3x?4y+4=0與圓C相切．(1)求圓C的標準方程；(2)若Q的坐標為(?2,4)，過點Q作圓C的兩條切線，切點分別為M,N，求直線MN的方程；(3)過點A(1,0)任作一條不與y軸垂直的直線與圓C相交于E,F兩點，在x非正半軸上是否存在點B，使得∠ABE=∠ABF？若存在，求點一、單選題1．（24-25高二上·江蘇宿遷·開學考試）若直線l:kx?y?2=0與曲線C:1?(y?1)2=x?1有兩個不同的交點，則實數(shù)A．(43,+∞) B．(42．（23-24高二下·廣東茂名·階段練習）已知圓C:x?32+y?42=9，直線l:m+3A．27 B．10 C．22 3．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習）已知曲線1?x=4?y2A．17＋2，17－2 B．17＋2，5C．37，17－2 D．37，54．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）已知動點P到原點O與到點A(2,0)的距離之比為3:2，記P的軌跡為E，直線l:5x?53y+2=0，則（A．E是一個半徑為25B．E上的點到l的距離的取值范圍為2C．l被E截得的弦長為4D．E上存在四個點到l的距離為25．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知圓(x?2)2+y2=9的弦AB的中點為Q1,1，點A．2 B．62?3 C．8 6．（23-24高二下·河南南陽·期末）古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得?阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k(k>0且k≠1)的點的軌跡是圓”.后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知點M是圓O:x2+y2=1上任一點，點Q?3,0A．1 B．43 C．53 7．（23-24高二下·貴州銅仁·階段練習）已知圓C:x?32+y?42=1，直線l:3kx?3y+5k?6=0上存在點P，過點P作圓C的切線，切點分別為A,B，使得A．34,14C．43,128．（2024·河北承德·二模）已知圓C:x2+(y?2)2=1，圓C與y軸交于A0,3,B0,1，斜率存在且過原點O的直線l與圓C相交于M,N兩點，直線AM與直線BN相交于點P，直線AM?直線A．k1+6kC．2k1+二、多選題9．（24-25高三上·遼寧鞍山·開學考試）已知直線l:kx?y+k=0，圓C:x2+y2A．x0B．y0xC．直線l與圓C相切時，k=±D．圓心C到直線l的距離最大為410．（2024·遼寧丹東·一模）已知圓C:(x?2)2+(y?1)2=9，直線l:kx?y+1=0與C交于A,B兩點，點M為弦A．弦AB有最小值為25 B．OM有最小值為C．△OCM面積的最大值為5+12 D．11．（23-24高二上·廣西南寧·期中）設(shè)圓C:x?12+y?12=3，直線l:x+y+1=0，P為l上的動點，過點P作圓C的兩條切線PA、PB，切點分別為A．PA的取值范圍為6B．四邊形PACB面積的最小值為3C．存在點P使∠APB=D．直線AB過定點0,0三、填空題12．（23-24高二下·上?！て谥校┻^點A?1,3的直線l被圓x2+y2.13．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知實數(shù)x，y滿足y=8?x2+2x，則t=y+314．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）已知過點P(0,?2)的直線l1,l2分別與圓E:x2+y2?4y=0交于A,B兩點（點B在A的上方）和C,D