15平方差公式（備作業(yè)）2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)(北師大版)

1.5平方差公式一、單選題1．下列多項(xiàng)式的乘法中用平方差公式計(jì)算的是A． B． C． D．【答案】A【解析】解：平方差公式的使用條件：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，其中兩項(xiàng)相同，兩項(xiàng)互為相反數(shù)．符合這個(gè)條件的只有．故選：．2．在下列計(jì)算中，不能用平方差公式計(jì)算的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先觀察平方差公式為，抓住兩個(gè)因式中都是兩項(xiàng)式，一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)特征，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一分析看是否符合公式特征即可．【解析】解：∵平方差公式為，兩個(gè)因式中都是兩項(xiàng)式，一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；A.兩項(xiàng)都是互為相反數(shù)，不能用平方差公式計(jì)算，故選項(xiàng)A符合題意；B.兩個(gè)因式中都是兩項(xiàng)式，前項(xiàng)相同，后項(xiàng)互為相反數(shù)，，能用平方差公式計(jì)算，故選項(xiàng)B不符合題意；C.兩個(gè)因式中都是兩項(xiàng)式，后項(xiàng)相同，前項(xiàng)互為相反數(shù)能用平方差公式計(jì)算，故選項(xiàng)C不符合題意；D.兩個(gè)因式中都是兩項(xiàng)式，把第二個(gè)括號(hào)中利用加法交換律換位，前一項(xiàng)相同，后一項(xiàng)互為相反數(shù)，可以用平方差公式計(jì)算，故選項(xiàng)D不符合題意．故選擇A．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的應(yīng)用，掌握平方差公式的特征是解題關(guān)鍵．3．計(jì)算的結(jié)果是A．2 B． C． D．1【答案】D【解析】解：．故選：．4．為了應(yīng)用平方差公式計(jì)算，必須先適當(dāng)變形，下列各變形中，正確的是（）.A． B．C． D．【答案】D【分析】由于平方差公式是把多項(xiàng)式分解為兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)的差的積的形式，所以根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)即可判定選擇項(xiàng)．

【解析】解：（ab+c）（a+bc）=[a（bc）][a+（bc）]．

故選：D．

故答案選擇：D.【點(diǎn)睛】本題考查的是平方差公式，需要熟練掌握平方差公式的特征.5．已知a+b+3＝0，且a﹣b﹣4＝0，則a2﹣b2＝（）A．12 B．﹣12 C．24 D．±12【答案】B【分析】根據(jù)平方差公式，即可求解．【解析】解：∵a+b+3＝0，a﹣b﹣4＝0∴a+b＝3，a﹣b＝4，∴a2﹣b2=（a+b）（ab）=3×4=12．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查代數(shù)式求值，掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．6．計(jì)算的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】原式乘以變形的1，即（21），變形后，利用平方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果．【解析】解：=（221）（22+1）（24+1）…（22n+1）=（241）（24+1）…（22n+1），=（281）（28+1）…（22n+1），=（22n1）（22n+1），=24n1，故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式及巧添1=（21）是解本題的關(guān)鍵．7．若，則的值為（）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】先利用平方差公式，得=，再整體代入化簡(jiǎn)求值即可．【解析】解：∵，∴=====．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查代數(shù)式求值，掌握整式的混合運(yùn)算法則以及平方差公式是解題的關(guān)鍵．8．如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘?cái)?shù)”，則下面哪個(gè)數(shù)是“神秘?cái)?shù)”()A．56 B．66 C．76 D．86【答案】C【分析】利用“神秘?cái)?shù)”定義判斷即可．【解析】解：∵76=38×2=（20+18）（2018）=202﹣182，∴76是“神秘?cái)?shù)”，而其余各數(shù)均不能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式，正確理解“神秘?cái)?shù)”的定義是解本題的關(guān)鍵．9．如圖，在邊長為a的正方形中，剪去一個(gè)邊長為b的小正方形（a＞b）（如圖1），將余下的部分拼成一個(gè)梯形（如圖2），根據(jù)兩個(gè)圖形陰影部分面積的關(guān)系，可以得到個(gè)關(guān)于的等式為（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2 B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2C．a(chǎn)2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b） D．a(chǎn)2＋ab＝a（a＋b）【答案】C【分析】根據(jù)兩個(gè)圖形陰影部分的面積相等、正方形和梯形的面積公式即可得．【解析】解：圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為，則由圖1和圖2中陰影部分的面積相等得：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式與幾何圖形，正確找出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．10．若……，則A的值是A．0 B．1 C． D．【答案】D【分析】把變成然后利用平方差公式計(jì)算即可【解析】………………故選D【點(diǎn)睛】能夠靈活運(yùn)用平方差公式解題是本題關(guān)鍵二、填空題11．在括號(hào)中填上適當(dāng)?shù)恼剑海?）（________）；（2）（________）；（3）（________）；（4）（________）．【答案】【分析】根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）；故答案為：；；；．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，熟知平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．12．填空（1）________；（2）________．【答案】【分析】直接根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：（1）；（2）；故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式，熟知平方差的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．13．(1)______=______.(2)______；.【答案】【分析】（1）根據(jù)平方差公式直接計(jì)算即可；（2）兩次運(yùn)用平方差公式計(jì)算即可.【解析】解：（1）；（2），故答案為：，，.【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，熟記公式是解題關(guān)鍵.14．已知，，則__．【答案】2【解析】解：，又，，，故答案為：2．15．已知：且，則__．【答案】【解析】解：，，．故答案為：．16．若，，則______．【答案】3【分析】根據(jù)已知求出a+b及ab的值，相乘即可得到答案．【解析】解：∵2a+b=5，a+2b=4，∴（2a+b）+（a+2b）=5+4，即3a+3b=9，（2a+b）（a+2b）=54，即ab=1，∴a+b=3，∴a2b2=（a+b）（ab）=3×1=3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式分解因式及整體代入思想的應(yīng)用，題目較基礎(chǔ)．17．計(jì)算=____．【答案】2020【分析】原式變形后，利用平方差公式計(jì)算即可求出值.【解析】解：原式====2020.故答案為：2020.【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是利用平方差公式簡(jiǎn)化運(yùn)算.18．若，則____________，____________.【答案】a+c；b【分析】利用單平方差公式把原式變形，注意a+c看成是一個(gè)整體．【解析】解：．∴A=a+c；B=b.故填：a+c；b【點(diǎn)睛】此題主要考查了因式分解的平方差公式的特點(diǎn)：兩個(gè)數(shù)的和乘以兩個(gè)數(shù)的差，此題解題關(guān)鍵是分別找出兩個(gè)括號(hào)的符號(hào)相同的和符號(hào)不同的項(xiàng)，然后變形就比較簡(jiǎn)單．19．如圖，從邊長為a的大正方形中去掉一個(gè)邊長為b的小正方形，然后將剩部分剪后拼成一個(gè)長方形，這個(gè)操作過程能驗(yàn)證的等式是_____________【答案】【解析】【解析】大正方形的面積?小正方形的面積=a2?b2，矩形的面積=(a+b)(a?b)，故a2?b2=(a+b)(a?b).故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查平方差公式的幾何意義，用這兩種方法表示陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵.20．設(shè)則_______.【答案】【分析】根據(jù)平方差公式對(duì)原式進(jìn)行變形即可求出S，再求出的值即可.【解析】======故=【點(diǎn)睛】此題主要考查平方差公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用1=21找到公式的特點(diǎn).三、解答題21．運(yùn)用平方差公式計(jì)算：（1）；（2）；（3）（4）；（5）；（6）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）3999999；（6）999996．【分析】（1）平方差公式是：（a＋b）（a?b）＝，根據(jù)以上公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）平方差公式是：（a＋b）（a?b）＝，根據(jù)以上公式進(jìn)行計(jì)算即可；（3）平方差公式是：（a＋b）（a?b）＝，根據(jù)以上公式進(jìn)行計(jì)算即可；（4）平方差公式是：（a＋b）（a?b）＝，根據(jù)以上公式進(jìn)行計(jì)算即可；（5）先變形，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可；（6）先變形，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：（1）＝＝；（2）（3）（4）（5）2001×1999＝（2000＋1）×（2000?1）＝＝4000000?1＝3999999（6）998×1002＝（1000?2）×（1000＋2）＝＝1000000?4＝999996．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意：（a＋b）（a?b）＝．22．計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【分析】根據(jù)整式的乘法運(yùn)算法則和平方差公式，對(duì)每個(gè)式子逐個(gè)計(jì)算即可．【解析】解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）【點(diǎn)睛】此題考查了整式的乘法以及平方差公式，熟練掌握整式乘法的運(yùn)算法則以及平方差公式是解題的關(guān)鍵．23．計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【分析】（1）根據(jù)平方差公式計(jì)算即可；（2）先調(diào)整公式中各項(xiàng)位置與符號(hào)，再利用平方差公式計(jì)算即可；（3）先調(diào)整公式中各項(xiàng)位置與符號(hào)，再利用平方差公式計(jì)算即可；（4）先利用平方差公式計(jì)算分子，再利用除法化簡(jiǎn)系數(shù)即可；（5）利用平方差公式計(jì)算即可；（6）連續(xù)使用平方差公式計(jì)算即可．【解析】解:（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）====．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的應(yīng)用，掌握平方差公式的特征，使用時(shí)注意系數(shù)與次數(shù)的變化是解題關(guān)鍵．24．已知，求的值．【答案】84【分析】將與相加，即可得到xz，再乘以x+z，利用平方差公式即可解決本題．【解析】解：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式與平方差公式，熟練平方差公式是解決本題的關(guān)鍵．25．先化簡(jiǎn)再求值（1），其中x=2，y=．（2），其中；【答案】（1）；1；（2）3a22a21，5【分析】（1）根據(jù)整式的乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再代入x，y故可求解；（2）根據(jù)整式的乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再代入x，y故可求解．【解析】（1）==把x=2，y=代入原式=2×=1（2）===3a22a21，把代入，原式=3×4+2×221=5．【點(diǎn)睛】此題主要考查整式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟知其運(yùn)算法則．26．如圖，王大媽家有一塊邊長為的正方形土地租給了鄰居李大爺種植，今年，他對(duì)李大爺說：“我把你這塊地的一邊減少，另一邊增加，繼續(xù)租給你，你也沒有吃虧，你看如何”．李大爺一聽，就答應(yīng)了．同學(xué)們，你認(rèn)為李大爺吃虧了嗎？為什么？【答案】李大爺吃虧了．【分析】根據(jù)題意分別計(jì)算原來正方形地的面積為，后來圖形的面積為，比較即可得到答案．【解析】李大爺吃虧了．原來正方形地的面積，當(dāng)一邊減少4，另一邊增加4時(shí)，面積為，因?yàn)?，所以李大爺吃虧了．【點(diǎn)睛】此題考查平方差公式的實(shí)際應(yīng)用，熟記平方差的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．27．正方形Ⅰ的周長比正方形Ⅱ的周長長，它們的面積相差．求這兩個(gè)正方形的邊長．【答案】正方形Ⅰ的邊長為，正方形Ⅱ的邊長為【分析】設(shè)正方形Ⅰ的邊長為，正方形Ⅱ的邊長為，列出求出即可達(dá)到結(jié)果；【解析】設(shè)正方形Ⅰ的邊長為，正方形Ⅱ的邊長為．由已知得解得答：正方形Ⅰ的邊長為，正方形Ⅱ的邊長為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．28．先閱讀下列材料，然后解答問題：某同學(xué)在計(jì)算時(shí)，把3寫成后，發(fā)現(xiàn)可以連續(xù)運(yùn)用平方差公式計(jì)算，即．很受啟發(fā)，后來在求的值時(shí)，又改造此法，在乘積式前面乘1，然后把1寫成的形式，即……．問題：（1）請(qǐng)借鑒該同學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，計(jì)算：；（2）借用上面的方法，再逆用平方差公式計(jì)算：．（為自然數(shù)，且）【答案】（1）2；（2）【分析】（1）根據(jù)題意將寫成，然后連續(xù)運(yùn)用平方差公式計(jì)算即可；（2）逆用平方差公式再進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：（1）原式；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式，熟練應(yīng)用平方差公式，并能根據(jù)題意構(gòu)造出平方差公式是解題的關(guān)鍵．29．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師用圖①中的1張邊長為a的正方形A、1張邊長為b的正方形B和2張寬和長分別為a與b的長方形C紙片，排成了如圖②中的大正方形．觀察圖形并解答下列問題．（1）由圖①和圖②可以得到的等式為（用含a，b的代數(shù)式表示）；（2）小芳想用圖①的三種紙片拼出一個(gè)面積為（a+b）（a+2b）的大長方形，則需要A紙片張，B紙片張，C紙片張（空格處填寫數(shù)字），并嘗試在框線中參考圖②畫出相關(guān)的設(shè)計(jì)圖；（3）如圖③，已知點(diǎn)C為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在AB的兩側(cè)作正方形ACED和正方形BCFG，面積分別記作S1、S2，若AB＝6，圖中陰影部分△ACF的面積為4，利用（1）中得到的結(jié)論求S1+S2的值．

【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）1，2，3；（3）20【分析】（1）根據(jù)大正方