北京市豐臺區(qū)2023-2024學年高一下學期4月期中考試數(shù)學（B卷）

豐臺區(qū)20232024學年度第二學期期中練習高一數(shù)學（B卷）考試時間：120分鐘第I卷（選擇題共40分）一、選擇題：本部分共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，選出最符合題意的一項．1．已知是兩個單位向量，則下列四個結(jié)論正確的是A．B．C．2．已知向量滿足，則A．B．0C．D．73．已知向量滿足，且，則A．12B．C．4D．24．各棱長均為的三棱錐的表面積為A．B．C．D．如圖，在復平面內(nèi)，復數(shù)，對應的點分別為，，則復數(shù)的虛部為A．B．C．D．6．若某圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，則它的體積為A．B．C．D．7．在△中，角的對邊的長度分別為a，b，c，若，則等于A．B．C．或D．或8．在△中，若，則△一定是A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等邊三角形9．設是非零向量，則“”是“”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件10．我國古代數(shù)學家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱為“趙爽弦圖”．他用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的證明，極富創(chuàng)新意識．“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如圖，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則A．9B．12C．15D．16第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.11．復數(shù)=__________．12．已知單位向量滿足，則向量與向量的夾角的大小為__________．13．體積為的球的表面積是．14．在梯形中，，，為中點，若，則=__________．15．已知非零向量，，其中是一組不共線的向量．能使得與的方向相反的一組實數(shù)x，y的值為x=________，y=__________．三、解答題：本題共6小題，共85分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16．（本小題共14分）復數(shù)．（=1\*ROMANI）若復數(shù)z是實數(shù)，求實數(shù)m的值；（=2\*ROMANII）若復數(shù)z是純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；（=3\*ROMANIII）在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點位于第三象限，求實數(shù)m的取值范圍．17．（本小題共14分）已知向量．（=1\*ROMANI）求和的值；（=2\*ROMANII）若向量與互相垂直，求的值．18．（本小題共13分）已知向量滿足：，，夾角為．（=1\*ROMANI）求；（=2\*ROMANII）求；（=3\*ROMANIII）若與方向相同的單位向量為，直接寫出在上的投影向量．19．（本小題共14分）在△中，，，．

（=1\*ROMANI）求△的面積；

（=2\*ROMANII）求c及sinA的值．20．（本小題共15分）在△中，，．（=1\*ROMANI）求；（=2\*ROMANII）在下列三個條件中選擇一個作為已知，使△存在且唯一確定，并求出邊上的中線的長度．條件①：；條件②：△的周長為；條件③：△的面積為．注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．21．（本小題共15分）對于任意實數(shù)a，b，c，d，引入記號表示算式，即=，稱記號為二階行列式．是上述行列式的展開式，其計算的結(jié)果叫做行列式的值．（=1\*ROMANI）求下列行列式的值：①；②；（=2\*ROMANII）求證：向量與向量共線的充要條件是；（=3\*ROMANIII）討論關(guān)于x，y的二元一次方程組（）有唯一解的條件，并求出解．（結(jié)果用二階行列式的記號表示）．（考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）豐臺區(qū)20232024學年度第二學期期中練習高一數(shù)學（B）卷參考答案選擇題題號12345678910答案DCBCDAABAB二、填空題11．12．13．14．15．（不唯一）；1三、解答題16．解：（=1\*ROMANI）因為復數(shù)是實數(shù)，所以，……………2分解得或；……………4分（=2\*ROMANII）因為復數(shù)是純虛數(shù)所以，……………8分所以，解得；……………9分（=3\*ROMANIII）因為復數(shù)對應的點位于第三象限，所以，……………13分所以，解得m的取值范圍是．……………14分17．解：（=1\*ROMANI）……………4分；……………8分（=2\*ROMANII），……………10分因為向量與互相垂直，所以，……………12分所以，解得．……………14分18．解：（=1\*ROMANI）……………4分（=2\*ROMANII）……………7分……………10分（=3\*ROMANIII）．……………13分19．（=1\*ROMANI）在△中，，，因為，可知，……………3分所以．……………6分（=2\*ROMANII）在△中，由余弦定理，可得，又，所以解得，……………10分由（=1\*ROMANI）可知，所以由正弦定理，可得，即，解得．……………14分解：（Ⅰ）在△中，因為，又，所以．……………2分因為，所以．……………4分因為，所以．……………6分（Ⅱ）選擇條件①不符合要求，得0分；選擇條件②：因為△中，，，，所以，即△為等腰三角形，其中．……………9分因為，所以．所以．……………12分設點D為線段AC的中點，在△中，．因為△中，，所以，即邊上的中線的長度為．……………15分選擇條件③：因為△中，，，，所以，即△為等腰三角形，其中．……………9分因為△的面積為，即，所以．……………12分設點D為線段AC的中點，在△中，．因為△中，，所以，即邊上的中線的長度為．…15分21.解：（=1\*ROMANI）①；②.…4分（=2\*ROMANII）證明：若向量與向量共線，則：當時，有，即，當時，有，即，所以必要性得證．…7分反之，若，即，當c，d不全為0時，即時，不妨設，則，所以，因為，所以，所以，與共線，當且時，，所以與共線，充分性得證.綜上，向