2020-2021學(xué)年遼寧省部分重點(diǎn)高中高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學(xué)年遼寧省部分重點(diǎn)高中高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在等腰直角三角形中，若，，則的值等于（）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】直接根據(jù)向量數(shù)量積的定義計(jì)算即可得答案.【詳解】解：故選：B.2．中，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，利用誘導(dǎo)公式得到，且A為銳角，在利用半角公式求解.【詳解】因?yàn)樵谥校?，所以，且A為銳角，所以，故選：C3．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，明代科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖1描繪了筒車的工作原理.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動.將筒車抽象為一個(gè)幾何圖形（圓），筒車的半徑為2m，筒車的軸心O到水面的距離為1m，筒車每分鐘按逆時(shí)針轉(zhuǎn)動2圈.規(guī)定：盛水筒M對應(yīng)的點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)（即時(shí)的位置）時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，設(shè)盛水筒M從運(yùn)動到點(diǎn)P時(shí)所用時(shí)間為t（單位：s），且此時(shí)點(diǎn)P距離水面的高度為h（單位：m）.若以筒車的軸心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O的水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖2），則h與t的函數(shù)關(guān)系式為（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】首先先求以為終邊的角為，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求點(diǎn)的縱坐標(biāo)，以及根據(jù)圖形表示.【詳解】，所以對應(yīng)的角是，由在內(nèi)轉(zhuǎn)過的角為，可知以為始邊，以為終邊的角為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以點(diǎn)距水面的高度表示為的函數(shù)是.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵讀懂題意，并能抽象出函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是求以在內(nèi)轉(zhuǎn)過的角為，再求以為終邊的角為.4．的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，設(shè)向量，．若，則角C的大小為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示及余弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，且，所以，即所以，∵，?故選：B.5．函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)，且點(diǎn)在角的終邊上，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由條件可得，，然后利用誘導(dǎo)公式可得答案.【詳解】由可得，所以所以故選：C6．若象限角滿足，則是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【分析】由條件可得，然后結(jié)合三角函數(shù)的平方關(guān)系可得答案.【詳解】因?yàn)樗?，因?yàn)樗裕允堑谌笙藿枪蔬x：C7．若為銳角三角形，則下列式子一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)銳角三角形可推出，可得，可得，可知A不正確；可得，所以，可知D正確；當(dāng)為等邊三角形時(shí)，可知BC不正確.【詳解】因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，所以，即，所以，又，所以，故A不正確；由得，得，所以，又，所以，故D正確；當(dāng)為等邊三角形時(shí)，，，，故B不正確；當(dāng)為等邊三角形時(shí)，，，，故C不正確.故選：D8．在非等腰中，內(nèi)角滿足，若關(guān)于x的不等式對任意恒成立，則角A的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先整理式子可得：，因?yàn)榉堑妊?，所以，則：在恒成立，整理移項(xiàng)，再利用基本不等式得：，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可得解.【詳解】在中，由，代入可得：，所以：整理可得：，即：，因?yàn)榉堑妊?，所以，，代入可得：，兩邊同除，可得：在恒成立，，即，又因?yàn)椋瑒t，所以，即，又因?yàn)榉堑妊?，所以，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形，考查了三角形的性質(zhì)及恒等變換公式，考查了轉(zhuǎn)化思想和基本不等式，本題解題的關(guān)鍵是對原式的處理，使之能使用基本不等式，而不能走進(jìn)一元二次不等式的誤區(qū)，進(jìn)行討論，屬于較難題.二、多選題9．設(shè)向量，，則（）A． B．與的夾角是C． D．與同向的單位向量是【答案】BC【分析】由條件算出，，即可判斷A，算出的值可判斷B，算出的值可判斷C，與同向的單位向量是，可判斷D.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，故A錯(cuò)誤因?yàn)椋耘c的夾角是，故B正確因?yàn)椋?，故C正確與同向的單位向量是，故D錯(cuò)誤故選：BC10．下列各式中，值為的是（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由二倍角公式計(jì)算可得．【詳解】；；；．故選：AC．11．給出下列命題，其中正確的選項(xiàng)有（）A．非零向量，滿足，則與的夾角為30°B．中，是成立的充要條件C．若，，，為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D．已知單位向量，，且，則當(dāng)取最小值時(shí)，【答案】ABD【分析】對于A，先由向量的加減法法則判斷三角形的形狀，再求夾角即可；對于B，由正弦定理判斷；對于C，為銳角，則且不共線，從而可求出的取值范圍；對于D，對平方化簡求其最小值即可【詳解】解：對于A，如圖，，則，因?yàn)?，則為等邊三角形，所以，，可得平行四邊形為菱形，所以平分，即，所以與的夾角為30°，所以A正確；對于B，由正弦定理得，當(dāng)時(shí)，，反之當(dāng)時(shí)，，所以是成立的充要條件，所以B正確；對于C，因?yàn)?，，，所?，因?yàn)闉殇J角，所以且不共線，由，得，解得，由共線，得，得，所以當(dāng)為銳角時(shí)，且，所以C錯(cuò)誤；對于D，，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，所以D正確，故選：ABD12．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)的振幅是2，初相是B．若把圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)在上是增函數(shù)C．若把函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，則所得函數(shù)是奇函數(shù)D．，若恒成立，則的范圍為【答案】BCD【分析】由函數(shù)圖象可求其周期，利用周期公式可求的值，由，結(jié)合范圍，可求的值，從而可得函數(shù)的解析式，然后逐一判斷即可.【詳解】由圖象可得，，，，，即，，，，，，故A正確；把的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)為，因?yàn)樗栽谏鲜窃龊瘮?shù)，故B正確；把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到的函數(shù)為，是奇函數(shù)，故C正確；由可得當(dāng)時(shí)，，的最小值為所以，即，故D正確故選：BCD三、填空題13．的值為____________【答案】【分析】利用二倍角公式及對數(shù)的運(yùn)算計(jì)算可得；【詳解】解：故答案為：14．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則______.【答案】0【分析】由輔助角公式得（其中），由此可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即，然后將代入中化簡可得答案【詳解】解：（其中），所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即，所以，所以，故答案為：015．的內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，已知，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】由正弦定理及三角形內(nèi)角性質(zhì)得，可得，根據(jù)余弦定理，應(yīng)用基本不等式有，結(jié)合A為三角形內(nèi)角，即可求的范圍.【詳解】由正弦定理知：，∵，∴，即，又由余弦定理知：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，而，∴，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用三角恒等變換、正弦定理的邊角關(guān)系確定三邊的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)余弦定理及基本不等式，求角A余弦值的范圍，結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)求角的范圍.16．正的邊長為1，中心為O，過O的動直線l與邊AB，AC分別相交于點(diǎn)M、N，，，.給出下列四個(gè)結(jié)論：①②若，則③不是定值，與直線l的位置有關(guān)④與的面積之比的最小值為.其中所有正確結(jié)論的序號是________【答案】①④【分析】利用向量加法的平行四邊形法則可判斷①；利用向量數(shù)量積的定義可判斷②；根據(jù)三點(diǎn)共線可判斷③；由三角形的面積公式結(jié)合③，利用基本不等式可判斷④.【詳解】對于①，由，故①正確；對于②，，故②錯(cuò)誤；對于③，由①，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，故③錯(cuò)誤；對于④，，又，故④正確.故答案為：①④四、解答題17．已知向量，，其中，且.（1）求的值；（2）若，且，求角.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，可得方法一：與聯(lián)立，求得，，代入即可；方法二：，由求解.（2）根據(jù)，，得到，再由，得到，然后由求解.【詳解】（1），，即.方法一：代入，得，又，則，，則，代入可解得.方法二：，.（2），，又，.，.由，得.18．在中，角的對邊分別是，，，如圖所示，點(diǎn)在線段上，滿足.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角公式可求得，進(jìn)而得到；（2）在中利用余弦定理可求得，從而求得，由平面向量數(shù)量積的定義可計(jì)算求得結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理得：，，，又，，，，，，，解得：.（2），，為等邊三角形，設(shè)，則，在中，由余弦定理得：，解得：，，，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問考查平面幾何中的平面向量數(shù)量積的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用余弦定理求得三角形的邊長，進(jìn)而根據(jù)邊長求得所求向量夾角的余弦值.19．已知函數(shù)只能同時(shí)滿足下列三個(gè)條件中的兩個(gè)：①函數(shù)的最大值為2；②函數(shù)的圖象可由的圖像平移得到；③函數(shù)圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.（1）請寫出這兩個(gè)條件的序號，并求出的解析式；（2）銳角中，內(nèi)角??所對的邊分別為??.，，求周長的取值范圍.注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】選①③，（1）；（2）．【分析】確定只能選條件①③，（1）由最大值得，由周期得，得函數(shù)解析式．（2）由（1）求得，由銳角三角形求得的范圍，用正弦表示出（也用表示）求和，利用三角函數(shù)恒等變換化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)得取值范圍，從而得周長范圍．【詳解】①②兩個(gè)條件矛盾，最大值不相同，②③兩個(gè)條件也矛盾，周期不相同．只有選①③（1）由①，由③，則最小正周期是，，所以；（2），，，，，所以，由，得，，，因?yàn)?，所以，，所以，即．即周長范圍是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查由三角函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)解析式，考查正弦定理解三角形，三角函數(shù)的恒等變換及三角函數(shù)性質(zhì)．求三角函數(shù)解析式，掌握“五點(diǎn)法”是解題關(guān)鍵，由周期確定，則最值確定，由點(diǎn)的坐標(biāo)確定．三角函數(shù)的最值與范圍問題通常都是利用三角形函數(shù)恒等變換公式轉(zhuǎn)化為形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求解．20．已知的圖象與直線相切，并且每相鄰兩個(gè)切點(diǎn)間的距離為.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，其中，若銳角滿足，且，求內(nèi)切圓的面積.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）先利用三角函數(shù)恒等變換公式對函數(shù)化簡變形可得，由圖象與直線相切，并且每相鄰兩個(gè)切點(diǎn)間的距離為，可得，周期為，從而可求出，，所以，由可求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）由可求出，然后由可求得，再由余弦定理可得，記為內(nèi)切圓半徑，則，從而可求出，進(jìn)而可求出內(nèi)切圓的面積【詳解】（1），的圖象與直線相切，且，，，又每相鄰兩個(gè)切點(diǎn)間的距離為，所以，函數(shù)的最小正周期為，，可得，，令，解得：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，；（2）由得，可得，為銳角，則，，則，由余弦定理得，，記為內(nèi)切圓半徑，的面積，即，內(nèi)切圓的面積.21．山頂有一座石塔，設(shè)塔頂在地面上的正投影為點(diǎn).記石塔的高度，山的高度.（1）如圖（1），若以，為觀測點(diǎn)，在塔頂處測得地面上一點(diǎn)的俯角為，在塔底處測得處的俯角為，用，，表示山的高度.（2）如圖（2），若將觀測點(diǎn)選在地面的直線上，記，已知石塔高度，稱為在點(diǎn)觀測石塔的視角，請?jiān)囍褂?，表示；并依?jù)你的結(jié)論解決如下問題：如果滿足當(dāng)時(shí)，觀測的視角（即）最大，求山的高度.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）在中，，，然后利用正弦定理可得，求出，從而可表示出山的高度；（2）設(shè)，則，，由表示出,然后利用基本不等式可求得最大值，進(jìn)而可求出山的高度【詳解】（1）解：在中，，，由正弦定理得：，得，則，（2）設(shè)，，，，又則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，最大，從而最大，由題意，，解得.22．已知函數(shù).（1）若先將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再將之向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)圖象，求函數(shù)的解析式（2）設(shè)，則是否存在實(shí)數(shù)，滿足對于任意，都存在，使得成立?如果存在，請