循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)教案

深圳市教育培訓(xùn)中心PAGE2011學(xué)年度寒假六年級(jí)學(xué)生版編輯：高仁江 循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)教案姓名 分?jǐn)?shù) 家長(zhǎng)評(píng)價(jià) 東東有個(gè)神奇的體溫表，它不僅可以測(cè)到體溫還可以測(cè)到心情。

東東最怕的數(shù)學(xué)考試來(lái)臨時(shí)，體溫表知道他很恐慌不想去考試，就把溫度升上去很多，東東就因?yàn)榭梢哉?qǐng)病假而不用去考試了；東東發(fā)燒的時(shí)候，卻非常想出去春游，體溫表得知了他期待的心情，就把體溫的數(shù)字降低到正常，東東就高興的去玩了，但結(jié)果回家后病情就加重了。

時(shí)間一長(zhǎng)，東東就發(fā)現(xiàn)了是體溫表有問(wèn)題，生氣的對(duì)他說(shuō)：“你干嘛要自作聰明??？你就是一個(gè)體溫表而已！你就明明白白告訴我事實(shí)真相就好了?。。。∧銘{什么變來(lái)變?nèi)サ?！”這時(shí)候體溫表委屈的說(shuō)：“我死去的哥哥就是因?yàn)槊看味几嬖V了你事實(shí)真相，結(jié)果就被你給摔碎了啊……”

很多人在該做自己的事情的時(shí)候，越過(guò)了自己應(yīng)該負(fù)責(zé)的職責(zé)，本來(lái)自己只要做這一小堆事情就好了，卻偏偏要想到許多宏觀的離自己職責(zé)很遠(yuǎn)的東西并在其中左右著自己，這樣的出發(fā)點(diǎn)也許是好的，但具體的工作并不需要每個(gè)人都成為政治家，如果過(guò)了的話，那每個(gè)人實(shí)際上都沒(méi)有盡到自己的本份，那才是最沒(méi)有職業(yè)道德的！感悟：【經(jīng)典導(dǎo)航1】下列分?jǐn)?shù)哪些能化為有限小數(shù)、純循環(huán)小數(shù)、混循環(huán)小數(shù)？若能化成有限小數(shù)，小數(shù)部分有幾位？若能化成混循環(huán)小數(shù)，不循環(huán)部分有幾位？解：9＝32，111=3×37，275=52×11，22=2×1132=25，250=2×53能化為有限小數(shù)，小數(shù)部分的位數(shù)分別為5位，3位與1位；能化為純循環(huán)小數(shù)；能化為混循環(huán)小數(shù)，并且不循環(huán)部分的位數(shù)分別為2位與1位?！緭P(yáng)帆起航1】基本概念及定理循環(huán)小數(shù)：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，如果從某一位起，一個(gè)或幾個(gè)數(shù)字依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)，這樣的數(shù)就叫做循環(huán)小數(shù)。循環(huán)小數(shù)是無(wú)限小數(shù)，它的位數(shù)是無(wú)限的。循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分中，依次不斷重復(fù)的數(shù)字，叫做它的一個(gè)循環(huán)節(jié)。如果循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位（十分位）開(kāi)始的，叫做純循環(huán)小數(shù)；循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開(kāi)始的，叫做混循環(huán)小數(shù)。定理一：如果最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分母除2、5質(zhì)因數(shù)外，不含其它質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)能化成有限小數(shù)。將能化成有限小數(shù)的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分母進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解，看質(zhì)因數(shù)2和5的冪指數(shù)，較大的那個(gè)指數(shù)的大小就是有限小數(shù)的位數(shù)。定理二：如果最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分母除2、5質(zhì)因數(shù)外，含其它質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)不能化成有限小數(shù)。定理三：如果一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分母里，如果只含有2,5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)一定能化成純循環(huán)小數(shù)，這個(gè)純循環(huán)小數(shù)循環(huán)節(jié)的最少位數(shù)，等于9、99、999、9999……諸數(shù)中能被分母整除的最小那個(gè)數(shù)里9的個(gè)數(shù)。定理四：一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分母里，如果除含有2或5質(zhì)因數(shù)外，還含有其它質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)一定能化成混循環(huán)小數(shù)。這個(gè)不純循環(huán)部分里的數(shù)字的個(gè)數(shù)，等于2、5中較多的一個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)。循環(huán)節(jié)的最少位數(shù)等于9、99、999、9999……諸數(shù)中能被分母2、5以外的質(zhì)因數(shù)（或質(zhì)因數(shù)的乘積）整除的最小那個(gè)數(shù)里9的個(gè)數(shù)?！窘?jīng)典導(dǎo)航1】方法一：（代數(shù)法）類(lèi)型1：純循環(huán)小數(shù)如何化為分?jǐn)?shù)例題：如何把0.33……和0.4747……化成分?jǐn)?shù)例1：0.33……×10＝3.33……0.33……×10－0.33……=3.33……－0.33……(10-1)×0.33……=3即9×0.33……=3那么0.33……=3/9=1/3例2：0.4747……×100＝47.4747……0.4747……×100－0.4747……＝47.4747……－0.4747……(100－1)×0.4747……=47

即99×0.4747……=47

那么0.4747……=47/9由此可見(jiàn),純循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù),它的小數(shù)部分可以寫(xiě)成這樣的分?jǐn)?shù)：純循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)最少位數(shù)是幾，分母就是由幾個(gè)9組成的數(shù)；分子是純循環(huán)小數(shù)中一個(gè)循環(huán)節(jié)組成的數(shù)?！緭P(yáng)帆起航2】方法重于問(wèn)題由于小數(shù)部分位數(shù)是無(wú)限的，所以不可能寫(xiě)成十分之幾、百分之幾、千分之幾……的數(shù)。轉(zhuǎn)化需要先“去掉”無(wú)限循環(huán)小數(shù)的“無(wú)限小數(shù)部分”。一般是用擴(kuò)倍的方法，把無(wú)限循環(huán)小數(shù)擴(kuò)大十倍、一百倍或一千倍……使擴(kuò)大后的無(wú)限循環(huán)小數(shù)與原無(wú)限循環(huán)小數(shù)的“無(wú)限小數(shù)部分”完全相同，然后這兩個(gè)數(shù)相減，這樣“大尾巴”就剪掉了。純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的方法：（1）分?jǐn)?shù)的分子是第一個(gè)循環(huán)節(jié)數(shù)字所組成的數(shù)。（2）分母是數(shù)字9所組成的數(shù)，9的個(gè)數(shù)等于循環(huán)節(jié)的位數(shù)，整數(shù)部分不變。純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)后，能約分的要約分。混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的方法：（1）分?jǐn)?shù)的分子是小數(shù)點(diǎn)右邊第一個(gè)數(shù)字到第一個(gè)循環(huán)節(jié)末位數(shù)字所組成的數(shù)，減去不循環(huán)數(shù)字所組成的數(shù)，所得的差。（2）分母是由數(shù)字9，以及后面帶數(shù)字0所組成的數(shù)，其中9的個(gè)數(shù)等于循環(huán)節(jié)的位數(shù)，0的個(gè)數(shù)等于不循環(huán)部分的位數(shù)?；煅h(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)后，能約分的要約分。【揚(yáng)帆起航3】經(jīng)典例題例1把純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)：從以上例題可以看出，純循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分可以化成分?jǐn)?shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子是一個(gè)循環(huán)節(jié)表示的數(shù)，分母各位上的數(shù)都是9。9的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同。能約分的要約分。

二、混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)不是從小數(shù)點(diǎn)后第一位就循環(huán)的小數(shù)叫混循環(huán)小數(shù)。怎樣把混循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)呢？看下面的例題。例2把混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)。（2）先看小數(shù)部分0.353由以上例題可以看出，一個(gè)混循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分可以化成分?jǐn)?shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子是第二個(gè)循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)部分組成的數(shù)與小數(shù)部分中不循環(huán)部分組成的數(shù)的差。分母的頭幾位數(shù)是9，末幾位是0。9的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)中的位數(shù)相同，0的個(gè)數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同。例3真分?jǐn)?shù)化為小數(shù)后，如果從小數(shù)點(diǎn)后第一位的數(shù)字開(kāi)始連續(xù)若干個(gè)數(shù)字之和是1992，那么是多少?【分析與解】=0.，=0.，=0.，=0.，=0.，=0.．因此，真分?jǐn)?shù)化為小數(shù)后，從小數(shù)點(diǎn)第一位開(kāi)始每連續(xù)六個(gè)數(shù)字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因?yàn)?992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以=0.，即=6．評(píng)注：的特殊性，循環(huán)節(jié)中數(shù)字不變，且順序不變，只是開(kāi)始循環(huán)的這個(gè)數(shù)有所變化三、循環(huán)小數(shù)的四則運(yùn)算循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)后，循環(huán)小數(shù)的四則運(yùn)算就可以按分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算法則進(jìn)行。從這種意義上來(lái)講，循環(huán)小數(shù)的四則運(yùn)算和有限小數(shù)四則運(yùn)算一樣，也是分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算。例4計(jì)算下面各題：解：先把循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)后再計(jì)算。例5計(jì)算下列各題：（1）；解：（2）；解：（3）計(jì)算：【分析與解】方法一：====2.4方法二：=()=2.1+×(1+2+3+4+8+9)=2.1+×27=2.1+0.3=2.4方法三：如下式，0.011111…0.122222．．．0.233333．．．0.344444．．．(1+2+3+4+8+9=27)0.788888．．．+0.899999．．．2.399997．．．注意到，百萬(wàn)分位的7是因?yàn)闆](méi)有進(jìn)位造成，而實(shí)際情況應(yīng)該是2.399999…==2.4．評(píng)注：==1,=．例5、天齊將乘以a時(shí)，把看成1.23，使得乘積比正確結(jié)果小0.3，正確結(jié)果是多少？解：由于所以a＝從而，正確結(jié)果為：例6、將一個(gè)純循環(huán)小數(shù)化成最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)后，它的分母與分子之差為9。求a，b，c各是多少？解：因?yàn)?，?99＝33×37由于寫(xiě)成最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)后，分子、分母的差為9。所以abc必為9的倍數(shù)，且不能為37的倍數(shù)（否則999與abc至少有公約數(shù)9×37，約簡(jiǎn)后分母為3，不合題意）。由于abc僅為9的倍數(shù)，不是27的倍數(shù)，則約簡(jiǎn)后的分母為3×37＝111，此時(shí)分子為111-9＝102，但不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，，不合題意。若abc為27的倍數(shù)，則約簡(jiǎn)后的分母為37，此時(shí)分子為37-9＝28，即。于是，abc=28×27=756，即a=7，b=5，c＝6。例7、計(jì)算下面各題。分析與解：（1）把循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，再按分?jǐn)?shù)計(jì)算。（2）可根據(jù)乘法分配律把1.25提出，再計(jì)算。（3）把循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，根據(jù)乘法分配律和等差數(shù)列求和公式計(jì)算。測(cè)試（5.15）姓名分?jǐn)?shù)1.把純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)：2.把混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)3.計(jì)算下面各題：解：先把循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)后計(jì)算。4.計(jì)算：目前我們只能將這些小數(shù)都化成分?jǐn)?shù)才能算出結(jié)果?，F(xiàn)在，根據(jù)下面的提示，直接觀察每個(gè)算式于最后結(jié)果之間的關(guān)系，希望你能從中發(fā)現(xiàn)直接運(yùn)算的法則。怎么樣？發(fā)現(xiàn)了什么直接算的規(guī)則了嗎？請(qǐng)歸納出來(lái)。我們利用類(lèi)似的方法還可以去研究其他的幾種情形。5.兩個(gè)循環(huán)節(jié)位數(shù)相同的純循環(huán)小數(shù)相加。考察下面的一些例子。再試試直接列豎式結(jié)果會(huì)怎樣？能歸納出直接運(yùn)算的法則了嗎？6.兩個(gè)循環(huán)節(jié)位數(shù)不相等的純循環(huán)小數(shù)相加?？疾煜旅娴睦樱涸僭囋囍苯恿胸Q式結(jié)果會(huì)怎樣？能歸納出直接運(yùn)算的法則了嗎？如果能得出以上三種情形的運(yùn)算法則的話，那么，利用這些法則去直接計(jì)算混循環(huán)小數(shù)之間的加法運(yùn)算就不是一件難事了。規(guī)律有限小數(shù)家循環(huán)小數(shù)，和仍然是個(gè)循環(huán)小數(shù)。其循環(huán)節(jié)跟原加數(shù)的循環(huán)節(jié)相同。法則是：用有限小數(shù)跟循環(huán)小數(shù)的非循環(huán)部分對(duì)應(yīng)數(shù)位相加，循環(huán)小數(shù)的非循環(huán)部分不夠時(shí)，就用第一個(gè)循環(huán)節(jié)、第二個(gè)循環(huán)節(jié)……補(bǔ)足再相加，用這個(gè)和作和的非循環(huán)部分，原來(lái)加數(shù)的循環(huán)節(jié)仍作和的循環(huán)節(jié)。兩個(gè)循環(huán)節(jié)位數(shù)相同的純循環(huán)小數(shù)相加，和仍然是個(gè)循環(huán)小數(shù)。法則是：用兩個(gè)循環(huán)節(jié)相加的和除于99……9（其中9的個(gè)數(shù)等于循環(huán)節(jié)的位數(shù)），商作和的整數(shù)部分，余數(shù)作小數(shù)部分的循環(huán)節(jié)（若余數(shù)位數(shù)不夠原加數(shù)循環(huán)節(jié)的位數(shù)時(shí)，就在余數(shù)的前面補(bǔ)足“0”作循環(huán)節(jié)）。兩個(gè)循環(huán)節(jié)位數(shù)不同的純循環(huán)小數(shù)相加，和仍然是個(gè)循環(huán)小數(shù)，其循環(huán)節(jié)的位數(shù)是兩個(gè)加數(shù)循環(huán)節(jié)位數(shù)的最小公倍數(shù)。方法是：先把兩個(gè)加數(shù)改成循環(huán)節(jié)位數(shù)相同（兩加數(shù)循環(huán)節(jié)位數(shù)的最小公倍數(shù)）而大小不變的循環(huán)小數(shù)，再按照法則（2）進(jìn)行計(jì)算。練習(xí)練習(xí)直接計(jì)算下列各題直接計(jì)算下列各題將分?jǐn)?shù)化成小數(shù)計(jì)算循環(huán)小數(shù)與整數(shù)作乘法我們已經(jīng)知道，循環(huán)小數(shù)之間可以作加法運(yùn)算。由于一個(gè)數(shù)乘以整數(shù)就是求幾個(gè)相同數(shù)連加的簡(jiǎn)便運(yùn)算，因此，找出循環(huán)小數(shù)乘以整數(shù)的運(yùn)算法則是完全可能的。下面分兩種情形來(lái)討論。純循環(huán)小數(shù)乘以整數(shù)。考察下面例子：再試試直接列豎式結(jié)果會(huì)怎樣？能歸納出直接運(yùn)算的法則了嗎？混循環(huán)小數(shù)乘以整數(shù)?；煅h(huán)小數(shù)乘以整數(shù)可以轉(zhuǎn)化為純循環(huán)小數(shù)進(jìn)行計(jì)算。例如，計(jì)算任何一個(gè)混循環(huán)小數(shù)乘以整數(shù)的試題都可以利用類(lèi)似的方法轉(zhuǎn)化，不是嗎？請(qǐng)歸納出法則。規(guī)律純