2020-2021學(xué)年陜西省西安市高新一中高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學(xué)年陜西省西安市高新一中高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知函數(shù)，則的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)的定義，函數(shù)的定義域滿足，解出即可.【詳解】由函數(shù)的定義域滿足：解得：或故的定義域?yàn)楣蔬x：B2．已知點(diǎn)是角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先用三角函數(shù)的定義得，再用二倍角公式求出.【詳解】由三角函數(shù)的定義得，所以．故選：A【點(diǎn)睛】(1)三角函數(shù)值的大小與點(diǎn)P（x,y）在終邊上的位置無關(guān)，嚴(yán)格代入定義式子就可以求出對應(yīng)三角函數(shù)值；(2)當(dāng)角的終邊在直線上時，或終邊上的點(diǎn)帶參數(shù)必要時，要對參數(shù)進(jìn)行討論．3．已知，且與的夾角為，則（）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】先求，再利用求出.【詳解】解：且與的夾角為，故故選：A．【點(diǎn)睛】向量的模運(yùn)算的常用方法：（1）定義法；（2）坐標(biāo)法；（3）用求模.4．函數(shù)的大致圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)在上的圖象進(jìn)行排除，由此確定正確選項.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)，由此排除C、D選項.當(dāng)時，，，即，所以B選項錯誤.故選：A5．對于任意實(shí)數(shù)，，，，下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則【答案】B【分析】利用不等式的性質(zhì)或反例可逐項判斷正誤，從而可得正確的選項．【詳解】對于A，若，則，故A錯．對于B，因?yàn)?，故，故，故B正確．對于C，取，，但，故C錯誤．對于D，取，，滿足，，但，故D錯．故選：B.6．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題:從冬至日起，依次為小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分.清明、谷雨、立夏、小滿、芒種，這十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為尺，前九個節(jié)氣日影長之和為尺，則谷雨日影長為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，首先利用已知條件求出的通項公式，計算即可求解.【詳解】設(shè)十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，由題意可得，即，解得，又因?yàn)?，所以，解得所以的公差，所以，所以谷雨日影長為，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是讀懂題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的前項和公式求出其通項公式，問題即可迎刃而解.7．已知曲線，曲線，則下列結(jié)論正確的是（）A．將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位，得到曲線B．將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位，得到曲線C．將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位，得到曲線D．將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位，得到曲線【答案】D【分析】利用三角函數(shù)的圖象變換求出每一個選項的函數(shù)的解析式即得解.【詳解】A.得到曲線：，所以該選項錯誤；B.得到曲線：，所以該選項錯誤；C.得到曲線：，所以該選項錯誤；D.得到曲線：，所以該選項正確.故選：D8．已知數(shù)列滿足：，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)是遞增數(shù)列，結(jié)合的通項公式有，解之得的范圍【詳解】由題意，數(shù)列是遞增數(shù)列1、當(dāng)時，有；2、當(dāng)時，有；3、，即綜上，有故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的單調(diào)性，利用數(shù)列的單調(diào)性列不等式求參數(shù)范圍，屬于簡單題9．?dāng)?shù)列{an}滿足，則a1a2a3…a10=（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題,當(dāng)時,得到,與題目中式子相減,即可得到,進(jìn)而求解【詳解】解：n=1時,a1=,∵,∴時,,兩式相減可得2n-1an=,∴,n=1時，也滿足∴,故選A【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式,考查數(shù)列的通項,解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列的通項,進(jìn)而求解10．在中，角、、所對的邊分別為、、，以下說法中正確的個數(shù)為（）.①若，則②若，，則為等邊三角形③若，，，則符合條件的三角形不存在④若，，，則為鈍角三角形A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題可通過正弦定理判斷出①正確，然后根據(jù)得出，根據(jù)得出，②正確，再然后通過正弦定理得出，③正確，最后通過余弦定理得出，④錯誤.【詳解】①：因?yàn)?，所以，由正弦定理易知，，①正確；②：，則，因?yàn)椋?，，因?yàn)?，，，所以，為等邊三角形，②正確；③：，則，，不存在，③正確；④：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，為銳角三角形，④錯誤，故選：C.二、填空題11．在等比數(shù)列中，，，且，，則___________.【答案】【分析】本題首先可根據(jù)得出，然后與聯(lián)立，解得、，最后通過即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，，所以，聯(lián)立，解得，，則，故答案為：.12．已知，，，則的最小值為___________.【答案】【分析】本題可通過基本不等式得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)、時取等號，則的最小值為，故答案為：.13．在中，角、、所對的邊分別為、、，的面積為，且，，，則______.【答案】【分析】本題首先可根據(jù)正弦定理得出，然后借助兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系得出、，再然后根據(jù)余弦定理得出，最后根據(jù)解三角形面積公式即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，，因?yàn)?，，所以，，，由余弦定理易知，，即，，，，故，故答案為?14．已知數(shù)列滿足：，記為的前項和，則__________．【答案】440【分析】由題意結(jié)合遞推關(guān)系首先確定數(shù)列的特征，然后求解即可.【詳解】由可得：當(dāng)時，有，①當(dāng)時，有，②當(dāng)時，有，③①+②有：，③-①有：，則：故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)列的求和方法等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.三、解答題15．已知函數(shù)的圖象的對稱中心到對稱軸的最小距離為．（1）求函數(shù)的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值．【答案】（1），；（2）最小值，最大值.【分析】（1）根據(jù)對稱中心和對稱軸的距離得出周期，根據(jù)即可求解，令求解函數(shù)的增區(qū)間；（2）由（1）可得到函數(shù)在的單調(diào)性，即可得到最值.【詳解】（1）由已知的圖象的對稱中心到對稱軸的最小距離為，則，，，解得：.所以函數(shù)的解析式是.函數(shù)的增區(qū)間：令，解得：，所以函數(shù)的增區(qū)間為（2）由（1）知，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù).因?yàn)?，，，故函?shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)：(1).(2)周期(3)由求對稱軸，由求對稱中心.(4)由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.16．已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列.（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）將兩邊同時除以，即可證數(shù)列為等差數(shù)列；（2）利用（1）的結(jié)論可以求出數(shù)列的通項公式，再利用乘公比錯位相減求和.【詳解】（1）依題，在兩邊同時除以，得：，，故數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）得：，可得，所以，則數(shù)列的前項和①，②，①-②得：，所以.【點(diǎn)睛】數(shù)列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)、對稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和．(2)錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和．(3)分組求和：用于若干個等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和．(4)裂項相消法：用于通項能變成兩個式子相減，求和時能前后相消的數(shù)列求和.17．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的值域；（2）若在區(qū)間的最大值為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）令，可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出；（2）令，可得，討論對稱軸的取值范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】（1）.令，，時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.∴當(dāng)時，，∴，所以的值域?yàn)?（2）令，，其圖象的對稱軸為.①當(dāng)，即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，解得，與矛盾；②當(dāng)，即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，解得，與矛盾，③當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，，解得，舍去；綜上，.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值的思路；（1）二次函數(shù)開口向上時，求函數(shù)的最大值，討論對稱軸和的大小求解；（2）二次函數(shù)開口向上時，求函數(shù)的最小值，討論對稱軸在三個區(qū)間的范圍求解.18．已知數(shù)列的前項和，，在等差數(shù)列中，，.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）本題首先可通過得出，然后根據(jù)得出，最后根據(jù)等比數(shù)列定義即可得出結(jié)果；（2）本題可設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)得出，然后根據(jù)得出、，再然后得出，最后將其分為、、三種情況進(jìn)行討論，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，，，即，，當(dāng)時，，解得，則數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列，.（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則即，，因?yàn)?，所以，，，則，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，故當(dāng)或時，最大，.19．某農(nóng)場有一塊等腰直角三角形的空地，其中斜邊的長度為米，為迎接“五一”觀光游，欲在邊界上選擇一點(diǎn)，修建觀賞小徑、，其中、分別在邊界、上，小徑、與邊界的夾角都為，區(qū)域和區(qū)域內(nèi)種植郁金香，區(qū)域內(nèi)種植月季花.（1）探究：觀賞小徑與的長度之和是否為定值？請說明理由；（2）為深度體驗(yàn)觀賞，準(zhǔn)備在月季花區(qū)域內(nèi)修建小徑，當(dāng)點(diǎn)在何處時，三條小徑（、、）的長度和最?。坎⑶蟪鲎钚≈?【答案】（1）是定值，，詳見解析；（2）點(diǎn)在中點(diǎn)位置，最小值為.【分析】（1）可設(shè)，則，然后在中通過正弦定理得出，最后在中通過正弦定理得出，即可證得和為定值；（2）本題可通過余弦定理得出，然后通過基本不等式得出，即可求出最小值.【詳解】（1）設(shè)，則，因?yàn)?，，所以，，同理，在中，，，，在中，，，，則，是定值.（2）因?yàn)?，，所以，在中，，，即，?dāng)且僅當(dāng)取等號，故當(dāng)點(diǎn)在中點(diǎn)位置時，，三條小徑的長度和最小，最小值為.20．已知函數(shù).（1）求最小正周期及對稱中心；（2）在銳角中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且，，求面積的取值范圍.【答案】（1），對稱中心是；（2）【分析】(1)首先將函數(shù)的解析式化簡為的形式，然后確定其最小正周期和對稱中心即可；(2)由已知可解得,由于為銳角三角形,可求得,利用正弦定理化簡可得,根據(jù)面積公式計算即可得出結(jié)果.【詳解】（1），.；又，，即對稱中心是.（2），，又為銳角三角形，且，即，，得到，而在中，，即，，.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的化簡與性質(zhì)，正弦定理解三角形的方法等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力,難度較易.21．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，，，數(shù)列滿足：對每成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記證明：【答案】（1），；（2）證明見解析.【分析】(1)首先求得數(shù)列的首項和公差