2020-2021學(xué)年天津市東麗區(qū)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學(xué)年天津市東麗區(qū)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)的虛部為（）A．－3 B．3 C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念直接可得答案.【詳解】復(fù)數(shù)的虛部為故選：A【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.2．?dāng)S兩枚質(zhì)地均勻股子，設(shè)“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點”，“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點”則與的關(guān)系為（）A．互斥 B．相互獨立 C．互為對立 D．相等【答案】B【分析】由互斥事件、相互獨立事件、對立事件的定義判斷即可【詳解】解：對于A，C，因為事件A和事件B中有相同的樣本點，如（1,2），所以這兩個事件既不互斥也不對立，所以AC錯誤；對于D，因為事件A中含有事件B中沒有的樣本點，如（1,1），所以兩個事件不可能相等，所以D錯誤，對于B，因為，所以，所以事件A和事件B是相互獨立事件，故選：B3．已知向量，是兩個不共線的向量，若與共線，則（）A．2 B．-2 C． D．【答案】C【分析】利用平面向量共線定理可知，即可求解【詳解】由，可設(shè)，則解得：，故選：C【點睛】本題主要考查了平面向量共線定理，屬于基礎(chǔ)題.4．在中，已知，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理直接求解即可.【詳解】在中，已知，，，由余弦定理得：，故選：A5．有一個三位數(shù)字的密碼鎖，每位上的數(shù)字在0到9這十個數(shù)字中任選，某人忘記了密碼最后一個號碼，那么此人在開鎖時，在對好前兩位數(shù)字后隨意撥動最后一個數(shù)字恰好能開鎖的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】最后隨意撥動最后一個數(shù)字是古典概型，按照古典概型的概率公式，即可求解.【詳解】由于最后一個數(shù)字在0到9這十個數(shù)字中任選，是樣本點共有10種，其中隨意撥動最后一個數(shù)字恰好能開鎖包含的樣本點只有1種，故隨意撥動最后一個數(shù)字恰好能開鎖的概率為.故選:C.【點睛】本題考查古典概型的概率，屬于基礎(chǔ)題.6．若樣本數(shù)據(jù)，，，標準差為8，則數(shù)據(jù)，，，的標準差為（）A．8 B．16 C．32 D．64【答案】B【詳解】【分析】由已知結(jié)合方差的性質(zhì)即可直接求解．【解答】解：由方差的性質(zhì)可知，，因為樣本數(shù)據(jù)，，，標準差為8，即方差為64，則數(shù)據(jù)，，，的方差為，，即標準差為16故選：．【點評】本題主要考查了方差性質(zhì)，的的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．7．在平行四邊形ABCD中，，，E為CD的中點，若，則AB的長為（）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】利用向量加法與乘法法則，結(jié)合公式即可得出結(jié)論【詳解】設(shè)AB的長為x，因為，所以，解得．故選：A【點睛】本題主要考查向量的數(shù)量積公式，其中向量代換是解題關(guān)鍵．8．在空間中，下列命題正確的是（）①平行于同一條直線的兩條直線平行；②垂直于同一條直線的兩條直線平行；③平行于同一個平面的兩條直線平行；④垂直于同一個平面的兩條直線平行．A．①③④ B．①④ C．① D．①②③④【答案】B【分析】由空間中點、線、面的位置關(guān)系逐一核對四個命題得答案．【詳解】解：①該命題就是平行公理，即基本性質(zhì)4，因此該命題是正確的．②如圖1，直線平面，，，且，則，．即平面內(nèi)兩條相交直線b、c都垂直于同一條直線a，但b、c的位置關(guān)系并不是平行．另外，b、c的位置關(guān)系也可能是異面，如果把直線b平移到平面外，此時，b與a的位置關(guān)系仍是垂直，但此時b、c的位置關(guān)系是異面．③如圖2，在正方體中，易知平面ABCD，平面ABCD，但，因此該命題是錯誤的．④該命題是線面垂直的性質(zhì)定理，因此是正確的．綜上，①④正確，故選：B．【點睛】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了空間中點、線、面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．9．如圖，正方體的棱長為1，E、F分別為棱AD、BC的中點，則平面與底面ABCD所成的二面角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】顯然平面，所以就是平面與底面ABCD所成的二面角的平面角，再解三角形即可.【詳解】解：在正方體中，平面，E、F分別為棱AD、BC的中點，所以，所以平面，所以，所以就是平面與底面ABCD所成的二面角的平面角，，故選：B.【點睛】思路點睛：按照二面角的平面角的定義先找到平面角，再求角.找角時注意找與二面角的棱垂直的平面與兩個半平面的交線就是平面角，求角時一般是解三角形，二面角平面角的范圍是，基礎(chǔ)題.二、填空題10．若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則________.【答案】5【分析】把已知等式變形，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復(fù)數(shù)求模公式計算得答案．【詳解】解：，則．故答案為：5．【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題．11．若正方體的表面積為，則它的外接球的表面積為________.【答案】【分析】由正方體的外接球的直徑與正方體的棱長之間的關(guān)系求解.【詳解】由已知得正方體的棱長為，又因為正方體的外接球的直徑等于正方體的體對角線的長，所以正方體的外接球的半徑，所以外接球的表面積，故得解.【點睛】本題考查正方體的外接球，屬于基礎(chǔ)題.12．已知向量，，其中，，且，則向量和的夾角是__________．【答案】【分析】利用得，可求出，從而求出向量和的夾角.【詳解】∵，∴，解得:，所以夾角為．故答案為：【點睛】本題主要考查了向量垂直數(shù)量積為0，向量數(shù)量積的定義，屬于基礎(chǔ)題.13．小明爸爸開車以80km/h的速度沿著正北方向的公路行駛，小明坐在車里向外觀察，在點A處望見電視塔P在北偏東30°方向上，15分鐘后到點B處望見電視塔在北偏東75°方向上，則汽車在點B時與電視塔P的距離是________km.【答案】【分析】先求出，∠PAB，∠APB，再由正弦定理求出.【詳解】由題意得，，∠PAB＝30°，∠APB＝75°－30°＝45°在△ABP中，由正弦定理得所以故答案為：三、雙空題14．樣本容量為10的一組樣本數(shù)據(jù)依次為：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，該組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)是__，第75百分位數(shù)是__．【答案】57【分析】先把樣本數(shù)據(jù)從小到大排列，由，得到該組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)是第5個數(shù)與第6個數(shù)的平均數(shù)；由，得到第75百分位數(shù)第8個數(shù)．【詳解】樣本容量為10的一組樣本數(shù)據(jù)依次為：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，從小到大排列為：0，1，2，3，4，6，6，7，8，9，，該組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)是，，第75百分位數(shù)是7．故答案為：5；7．【點睛】本題考查第50百分位數(shù)和第75百分位數(shù)的求法，考查百分位數(shù)的定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．15．如圖，若正方體的棱長為1，則異面直線AC與所成的角的大小是__________；直線和底面ABCD所成的角的大小是__________．【答案】.【分析】①通過平行關(guān)系，直線與直線所成角即直線與直線所成角，解三角形即可得解；②根據(jù)線面角定義，通過垂直關(guān)系找出線面角即可.【詳解】作圖：連接交于，連接①在正方體中，，易得為等邊三角形，由與平行且相等，則四邊形為平行四邊形，，直線與直線所成角即直線與直線所成角，所以所成角為；②正方體中，平面，所以就是直線和平面所成的角由于，，是等腰直角三角形，所以，所以直線和底面ABCD所成的角的大小.故答案為：①；②.【點睛】此題考查求異面直線所成的角和直線與平面所成角，通過平行線求異面直線夾角，通過垂直關(guān)系根據(jù)定義找出線面角即可求解.四、解答題16．甲、乙兩個人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為和.（1）求2個人都譯出密碼的概率；（2）求2個人都譯不出密碼的概率；（3）求至多1個人都譯出密碼的概率；（4）求至少1個人都譯出密碼的概率.【答案】（1）（2）（3）（4）【分析】（1）利用獨立事件同時發(fā)生的概率乘法公式可求；（2）先求解兩人不能譯出密碼的概率，結(jié)合獨立事件概率乘法公式可求；（3）利用對立事件進行求解，“至多1個人譯出密碼”的對立事件為“2個人都譯出密碼”；（4）利用對立事件進行求解，“至少1個人譯出密碼”的對立事件為“2個人都未譯出密碼”.【詳解】（1）記“甲獨立地譯出密碼”事件，“乙獨立地譯出密碼”為事件，且，為相互獨立事件，且，.2個人都譯出密碼的概率為.（2）2個人都譯不出密碼的概率為.（3）“至多1個人譯出密碼”的對立事件“2個人都譯出密碼”，所以至多1個人譯出密碼的概率為.（4）“至少1個人譯出密碼”的對立事件“2個人都未譯出密碼”，所以至少1個人譯出密碼的概率為.【點睛】解此類問題首先要判斷事件的相互獨立性，然后利用公式求解；若事件與相互獨立，則與，與，與也相互獨立，在條件不變的前提下，利用它們的相互獨立性求不同類型的概率.17．已知向量，，.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）當(dāng)時，與共線，求的值；（Ⅲ）若，且與的夾角為，求.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）由得方程即得解；（Ⅱ）先求出，由題得，解方程即得解.（Ⅲ）先求出，即得.【詳解】解：（Ⅰ）∵，∴.即，∴.（Ⅱ）當(dāng)時，.與共線.所以.（Ⅲ）∵，，∴.∵與的夾角為，∴.∴.∴.【點睛】本題主要考查平面向量垂直的坐標表示，考查向量平行的坐標表示，考查平面向量的數(shù)量積及運算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.18．2020年開始，山東推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還需要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)要求，結(jié)合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3），每科滿分100分，2020年初受疫情影響，全國各地推遲開學(xué)，開展線上教學(xué)．為了了解高一學(xué)生的選科意向，某學(xué)校對學(xué)生所選科目進行線上檢測，下面是100名學(xué)生的物理、化學(xué)、生物三科總分成績，以組距20分成7組：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，畫出頻率分布直方圖如圖所示．（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）由頻率分布直方圖；（i）求物理、化學(xué)、生物三科總分成績的中位數(shù)；（ii）估計這100名學(xué)生的物理、化學(xué)、生物三科總分成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（3）為了進一步了解選科情況，由頻率分布直方圖，在物理、化學(xué)、生物三科總分成績在[220，240）和[260，280）的兩組中，用分層隨機抽樣的方法抽取7名學(xué)生，再從這7名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生進行問卷調(diào)查，求抽取的這2名學(xué)生來自不同組的概率．【答案】（1）；（2）（i）（ii）（3）.【分析】（1）根據(jù)7組頻率和為1列方程可解得結(jié)果；（2）（i）根據(jù)前三組頻率和為，前四組頻率和為可知中位數(shù)在第四組，設(shè)中位數(shù)為，根據(jù)即可解得結(jié)果；（ii）利用各組的頻率乘以各組的中點值，再相加即可得解；（3）根據(jù)分層抽樣可得從成績在[220，240）的組中應(yīng)抽取人，從成績在[260，280）的組中應(yīng)抽取人，再用列舉法以及古典概型的概率公式可得解.【詳解】（1）由，得；（2）（i）因為，，所以中位數(shù)在，設(shè)中位數(shù)為，所以，解得，所以物理、化學(xué)、生物三科總分成績的中位數(shù)為；（ii）這100名學(xué)生的物理、化學(xué)、生物三科總分成績的平均數(shù)為（3）物理、化學(xué)、生物三科總分成績在[220，240）和[260，280）的兩組中的人數(shù)分別為：人，人，根據(jù)分層隨機抽樣可知，從成績在[220，240）的組中應(yīng)抽取人，記為，從成績在[260，280）的組中應(yīng)抽取人，記為，從這7名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生的所有基本事件為：，，共有種，其中這2名學(xué)生來自不同組的共有種，根據(jù)古典概型的概率公式可得所求概率為.【點睛】本題考查了利用直方圖求中位數(shù)、平均數(shù)，考查了利用直方圖求參數(shù)，考查了分層抽樣，考查了古典概型的概率公式，屬于中檔題.19．在△ABC中，acosB＝bsinA．（1）求∠B；（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面積．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進行化簡即可求解tanB，進而可求B；（2）由余弦定理及已知條件可求a，c的值，然后結(jié)合三角形的面積公式可求．【詳解】解：（1）在△ABC中，由正弦定理，因為，所以，因為sinA≠0，所以，所以tanB，因為0＜B＜π，所以，（2）因為b＝2，c＝2a，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得，所以a，c，所以．【點睛】此題考查正、余定理的應(yīng)用，考查三角恒等變換有應(yīng)用，考查三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題20．如圖，在三棱柱中，底面，且為等邊三角形，，D為的中點．（1）求證：直線平面；（2）求證：平面平面；（3）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解；（3）．【分析】（1）連接交于，連接，則點為中點，根據(jù)三角形中位線可得，結(jié)合線面平行的判定定理，得直線面；（2）由面，得，正三角形中，中線，結(jié)合線面垂直