四年級數(shù)學下冊 第2講 認識三角形和四邊形（教師版）（知識梳理+典例分析+舉一反三+階梯訓練）（北師大版）

第2講認識三角形和四邊形知識點一：圖形分類知識點二：四邊形和三角形的性質1.三角形具有穩(wěn)定性，四邊形具有不穩(wěn)定性。2.加固物體時，可以利用三角形的穩(wěn)定性。知識點三：三角形分類1.根據(jù)角的特征，三角形可以分為直角三角形、鈍角三角形和銳角三角形。2.根據(jù)邊的特征，三角形可以分為不等邊三角形和等腰三角形。3.等腰三角形是兩條邊相等的三角形，等邊三角形是三條邊都相等的三角形，所以可以說所有的等邊三角形都是等腰三角形，但不能說所有的等腰三角形都是等邊三角形。知識點四：三角形內(nèi)角和1.所有三角形的內(nèi)角和都是180°。每個三角形的所有內(nèi)角都能拼成一個平角。2.已知三角形兩個角的度數(shù)可以求出另外一個角的度數(shù)，進而確定三角形的形狀。3.已知三角形中一個角的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，可以求出另外兩個角的度數(shù)和，并根據(jù)每個角的大小來判斷這個三角形可能是什么三角形。知識點五：三角形三邊的關系1.三角形邊的關系：三角形任意兩邊之和大于第三邊。2.判斷三條線段能否圍成三角形最簡捷的方法：只要把較短的兩條線段的和與最長的線段進行比較即可。知識點六：四邊形的分類1.四邊形的分類：平行四邊形、梯形和一般的四邊形。2.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。只有一組對邊平行的四邊形是梯形。3.正方形、長方形都是特殊的平行四邊形；正方形是特殊的長方形?？键c1：三角形和四邊形的性質【例1】（2019春?秦皇島期末）下面圖形是用木條釘成的支架，其中最不容易變形的是A． B． C．【思路分析】不容易變形，是三角形的特性，由此找出圖形中含有三角形的即可．【規(guī)范解答】解：根據(jù)三角形的特性：三角形具有穩(wěn)定性；故選：．【名師點評】此題主要考查三角形的穩(wěn)定性在實際問題中的運用．1．（2019春?郾城區(qū)期末）自行車利用了三角形的，伸縮門是利用了平行四邊形的．【思路分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性和平行四邊形的易變性進行解答即可．【規(guī)范解答】解：自行車利用了三角形的穩(wěn)定性，自動伸縮門是利用了平行四邊形的易變性；故答案為：穩(wěn)定性，易變性．【名師點評】解答此題的關鍵：應明確三角形的穩(wěn)定性和平行四邊形的易變性．2．（2019春?新華區(qū)期末）升降機可以上下活動是利用了平行四邊形的易變性；籃球架中的三角形，是利用了三角形的．【思路分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性和平行四邊形的易變形（不穩(wěn)定性）進行解答．【規(guī)范解答】解：升降機可以上下活動是利用了平行四邊形的易變性；籃球架中的三角形，是利用了三角形的穩(wěn)定性．故答案為：易變性，穩(wěn)定性．【名師點評】靈活掌握三角形和平行四邊形的特性，是解答此題的關鍵．3．（2019秋?文登區(qū)期末）教室的門牌歪了，請根據(jù)三角形的有關知識設計一種加固方案畫在圖二中．【思路分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，可在框架里加根木條，構成三角形的形狀．【規(guī)范解答】解：利用三角形具有穩(wěn)定性的特點，設計如下：【名師點評】題考查三角形的穩(wěn)定性在實際生活中的應用問題考點2：三角形的分類【例2】（2019春?越秀區(qū)期末）甲、乙、丙、丁四個三角形都分別知道其中兩個角的度數(shù)：甲：、乙：、丙：、?。?、根據(jù)上面的信息可以知道：是銳角三角形，是直角三角形，是鈍角三角形；是等腰三角形，是等邊三角形．【思路分析】三角形的兩個內(nèi)角的度數(shù)已知，依據(jù)三角形的內(nèi)角和是，即可求出第三個內(nèi)角的度數(shù)，從而可以判定這個三角形的類別．【規(guī)范解答】解：甲中第三個角：，甲是銳角三角形，也是等腰三角形；乙中第三個角：，乙是銳角三角形，也是等邊三角形；丙中第三個角：，丙是鈍角三角形；丁中第三個角：，丁是直角三角形；由此可知：甲、乙是銳角三角形，丁是直角三角形，丙是鈍角三角形；甲是等腰三角形，乙是等邊三角形；故答案為：甲、乙，丁，丙，甲，乙．【名師點評】規(guī)范解答此題的主要依據(jù)是：三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的分類方法．1.（2019春?沙河口區(qū)期末）下列各圖表示的關系正確的個數(shù)有A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【思路分析】根據(jù)三角形按角可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形；按邊可以分為：不等腰三角形和等腰三角形，其中等邊三角形屬于等腰三角形；四邊形可以分為一般四邊形和長方形，其中正方形是長方形的一種特殊情況；由此規(guī)范解答即可．【規(guī)范解答】解：下列各圖表示的關系正確的個數(shù)有0個；故選：．【名師點評】靈活掌握三角形的分類、四邊形的分類，是規(guī)范解答此題的關鍵．2．把表格補充完整．分類按邊分類按角分類名稱等邊三角形等腰三角形不等邊三角形銳角三角形鈍角三角形直角三角形圖形序號特點三條邊相等條邊相等條邊都不相等個銳角個鈍角個銳角個直角個銳角【思路分析】三角形按邊分類，可分為：等邊三角形（三條邊都相等的三角形）、等腰三角形（有兩條邊相等的三角形）、不等邊三角形（三條邊都不相等的三角形）；三角形按角分類，可分為：銳角三角形（三個角都是銳角的三角形）、直角三角形（有一個角是直角的三角形）、鈍角三角形（有一個角是鈍角的三角形）．據(jù)此即可把這些三角形進行分類、填表．【規(guī)范解答】解：分類按邊分類按角分類名稱等邊三角形等腰三角形不等邊三角形銳角三角形鈍角三角形直角三角形圖形序號⑥、⑦②、③、⑤①、④、⑧、⑨、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨①、②、③、④特點三條邊相等兩條邊相等三條邊都不相等三個銳角一個鈍角兩個銳角一個直角兩個銳角【名師點評】此題是考查三角形的分類、及特征．3．（2019春?肇州縣校級期末）分一分，將正確答案的序號填在括號內(nèi)．【思路分析】根據(jù)三角形按照角的大小分類情況，三角形按照角的大小分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形．三個角都是銳角的三角形叫做銳角三角形；有一個角等于的三角形叫做直角三角形；有一個角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形；據(jù)此進行判斷即可．【規(guī)范解答】解：銳角三角形：①④⑦直角三角形：②⑧鈍角三角形：③⑤⑥故答案為：【名師點評】此題考查的目的是理解掌握三角形按照角的大小分類的情況及應用，要熟悉各類三角形的判定條件．考點3：三角形的內(nèi)角和【例3】求下面未知角的度數(shù)．【思路分析】（1）三角形的內(nèi)角和是，求出的度數(shù)，再根據(jù)平角的定義，的角叫做平角．用減去的度數(shù)就是的度數(shù)，據(jù)此列式規(guī)范解答．（2）如圖：首先根據(jù)平均的定義求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和是，那么，據(jù)此規(guī)范解答．【規(guī)范解答】解：（1）如圖：答：的度數(shù)是．（2）如圖：答：的度數(shù)是．【名師點評】此題考查的目的是理解掌握三角形內(nèi)角和的意義、平角的定義及應用．1．（2019春?韶關期末）算一算．和的度數(shù)各是多少？【思路分析】（1）在直角三角形中，兩個銳角的度數(shù)和是，所以用減去即得的度數(shù)；（2）由圖可知，與跟它相鄰的角組成一個平角，是，而在右邊的三角形中，與相鄰的角，所以；據(jù)此規(guī)范解答．【規(guī)范解答】解：（1）（2）．【名師點評】此題考查了三角形的內(nèi)角和是的運用．2．在一個三角形中，三個內(nèi)角分別為、和，其中與的度數(shù)和比大，求的度數(shù)．【思路分析】三角形的內(nèi)角和是，在一個三角形中，三個內(nèi)角分別為、和，其中與的度數(shù)和比大，用再除以2即可求出的度數(shù)，據(jù)此列式規(guī)范解答．【規(guī)范解答】解：答：的度數(shù)是．【名師點評】此題考查的目的是理解掌握三角形的內(nèi)角和，并且能夠根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出三角形中任意一個未知角的度數(shù)．3．一個等腰三角形頂角度數(shù)比一個底角多，求它的頂角和一個底角各多少度？【思路分析】等腰三角形的兩個底角相等，設三角形的底角是度，則三角形的頂角是度．根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180度．列方程規(guī)范解答即可．【規(guī)范解答】解：設三角形的底角是度，（度答：這個三角形的頂角是126度，底角是27度．【名師點評】規(guī)范解答本題的關鍵是根據(jù)等腰三角形的兩個底角相等，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和是規(guī)范解答即可．考點4：三角形的三邊的關系【例4】（2019?云巖區(qū)）有五根木條，它們的長度分別是1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米，從它們當中選出3根木條圍成一個三角形，一共可以圍成多少種不同的三角形？請列舉出來．【思路分析】根據(jù)三角形邊的特征，在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，由此規(guī)范解答．【規(guī)范解答】解：根據(jù)思路分析知，共有以下情況，①2厘米，3厘米，4厘米；②3厘米，4厘米，5厘米；③2厘米，4厘米，5厘米；答：一共可以拼成3個不同的三角形，分別為2厘米，3厘米，4厘米；3厘米，4厘米，5厘米；2厘米，4厘米，5厘米．【名師點評】此題主要根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊解決問題．1．（2019春?江寧區(qū)期末）如圖，在池塘的一側選取一個點，測得米，米．那么、兩點之間的距離可能是A．7米 B．15米 C．23米 D．8米【思路分析】連接，根據(jù)三角形的性質，在三角形中，任意兩邊之和等于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．據(jù)此規(guī)范解答即可．【規(guī)范解答】解：如圖：連接，（米，23米米，答：、兩點之間的距離可能是15米．故選：．【名師點評】此題規(guī)范解答關鍵是明確：在三角形中，任意兩邊之和等于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．2．（2019秋?靖州縣期末）下面各組線段不能圍成三角形的是A．、和 B．、和 C．、和【思路分析】根據(jù)三角形的三邊關系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進行思路分析．【規(guī)范解答】解：、，能夠組成三角形；、，不能夠組成三角形；、，能組成三角形．故選：．【名師點評】此題考查了三角形的特性中的三角形的三邊關系．判斷能否組成三角形的簡便方法是看較小的兩個數(shù)的和是否大于第三個數(shù)．3．（2019春?法庫縣期末）下面組數(shù)字的長度可以圍成等腰三角形．A．、、 B．、、 C．、、 D．、、【思路分析】根據(jù)三角形的特性：兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊的差一定小于第三邊；進行規(guī)范解答即可．【規(guī)范解答】解：、，不能圍成三角形；、因為，所以能組成三角形，又因為兩條邊都是2厘米，所以能圍成等腰三角形；、因為，所以不能圍成三角形；、因為，所以能圍成三角形，但不是等腰三角形；故選：．【名師點評】規(guī)范解答此題的關鍵是根據(jù)三角形的特性進行思路分析、規(guī)范解答即可．考點5：等腰和等邊三角形【例5】一個等腰三角形的周長是20厘米，腰長是8.48厘米，頂角是．（1）這個等腰三角形的底邊長是多少？（2）這個等腰三角形的底角是多少度？【思路分析】（1）根據(jù)等腰三角形的周長腰長底長，用這個等腰三角形的周長減去腰長的2倍，求出底長是多少厘米即可．（2）因為三角形的內(nèi)角和是180度，已知一個頂角，用“”求出兩個底角度數(shù)的和，然后除以2規(guī)范解答即可．【規(guī)范解答】解：（1）（厘米）答：底長是3.04厘米．（2）（度答：底角是68度．【名師點評】此題主要考查了三角形的周長的求法，應明確三角形的內(nèi)角和是180度，知道等腰三角形的兩個底角相等．1．（2019秋?青龍縣期末）小明家有一塊等腰三角形形狀的菜地，菜地兩條邊的長度分別是15米和30米．小明想用籬笆把菜地圈起來，籬笆長最少多少米？【思路分析】三角形的任意兩邊之和大于第三邊，據(jù)此確定這個的腰是多少米，再求它的周長即可．【規(guī)范解答】解：（米，兩邊之和等于第三邊不合題意，所以這個等腰三角形的腰是30米（米答：籬笆的長最少是75米．【名師點評】本題的重點是確定這個等腰三角形的腰是多少，再進行規(guī)范解答．2．（2019春?成武縣期末）用一根鐵絲圍成了一個邊長9厘米的正方形．現(xiàn)在把它改圍成一個等邊三角形，算一算，若圍成等邊三角形，邊長應該是多少厘米？【思路分析】根據(jù)正方形的周長公式，求出正方形的周長，即鐵絲的長度，再除以3就是等邊三角形的邊長．【規(guī)范解答】解：（厘米），答：等邊三角形的邊長是12厘米．【名師點評】關鍵是根據(jù)正方形的周長公式及等邊三角形的性質解決問題．3．（2019春?簡陽市期中）如圖中，三角形，三角形都是等腰三角形．已知，，，，各是多少度？【思路分析】等腰三角形的兩個底角相等，在三角形中，用180度減去2個70度，即可求出的度數(shù)；同理，用180度減去2個50度就是的度數(shù)，在三角形中，用180度減去和、的度數(shù)就是的度數(shù)，最后用的度數(shù)減去和的度數(shù)就是的度數(shù)．【規(guī)范解答】解：答：是20度，是40度，是20度．【名師點評】本題主要考查三角形的內(nèi)角和是180度以及等腰三角形的性質．考點6：四邊形的分類【例6】（2019秋?陸良縣期末）①長方形②正方形③平行四邊形④梯形（1）它是一個只有一組對邊平行的四邊形．（2）它是一個兩組對邊平行，沒有直角的四邊形．（3）它是一個四條邊都相等，并且四個角都是直角的四邊形．（4）它是一個兩組對邊分別平行，并且有四個角是直角的四邊形．．【思路分析】四條邊都相等，并且四個角都是直角的四邊形是正方形；只有一組對邊平行的四邊形是梯形；兩組對邊平行，沒有直角的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別平行，并且有四個角是直角的四邊形是長方形，據(jù)此解答即可．【規(guī)范解答】解：①長方形②正方形③平行四邊形④梯形（1）它是一個只有一組對邊平行的四邊形．（④）（2）它是一個兩組對邊平行，沒有直角的四邊形．（③）（3）它是一個四條邊都相等，并且四個角都是直角的四邊形．（②）（4）它是一個兩組對邊分別平行，并且有四個角是直角的問題．（①）．故答案為：④、③、②、①．【名師點評】此題主要考查長方形、正方形、平行四邊形和梯形的概念及特征．1．（2019春?錦江區(qū)期末）下面說法中錯誤的是A．有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形 B．有直角，兩組對邊分別平行的四邊形是正方形 C．正方形和長方形都是特殊的平行四邊形 D．只有一組對邊平行的四邊形是梯形【思路分析】對各個選項進行分析，找出錯誤的即可．【規(guī)范解答】解：：有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；說法正確；：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，如果有一個角是直角，那么剩下的三個角都是直角，那么這個四邊形是長方形，不一定是正方形，本選項錯誤；：正方形和長方形的兩組分別對邊平行，符合平行四邊形的特征，所以正方形和長方形都屬于特殊的平行四邊形；：只有一組對邊平行的四邊形是梯形，說法正確．故選：．【名師點評】本題考查了四邊形的分類和認識，熟記各種四邊形的定義和特征是關鍵．2．（2019秋?桃園縣校級期中）四邊形有4條邊，個角，正方形、長方形、平行四邊形都是特殊邊形．【思路分析】由四條線段依次首尾相接圍成的封閉圖形是四邊形，正方形：長方形四邊相等；長方形：平行四邊形四個直角；平行四邊形：對邊平行（對邊相等）；梯形：有一對邊平行；所以，它們都是特殊的四邊形；由此解答即可．【規(guī)范解答】解：四邊形有4條邊，4個角，正方形、長方形、平行四邊形都是特殊四邊形故答案為：4，4，四．【名師點評】本題根據(jù)四邊形的意義和特點進行求解．3．（2019秋?西山區(qū)期末）把符合要求的四邊形的序號填入橫線里．①長方形②正方形③平行四邊形④梯形（1）只有一組對邊平行．④（2）四條邊相等，四個角都是直角．（3）兩組對邊分別平行，沒有直角．【思路分析】長方形的特征：兩組對邊分別平行且相等，四個角都是直角；正方形的特征：四條邊都相等，四個角都是直角；平行四邊形的特征：兩組對邊分別平行；梯形的特征：只有一組對邊平行，據(jù)此解答．【規(guī)范解答】解：（1）只有一組對邊平行．是梯形．（2）四條邊相等，四個角都是直角．是正方形．（3）兩組對邊分別平行，沒有直角．是平行四邊形．故答案為：④，②，③．【名師點評】此題考查了正方形、長方形、平行四邊形和梯形的定義．考點7：畫指定要求的三角形、平行四邊形或梯形【例7】（2019春?法庫縣期末）在點子圖上按要求畫圖形．【思路分析】在三角形中，其中有一個角為鈍角的三角形為鈍角三角形；三個角都為銳角的三角形為銳角三角形；其中兩條邊都相等的三角形為等腰三角形；兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形；只有一組對邊平行的四邊形叫梯形，根據(jù)他們的意義畫圖即可．【規(guī)范解答】解：【名師點評】此題主要考查了常見的幾種簡單圖形的定義以及畫法．1．（2019春?東西湖區(qū)校級期末）在方格紙上分別畫一個直角三角形、一個鈍角三角形和一個等腰三角形．【思路分析】根據(jù)含義：有一個角是直角的三角形，叫直角三角形；有一個角是鈍角的三角形，叫鈍角三角形；兩個腰相等的三角形，叫等腰三角形；畫出即可．【規(guī)范解答】解：畫圖如下：【名師點評】此題主要考查的是對各個三角形意義和特點的理解，應靈活運用．2．（2019春?玉林期末）畫出一個銳角三角形、一個直角三角形和一個鈍角三角形，并分別畫出它們的一條高．【思路分析】（1）根據(jù)三角形的分類：三個角都是銳角的三角形，叫銳角三角形；有一個角是直角的三角形，叫直角三角形；有一個角是鈍角的三角形，叫鈍角三角形；畫出三角形即可．（2）從三角形的一個頂點向它的對邊作垂線，頂點和垂足之間的線段叫作三角形的高，即從與底邊對應的頂點作底邊的垂線即可．【規(guī)范解答】解：【名師點評】此題考查了三角形的分類以及畫三角形的高的方法，關鍵是理解三角形的分類方法及高的含義，注意畫高用虛線而且要標上垂直符號．3．按要求畫圖形．（每個方格邊長表示1厘米）（1）畫一個腰長3厘米的等腰直角三角形．（2）畫一個底是5厘米、高3厘米的平行四邊形．（3）畫一個上底是6厘米、下底和高都是4厘米的梯形．【思路分析】根據(jù)等腰直角三角形是兩直角邊相等頂角，底角；兩組對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形平行四邊形；一組對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形梯形，然后根據(jù)已知條件作圖即可．【規(guī)范解答】解：【名師點評】本題主要考查等腰直角三角形、平行四邊形和梯形的畫法．考點8：圖形的分割及剪拼【例7】（2019春?納雍縣月考）按要求在每個圖形中畫一條線段．【思路分析】（1）在鈍角上面取一個直角，再與對邊連接；（2）過梯形的上底的一個頂點，畫出一條腰的平行線，則即可把梯形分成一個平行四邊形和三角形．（3）連接平行四邊形的兩個銳角的頂點即可；（4）要分成兩個完全一樣的梯形，因在平行四邊形中它們的高相等，只要作它們的上、下底相等即可，在長的三分之一處連線即可．【規(guī)范解答】解：如圖：【名師點評】規(guī)范解答此題的關鍵是根據(jù)平行四邊形、鈍角三角形、以及已知圖形的特征進行規(guī)范解答．1．（2019春?惠東縣校級月考）按要求在每個圖中畫一條線段．【思路分析】有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形；有一個角是直角的三角形是直角三角形；三個角都是銳角的三角形是銳角三角形；據(jù)此規(guī)范解答即可．【規(guī)范解答】解：【名師點評】規(guī)范解答此題的關鍵應明確三角形的分類，注意平時基礎知識的積累．2．（2019春?旅順口區(qū)期末）在下面方格圖上按要求畫圖．（1）分別畫一個梯形、一個直角三角形和一個平行四邊形．（2）在畫好的平行四邊形中畫一條線段，使它變成一個三角形和一個梯形．（3）在畫好的梯形中畫一條線段，使它變成一個三角形和一個平行四邊形．（4）在畫好的直角三角形中畫一條線段，使它變成兩個直角三角形．【思路分析】（1）分別按畫梯形、直角三角形和平行四邊形的作圖方法去畫圖即可．（2）在平行四邊形中經(jīng)過一個頂點，和它對邊上的除頂點外的任意一點畫一條線段，就能使它變成一個三角形和一個梯形．（3）在梯形中經(jīng)過上底的一個頂點，畫一條與另一條腰平行的且與下底相交的線段，就能使它變成一個三角形和一個平行四邊形．（4）在直角三角形中畫一條垂直于斜邊的高，就可使它變成兩個直角三角形．【規(guī)范解答】解：根據(jù)思路分析畫圖如下：【名師點評】本題考查了基本的作圖能力和圖形的簡單的拆拼（切拼），要注意作圖一定要規(guī)范，比如畫垂直要加直角符號．3．（2019秋?保定期末）在下面的梯形中畫一條與梯形的任意一條邊平行的線段，把梯形分成下面要求的圖形．【思路分析】（1）從上底找出任意一個非頂點的點，做一條腰的平行線，即可把梯形分成一個平行四邊形和一個梯形；（2）從上底的一個頂點，做和它不相鄰的腰的平行線，即可把梯形分成一個三角形和一個平行四邊形；（3）從一條腰上的任意一個非頂點的點，做底的平行線，即可把梯形分成兩個梯形．【規(guī)范解答】解：作圖如下：【名師點評】解決本題關鍵是熟知梯形的特點，以及平行線的畫法．考點9：計數(shù)問題【例8】（2019春?岑溪市期中）如圖所示，圖中有個三角形，個平行四邊形，個梯形．【思路分析】按照一定的順序分類計算：（1）三角形：單獨1個三角形有1個，由2個圖形拼成的三角形有1個；所以一共有2個；（2）平行四邊形：單獨1個平行四邊形有2個，由2個四邊形拼成的平行四邊形有1個；所以一共有3個；（3）梯形：由1個四邊形拼成的梯形有1個，由1個平行四邊形和1個梯形拼成的梯形有1個，由1個平行四邊形和三角形拼成的梯形有1個，由1個三角形1個梯形和兩個平行四邊形組成的梯形有1個；所以一共有4個；由此規(guī)范解答．【規(guī)范解答】解：三角形有（個；平行四邊形有（個；梯形有（個．答：圖中有2個三角形，3個平行四邊形，4個梯形．故答案為：2；3；4．【名師點評】此題主要考查計數(shù)方法的應用，養(yǎng)成按照一定順序觀察思考問題的習慣，逐步學會通過觀察思考探尋事物規(guī)律的能力．1．（2019春?利辛縣校級月考）一共有個三角形．【思路分析】根據(jù)三角形的定義，線段所截的三角形由個，線段所截的三角形有個，所以圖中有個三角形．【規(guī)范解答】解：線段所截的三角形由個，線段所截的三角形有個，所以共有個三角形．答：一共有20個三角形．故答案為：20．【名師點評】本題圖形中，若線段上如果有個點，那么構成的三角形就有個．2．（2019秋?環(huán)江縣期末）如圖中有9個平行四邊形，有個梯形．【思路分析】按照一定的順序分類計算：（1）平行四邊形：由單獨1個平行四邊形有4個，由2個四邊形拼成的平行四邊形有4個，由4個四邊形拼成的平行四邊形有1個；相加即可求解；（2）梯形：由3個圖形拼成的梯形有1個，由5個圖形拼成的梯形有1個；相加即可求解．【規(guī)范解答】解：平行四邊形有（個梯形有（個答：如圖中有9個平行四邊形，有2個梯形．故答案為：9；2．【名師點評】此題主要考查計數(shù)方法的應用，養(yǎng)成按照一定順序觀察思考問題的習慣，逐步學會通過觀察思考探尋事物規(guī)律的能力．3．（2019春?普寧市校級期中）在如圖中有個梯形，個平行四邊形，個三角形．【思路分析】按照一定的順序分類計算：（1）梯形：最左邊的一條線段圍成的有梯形有3個，第2條線段圍成的有梯形有2個，第3條線段圍成的有梯形有1個，第4條線段圍成的有梯形有1個；相加即可求解；（2）平行四邊形：1個；（3）三角形：單獨1個三角形有4個，由2個圖形拼成的三角形有1個；相加即可求解；由此規(guī)范解答．【規(guī)范解答】解：梯形有（個平行四邊形有1個三角形有（個答：圖中有7個梯形，1個平行四邊形，5個三角形．故答案為：7；1；5．【名師點評】此題主要考查計數(shù)方法的應用，養(yǎng)成按照一定順序觀察思考問題的習慣，逐步學會通過觀察思考探尋事物規(guī)律的能力．1．（2019春?新華區(qū)期末）升降機可以上下活動是利用了平行四邊形的；籃球架中的三角形，是利用了三角形的．【思路分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性和平行四邊形的易變形（不穩(wěn)定性）進行解答．【規(guī)范解答】解：升降機可以上下活動是利用了平行四邊形的易變性；籃球架中的三角形，是利用了三角形的穩(wěn)定性．故答案為：易變性，穩(wěn)定性．【名師點評】靈活掌握三角形和平行四邊形的特性，是解答此題的關鍵．2．（2019?蕪湖模擬）一個三角形的一條邊是5厘米，一條邊是8厘米，它的第三條邊的長度一定大于3厘米，而小于厘米．【思路分析】根據(jù)三角形的特性：任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊的差一定小于第三邊；進行解答即可．【規(guī)范解答】解：第三條邊所以第三條邊；故答案為：3，13．【名師點評】此題是考查三角形的特性，應靈活掌握和運用．3．（2019春?湖北期末）三個角都是的三角形，既是等邊三角形，又是三角形．【思路分析】三個角都是，那么它是等邊三角形，因為三個角都是銳角，所以又是銳角三角形；據(jù)此解答即可．【規(guī)范解答】解：三個角都是的三角形，既是等邊三角形，又是銳角三角形；故答案為：等邊，銳角．【名師點評】此題考查了等邊三角形的含義及銳角三角形的含義，注意知識的靈活運用．4．（2010?沁水縣校級模擬）一個等腰三角形，其中的兩條邊的長度是和，則它的周長是12．【思路分析】因為，根據(jù)三角形的特性：兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊的差一定小于第三邊；可以得出：該等腰三角形的三條邊分別為5厘米、5厘米、2厘米；進而根據(jù)周長的含義：圍成平面圖形一周的長，叫做平面圖形的周長；進行解答即可．【規(guī)范解答】解：根據(jù)分析可知：該等腰三角形的三條邊分別為5厘米、5厘米、2厘米，（厘米）；答：它的周長是．故答案為：12．【名師點評】解答此題的關鍵：先根據(jù)三角形的特性，判斷出該等腰三角形的三條邊的長度，進而根據(jù)三角形的周長計算方法進行解答即可．5．（2019秋?靈山縣期末）如果一個三角形最大角是，它是一個銳角三角形，如果最大角是，它是一個三角形；如果最大角是，它是一個三角形．【思路分析】根據(jù)銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形的概念：有一個角是銳角三角形是銳角三角形；有一個角是鈍角三角形是鈍角三角形；有一個角是直角三角形是直角三角形，據(jù)此解答即可．【規(guī)范解答】解：一個三角形中，如果最大角是，那么它是一個銳角三角形；如果最大角是，那么它是一個鈍角三角形；如果最大角是，那么它是一個直角三角形；故答案為：銳角，鈍角，直角．【名師點評】此題主要考查直角三角形和銳角、鈍角三角形的概念及其分類方法．6．（2019春?陳倉區(qū)期末）在三角形三個內(nèi)角中，，那么這個三角形一定是直角三角形．【思路分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和為結合已知，可求，即可判斷三角形的形狀．【規(guī)范解答】解：因為，所以，所以這個三角形是直角三角形．故答案為：直角．【名師點評】此題考查了三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的分類，三角形按角分類有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形．7．（2019秋?昆明期末）把符合要求的圖形序號填在橫線里．（1）兩組對邊分別平行，有四個直角．（2）只有一組對邊平行．（3）兩組對邊分別平行．、長方形、平行四邊形、梯形【思路分析】根據(jù)正方形、長方形、平行四邊形和梯形的定義進行分類即可．【規(guī)范解答】解：（1）兩組對邊分別平行，有四個直角．是長方形．（2）只有一組對邊平行．是梯形．（3）兩組對邊分別平行．是平行四邊形．故答案為：（1）（2）（3）．【名師點評】此題考查了正方形、長方形、平行四邊形和梯形的定義．8．（2019春?安徽校級期中）一個等腰三角形的一個底角的度數(shù)是頂角的2倍，這個三角形的頂角是36，底角是．【思路分析】設出頂角的度數(shù)，然后表示出底角，列方程求解即可．【規(guī)范解答】解：設頂角為度，則底角為度，則：，，所以底角為：；故答案為：36，72．【名師點評】本題主要考查了等腰三角形的性質，解題的關鍵是正確的列方程，比較簡單．9．（2019春?龍海市期末）用一根長20厘米的鐵絲圍一個等腰三角形，其中一條邊長6厘米，另外兩條邊的長應是厘米和厘米，或是厘米和厘米．【思路分析】因為等腰三角形的兩條腰是相等的，而當6厘米是等腰三角形的腰時，此時底邊是厘米，而當?shù)走吺?厘米時，此時腰是厘米，據(jù)此解答．【規(guī)范解答】解：（1）當6厘米是等腰三角形的腰時，底邊是：（厘米），（2）當?shù)走吺?厘米時，腰是：（厘米）所以另外兩條邊的長應是6厘米和8厘米，或是7厘米和7厘米．故答案為：6，8；7，7．【名師點評】本題主要是利用等腰三角形的特點：兩條腰相等進行解答．10．（2019秋?陽山縣期末）數(shù)一數(shù)．【思路分析】（1）由圖可知：有4個小三角形，每兩個小三角形又可以組成3個三角形，每3個三角形又組成2個三角形，每4個小三角形可以組成1個三角形；相加即可求解；（2）有3個小平行四邊形，每2個平行四邊形可以組成2個平行四邊形，每3個平行四邊形又組成1個平行四邊形，相加即可得解．【規(guī)范解答】解：（1）（個共有10個三角形．（2）（個共有6個平行四邊形．故答案為：10，6．【名師點評】三角形、平行四邊形底邊上如果有個點，那么構成的三角形、平行四邊形就有個三角形、平行四邊形．11．（2019春?丹陽市校級期末）在等腰三角形中，當?shù)捉鞘堑臅r候，那么它的頂角是度，按角來分它屬于三角形；一個三角形，它的頂角是底角的2倍，頂角是度，底角是度，按角來分類它屬于三角形．【思路分析】（1）因為等腰三角形的兩個底角的度數(shù)相等，以及三角形的內(nèi)角和是，從而可以求出這個三角形的頂角的度數(shù)，進而確定其類別；（2）一個三角形，它的頂角是底角的2倍，依據(jù)三角形的內(nèi)角和是，求出最大角的度數(shù)，進而確定其類別．【規(guī)范解答】解：（1），的角是鈍角，所以這個三角形是鈍角三角形；（2）設這個三角形的底角的度數(shù)為，則頂角：，的角是直角，所以這個三角形是直角三角形；故答案為：130，鈍角，90，45，直角．【名師點評】規(guī)范解答此題的主要依據(jù)是：等腰三角形的特征以及三角形的內(nèi)角和定理．12．（2019春?盧龍縣期末）如圖中等腰三角形的頂角是56度．【思路分析】根據(jù)平角是，用，然后根據(jù)等腰三角形的兩個底角相等及三角形的內(nèi)角和是180度，用180度減去兩個底角的度數(shù)和就是頂角的度數(shù)．【規(guī)范解答】解：答：圖中等腰三角形的頂角是56度；故答案為：56．【名師點評】此題主要考查了等腰三角形的特征和三角形的內(nèi)角是180度．13．（2019春?聊城期中）一個等腰三角形，它一個角的度數(shù)是．它的另兩個角的度數(shù)是多少？【思路分析】根據(jù)等腰三角形的特征：可能是一個底角，也可能是頂角，根據(jù)內(nèi)角和，分兩種情況解決問題．【規(guī)范解答】解：當是一個底角時：頂角為：答：它的另兩個角的度數(shù)分別是，．當是一個頂角時，底角：答：它的另兩個角的度數(shù)分別是，．【名師點評】根據(jù)等腰三角形底角相等和三角形的內(nèi)角和是分兩種情況解決問題．14．（2019秋?綿陽期末）畫出下列圖形的高．【思路分析】在平行四邊形中，從一條邊上的任意一點向對邊作垂線，這點與垂足間的距離叫做以這條邊為底的平行四邊形的高，平行四邊形有無數(shù)條高，習慣上作平行四邊形的高時都從一個頂點出發(fā)作一邊的垂線，用三角板的直角可以畫出平行四形的高；梯形兩底間的距離叫做梯形的高，梯形也有無數(shù)條高，通常過上底的一個頂點作下底的垂線用三角板的直角可以畫出梯形的一條高．【規(guī)范解答】解：作梯形、平行四邊形的高如下：【名師點評】本題是考查作平行四邊形、梯形的高．注意作高用虛線，并標出垂足．15．（2019秋?惠來縣校級月考）在方格紙上分別畫一個銳角三角形、一個鈍角三角形、一個平行四邊形和一個梯形．【思路分析】根據(jù)角的概念：三個角都是銳角的三角形，叫做銳角三角形；有一個角是鈍角的三角形，是鈍角三角形；進而畫出即可．根據(jù)平行四邊形和梯形的意義即可畫出一個平行四邊形和一個梯形．【規(guī)范解答】解：由思路分析畫圖如下：【名師點評】此題考查了三角形的分類以及平行四邊形和梯形的特征．16．（2019秋?江岸區(qū)期末）按要求在下面圖形中畫一條線段：（1）分成兩個梯形．（2）分成一個平行四邊形和一個梯形．【思路分析】（1）要分成兩個梯形，只要滿足它們的上、下底平行即可，在平行四邊形的上下兩邊的任意連線即可．（2）把梯形分成一個平行四邊形和一個梯形，因平行四邊形的兩組對邊都平行，梯形的一組對邊平行，所以要分成一個平行四邊形和一個梯形，就要用原來梯形一組平行的邊，作為平行四邊形的一組對邊，再過梯形的上底（非頂點）作另一個腰的平行線，既可得到一個平行四邊形和一個梯形．【規(guī)范解答】解：（1）答案如圖，（2）答案如圖，【名師點評】本題主要考查了學生根據(jù)平行四邊形、梯形的定義來對圖形進行分割的能力．17．（2019秋?沙坪壩區(qū)期末）按要求在下面圖形中畫一條線段．（1）分割成一個三角形和一個平行四邊形．（2）分割成一個三角形和一個等腰梯形．【思路分析】（1）經(jīng)過梯形的上底的一個頂點，畫一條腰的平行線，即可把這個圖形分成一個平行四邊形和三角形；（2）以平行四邊形的一個頂點為圓心，以平行四邊形較短邊長為半徑畫弧，則弧線與平行四邊形的長邊有一個交點，連接這個頂點和交點，即可得出一個三角形和一個等腰梯形．【規(guī)范解答】解：根據(jù)題干思路分析畫圖如下：【名師點評】本題主要考查了學生根據(jù)平行四邊形、梯形的定義來對圖形進行分割的能力．18．在圖中按要求畫一條線段，得到相應的圖形．【思路分析】（1）把梯形分成一個平行四邊形和一個梯形，因平行四邊形的兩組對邊都平行，梯形的一組對邊平行，所以要分成一個平行四邊形和一個梯形，就要用原來梯形一組平行的邊，作為平行四邊形的一組對邊，再過梯形的上底（非頂點）作另一個腰的平行線，既可得到一個平行四邊形和一個梯形；（2）因平行四邊形的對邊相等，只要在平行四邊形的一條邊上，從一個頂點量出一條線段，再在它的對邊和它相對的頂點的另一個頂點量出同長的線段，然后邊接這兩個點即可；（3）過平行四邊形的一個頂點，與它不相鄰的一條邊上的一點（頂點除外）連接起來，即可把這個平行四邊形分成一個三角形和一個梯形；（4）有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形；有一個角是直角的三角形是直角三角形；三個角都是銳角的三角形是銳角三角形；據(jù)此規(guī)范解答即可．【規(guī)范解答】解：根據(jù)題干思路分析畫圖如下：【名師點評】本題主要考查了學生根據(jù)平行四邊形、梯形、三角形的定義來對圖形進行分割的能力．19．如圖，按要求在格點圖中畫圖：（1）畫一個底和高都是4厘米的平行四邊形；（2）畫一個上底是2厘米，下底是6厘米，高是3厘米的等腰梯形．【思路分析】（1）根據(jù)平行四邊形的特征：平行四邊形的對邊平行且相等，進行作圖即可；（2）根據(jù)梯形的含義：梯形是指一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形，據(jù)此作圖即可．【規(guī)范解答】解：畫圖如下，【名師點評】此題主要考查的是平行四邊形、梯形的特征或含義的應用．20．（2019秋?羅平縣校級期末）求圖中未知角的度數(shù)．已知、、，求、、【思路分析】用分別減去、和的度數(shù)，即可求出的度數(shù)；用分別減去、的度數(shù)，即可求出的度數(shù)；用分別減去和的度數(shù)，即可求出的度數(shù)．【規(guī)范解答】解：；；．故答案為：、、．【名師點評】此題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，是基礎題型，弄清楚圖中各角之間的關系，是規(guī)范解答本題的關鍵．21．（2019春?伊通縣校級期末）計算的度數(shù)【思路分析】①三角形的內(nèi)角和是180度，已知其中兩個角，求另一個角，用分別減去已知的兩個角即可；②因為平角等于180度，先用“”求出三角形的一個內(nèi)角，進而根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180度，求出的度數(shù)．【規(guī)范解答】解：①；答：是．②答：是．【名師點評】此題應根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180度，進行規(guī)范解答；用到的知識點：平角的含義．22．（2019秋?固始縣期中）一個平行四邊形的一組鄰邊的長分別是20厘米和15厘米，它的周長是多少厘米？【思路分析】根據(jù)平行四邊形的特征，對邊平行且相等，因為長方形是特殊的平行四邊形，所以根據(jù)長方形的周長公式：，把數(shù)據(jù)代入公式規(guī)范解答即可．【規(guī)范解答】解：（厘米）答：它的周長是70厘米．【名師點評】此題考查的目的是掌握平行四邊形的特征及周長的計算方法．23．（2019春?咸安區(qū)期末）在三角形中，，，求，的度數(shù)．【思路分析】因為，，所以利用三角形的內(nèi)角和是，即可求出的度數(shù)，再據(jù)，即可求出的度數(shù)，據(jù)此規(guī)范解答即可．【規(guī)范解答】解：因為，且，所以，又因，所以；答：是，是．【名師點評】此題主要考查三角形的內(nèi)角和定理的靈活應用．24．（2019春?蕭縣校級期末）數(shù)一數(shù)，圖中一共有個三角形，個梯形．【思路分析】（1）根據(jù)數(shù)線段的方法，底在邊上的三角形有個，底在邊上的三角形有個，共有個；（2）單個的梯形有2個，兩部分組成的梯形有1個，共有個．【規(guī)范解答】解：（1）底在邊上的三角形有：（個，底在邊上的三角形有：（個，共有：（個；（2）單個的梯形有2個，兩部分組成的梯形有1個，共有：（個．答：圖中一共有6個三角形，3個梯形．故答案為：6，3．【名師點評】此題主要考查計數(shù)方法的應用，養(yǎng)成按照一定順序觀察思考問題的習慣，逐步學會通過觀察思考探尋事物規(guī)律的能力．25．（2019秋?紅安縣期末）圖中，平行四邊形有3個，梯形有個．【思路分析】按照一定的順序分類計算：（1）平行四邊形：由單獨1個平行四邊形有2個，由2個四邊形拼成的平行四邊形有1個；所以一共有3個；（2）梯形：由1個四邊形拼成的梯形有2個，由2個四邊形拼成的梯形有3個，由4個四邊形拼成的梯形有1個；所以一共有6個；由此規(guī)范解答．【規(guī)范解答】解：平行四邊形有（個；梯形有（個；答：平行四邊形有3個，梯形有6個．故答案為：3；6．【名師點評】此題主要考查計數(shù)方法的應用，養(yǎng)成按照一定順序觀察思考問題的習慣，逐步學會通過觀察思考探尋事物規(guī)律的能力．26．（2019春?臨泉縣校級期末）如圖：個三角形．個梯形．【思路分析】根據(jù)三角形的定義，先數(shù)出有一個小三角形的個數(shù)4個，2個小三角形組成的三角形的個數(shù)3個，3個小三角形組成的三角形的個數(shù)2個，4個小三角形組成的三角形1個，和在一起10個，利用同樣的方法數(shù)出較大的三角形10個，所以三角形個數(shù)20個；根據(jù)梯形的定義，先數(shù)出最小的梯形4個，2個小的梯形組成梯形個數(shù)3個，3個梯形組成的梯形2個，4個梯形組成的梯形1個，共10個梯形，據(jù)此判斷．【規(guī)范解答】解：最小的三角形梯形的個數(shù)：4個，2個小三角形組成的三角形的個數(shù)：3個，3個小三角形組成的三角形的個數(shù)：2個，4個小三角形組成的三角形的個數(shù)：1個，三角形的個數(shù)：個；利用同樣的方法數(shù)出較大的三角形10個，三角形的總個數(shù)：個；小的梯形的個數(shù)：4個，2個小的梯形組成梯形個數(shù)：3個，3個梯形組成的梯形個數(shù)：2個4個梯形組成的梯個數(shù)：1個，一共梯形的個數(shù)：個．故答案為：20、10．【名師點評】此題考查組合圖形的計數(shù)，解決此題的關鍵是根據(jù)定義數(shù)清組合的三角形和梯形．27．求下面未知角的度數(shù)．【思路分析】（1）三角形的內(nèi)角和是，求出的度數(shù)，再根據(jù)平角的定義，的角叫做平角．用減去的度數(shù)就是的度數(shù)，據(jù)此列式規(guī)范解答．（2）如圖：首先根據(jù)平均的定義求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和是，那么，據(jù)此規(guī)范解答．【規(guī)范解答】解：（1）如圖：答：的度數(shù)是．（2）如圖：答：的度數(shù)是．【名師點評】此題考查的目的是理解掌握三角形內(nèi)角和的意義、平角的定義及應用．28．（2019春?南京期末）如圖，正方形中有四個三角形．90，，．【思路分析】根據(jù)正方形的性質：四條邊都相等；四個角都是直角即，可求出；再根據(jù)等邊三角形的性質，三條邊相等，三個角都等于，可求出；再根據(jù)等腰三角形的性質，2個底角相等，用，得出結果再除以2即可求出的度數(shù)，列式即可規(guī)范解答．【規(guī)范解答】解：因為正方形的四個角都是直角，所以，又因為等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，即所以，（度答：等于90度，度30度，等于75度．故答案為：90、30、75．【名師點評】掌握正方形、等邊三角形和等腰三角形的性質是解題的關鍵．29．如圖，已知且，求的度數(shù)．【思路分析】由三角形內(nèi)角和定理可知，直角三角形兩銳角之和是，，，又知，即可求出的度數(shù)，在小直角三形中，，用減的度數(shù)就是的度數(shù)．【規(guī)范解答】解：在直角三角形中，，所以，因為所以在小直角三角形中，所以答：的度數(shù)是．【名師點評】此題是考查三角形內(nèi)