數(shù)學(xué)自主訓(xùn)練：弧度制

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場(chǎng)我夯基我達(dá)標(biāo)1．下列命題中，錯(cuò)誤的是（)A.“度”與“弧度"是度量角的兩種不同的度量單位B.一度的角是周角的,一弧度的角是周角的C.根據(jù)弧度的定義,180°等于π弧度D。不論用角度制還是用弧度制度量角，它們與圓的半徑長(zhǎng)短有關(guān)思路解析：由角和弧度的定義，可知無(wú)論是角度制還是弧度制,角的大小與半徑的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，只與弧長(zhǎng)與半徑的比值有關(guān)。答案:D2．α是第三象限的角，則π+α是（）A。第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角思路解析：結(jié)合圖形，π+α可以看成將α按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)π得到的，則π+α是第一象限的角。答案：A3.如果一扇形的圓心角為72°,半徑等于20cm，則扇形的面積為(）A.40πcm2B。80πcm2C.40cm2思路解析：先把角度化為弧度，然后利用弧度制下的扇形面積公式即可解出。72°=，S=｜α｜r2=××202=80πcm2.答案:B4．若扇形的面積是1cm2，它的周長(zhǎng)是4cm,則扇形圓心角的弧度數(shù)為（)A。1B。2C.3思路解析：設(shè)扇形的半徑為Ｒ，弧長(zhǎng)為l，由已知條件可知解得所以扇形的圓心角度數(shù)為=2.答案：B5．若α、β滿足—＜α＜β＜，則α—2β的取值范圍是____________________。思路解析：由題意，得-＜α＜，-π＜—2β＜π，∴—＜α-2β＜。答案：（—，)6.1弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2,求這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)及扇形的面積.思路分析：解決此問(wèn)題的關(guān)鍵是求圓的直徑.圖1-3—5解：如圖所示，作OC⊥AB于C，則C為AB的中點(diǎn),且AC=1，∠AOC=，∴r=OA==。則弧長(zhǎng)l=｜α|·r=，面積S=lr=。我綜合我發(fā)展7。在直徑為10cm的輪子上有一長(zhǎng)為6cm思路分析：P點(diǎn)在一新圓上，所以要求點(diǎn)P轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)，需先求新圓的半徑.解:P到圓心O的距離PO==4（cm)，即點(diǎn)P所在新圓的半徑為4,又點(diǎn)P轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度數(shù)α=5×5=25,所以弧長(zhǎng)為α·OP=25×4=100（cm）。即點(diǎn)P轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)為100cm.8.如圖1—3—6，動(dòng)點(diǎn)P、Q從點(diǎn)（4,0)出發(fā)沿圓周運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)弧度,點(diǎn)Q按順時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)弧度,求P、Q第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間，相遇點(diǎn)的坐標(biāo)及P、Q點(diǎn)各自走過(guò)的弧長(zhǎng)。圖1—3-6思路分析：利用方程思想，結(jié)合題意，求出第一次相遇的時(shí)間；利用解直角三角形的知識(shí)，根據(jù)點(diǎn)所處位置，確定相遇點(diǎn)坐標(biāo)；（3）利用弧長(zhǎng)公式求弧長(zhǎng).解：設(shè)P、Q第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間是t，則t·+t·｜—|=2π，所以t=4（秒），即第一次相遇的時(shí)間為4秒,設(shè)第一次相遇點(diǎn)為C，則第一次相遇時(shí)已運(yùn)動(dòng)到終邊在·4=的位置，則xC=—cos·4=—2，yC=-sin·4=-，所以C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-),P點(diǎn)走過(guò)的弧長(zhǎng)為·4=；Q點(diǎn)走過(guò)的弧長(zhǎng)為·4=。9.將鐘表上的時(shí)針作為角的始邊，分針作為終邊，那么當(dāng)鐘表上顯示8點(diǎn)5分時(shí),時(shí)針與分針構(gòu)成的角度是_____________。思路解析：本題應(yīng)從任意角的概念出發(fā)，研究時(shí)針與分針?biāo)鶚?gòu)成的角α，其中有正角、負(fù)角，共有無(wú)窮多個(gè)角.要求這無(wú)窮多個(gè)角，可先求出在-360°-0°范圍內(nèi)的角∠AOB.∠AOB＝—(×360°×+90°+×360°)=—147。5°,所以角α可表示為α＝k·360°—147。5°（k∈Z）答案：k·360°—147。5°（k∈Z）10。如圖1—3-7，已知一長(zhǎng)為dm，寬為1dm的長(zhǎng)方形木塊在桌面上作無(wú)滑動(dòng)的翻滾,翻滾到第四面時(shí)被一小木板擋住,且木塊底面與桌面成角為，求點(diǎn)A走過(guò)的路程及走過(guò)的弧所在扇形的總面積.圖1-3-7思路分析：A點(diǎn)首先以B為圓心,以2為半徑旋轉(zhuǎn)達(dá)到A1的位置;再以C為圓心，以1為半徑旋轉(zhuǎn)到A2的位置;然后以A2為圓心旋轉(zhuǎn)，最后以D為圓心，以3為半徑轉(zhuǎn)過(guò)到達(dá)A3,A點(diǎn)走過(guò)的路程將包括三段弧,將這三段弧長(zhǎng)及三個(gè)扇形面積分別相加即可。解:由題意得所對(duì)的圓的半徑為2，圓心角為，則弧長(zhǎng)l1=2×=π，扇形面積S1=××22=π。所對(duì)的圓半徑是1，圓心角是，則弧長(zhǎng)l2=1×=，扇形面積S2=××12=.所對(duì)的圓半徑為，圓心角為,則弧長(zhǎng)l3=×=，扇形面積S3=××（）2=.則所走過(guò)路程是三段圓弧之和,即π++=,三段弧所在扇形的總面積是π++=dm2。11.一條鐵路在轉(zhuǎn)彎處成圓弧形,圓弧的半徑為2km，一列火車用每小時(shí)30km的速度通過(guò)，10s間轉(zhuǎn)過(guò)幾度？思路分析：利用速度和時(shí)間求出路程，即得圓弧的弧長(zhǎng)，再由弧長(zhǎng)公式可得圓心角的度數(shù)。