數(shù)學自主訓練：幾個三角恒等式

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場我夯基我達標1。若sin（α—β)cosα-cos(α-β)sinα=且β在第三象限，則cos為(）A.B.±C。D?！浪悸方馕觯河深}意，知sin（α—β-α）=，即sin(—β）=，∴sinβ=-?！擀率堑谌笙藿?∴cosβ=—，且是二、四象限角?！郼os=±.答案：B2。設α，β為鈍角，且sinα=，cosβ=，則α+β的值為()A.B。C。D.或思路解析：先求α+β的某種三角函數(shù)值.但應當注意對α+β角的范圍進行討論.由題意知cosα=,sinβ=，∴cos(α+β)=×(）—=?！?lt;α<π，<β〈π,∴π<α+β〈2π.∴α+β=.答案：C3。下列各式中值為的是（)A。sin15°cos15°B.cos2-sin2C。D.思路解析：將四個選擇項分別進行化簡，得出結果看是否等于即可。答案:C4。(2005重慶高考卷，理13)若α，β為銳角且cos（α+β）=sin(α—β），則tanα等于__________。思路解析：可先將已知條件利用公式展開，再變形求得.由題意,知cosαcosβ—sinαsinβ=sinαcosβ—cosαsinβ，即（sinβ+cosβ）cosα=(cosβ+sinβ）sinα。又∵α,β為銳角,∴sinβ+cosβ≠0.∴tanα=1。答案：15.若tan(α+）=3+，則等于________________。思路解析：先將所求式子變形,2α變?yōu)棣恋娜呛瘮?shù)，再根據(jù)條件求解。原式==tanα.由tan(α+）==3+,解得tanα=.答案：6.已知sinα=，且α為第二象限角,則tan的值為_____________。思路解析：可先將tan用含sinα，cosα的形式表示后再求解.∵α為第二象限角，∴cosα=。tan=。答案：我綜合我發(fā)展7.化簡：2cos210°-tan5°（1+cos10°)-2sin40°sin80°。思路分析:可先將題目所給角化為特殊角或同角的形式后再化簡求值.解：原式=1+cos20°-tan5°·2cos25°+cos120°-cos40°=1+cos20°-sin10°——cos40°=+(cos20°-cos40°）—sin10°=+2sin30°sin10°—sin10°=+sin10°-sin10°=。8.已知函數(shù)f（x)=sin(x+θ）+cos（x—θ）的定義域為R。(1)θ=0時，求f（x)的單調(diào)增區(qū)間；(2）θ∈（0,π)且sinx≠0，當θ為何值時，f（x）為偶函數(shù)。思路分析：(1）將f(x）化為Asin(ωx+φ）的形式求單調(diào)區(qū)間；(2）根據(jù)偶函數(shù)的定義求θ.解：(1）由θ=0，得f（x）=sinx+cosx=2sin（x+)。由2kπ≤x+≤2kπ+，得2kπ—≤x≤2kπ+。∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為［2kπ—，2kπ+］(k∈Z）.（2）∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（—x)=f(x),即sin(—x+θ）+cos(-x—θ)=sin（x+θ)+cos(x-θ）恒成立,即sin（x+θ)+sin（x-θ）=cos(x+θ）—cos(x—θ）,即2sinxcosθ=-2sinxsinθ，即2sinx(cosθ+sinθ)=0。∵sinx≠0，∴cosθ+sinθ=0.∴tanθ=—1.又∵θ∈（0,π），∴θ=.9.把函數(shù)y=cosx—sinx的圖象向左平移m(m>0）個單位，所得圖象關于y軸對稱，求m的最小值.思路分析：先將原函數(shù)化為Asin(ωx+φ）+B的形式，再根據(jù)圖象的有關知識求m的最小值.解：y=cosx—sinx=—2sin(x-），向左平移m（m>0）個單位后的解析式為y=-2sin（x+m—）.由于它的圖象關于y軸對稱，則當x=0時y取得最值.此時由m—=kπ+,得m=kπ+.當k=0時，m取得最小正值.10.發(fā)電廠發(fā)出的電是三相交流電，它的三根導線上的電流強度分別是時間t的函數(shù)：Ia=Isinωt,Ib=Isin（ωt+120°),Ic=Isin(ωt+240°）.你能算算它們的電流之和嗎？思路分析:利用誘導公式及兩角和與差的公式化簡即可。解：I=Ia+Ib+Ic=I［sinωt+sin(ωt+120°）+Isin（ωt+240°)］=I［sinωt+sin（60°—ωt）—sin(ωt+60°）］=I（sinωt+cosωt—sinωt—cosωt—）=I（sinωt-sinωt）=0.11。有一塊半徑為R，中心角為45°的扇形鐵皮材料，為了截取面積最大的矩形鐵皮，工人師傅常將矩形的一邊放在扇形的半徑上，然后作其最大的內(nèi)接矩形.你能幫工人師傅設計一方案，選出矩形的四點嗎？圖3-3—1思路分析：可將矩形面積表示為某個角的三角函數(shù)的形式求最值.解:如圖3-3—1,設∠POA=θ，則PN=Rsinθ。OM=QM=PN=Rsinθ，MN=ON—OM=Rcosθ—Rsinθ.則S矩形PQMN=MN·PN=R(cosθ—sinθ）·Rsinθ=R2（sinθcosθ-sin2θ）=R2（sin2θ—1+cos2θ）=R2[sin(2θ+）]。當2