數(shù)學(xué)自主訓(xùn)練：棱柱、棱錐和棱臺的結(jié)構(gòu)特征圓柱、圓錐、圓臺和球

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場我夯基我達標(biāo)1.平行六面體的兩個對角面都是矩形,且底面又是正方形，則此平行六面體一定是（）A。直平行六面體B.正四棱柱C。長方體D.正方體思路解析:根據(jù)兩個對角面是矩形可知側(cè)棱和底面垂直,所以首先是直四棱柱，再根據(jù)底面是正方形可知是正四棱柱.答案：B2.下列判斷正確的是()A.平行于圓錐某一母線的截面是等腰三角形B。平行于圓臺某一母線的截面是等腰梯形C。過圓錐頂點的截面是等腰三角形D。過圓臺上底面中心的截面是等腰梯形思路解析:根據(jù)圓錐與圓臺的定義和圖形進行判斷即可.答案:C3。如圖1—1—（2，3）-8,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都是2,E、F分別是AB、A1CA.2B.C。D.思路解析：取AC的中點G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，則易得FG=2，EG=1，故EF=.答案：C圖1—1—（2，3)—8圖1—1-(2,3）-94。水平桌面α上放有4個半徑均為2R的球,且相鄰的球都相切（球心的連線構(gòu)成正方形）.在這4個球的上面放1個半徑為R的小球,它和下面4個球恰好都相切,則小球的球心到水平桌面α的距離是______________.思路解析:5個球心組成一個正四棱錐，這個正四棱錐的底面邊長為4R，側(cè)棱長為3R，求得它的高為R,所以小球的球心到水平桌面α的距離是3R.答案：3R5.如圖1—1—(2，3）—10，圓錐底面半徑是6,軸截面頂角是直角，過兩條母線的截面SCB截去底面圓周的，求截面面積。圖1—1-(2，3）—10思路分析:截面問題的圖形一般較為復(fù)雜、難讀，要正確識圖，尋找各量之間的關(guān)系.解：由題知，軸截面頂角∠ASB=90°,OA=6,圖1-1-（2，3)-11∴SA=SB=SC=.連結(jié)OB、OC，∵弧BC的長為底面圓周長的，∴∠BOC=×360°=60°?！郞B=OC=BC=6。∴SD=。∴S△SCB=×6×=9.6.如圖1—1—(2，3）-12,圓錐和一個球面相交，球心在圓錐的頂點,球半徑等于圓錐的高，若圓錐的側(cè)面被球與圓錐的交線所平分，求圓錐的高與母線間夾角α的大小。圖1-1—(2,3）—12思路分析：可以根據(jù)圓錐和球的對稱性，畫出對應(yīng)的軸截面圖,分析計算出圓的側(cè)面和相交部分的關(guān)系。解：由題圖知△VAB是軸截面，設(shè)VB交⊙V于C，作CD⊥VO于D，記VO=h,由已知∠AVO=α=∠BVO,∵VO=h=VBcosα,∴VB=。又BO=htanα,CD=VCsinα=VOsinα=hsinα,根據(jù)題意，小圓錐側(cè)面積是大圓錐側(cè)面積的一半，可列出方程π·CD·VC=π·BO·VB,即hsinα·h=htanα·,化簡可得cos2α=,即cosα=±。根據(jù)實際情況，cosα=,所以α=45°.我綜合我發(fā)展7。已知圓錐的母線長為l，底面半徑為R，如果過圓錐頂點的截面面積的最大值是，則（)A?！蹷.=C?！軩。<思路解析:因為=sin90°，所以圓錐軸截面頂角大于等于90°，據(jù)此求解即可。答案：C8。長方體一個頂點上三條棱的長分別為a、b、c(a，b，c兩兩不等）,一條對角線為AB，長方體的表面上A、B兩點間的最短路程為,則a、b、c的大小關(guān)系是___________。思路解析：求在長方體表面上從A到B的最短路途,由于長方體的對稱性，可從以下三種實現(xiàn)方式(如圖1-1—（2，3)—13)中比較獲得:圖1—1—(2,3）—13(1）AB1′=;（2）AB2′=;（3)AB3′=。由已知最短路程為第（2)種情況下獲得：∴AB1′>AB2′且AB3′>AB2′。而AB1′與AB3′大小關(guān)系不定,∴可知a、b、c的關(guān)系為2ac>2bc且2ab>2bc，2bc與2ab不定，即a>b且a>c，b、c關(guān)系不定。答案：a>b且a>c,b、c關(guān)系不定9.如圖1-1—（2,3)-14，過球O的表面上一點A，引三條長度相等的弦AB、AC、AD,且兩兩夾角都是2α。若球的半徑為R,求弦AB的長.圖1—1—（2,3)—14思路分析:由于AB=AC=AD,B、C、D也在球面上，過B、C、D可有一圓面.因為三弦兩兩夾角均為2α，故BC=CD=DB，△BCD為正三角形，A-BCD形成一個正三棱錐，△BCD的中心O1也是底面BCD所在圓的圓心，且OO1⊥平面BCD.求AB弦長，即為求三棱錐的側(cè)棱長，從球轉(zhuǎn)化到棱錐，即可找到解題辦法.解：連結(jié)BC、CD、BD，作球的直徑AOE，連結(jié)BE.設(shè)AE與截面BCD的交點為O1，連結(jié)BO1，則∠ABE=90°.BC=CD=BD，圖1-1-（2，3)-15從而可得O1是正△BCD的中心，AO⊥平面BCD.設(shè)AB=x,AO1=h,則BC=2xsinαBO1=××2xsinα=x·sinα.在Rt△AO1B中,∵AO12=AB2—O1B2，∴h2=x2-（xsinα）2.又由直角三角形射影定理，得x2=2R·h→h2=,∴=x2—（xsinα）2，x2=R2（3—4sin2α），x=R，即弦AB的長為R。10。圖1-1—(2,3）-16中的幾何體是一棱長為4厘米的正方體,若在它的各個面的中心位置上各打一個直徑為2厘米、深為1厘米的圓柱形的孔，求打孔后幾何體的表面積是多少？(π=3.14)圖1-1-(2，3）-16思路分析:因為正方體的棱長為4厘米,而孔深只有1厘米,所以正方體沒有被打透。打孔后所得幾何體的表面積等于原來正方體的表面積，再加上六個完全一樣的圓柱的側(cè)面積