2024八年級數(shù)學上冊第十七章特殊三角形練素養(yǎng)1.等腰三角形中作輔助線的常用方法習題課件新版冀教版

冀教版八年級上第十七章特殊三角形集訓課堂練素養(yǎng)1.等腰三角形中作輔助線的常用方法

幾何圖形中添加輔助線，往往能把分散的條件集中，使

隱蔽的條件顯露，將復雜的問題簡單化.例如：作“三線”

中的“一線”或平行線證線段相等，利用截長補短法證線段

和、差關系或求角的度數(shù)，利用加倍折半法證線段的倍分關

系等，將不在同一個三角形中的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形

(或兩個全等三角形)中，然后運用等腰(或全等)三角形的性

質(zhì)來解決問題.方法1構(gòu)造“三線合一”圖形1.

如圖，在△

ABC

中，

AC

＝2

AB

，

AD

平分∠

BAC

交

BC

于點

D

，

E

是

AD

上一點，且

EA

＝

EC

.

求證：

EB

⊥

AB

.

1234567【證明】如圖，過點

E

作

EF

⊥

AC

于點

F

，則∠

AFE

＝90°.∵

EA

＝

EC

，

EF

⊥

AC

，∴

AF

＝

FC

.

∵

AC

＝2

AB

，∴

AF

＋

FC

＝2

AF

＝2

AB

.

∴

AF

＝

AB

.

∵

AD

平分∠

BAC

，∴∠

BAE

＝∠

FAE

.

又∵

AE

＝

AE

，∴△

ABE

≌△

AFE

(SAS).∴∠

ABE

＝∠

AFE

＝90°.∴

EB

⊥

AB

.

1234567方法2作平行線構(gòu)造等腰三角形2.

[2024·邯鄲第二十五中學月考]如圖，點

E

在△

ABC

的邊

AC

的延長線上，點

D

在

AB

邊上，

DE

交

BC

于點

F

，

DF

＝

EF

，

BD

＝

CE

.

求證：△

ABC

是等腰三角形.1234567【證明】如圖，過點

D

作

DG

∥

CE

交

BC

于點

G

，則∠

E

＝∠

FDG

.

在△

ECF

和△

DGF

中，

∴△

ECF

≌△

DGF

(ASA).∴

CE

＝

GD

.

1234567又∵

BD

＝

CE

，∴

BD

＝

GD

.

∴∠

B

＝∠

DGB

.

∵

DG

∥

AC

，∴∠

DGB

＝∠

ACB

.

∴∠

B

＝∠

ACB

.

∴

AB

＝

AC

.

∴△

ABC

是等腰三角形.12345673.

[新考法·動點探究法]如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，點

P

從點

B

出發(fā)沿線段

BA

移動，同時，已知點

Q

從點

C

出

發(fā)沿線段

AC

的延長線移動，點

P

，

Q

移動的速度相同，

PQ

與直線

BC

相交于點

D

.

(1)求證：

PD

＝

QD

；1234567

1234567

(2)過點

P

作直線

BC

的垂線，垂足為

E

.

P

，

Q

在移動的

過程中，線段

DE

是否為長度保持不變的線段？請說明

理由.1234567方法3補形法構(gòu)造等腰三角形4.

如圖，

AD

∥

BC

，

AE

平分∠

BAD

，點

E

是

CD

的中點.

求證：(1)

AB

＝

AD

＋

BC

；1234567

1234567(2)

AE

⊥

BE

.

【證明】由(1)知△

ADE

≌△

FCE

，∴

AE

＝

FE

.

又∵

BA

＝

BF

，∴根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知

AE

⊥

BE

.

1234567方法4

倍長中線法構(gòu)造等腰三角形5.

如圖，在△

ABC

中，

AD

為中線，點

E

為

AB

上一點，

AD

，

CE

交于點

F

，且

AE

＝

EF

.

求證：

AB

＝

CF

.

1234567【證明】如圖，延長

AD

至點

G

，使

DG

＝

AD

，連接

CG

.

∵

AD

為中線，∴

BD

＝

CD

.

又∵∠

ADB

＝∠

GDC

，

DG

＝

AD

，∴△

ABD

≌△

GCD

(SAS).∴

AB

＝

CG

，∠

G

＝∠

EAF

.

∵

AE

＝

EF

，∴∠

EAF

＝∠

EFA

.

又∵∠

EFA

＝∠

CFG

，∴∠

G

＝∠

GFC

.

∴

CG

＝

CF

.

∴

AB

＝

CF

.

1234567方法5延長(或截取)法構(gòu)造等腰三角形6.

如圖，在△

ABC

中，∠

BAC

＝2∠

B

，

CD

平分∠

ACB

交

AB

于點

D

.

求證：

AC

＋

AD

＝

BC

.

1234567【證明】方法一：如圖①，延長

CA

至點

E

，使

EA

＝

AD

，連接

ED

，則∠

E

＝∠

ADE

.

∴∠

BAC

＝∠

E

＋∠

ADE

＝2∠

E

.

又∵∠

BAC

＝2∠

B

，∴∠

E

＝∠

B

.

∵

CD

平分∠

ACB

，∴∠

ECD

＝∠

BCD

.

又∵

CD

＝

CD

，∴△

CDE

≌△

CDB

(AAS).∴

CE

＝

CB

.

∵

CE

＝

AC

＋

AE

＝

AC

＋

AD

，∴

AC

＋

AD

＝

BC

.

1234567∴∠

BAC

＝∠

E

＋∠

ACE

＝2∠

E

.

又∵∠

BAC

＝2∠

B

，∴∠

B

＝∠

E

.

∴

BC

＝

EC

，∠

B

＝∠

ACE

.

∵

CD

平分∠

ACB

，∴∠

ACD

＝∠

BCD

，方法二：如圖②，延長

DA

到點

E

，使

AE

＝

AC

，連接

CE

，則∠

E

＝∠

ACE

.

∴∠

ADC

＝∠

B

＋∠

BCD

＝∠

B

＋∠

ACD

.

又∵∠

DCE

＝∠

ACE

＋∠

ACD

＝∠

B

＋∠

ACD

，∴∠

ADC

＝∠

DCE

.

∴

DE

＝

CE

.

∴

AC

＋

AD

＝

AE

＋

AD

＝

DE

＝

CE

＝

BC

.

1234567∵

CD

平分∠

ACB

，∴∠

ACD

＝∠

ECD

.

又∵

CA

＝

CE

，

CD

＝

CD

，∴△

ACD

≌△

ECD

(SAS).∴

AD

＝

DE

，∠

BAC

＝∠

DEC

.

∵∠

BAC

＝2∠

B

，∠

DEC

＝∠

B

＋∠

BDE

，∴∠

BDE

＝∠

B

.

∴

DE

＝

BE

.

∴

AC

＋

AD

＝

CE

＋

DE

＝

CE

＋

BE

＝

BC

.

方法三：如圖③，在

BC

上截取

CE

＝

CA

.

1234567方法6

截長補短法構(gòu)造等腰三角形7.

[2024·河南鄭州惠濟外國語中學月考]【問題初探】(1)如圖①，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

.

點

D

在△

ABC

外，連接

AD

，

BD

，

CD

，且∠

BDC

＝∠

BAC

.

過

A

作

AE

⊥

BD

于點

E

，則線段

BE

，

CD

，

DE

之間滿足的數(shù)量關系是

.BE

＝

CD

＋

DE

1234567∴∠

ABF

＝∠

ACD

.

又∵

AB

＝

AC

，

BF

＝

CD

，∴△

ABF

≌△

ACD

(SAS).∴

AF

＝

AD

.

【點撥】如圖①，在

BD

上截取

BF

＝

CD

，連接

AF

.

∵∠

BAC

＝∠

BDC

，∠

AOB

＝∠

COD

，∵

AE

⊥

DF

，∴

FE

＝

DE

.

∵

BE

＝

BF

＋

EF

，∴

BE

＝

CD

＋

DE

.

1234567【類比分析】(2)如圖②，△

ABC

為等邊三角形，△

ACD

是等腰直角三角

形，其中

AC

＝

AD

，∠

CAD

＝90°，

AE

是

CD

邊上的中

線，連接

BD

交

AE

于點

F

.

證明：

BF

＝

AF

＋

DF

.

1234567【證明】如圖②：在

BF

上截取

BH

＝

DF

，連接

AH

，

∵△

ABC

為等邊三角形，∴

AB

＝

AC

，∠

BAC

＝60°，∵

AC

＝

AD

，∠

CAD

＝90°，∴∠

BAD

＝∠

BAC

＋∠

CAD

＝60°＋90°＝150°，

AB

＝

AD

.

又∵

BH

＝

DF

，1234567∴△

ABH

≌△

ADF

(SAS).∴

AH

＝

AF

.

∵

AE

是

CD

邊上的中線，

AC

＝

AD

，∴

AE

平分∠

CAD

.

∴∠

DAE

＝45°.∴∠

AFH

＝∠

ADB

＋∠

DAE

＝15°＋45°＝60°.∴△

AHF

是等邊三角形.∴

AF

＝

HF

.

∴

BF

＝

HF

＋

BH

＝

AF

＋

DF

.

1234567

1234567【點