安全系統(tǒng)工程課件：事故樹分析（六）-計(jì)算頂上事件的發(fā)生概率（二）

計(jì)算頂上事件的發(fā)生概率（二）本課重難點(diǎn)及教學(xué)目標(biāo)五、最小割集法六、最小徑集法七、近似計(jì)算法課程小結(jié)課程復(fù)習(xí)思考題下次課預(yù)習(xí)要點(diǎn)本課重難點(diǎn)及教學(xué)目標(biāo)本課的重點(diǎn)及難點(diǎn)利用最小割集法、最小徑集法及近似求頂上事件發(fā)生概率的方法。教學(xué)目標(biāo)

掌握利用最小割集法、最小徑集法以及近似求頂上事件發(fā)生概率的方法。五、最小割集法

在定性分析中，已給出了用最小割集表示的事故樹的等效圖，從圖中可以看出，其標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)式是頂上事件T與最小割集Kj的邏輯連接為或門，而每個(gè)最小割集Kj與其所包含的基本事件xi的邏輯連接為與門。分以下兩種情況進(jìn)行計(jì)算。五、最小割集法a各最小割集中沒(méi)有重復(fù)的基本事件

如果各最小割集中彼此沒(méi)有重復(fù)的基本事件，則可以先求出各個(gè)最小割集的概率，即最小割集中所包含的基本事件的交(邏輯與)集的概率，然后求所有最小割集的并(邏輯或)集的概率，即得頂上事件的發(fā)生概率。由于與門的結(jié)構(gòu)函數(shù)為：或門的結(jié)構(gòu)函數(shù)為：五、最小割集法

根據(jù)最小割集的定義，如果在某個(gè)割集中任意除去一個(gè)基本事件就不再是割集。換句話說(shuō)，也就是要求最小割集中所有基本事件都同時(shí)發(fā)生，該最小割集才存在，即：五、最小割集法

在事故樹中，一般有多個(gè)最小割集，只要存在一個(gè)最小割集，頂上事件就會(huì)發(fā)生，因此，事故樹的結(jié)構(gòu)函數(shù)可表示為：五、最小割集法

因此，若各個(gè)最小割集中彼此沒(méi)有重復(fù)的基本事件，則可按下式計(jì)算頂上事件的發(fā)生概率：五、最小割集法

【例2-31】設(shè)某事故樹有3個(gè)最小割集，K1={x1，x2}，K2={x3，x4，x5}，K3={x6，x7}。各基本事件的發(fā)生概率分別為

求頂上事件的發(fā)生概率。

解：根據(jù)事故樹的3個(gè)最小割集，可以作出用最小割集表示的等效事故樹圖，見圖2-38所示。五、最小割集法3個(gè)最小割集的概率，可由各個(gè)最小割集所包含的基本事件的邏輯與分別求出：

頂上事件的發(fā)生概率，即求所有最小割集的邏輯或，得：五、最小割集法

從結(jié)果可以看出，頂上事件的發(fā)生概率等于各個(gè)最小割集的概率積的和。

利用式2-36計(jì)算事故樹頂上事件的發(fā)生概率，要求各最小割集中沒(méi)有重復(fù)的基本事件，也就是各最小割集之間是完全不相交的。若事故樹各最小割集中有重復(fù)的基本事件，則上式不成立。五、最小割集法b各最小割集中有重復(fù)的基本事件

【例2-32】某事故樹共有3個(gè)最小割集分別為K1={x1，x2}，K2={x2，x3，x4}，K3={x2，x5}。各基本事件的發(fā)生概率分別為

，求頂上事件的發(fā)生概率。五、最小割集法

解：該事故樹的結(jié)構(gòu)函數(shù)式為：五、最小割集法

通過(guò)上例進(jìn)行分析，由此，若最小割集中有重復(fù)的基本事件時(shí)，必須將式2-36展開，用布爾代數(shù)消除每個(gè)概率積中的重復(fù)基本事件，從而得到：五、最小割集法第一項(xiàng)==將各最小割集中的基本事件的概率積的和；第二項(xiàng)==每?jī)蓚€(gè)最小割集中的基本事件的概率積的和（化簡(jiǎn)重復(fù)事件）第三項(xiàng)==每三個(gè)最小割集的基本事件的概率積的和（化簡(jiǎn)重復(fù)事件）以此類推，加減號(hào)交替，直到最后一項(xiàng)“計(jì)算所有最小割集同時(shí)發(fā)生的概率積。1、列出頂上事件發(fā)生的概率表達(dá)式2、展開，消除每個(gè)概率積中的重復(fù)的概率因子qi·

qi=qi3、將各基本事件的概率值帶入，計(jì)算頂上事件的發(fā)生概率如果各個(gè)最小割集中彼此不存在重復(fù)的基本事件，可省略第2步五、最小割集法六、最小徑集法在定性分析中，同樣也給出了用最小徑集表示的事故樹的等效圖，從圖中可以看出，其標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)式是頂上事件T與最小徑集Pj的邏輯連接為與門，而每個(gè)最小徑集Pj與其所包含的基本事件xi的邏輯連接為或門。同樣分以下兩種情況進(jìn)行計(jì)算。六、最小徑集法a各最小徑集中沒(méi)有重復(fù)的基本事件如果各最小徑集中彼此沒(méi)有重復(fù)的基本事件，則可以先求出各個(gè)最小徑集的概率，即最小徑集中所包含的基本事件的并(邏輯或)集的概率，然后求所有最小徑集的交(邏輯與)集的概率，即得頂上事件的發(fā)生概率。故可按下式進(jìn)行計(jì)算：六、最小徑集法六、最小徑集法【例2-33】假設(shè)某事故樹有3個(gè)最小徑集，分別為P1={x1，x2}，P2={x3，x4，x5}，P3={x6，x7}。各基本事件的發(fā)生概率分別為

，求頂上事件的發(fā)生概率。六、最小徑集法

解：根據(jù)事故樹的3個(gè)最小徑集，作出用最小徑集表示的等效圖，如圖2-39所示。六、最小徑集法3個(gè)最小徑集的概率，可由各個(gè)最小徑集所包含的基本事件的邏輯或分別求出：頂上事件的發(fā)生概率，即求所有最小徑集的邏輯與，得：六、最小徑集法

用式2-38計(jì)算任意一個(gè)事故樹頂上事件的發(fā)生概率時(shí)，要求各最小徑集中沒(méi)有重復(fù)的基本事件，也就是最小徑集之間是完全不相交的。如果事故樹中各最小徑集中彼此有重復(fù)的基本事件，則式2-38不成立。六、最小徑集法b各最小徑集中有重復(fù)的基本事件如果事故樹中各最小徑集中彼此有重復(fù)的基本事件，則需要將式2-38展開，消去概率積中基本事件xi不發(fā)生概率（1-qi）的重復(fù)基本事件，即得：六、最小徑集法

式中符號(hào)意義同前。第一項(xiàng)==各最小徑集中的基本事件不發(fā)生的概率積的和；第二項(xiàng)==每?jī)蓚€(gè)最小徑集的各基本事件不發(fā)生的概率積和（化簡(jiǎn)重復(fù)事件）第三項(xiàng)==每三個(gè)最小徑集的各基本事件不發(fā)生的概率積的和（化簡(jiǎn)重復(fù)事件）以此類推，加減號(hào)交替，直到最后一項(xiàng)“計(jì)算所有最小徑集同時(shí)不發(fā)生的概率積。六、最小徑集法

【例2-34】假設(shè)某事故樹共有3個(gè)最小徑集，分別為P1={x1，x2}，P2={x2，x3}，P3={x2，x4}。各基本事件的發(fā)生概率分別為

，求頂上事件的發(fā)生概率。解：根據(jù)題意，可寫出其結(jié)構(gòu)函數(shù)式為：

頂上事件的發(fā)生概率則為：六、最小徑集法

將上式進(jìn)一步展開得：根據(jù)等冪律有：

故：六、最小徑集法

整理上式得：六、最小徑集法

又例如：某事故樹共有4個(gè)最小徑集，

P1=｛x1，x3

｝，P2=｛x1，x5｝,P3=｛x3，x4｝,P3=｛x2，x4，x5｝已知各基本事件發(fā)生的概率為：q1=0.01；q2=0.02；q3=0.03；q4=0.04；q5=0.05試用最小徑集法求頂上事件的發(fā)生概率？六、最小徑集法P1=｛x1，x3

｝，P2=｛x1，x5

｝,P3=｛x3，x4｝,P4=｛x2，x4，x5｝1、列出定上事件發(fā)生的概率表達(dá)式2、展開，消除每個(gè)概率積中的重復(fù)的概率因子(1-qi)·(1-qi)=1-qi3、將各基本事件的概率值帶入，計(jì)算頂上事件的發(fā)生概率如果各個(gè)最小徑集中彼此不存在重復(fù)的基本事件，可省略第2步六、最小徑集法七、近似計(jì)算法

在進(jìn)行事故樹分析時(shí)，往往會(huì)遇到很復(fù)雜很龐大的事故樹，有時(shí)一顆事故樹會(huì)牽扯成百上千個(gè)基本事件，這時(shí)要精確求出頂上事件的發(fā)生概率，需要花費(fèi)相當(dāng)大的人力和物力。但在許多工程問(wèn)題中，這種精確計(jì)算是不必要的，這是因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)得到的基本數(shù)據(jù)往往是不很精確的。因此，需要找出一種簡(jiǎn)便方法，它既能保證必要的精確度，又能較為方便地算出結(jié)果。實(shí)際計(jì)算中多采用近似計(jì)算法。

七、近似計(jì)算法近似計(jì)算方法有：首項(xiàng)近似法、平均近似法、最小割集逼近法、最小徑集逼近法、獨(dú)立事件近似法等。近似計(jì)算法是利用最小割集計(jì)算頂上事件發(fā)生概率的公式得到的。一般情況下，可以假定所有基本事件都是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，因而每個(gè)最小割集也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。下面介紹兩種常用的近似計(jì)算法。七、近似計(jì)算法a首項(xiàng)近似法

在近似計(jì)算時(shí)往往（根據(jù)利用最小割集計(jì)算頂上事件的發(fā)生概率公式2-37）求出F1就能滿足要求，即：

該式說(shuō)明，頂上事件的發(fā)生概率近似等于所有最小割集發(fā)生概率的代數(shù)和。七、近似計(jì)算法

【例2-35】現(xiàn)仍以圖2-36所示的簡(jiǎn)單事故樹為例，其用最小割集表示的等效圖如圖2-41所示。圖中基本事件x1，x2，x3的發(fā)生概率均為0.1，用近似公式計(jì)算頂上事件的發(fā)生概率。七、近似計(jì)算法用首項(xiàng)近似公式計(jì)算如下：七、近似計(jì)算法b平均近似法有時(shí)為了提高計(jì)算精度，取首項(xiàng)與第二項(xiàng)之半的差作為近似值，即：

一般當(dāng)基本事件的發(fā)生概率值q1<0.01時(shí)，采用

就可以得到較為精確的近似概率值。七、近似計(jì)算法

【例2-36】某事故樹如圖2-42所示，已知q1=q2=0.2，q3=q4=0.3，q5=0