湖北省武漢市部分市級示范高中2025屆高二數學第一學期期末綜合測試模擬試題含解析

湖北省武漢市部分市級示范高中2025屆高二數學第一學期期末綜合測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.42．在中，B=60°，，，則AC邊的長等于（）A. B.C. D.3．已知雙曲線右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，若，則的離心率為（）A.2 B.C. D.4．已知函數．若數列的前n項和為，且滿足，，則的最大值為（）A.9 B.12C.20 D.5．連續(xù)拋擲一枚硬幣3次，觀察正面出現的情況，事件“至少2次出現正面”的對立事件是（）A.只有2次出現反面 B.至多2次出現正面C.有2次或3次出現正面 D.有2次或3次出現反面6．已知長方體中，，，則直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.7．已知等比數列的前n項和為，公比為q，若，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.8．過點且斜率為的直線方程為（）A. B.C. D.9．雙曲線：（，）的左、右焦點分別為、，點在雙曲線上，，，則的離心率為（）A. B.2C. D.10．已知等差數列的前項和為，，公差，．若取得最大值，則的值為（）A.6或7 B.7或8C.8或9 D.9或1011．已知F為橢圓C：=1(a>b>0)右焦點，O為坐標原點，P為橢圓C上一點，若|OP|=|OF|，∠POF=120°，則橢圓C的離心率為（）A. B.C.-1 D.-112．等軸雙曲線漸近線是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在不等邊△ABC(三邊均不相等)中，三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且有，則角C的大小為________14．在空間直角坐標系中，已知，，，，則___________.15．函數的單調遞減區(qū)間是____16．已知定點，，P是橢圓上的動點，則的的最小值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知動點M到定點和的距離之和為4（1）求動點軌跡的方程；（2）若直線交橢圓于兩個不同的點A，B，O是坐標原點，求的面積18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面四邊形為角梯形，，，，O為的中點，，.（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面所成夾角的余弦值.19．（12分）若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦點坐標分別為和，且該雙曲線經過點P(3，1)（1）求雙曲線的方程；（2）若F是雙曲線的右焦點，Q是雙曲線上的一點，過點F，Q的直線l與y軸交于點M，且，求直線l的斜率20．（12分）某工廠修建一個長方體無蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深度為3米．池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元．設池底長方形長為x米（1）求底面積，并用含x的表達式表示池壁面積；（2）怎樣設計水池能使總造價最低?最低造價是多少?21．（12分）在數列中，，，記.（1）求證：數列為等差數列，并求出數列的通項公式；（2）試判斷數列的增減性，并說明理由22．（10分）在平面直角坐標系中，動點，滿足，記點的軌跡為（1）請說明是什么曲線，并寫出它的方程；（2）設不過原點且斜率為的直線與交于不同的兩點，，線段的中點為，直線與交于兩點，，請判斷與的關系，并證明你的結論

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關系和離心率公式，計算即可得到所求值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.2、B【解析】根據正弦定理直接計算可得答案.【詳解】由正弦定理，,得,故選：B.3、B【解析】，得出到漸近線的距離為，由此可得的關系，從而求得離心率【詳解】因為，而，所以是等邊三角形，到直線的距離為，又，漸近線方程取，即，所以，化簡得故選：B4、C【解析】先得到及遞推公式，要想最大，則分兩種情況，負數且最小或為正數且最大，進而求出最大值.【詳解】①，當時，，當時，②，所以①－②得：，整理得：，所以，或，當是公差為2的等差數列，且時，最小，最大，此時，所以，此時；當且是公差為2的等差數列時，最大，最大，此時，所以，此時綜上：的最大值為20故選：C【點睛】方法點睛：數列相關的最值求解，要結合題干條件，使用不等式放縮，函數單調性或導函數等進行求解.5、D【解析】根據對立事件的定義即可得出結果.【詳解】對立事件是指事件A和事件B必有一件發(fā)生，連續(xù)拋擲一枚均勻硬幣3次，“至少2次出現正面”即有2次或3次出現正面，對立事件為0次或1次出現正面，即“有2次或3次出現反面”故選：D6、C【解析】建立空間直角坐標系，設直線與所成角為，由求解.【詳解】∵長方體中，，，∴分別以，，為，，軸建立如圖所示空間直角坐標系，，則，，，，所以，，設直線與所成角為，則，∴直線和夾角余弦值是.故選：C.7、D【解析】根據，可求得，然后逐一分析判斷各個選項即可得解.【詳解】解：因為，所以，因為，所以，所以，故A錯誤；又，所以，所以，所以，故BC錯誤；所以，故D正確.故選：D.8、B【解析】利用點斜式可得出所求直線的方程.【詳解】由題意可知所求直線的方程為，即.故選：B.9、C【解析】根據雙曲線定義、余弦定理，結合題意，求得關系，即可求得離心率.【詳解】根據題意，作圖如下：不妨設，則，，①；在△中，由余弦定理可得：，代值得：，②；聯(lián)立①②兩式可得：；在△和△中，由，可得：，整理得：，③；聯(lián)立②③可得：，又，故可得：，則，則，故離心率為.故選：C.10、B【解析】根據題意可知等差數列是，單調遞減數列，其中，由此可知，據此即可求出結果.【詳解】在等差數列中，所以，所以，即，又等差數列中，公差，所以等差數列是單調遞減數列，所以，所以等差數列的前項和為取得最大值，則的值為7或8.故選:B.11、D【解析】記橢圓的左焦點為，在中，通過余弦定理得出，，根據橢圓的定義可得，進而可得結果.【詳解】記橢圓的左焦點為，在中，可得，在中，可得，故，故，故選：D.12、A【解析】對等軸雙曲線的焦點的位置進行分類討論，可得出等軸雙曲線的漸近線方程.【詳解】因為，若雙曲線的焦點在軸上，則等軸雙曲線的漸近線方程為；若雙曲線的焦點在軸上，則等軸雙曲線的漸近線方程為.綜上所述，等軸雙曲線的漸近線方程為.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由正弦定理可得,又,,,,,在三角形中,.考點：1正弦定理;2正弦的二倍角公式.14、或##或【解析】根據向量平行時坐標的關系和向量的模公式即可求解.【詳解】，且，設，，解得，或.故答案為：或.15、【解析】求導，根據可得答案.【詳解】由題意，可得，令，即，解得，即函數的遞減區(qū)間為.故答案為：.【點睛】本題考查運用導函數的符號，研究函數的單調性，屬于基礎題.16、##【解析】根據橢圓的定義可知，化簡并結合基本不等式可求的的最小值.【詳解】由題可知：點，是橢圓的焦點，所以，所以，即，當且僅當時等號成立，即時等號成立.所以的最小值為，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）利用橢圓的定義即求；（2）由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可解得點，再利用三角形面積公式即求.【小問1詳解】∵動點M到定點和的距離之和為4，∴動點M的軌跡是以和為焦點的橢圓，可設方程為，則，故動點軌跡的方程為；【小問2詳解】由可得，∴或，∴，又O是坐標原點，∴的面積為.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接，可通過證明，得平面；（2）以O為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的法向量和平面的法向量，通過向量的夾角公式可得答案.【小問1詳解】如圖，連接，在中，由可得.因為，，所以，，因為，，，所以，所以.又因為，平面，，所以平面.【小問2詳解】由（1）可知，，，兩兩垂直，以O為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，.由，有，則，設平面的法向量為，由，，有，取，則，，可得平面的一個法向量為.設平面的法向量為，由，，有，取，則，，可得平面的一個法向量為.由，，，可得平面與平面所成夾角的余弦值為.19、（1）（2）【解析】（1）根據題意列方程組求解（2）待定系數法設直線后，由條件求出坐標后代入雙曲線方程求解【小問1詳解】，解得，故雙曲線方程為【小問2詳解】，故設直線方程為則，由得：故，點在雙曲線上，則，解得直線l的斜率為20、（1)1600,（平方米）；（2）池底設計為邊長40米的正方形時總造價最低，最低造價為268800元.【解析】（1）根據題意，由于修建一個長方體無蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深度為3米可得底面積為1600，池壁面積s=.（2）同時池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元設池底長方形長為x米，則可知總造價s=,x=40時，則.故可知當x=40時，則有可使得總造價最低,最低造價是268800元.考點：不等式求解最值點評：主要是考查了不等式求解最值的運用，屬于基礎題.21、（1）證明見解析，（2）數列單調遞減.【解析】（1）根據等差數列的定義即可證明數列為等差數列，然后套用等差數列的通項公式即可；（2）先根據（1）的結論求出數列的通項，然后用作差法即可判斷其單調性【小問1詳解】因為，，所以，所以，，所以數列是以1為首項，為公差的等差數列，【小問2詳解】由（1）可知，，所以，所以，故，所以數列單調遞減.22、（1）橢圓，（2），證明見解析【解析】（1）結合橢圓第一定義直接判斷即可求出的軌跡為；（2