【計(jì)算流體力學(xué)】第8講-有限體積法2

1知識(shí)回顧：有限體積法基本流程無(wú)粘項(xiàng)常用方法（流過AB邊的通量）：a.利用周圍點(diǎn)的值，計(jì)算出(I+1/2,J)點(diǎn)處的物理量；

直接利用“差分格式”b.利用該處的物理量，計(jì)算出流過AB邊的流通量

迎風(fēng)型方法需利用“通量分裂技術(shù)”FVS類：FDS類：利用Riemann解Reimann解：Godunov,Roe,HLL,HLLC利用坐標(biāo)變換，轉(zhuǎn)化為一維Riemann問題§8.1通量分裂技術(shù)簡(jiǎn)述多維問題可通過坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，變?yōu)榫植繑U(kuò)展一維問題該情況下，v,w表現(xiàn)為被動(dòng)標(biāo)量新坐標(biāo)系下的控制方程：含（一個(gè)或多個(gè)）被動(dòng)標(biāo)量的一維Euler方程被動(dòng)標(biāo)量與一維問題相比，增加了（一個(gè)或多個(gè)）被動(dòng)標(biāo)量，對(duì)方程性質(zhì)沒有影響。被動(dòng)標(biāo)量方程分裂形成簡(jiǎn)單31.流通矢量分裂(FVS)1)Steger-Warming分裂1維：3維：42)Lax-Friedrichs(L-F)分裂=+優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單，計(jì)算量小缺點(diǎn)：耗散偏大足夠大L-F分裂=+優(yōu)點(diǎn)：耗散小缺點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)間斷S-W分裂53）VanLeer分裂及Liou-Steffen分裂（AUSM類方法）根據(jù)當(dāng)?shù)豈ach數(shù)分裂亞聲速情況下，均勻過渡決定特征傳播方向的關(guān)鍵參數(shù)：當(dāng)?shù)豈ach數(shù)方法1：Liou-Stenffen分裂壓力項(xiàng)單獨(dú)處理-116特點(diǎn)：連續(xù)、光滑、無(wú)可調(diào)參數(shù)參考文獻(xiàn)：Toro:RiemannSolversandNumericalMethodsforFluidDynamics,section8.4.4Liou:TenYearsinthemakingAUSMfamily,NASATM-2001-2109777方法2：VanLeer分裂（不單獨(dú)處理壓力）驗(yàn)證例：82.通量差分分裂（FDS）利用Riemann解，計(jì)算通量1）精確Riemann解（Godunov方法）v,w按照被動(dòng)標(biāo)量處理

滿足：物理意義為平均增長(zhǎng)率92）

Roe近似Riemann解uf(u)uLuRuRoeRoe平均Riemann問題：近似：用平均增長(zhǎng)率替代瞬時(shí)增長(zhǎng)率常系數(shù)線性方程組，求解簡(jiǎn)單（相似變換解耦求解）103）

HLL近似Riemann解（Harten,Lax&vanLeer）Ref.：E.F.Toro:RiemannSolversandNumericalMethodsforFluidDynamics,Springer,2009(ThirdEdition)基本原理：雙激波近似t=0t=t0激波1，速度Z1激波2，速度Z2假設(shè)間斷面產(chǎn)生兩道激波，速度分別為ZL,ZR根據(jù)質(zhì)量、動(dòng)量、能量守恒，容易計(jì)算出圖中控制體積內(nèi)的總質(zhì)量、總動(dòng)量、總能量t0

時(shí)刻激波才傳到控制體邊界，因此0到t0時(shí)刻，控制體邊界處物理量保持0時(shí)刻的值。利用總量，求出圖中控制體內(nèi)的平均值，作為該區(qū)域物理量的近似值114）

HLLC近似Riemann解（Toro）發(fā)展了HLL近似解，用三波模型來近似（如圖）三波近似，左、右波的速T時(shí)刻的流動(dòng)狀態(tài)激波激波接觸間斷模型：左右兩道激波，中間有接觸間斷激波速度已知為:ZL,ZR未知數(shù)（4個(gè)）：

方程（6個(gè)）：兩道激波的RH關(guān)系式方程多了兩個(gè)？（因?yàn)榧僭O(shè)激波速度已知）常用方法：去掉兩個(gè)方程去掉兩個(gè)能量方程，4個(gè)未知數(shù)，4個(gè)方程，求解求解過程簡(jiǎn)單，輕易可給出表達(dá)式12最終，HLLC公式為：三波近似，左、右波的速T時(shí)刻的流動(dòng)狀態(tài)激波激波接觸間斷接觸間斷移動(dòng)速度Ref.：E.F.Toro:RiemannSolversandNumericalMethodsforFluidDynamics,Springer,2009(ThirdEdition)13HLL及HLLC均假設(shè)ZL,ZR已知，實(shí)際上它們?nèi)孕枰浪銣?zhǔn)確計(jì)算ZL,ZR，實(shí)際是計(jì)算Riemann精確解，計(jì)算量大方法1：直接估算1a:假設(shè)以聲速傳播（Davis）

竟然假設(shè)激波以聲速傳播，太OUT了小常識(shí)：激波的傳播速度

激波相對(duì)于波前介質(zhì)以超聲速傳播，相對(duì)于波后介質(zhì)以亞聲速傳播；

弱激波（Ma趨近于1）以聲速傳播。

1b:左、右兩種狀態(tài)聲速的平均(Davis,Einfeldt)要平均嗎？用Roe平均，激波速度介于波后（相對(duì)）聲速與波前（相對(duì)）聲速之間，平均是個(gè)好思路左、右波速ZL,ZR的計(jì)算14Roe平均：1c.Roe平均的修正（Einfeldt）

方法2：基于壓力的波速估算法（Toro）已知中心區(qū)壓力，容易計(jì)算波傳播速度中心區(qū)的估算：15§8.2加速收斂技術(shù)1.當(dāng)?shù)貢r(shí)間步長(zhǎng)法時(shí)間步長(zhǎng)：受制于最小空間步長(zhǎng)邊界層近壁空間網(wǎng)格時(shí)間步長(zhǎng)小，計(jì)算速度慢當(dāng)?shù)貢r(shí)間步長(zhǎng)：每個(gè)點(diǎn)采用不同的時(shí)間步長(zhǎng)推進(jìn)不同的點(diǎn)采用不同時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)于定常問題，收斂后不影響計(jì)算精度；可大幅加速收斂；SeeJ.Blazek:6.1.42.隱格式

i,ji-1,ji+1,ji,j+1i,j+117Step1:求解Step2:求解LU-SGSi,ji-1,ji+1,ji,j+1i,ji-1,ji+1,ji,j+1i,j+1i,j+1183.多重網(wǎng)格細(xì)網(wǎng)格：精度高粗網(wǎng)格：收斂快利用粗網(wǎng)格加速收斂需克服粗網(wǎng)格降低精度的缺點(diǎn)，不能讓粗網(wǎng)格的結(jié)果“污染”細(xì)網(wǎng)格1）不能將粗網(wǎng)格的計(jì)算直接插值到細(xì)網(wǎng)格，而是把差量（修正量）插值到細(xì)網(wǎng)格

2）不能讓粗網(wǎng)格獨(dú)立計(jì)算，需要用細(xì)網(wǎng)格的結(jié)果修正粗網(wǎng)格的計(jì)算；算法步驟守恒變量殘差下標(biāo)“h”細(xì)網(wǎng)格；

“2h”粗網(wǎng)格；

須注意：19Step1:

細(xì)網(wǎng)格上推進(jìn)1步，并計(jì)算出殘差Step2:

將細(xì)網(wǎng)格上的物理量插值到粗網(wǎng)格（作為粗網(wǎng)格的初值）Step3:計(jì)算強(qiáng)迫函數(shù)細(xì)網(wǎng)格的殘差（插值到粗網(wǎng)格）粗網(wǎng)格的殘差細(xì)網(wǎng)格對(duì)粗網(wǎng)格的修正1步Euler3步RKLU-SGSStep4:粗網(wǎng)格上進(jìn)行時(shí)間推進(jìn)使用多步法，推進(jìn)1步即可；使用單步法，推進(jìn)2-3步，強(qiáng)迫函數(shù)保持不變Step5:計(jì)算粗網(wǎng)格上的差量Step6:將差量插值到細(xì)網(wǎng)格，對(duì)細(xì)網(wǎng)格進(jìn)行修正，得到細(xì)網(wǎng)格上的物理量?jī)芍鼐W(wǎng)格的計(jì)算步驟細(xì)網(wǎng)格粗網(wǎng)格細(xì)網(wǎng)格20粗、細(xì)網(wǎng)格之間的插值1）細(xì)網(wǎng)格->粗網(wǎng)格物理量：子網(wǎng)格物理量的體積加權(quán)平均殘差：子網(wǎng)格殘差的簡(jiǎn)單相加網(wǎng)格內(nèi)的凈流量=子網(wǎng)格凈流量的相加總質(zhì)量(動(dòng)量、能量）=子網(wǎng)格質(zhì)量（動(dòng)量、能量）之和212）粗網(wǎng)格->細(xì)網(wǎng)格二維情況：最近的網(wǎng)格權(quán)重9/16;次近3/16;最遠(yuǎn)1/16;三維情況：最近網(wǎng)格權(quán)重27/64;次近9/64;再次近3/64;最遠(yuǎn)1/64三重網(wǎng)格上的計(jì)算步驟細(xì)網(wǎng)格粗網(wǎng)格最粗網(wǎng)格最粗網(wǎng)格上的強(qiáng)迫函數(shù)：修正后粗網(wǎng)格上的殘差準(zhǔn)備初值過程：粗網(wǎng)格->中等網(wǎng)格->細(xì)網(wǎng)格

224.雙時(shí)間步法目的：定常問題的加速收斂技術(shù)

非定常問題1）構(gòu)造隱格式例：2階精度隱格式2）構(gòu)造發(fā)展方程定常問題，非定常處理，推進(jìn)到收斂3）對(duì)t*（偽時(shí)間）

進(jìn)行時(shí)間推進(jìn)，直到收斂推進(jìn)到收斂可使用定常問題的加速收斂手段：局部時(shí)間步長(zhǎng)法、隱格式、多重網(wǎng)格法……間斷有限元方法(DiscontinuousGalerkin,DG)一、DG基本原理一維雙曲守恒律方程：a.差分法：直接離散導(dǎo)數(shù)（差分化）j-1jj+1j-1/2j+1/2b.有限體積法：求解（控制體）積分方程§8.3間斷有限元方法簡(jiǎn)介已知f函數(shù)的點(diǎn)值，計(jì)算“重構(gòu)對(duì)函數(shù)”h在j+1/2值的過程已知函數(shù)u的均值，計(jì)算該函數(shù)

在j+1/2值的過程c.有限元（Galerkin

）方法1）選擇一組基函數(shù)：含義：在該基函數(shù)空間內(nèi)，方程殘差最小全局定義的連續(xù)函數(shù)j-1jj+1x=ax=b……在全局定義的基函數(shù)空間中，選擇最優(yōu)解的過程通常，選取為正交多項(xiàng)式函數(shù)，例如勒讓德多項(xiàng)式2）設(shè)待解變量，“自由度”3）求解方程：如果

是單位正交基函數(shù)特點(diǎn)：理論基礎(chǔ)好：指定空間內(nèi)的“最優(yōu)解”

解足夠光滑時(shí)，有較好的收斂性

不足:不易處理間斷問題；基函數(shù)全局定義,不易推廣到多維、復(fù)雜網(wǎng)格；j-1jj+1x=ax=b……分部積分解出在局部區(qū)域?qū)ふ易顑?yōu)解d.間斷有限元（DiscontinuousGalerkin，DG）方法j-1jj+1j-1/2j+1/21）

選擇局部定義的光滑的基函數(shù)：注：與Galerkin法不同，不是全局積分，而是局部積分；

易于推廣到復(fù)雜網(wǎng)格；

如果測(cè)試函數(shù)，則為有限體積法通常為正交多項(xiàng)式函數(shù)2）令3）在局部區(qū)域?qū)ふ易顑?yōu)解27ABC（全局）Galerkin方法，基函數(shù)全局定義基函數(shù)選取復(fù)雜；積分復(fù)雜；基函數(shù)全局光滑，無(wú)法處理間斷間斷Galerkin方法，基函數(shù)僅在每個(gè)單元內(nèi)定義等參變換：

三角形單元

正三角形

四邊形單元

正方形基函數(shù)選取簡(jiǎn)單，積分簡(jiǎn)單

僅在單元內(nèi)光滑即可，易于處理間斷

j-1jj+1j-1/2j+1/2j-1jj+1j-1/2j+1/2問題：各單元獨(dú)立求解，沒有關(guān)聯(lián)！非物理DG具體求解方法單位正交基分部積分單元內(nèi)部積分邊界值？j-1jj+1j-1/2j+1/2j+1/2點(diǎn)處存在兩個(gè)不同的通量值：需替換成統(tǒng)一通量！通量分裂或Riemann解；Steger-Warming,VanLeer,LF,Roe,HLL,HLLC,AUSM,…最終離散形式：優(yōu)勢(shì)：高度緊致性；

易于推廣到高精度統(tǒng)一通量有限體積法：每個(gè)單元僅存儲(chǔ)一個(gè)信息（均值）DG:每個(gè)單元存儲(chǔ)多個(gè)信息（各階矩）步驟：

Step1:在區(qū)間選取基函數(shù)

，區(qū)間內(nèi)物理量分布為：j-1jj+1j-1/2j+1/2例如：（1階精度）：假設(shè)物理量在區(qū)間內(nèi)均勻分布：

（k=1,每個(gè)點(diǎn)僅儲(chǔ)存1個(gè)信息）

（2階精度）：線性分布：

（k=2,每個(gè)點(diǎn)儲(chǔ)存2個(gè)信息）

Step2:計(jì)算界面通量：Step3:

進(jìn)行時(shí)間積分得到n+1時(shí)刻的值：DG的兩個(gè)關(guān)鍵步驟：

1）重構(gòu)（選擇基函數(shù)）

2）計(jì)算通量（Riemann解）二、DG在非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格中的應(yīng)用DG算法具有很好的緊致性，單個(gè)單元信息即可完成重構(gòu)設(shè)單元內(nèi)，物理量分布為：其中，為基函數(shù)，通常可取為多項(xiàng)式函數(shù)等價(jià)于：例如：分部積分可計(jì)算廣義通量必須保證通量的一致性:單元公共邊處的通量必須相同采用通量技術(shù)（例如Riemann解）具體方法：Step1.選取基函數(shù)常用基函數(shù)：正交多項(xiàng)式滿足：由此確定各系數(shù)注：積分方法1）精確積分；2）數(shù)值積分（精度足夠高，常用Gauss積分）……Step2.計(jì)算體積分a.計(jì)算b.計(jì)算

本時(shí)間步值（已知）c.計(jì)算積分精確或數(shù)值積分Step3.計(jì)算面積分（通量）注意：由于交界面為兩相鄰單元共享，因而在交界面處的通量必須統(tǒng)一；采用通量技術(shù)實(shí)現(xiàn)（Riemann解或通量分裂方法）Step4:正交基函數(shù)推進(jìn)求解（Runge-Kutta）時(shí)間推進(jìn)三、DG方法中的限制器（激波捕捉）1.為何要使用限制器？間斷（大梯度）處，高階重構(gòu)預(yù)測(cè)值與真實(shí)值相差甚遠(yuǎn)需要進(jìn)行限制（切換到低階重構(gòu)）重構(gòu)示意圖j1階2階3階2.DG限制器的困難僅利用本單元信息，很難識(shí)別間斷差分法：利用多個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)信息，易于識(shí)別間斷j-1jj+1jDG:僅利用本網(wǎng)格單元信息，不易識(shí)別間斷j點(diǎn)上各階導(dǎo)數(shù)信息；3.常用方法2）混合方法例如DG+WENO先利用周圍點(diǎn)的信息，判斷單元是否光滑j-1jj+1光滑單元，利用DG;間斷區(qū)，利用WENO;1）人工粘性法人工粘性系數(shù)四、DG的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：極好的緊致性（單各網(wǎng)格單元，實(shí)現(xiàn)任意階重構(gòu)）類似“超緊致”格式網(wǎng)格單元上存儲(chǔ)：函數(shù)值及各階導(dǎo)數(shù)信息易于推廣到非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格不足