四年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 期末數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講義（知識(shí)歸納+典例講解+同步測(cè)試）-垂線與平行線 （含詳解）（蘇教版）

2019-2020學(xué)年蘇教版小學(xué)四年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)專題講義垂線與平行線【知識(shí)點(diǎn)歸納】1.垂直與平行的特征及性質(zhì)1．垂線的定義：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直．其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足．

直線AB，CD互相垂直，記作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），讀作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）．

2．垂線的性質(zhì)：性質(zhì)1：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．

性質(zhì)2：連結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．簡(jiǎn)稱：垂線段最短．

3．垂直的判定：垂線的定義．

4．平行線的概念：在同一個(gè)平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線．平行用符號(hào)“∥，如“AB∥CD”，讀作“AB平行于CD”．5．平行線的判定方法：（1）平行于同一條直線的兩直線平行．（2）垂直于同一條直線的兩直線平行．（3）平行線的定義．【典例分析】例1：如果同一平面內(nèi)兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線（）A、平行

B、互相垂直

C、互相平行

D、相交分析：根據(jù)垂直和平行的特征：兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行；進(jìn)而解答即可．解：如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線互相平行；故選：C．點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂直和平行的特征及性質(zhì)．例2：不相交的兩條直線叫平行線．×．（判斷對(duì)錯(cuò)）分析：根據(jù)平行線的定義，在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行線．所以說法錯(cuò)誤．解：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，所以本題成立的前提是：在同一平面內(nèi)．故答案為：×．點(diǎn)評(píng)：解答此題抓住在同一平面內(nèi)理解兩條直線的位置：平行或相交．2．過直線上或直線外一點(diǎn)作直線的垂線1、以直線外一點(diǎn)為圓心，以大于這點(diǎn)到直線的距離為半徑畫弧交直線于A、B兩點(diǎn)．2、分別以A、B為圓心，以大于AB為半徑畫弧在直線的兩側(cè)相交于兩點(diǎn)．3、連結(jié)這一點(diǎn)和任意一個(gè)交點(diǎn)（或連結(jié)兩個(gè)交點(diǎn)）的直線就是已知直線的垂線．【典例分析】例1：過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線，可以畫1條．分析：直線外一點(diǎn)有并且只有一條直線與已知直線垂直．據(jù)此可解答．解：過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線，可以畫1條．故答案為：1．點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生對(duì)過直線外一點(diǎn)向已知直線作垂線的唯一性的掌握情況．例2：過A點(diǎn)畫已知直線的垂線．分析：用三角板的一條直角邊的已知直線重合，沿重合的直線平移三角板，使三角板的另一條直角邊和A點(diǎn)重合，過A沿直角邊向已知直線畫直線即可．解：根據(jù)分析畫圖如下：點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生過直線外一點(diǎn)向已知直線作垂線的能力．3．過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線1．畫法：設(shè)直線外一點(diǎn)為a，在直線上任取兩點(diǎn)b和c，以a為圓心，以bc為半徑作??；以b為圓心，以ac為半徑作弧，兩弧交于d點(diǎn)；連接ad作直線，則ad必平行于bc．2．在同一平面內(nèi)，過直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線，只能畫一條．如果沒有在同一平面內(nèi)的限制，過直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線，能畫無數(shù)多條．【典例分析】例1：過直線外的一點(diǎn)，畫已知直線的平行線，這樣的平行線可以畫（）A、1條

B、2條

C、無數(shù)條分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)，過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線，能作且只能作一條．解：過直線外的一點(diǎn)，畫已知直線的平行線，這樣的平行線可以畫1條．故選：A．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行線的性質(zhì)．例2：過A點(diǎn)畫出已知直線的平行線．分析：用三角板的一條直角邊和已知直線重合，移動(dòng)三角板使另一條直角邊和A點(diǎn)重合，用直尺靠緊和A點(diǎn)重合的直角邊，按住直尺不動(dòng)，沿直尺移動(dòng)三角板，過A點(diǎn)畫直線即可．解：用三角板的一條直角邊和已知直線重合，移動(dòng)三角板使另一條直角邊和A點(diǎn)重合，用直尺沿和A點(diǎn)重合的直角邊，按住直尺不動(dòng)，沿直尺移動(dòng)三角板，過A點(diǎn)畫直線．點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生利用三角板和直尺來作平行線的能力，培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力。同步測(cè)試一．選擇題（共8小題）1．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線一定（）A．平行 B．垂直 C．不平行也不垂直2．作已知直線L的垂線，可以作（）條．A．1 B．2 C．3 D．無數(shù)3．過直線外的一點(diǎn)，畫已知直線的平行線，這樣的平行線可以畫（）A．1條 B．2條 C．無數(shù)條4．直線外一點(diǎn)到直線L的所有線段中，最短的是（）A．平行線 B．線段 C．垂線段5．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們觀察一幅道路圖（如圖）．下面敘述一定不正確的是（）A．道路1和道路2互相平行 B．道路3和道路4互相平行 C．道路3和道路5互相垂直 D．道路1和道路5互相垂直6．觀察圖，找出正方形中互相垂直的線段有（）組．A．2 B．3 C．4 D．57．在下面圖中，經(jīng)過A點(diǎn)、B點(diǎn)分別作出直線的垂線，想一想這兩條垂線之間的關(guān)系是（）A．互相垂直 B．互相平行 C．無法確定8．下面是幾位同學(xué)過P點(diǎn)做的∠A兩條邊的平行線，正確的是（）A． B． C．二．填空題（共8小題）9．公路上有三條小路通往小明家，它們的長(zhǎng)度分別是172米、305米、148米，其中一條小路與公路是垂直的，那么這條小路的長(zhǎng)度為米．10．過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線，可以畫條．11．過線段AB外的一點(diǎn)C，可以畫條與線段AB平行的直線．12．在下圖的正方形中，互相垂直的線段有對(duì)，互相平行的線段有對(duì)．13．圖中，直線c和直線d的位置關(guān)系是互相，直線c是直線的垂線．直線d是直線的垂線．14．在平面內(nèi)的兩條直線叫做平行線，也可以說這兩條直線．15．兩條直線相交成時(shí)，這兩條直線就．16．過點(diǎn)A分別作直線a的平行線和直線b的垂線．點(diǎn)A到直線a的距離是cm．三．判斷題（共5小題）17．在同一平面內(nèi)，過直線L外一點(diǎn)P只能畫一條平行線與L平行．（判斷對(duì)錯(cuò)）18．過直線外一點(diǎn)可以向這條直線畫無數(shù)條垂線．．（判斷對(duì)錯(cuò)）19．直角三角形的兩條直角邊是互相垂直的（判斷對(duì)錯(cuò)）20．在同一平面內(nèi)有三條直線a、b、c，已知a與b互相平行、b與c互相平行，則a∥c．（判斷對(duì)錯(cuò)）21．過直線外一點(diǎn)A，向已知直線作垂線，只能作一條．（判斷對(duì)錯(cuò)）四．操作題（共3小題）22．經(jīng)過P點(diǎn)做已知直線m的垂線．23．在點(diǎn)子圖上任意畫出一組平行線．24．如圖所示是城東街區(qū)部分平面示意圖．①步行街經(jīng)過休閑廣場(chǎng)，并與惠民路平行．請(qǐng)?jiān)趫D中畫出示意圖．②蓮花小區(qū)計(jì)劃安裝天然氣管道，主管道在惠民路上，你認(rèn)為應(yīng)該怎樣安裝？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出示意圖．

參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．【分析】根據(jù)平行的含義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線；進(jìn)行解答即可．【解答】解：由分析可知：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線一定互相平行．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行的含義，注意關(guān)鍵詞“同一平面”、“不相交”．2．【分析】在直線上有無數(shù)條過已知直線上的點(diǎn)的垂線．【解答】解：在直線上有無數(shù)條過已知直線上的點(diǎn)的垂線．所以可以畫無數(shù)條已知直線的垂線．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了學(xué)生在直線上有無數(shù)條過已知直線上的點(diǎn)的垂線知識(shí)的掌握情況．3．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線，能作且只能作一條．【解答】解：過直線外的一點(diǎn)，畫已知直線的平行線，這樣的平行線可以畫1條．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的性質(zhì)．4．【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的含義：從直線外的一點(diǎn)向這條直線所畫的垂直線段的長(zhǎng)度，叫做這點(diǎn)到直線的距離；從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫的垂線段最短．【解答】解：根據(jù)分析可得：直線外一點(diǎn)到直線L的所有線段中，最短的是垂線段；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了點(diǎn)到直線的距離的含義．5．【分析】根據(jù)平行線和垂線的定義：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線；當(dāng)兩條直線相交成90度時(shí)，這兩條直線就互相垂直；據(jù)此解答即可．【解答】解：數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們觀察一幅道路圖（如圖）．下面敘述一定不正確的是：道路3和道路5互相垂直；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行和垂直的定義的靈活應(yīng)用．6．【分析】依據(jù)正方形的特征及性質(zhì)可知：正方形有兩組互相平行的線段，有四組互相垂直的線段，另外兩條對(duì)角線也互相垂直，所以互相垂直的有5組；有8個(gè)直角；據(jù)此解答即可．【解答】解：如圖正方形中，互相垂直的線段有5組，有8個(gè)直角；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查正方形的特征及性質(zhì)．7．【分析】用三角板的一條直角邊的已知直線l重合，沿重合的直線平移三角板，使三角板的另一條直角邊和A點(diǎn)（B點(diǎn)）重合，過A點(diǎn)（B點(diǎn)）沿直角邊向已知直線畫直線即可；然后觀察所畫圖形即可判斷三條直線的關(guān)系．【解答】解：畫圖如下：觀圖可知：這兩條垂線之間的關(guān)系是：互相平行；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了學(xué)生過直線外一點(diǎn)作已知直線垂線的畫圖能力以及判斷兩條直線之間的位置關(guān)系．8．【分析】作平行線的方法是：把三角板的一條直角邊與已知直線重合，用直尺靠緊三角板的另一條直角邊，沿直尺移動(dòng)三角板，使三角板的原來和已知直線重合的直角邊和A點(diǎn)重合，過A點(diǎn)沿三角板的直角邊畫直線即可，據(jù)此即可判斷．【解答】解：觀察圖A：只有一條直線與其中一條邊平行，另一條不平行，所以A不對(duì)；觀察圖B，兩條直線和邊都不平行；所以B不對(duì)；觀察圖C，兩條直線分別和兩條邊平行；所以C對(duì)；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生平行線的作法，培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力．二．填空題（共8小題）9．【分析】利用點(diǎn)到直線的所有連接線段中，垂直線段最短的性質(zhì)即可解決問題．【解答】解：根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)可知：公路上有三條小路通往小明家，它們的長(zhǎng)度分別是172米、305米、148米，其中一條小路與公路是垂直的，那么這條小路的長(zhǎng)度為148米；故答案為：148．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂直線段最短的性質(zhì)的在解決實(shí)際問題中的靈活應(yīng)用．10．【分析】直線外一點(diǎn)有并且只有一條直線與已知直線垂直．據(jù)此可解答．【解答】解：過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線，可以畫一條．故答案為：一．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生對(duì)過直線外一點(diǎn)向已知直線作垂線的唯一性的掌握情況．11．【分析】根據(jù)平行的性質(zhì)：過直線外一點(diǎn)，畫已知直線的平行線，只能畫一條；據(jù)此解答即可．【解答】解：根據(jù)平行的性質(zhì)可知：過線段AB外的一點(diǎn)C，可以畫1條與線段AB平行的直線．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行的性質(zhì)，注意基礎(chǔ)知識(shí)的積累和運(yùn)用．12．【分析】根據(jù)垂直和平行的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)相交成直角的兩條直線叫做互相垂直，不相交的兩條直線叫做平行線；據(jù)此解答即可．【解答】解：在下圖的正方形中，互相垂直的線段有8對(duì)，互相平行的線段有4對(duì)．故答案為：8，4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂直和平行的特征和性質(zhì)，根據(jù)意義解答即可．13．【分析】?jī)蓷l直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直．其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足；據(jù)此解答．【解答】解：直線c和直線d的位置關(guān)系是互相垂直，直線c是直線d的垂線．直線d是直線c的垂線．故答案為：垂直，d，c．【點(diǎn)評(píng)】此題考查對(duì)互相垂直的認(rèn)識(shí)和判斷．14．【分析】在同一個(gè)平面內(nèi)兩條不相交的直線叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行．據(jù)此解答．【解答】解：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行；故答案為：同一，不相交，互相平行．【點(diǎn)評(píng)】本題的關(guān)鍵是理解平行線的含義，應(yīng)注意前提是在“同一平面內(nèi)”．15．【分析】根據(jù)垂直的定義：如果兩條直線相交成直角，就說這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一個(gè)條直線的垂線；據(jù)此判斷即可．【解答】解：兩條直線相交成直角時(shí)，這兩條直線就互相垂直．故答案為：直角，互相垂直．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂直的含義，熟練掌握其含義是解題的關(guān)鍵．16．【分析】（1）把三角板的一條直角邊與已知直線a重合，用直尺靠緊三角板的另一條直角邊，沿直尺移動(dòng)三角板，使三角板的原來和已知直線重合的直角邊和A點(diǎn)重合，過A點(diǎn)沿三角板的直角邊畫直線即可；（2）把三角板的一條直角邊與已知直線b重合，沿直線移動(dòng)三角板，使三角板的另一條直角邊和A點(diǎn)重合，過A點(diǎn)沿三角板的直角邊，向已知直線畫直線即可；（3）先過點(diǎn)A作直線a的垂線，點(diǎn)A和垂足之間的線段的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到直線a的距離，用刻度尺測(cè)量即可．【解答】解：作圖如下：量得點(diǎn)A到直線a的距離是1.9cm．故答案為：1.9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生利用直尺和三角板作垂線和作平行線的能力．也考查了點(diǎn)到直線的距離．三．判斷題（共5小題）17．【分析】過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線，能作且只能作一條，由此判斷．【解答】解：根據(jù)平行公理可知：在同一平面內(nèi)，過直線L外一點(diǎn)P只能畫一條平行線與L平行；所以原題說法正確．故答案為：√．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行公理，準(zhǔn)確理解性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．【分析】過直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直．據(jù)此解答．【解答】解：據(jù)以上分析知：過直線外一點(diǎn)只有一條直線和這條直線垂直．故答案為：×．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生對(duì)過直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直知識(shí)的掌握情況．19．【分析】根據(jù)平行線和垂線的定義：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線；當(dāng)兩條直線相交成90度時(shí)，這兩條直線就互相垂直；據(jù)此解答即可．【解答】解：直角三角形的兩條直角邊是互相垂直的；故答案為：√．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行和垂直的定義．20．【分析】據(jù)平行線的定義，在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，在同一平面內(nèi)與一條直線互相平行的兩條直線互相平行；據(jù)此解答．【解答】解：在同一平面內(nèi)有三條直線a、b、c，已知a與b互相平行、b與c互相平行，則a∥c．原題說法正確．故答案為：√．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂直于平行的特征及性質(zhì)，應(yīng)注意基礎(chǔ)知識(shí)的積累．21．【分析】根據(jù)垂線的性質(zhì)：過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，能作且只能作1條；據(jù)此判斷即可．【解答