初中數(shù)學(xué)教案分式與分式運(yùn)算

授課教師肖君學(xué)生姓名夏瑞林上課時(shí)間

學(xué)科數(shù)學(xué)年級八年級課時(shí)計(jì)劃第______次

提交時(shí)間學(xué)管師湯玲教學(xué)主管

分式的概念及基本性質(zhì)

一、同步知識梳理

1.分式的概念

A

形如會/,8是整式，且8中含有字母，8#0)的式子叫做分式.其中，A叫做分式的分子，B叫做分式

的分母。

2.與分式有關(guān)的“三個(gè)條件”

A

(1)分式會無意義的條件是8=0；

A

(2)分式不有意義的條件是8#0；

(3)分式施為零的條件是Z=0且BW0.

二、同步題型分析

題型一：考查分式的定義

例1指出下列各式中，哪些是分式？

f43c212a2a1

2x--l,—,—+-b.

2x-l(5b+c'73a32

題型二：考查分式有意義的條件

2

例2(1)當(dāng)x______時(shí)，分式47r43-1有意義；當(dāng)x______時(shí)，分式」3+x一有意義.

3x+22x—3

(2)下列各式中，無論x取何，分式都有意義的是()

x3x+lJ

A.-----B.-----CD2

2x+\2x+l-v2,2X+1

題型三：考查分式的值為0的條件

例3當(dāng)m為何值時(shí)，分式的值為0?

,、m-2⑶*

(1)-----(2)-----

m+3m+1

三、課堂達(dá)標(biāo)檢測

1.梯形的面積為S,上底長為m,下底長為“，則梯形的高寫成分式為.

2.下列各式」一，-(x+y),止",-3x2,0回中，是分式的有___________________；是整式的

x+l5a-b

有_____________________

一時(shí)，分式上辦無意義；當(dāng)產(chǎn)____________時(shí)，分式49r3-4-1無意義.

3.當(dāng)產(chǎn)_________

1—2x3x-4

x2-9x2—1

4.當(dāng)X=__________時(shí)，分式已~-的值為零；當(dāng)k____________時(shí)，分式=-----^的值為零.

x-3x~+x-2

.八j4x+3的值為1；當(dāng)x____________時(shí)，分式一一的值為負(fù)數(shù).

5.當(dāng)產(chǎn)_時(shí)，分式-----

x-6X+1

3x+yc1④一一(此處兀為常數(shù))中，是分式的有(

6.下列各式①一，)

X52-aK-2

A.①?B.③④C.D.①②??

7.分式-----中，當(dāng)x=-a時(shí)，下列結(jié)論正確的是()

2x-l

A.分式的值為零B.分式無意義

C.若aw—L時(shí)，分式的值為零

D.若時(shí)，分式的值為零

22

8.下列各式中，可能取值為零的是()

m2+1m2-1m+lm2+\

A.B.C.D.

m2-1m+1m2-1m+l

9.使分式無意義，。的取值是（）

a2-l

A.0B.1C.—1D.±1

10.已知.'2,x取哪些值時(shí)：

-3-4x

（1）y的值是正數(shù)；（2）y的值是負(fù)數(shù)；（3）y的值是零；（4）分式無意義.

1、分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。

2、分式的約分

（1）約分的概念：把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分.

（2）分式約分的依據(jù)：分式的基本性質(zhì).

（3）分式約分的方法：把分式的分子與分母分解因式，然后約去分子與分母的公因式.

（4）最簡分式的概念：一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式時(shí)，叫做最簡分式.

3、分式的通分

把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分?jǐn)?shù)的通分。

※分?jǐn)?shù)通分的方法及步驟：

答：先求出幾個(gè)異分母分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)，作為它們的公分母，把原來的各分?jǐn)?shù)化成用這個(gè)公

分母做分母的分?jǐn)?shù)。

分式的通分和分?jǐn)?shù)的通分是一樣的：通分的關(guān)鍵是確定幾個(gè)分式的公分母。

4、最簡公分母：取各分母的所有因式的最高次幕的積作公分母，它叫做最簡公分母。

※找最簡公分母的步驟：

（1）系數(shù)取各個(gè)分母系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡公分母的因式

（2）取分母中各個(gè)公因式的最高次基作為最簡公分母的因式

（3）如果分母是多項(xiàng)式，則應(yīng)先把分母分解因式，然后再判斷最簡公分母。

派回顧分解因式找公因式的步驟：

（1）找系數(shù)：找各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù);

（2）找字母：找相同字母的最低次塞;

題型一：分式基本性質(zhì)簡單應(yīng)用

例1填空

(1)二L-U-；⑵笑神；⑶至=，±；⑷工-/白

a+carisen\2a"b()1+3r+3x[^x+y)\)

題型二：利用分式基本性質(zhì)進(jìn)行系數(shù)改變

11

-x------y

例2不改變分式的值，使分式彳一甲一的各項(xiàng)系數(shù)化為整數(shù)，則分子、分母應(yīng)同時(shí)乘以()

-X+—V

39

A.10B.9C.45D.90

題型三：化簡求值題

【例3】已知：,+'=3,求2X』，+2)’的值.

Xyx+2xy+y

【例4】己知：x-l=2,求/+」的值.

XJ

【例5】若|x-y+l|+(2x-3)2=0,求擊的直

題型四：約分

22

皿c,、x+6x+9m-3m+2

例6(1)——------(2)

A--9ITT-m

題型五：通分

/、?！?6

例7(1)-4—：（2）--------------

6ab29a~bca，+2。+1a2-I

三、課堂達(dá)標(biāo)檢測

1.不改變分式的值，使分式分子的首項(xiàng)與分式本身都不含“一”號:

T⑵

2a-b

04x+2

2.不改變分式的值，把分式中分子、分母各項(xiàng)系數(shù)化成整數(shù)為.

0.5x-l

ahc

3.分式的最簡公分母是

/—4。+44?！?8。+43ci—6

4.下列各式中，正確的是()

-x+yx-y-x-vy-X-yr+yj+y-x+y_x-y

A.---------=——-B.cD.

-x-yx+yx-yx-y-x-yx-yx-yx+y

5.下列各式中，正確的是)

a+maa+bah—\h-1

A.--------=-B.----------二0C.D.

b+mba+bac-\c-19-y2x+y

6.約分:

6m2n⑶8(E

(1)⑵^4；⑷?一w—

3mn2-32xyz5x-yx2+5x-14

7.通分：

(1)^和—3~~彳—;(2)----和——；(3)----y'和------;(4)----和-----

2ab'5crb~cIxy3廠2ab~8bc2y-1y+1

2a2-2a-3

8.己知4=*,則—絲上的值等于多少？

3a2-la+l2

\x

9.己知x+—=3,求一［——s—的值?

XX+x~+1

課后作業(yè)

一、選擇題

1.分式手，有意義的條件是（）

X+y

A.x#0B.產(chǎn)0

C.xWO或產(chǎn)0D.xWO且產(chǎn)0

2.若分式.+1）6二?的值是零,則x的值是（）

（x+l）（x+2）

A.——1B.——1或2

C.2D.一一2

3.若分式Jx—i3的值為負(fù)數(shù)，則X的取值范圍是（）

x

A.x>3B.x<3

C.xV3且xWOD.x>——3且xWO

4.根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式二L可變形為（）

a-b

-a-ba+ba-ba+b

5.下列各式中，正確的是（）

；r+y_x+y.

A.B..C

T-yx+y，x-yx-y，T-yx-y，x-yx+y

6.下列各式中，正確的是（）

a+maa+b八八ab-1b-1x-y_1

AA.-----=一D.

------=0C.=~22~

b-\-mba+b-------------ac-1c-l龍一yx+y

二、填空題

r什2.ci~-2a—3

7.右a=一,則f---------的值等于

3cr-la+\2

a2+ab

8.計(jì)算

x—22x-3工的最簡公分母為

9.公式

a—ly(1-x)3x—1

—19

10.」X■==一，則？處應(yīng)填上一，其中條件是

X+1X—1

三、解答題

11.（學(xué)科綜合題）已知a2-4a+9b2+6b+5=0,求的值.

ab

12.（巧解題）已知X2+3X+1=0,求X2+!的值.

x

1r-

13.（妙法求解題）已知x+±=3,求一的值.

x%4+%2+1

分式的運(yùn)算

一、同步知識梳理

1、分式的乘法法則：兩個(gè)分式相乘，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母.用字母表示為:

acac

—x—二——

bdbd

2、分式的除法法則：兩個(gè)分式相除，將除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.用字母表示為：

ac_ad_ad

—：—=—x—=—

hdhche

目上上,」

aga__aa"

3、分式的乘方法則：分式乘方是把分子分母各自乘方.用公式表示為：一1一（n

是正整數(shù)）

二、同步題型分析

題型一分式的乘法

x+2x2—6x+9

例1計(jì)算：（1）3\?（-1一）;

4z-yx—3x~-4-

題型二分式的除法

2

z、、m/、a2b_2axz、a-2a-4

例2計(jì)算：（1）—4-——;（2）----------------------

3cd6cd。+3ci~+6cl+9

題型三：分式的乘方運(yùn)算

，、2

（3c）

題型四：分式的乘方、乘除混合運(yùn)算

x+21x—3

例4計(jì)算:

x2-6x+93-xx+2

例5計(jì)算：3孫2+（一土）3.（UZ）2.

XX

三、課堂達(dá)標(biāo)檢測

22

1.計(jì)算（上）2?0匚）3+（-上）4得

yxx

A.x5B.xsyC.y5D.xys

2

計(jì)算上+上的結(jié)果是

2.（-2）（）

yxx

x2Xx2

A.一yB.------C.一D.—

yyy

3。、/a2b

3.計(jì)算12a22.（_方）+（_《_）x的值等于

A.-9。B.9ac.—36。D.36。

、、f2x2y5m2n二5xym

4.計(jì)算：二工?5.計(jì)算：（六）2+（一

3mrr4xy23〃6x~4x

4f—91116-m2m-4m2-4

6.計(jì)算:------------;----------?---------7.計(jì)算:-------------------y------------?----------

2x—14x—22x—316+8m+m2m+8m+2

8.課堂上，吳老師給大家出了這樣一道題：求當(dāng)x等于（1）7-272；（2）9+26時(shí)，請分別計(jì)算代數(shù)

r2_2r+12x-2

式23三三的值?小明一看，''太復(fù)雜了，怎么算呢？"你能幫小明解決這個(gè)問題嗎？請你

x2-lx+]

寫出具體過程.

2

5光+6y,-X+3x+2、2

10.先化簡，再求值:其中x=—2.

12-7x+x2x2-2x+8

一、同步知識梳理

1、分式加減法法則

（1）通分：把異分母的分式化為同分母分式的過程，叫做通分

aca±c

——土一二------

（2）同分母分式的加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變.分子相加減.用字母表示為：b~bb

（3）異分母分式的加減法法則：異分母的分式相加減，先通分.變?yōu)橥帜傅姆质胶笤偌訙p.用字母表示

為：

a,cad,bead±bc

一土—=—±—=---------

bdbdbdbd

二、同步題型分析

題型一簡單分式的加減

例1計(jì)算:

⑴二」31z、2aa+b

;(2)----------1-----------(3)----+----

3x3x2ab4。~b-aa-b

題型二復(fù)雜的分式的加減

12222V2

例2計(jì)算：（1）-4^-+-^-+-^；（2）X-J+-2-.

m~-93-mm+3y+x

題型三分式的混合運(yùn)算

例3計(jì)算：（1一一1!一）十上3」-a-.

a-22a—4

z.,22,x+y、、x-y

例4計(jì)算：［r---------（------x-y）］+------.

3xx+y3xx

題型四分式的化簡求值

例5已知》=3—后，求代數(shù)式（_^——廣」—）十七2的值.

x-3xx-6x+9x

三、課堂達(dá)標(biāo)檢測

arrn—m

1.直接寫出結(jié)果：(1)a^b--=_________；(2)m一一.

hm-nn

3-x

2.計(jì)算:

2x-4

.ab.1

3.計(jì)算:(----+-----)+-----

a-bb-aa+b

八1、a

4.計(jì)算:(1+---)+-------=

a-l2a—2

X-1|

5.計(jì)算三」+0一上）的結(jié)果為()

XX

1

D.----

x2-Ix-1x+1

6.計(jì)算（1+工）+（1一,）的結(jié)果為

)

aa

i*12

Cl—1Q+1Cl

2—九

7?計(jì)算:+|X+1-

x—\

2Q+2.3

8.計(jì)算:

ci-\+8Q-92。+18

x+2x-l)X

9.計(jì)算:

x2—2xX2-4X+44-X

io.求f一（1+土^匕）的值,其中。=-5+而,6=3-711

a2b-ab22ab

O22

―,,3.［、./aci、/aci.>?/+

11.已知a=-、b=-2，求(------------------+(----------z------7)+1的伯?

4a-b-2ab+b~a+bcr-b?

一、同步知識梳理

一、整數(shù)指數(shù)幕的應(yīng)用

1.整數(shù)指數(shù)募的運(yùn)算性質(zhì)：

（1）=。"""（m,n是正整數(shù)）；

⑵（""）"=優(yōu)""（m,n是正整數(shù)）；

（3）（。份"=優(yōu)優(yōu)（n是正整數(shù)）；

二、分式運(yùn)算的應(yīng)用

1.分式的化簡、求值

先化簡，后代入求值是代數(shù)式化簡求值問題的基本策略，有條件的化簡求值題，條件可直接使用，變形

使用，或綜合使用，要與目標(biāo)緊緊結(jié)合起來；無條件的化簡求值題，要注意挖掘隱含條件，或通過分式巧

妙變形，使得分子為0或分子與分母構(gòu)成倍分關(guān)系特殊情況，課直接求出結(jié)果.

2.分式的證明

證明恒等式，沒有統(tǒng)一的方法，具體問題還要具體分析，一般分式的恒等式證明分為兩類：一類是有附

加條件的，另一類是沒有附加條件的，對于前者，更要善于利用條件，使證明簡化.

二、同步題型分析

題型一整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算

例1計(jì)算：(—0.25)7+(—0.25)°.

2

例2計(jì)算：（q）、（0.上產(chǎn)

xxy-x

例3用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)：（1）0.000002=:（2）0.0000108=,

-4

例4計(jì)算：(1)(SxlO-^xCSxlO)；(2)(6X10-3)2+(6X1()T)2.

題型二分式的化簡、求值與證明

丫一［7X1

例1先化簡代數(shù)式（二」+）+-T—1然后選取一個(gè)使原式有意義的x的值代入求值.

x+1X—1X-1

2x-3xy+2y...

例2已知一+—=5,求--------------的值±.

xyx+2xy+y

2

X

例3（廣東競賽）己知X求的值.

x?-3x+1X4-9X2+\

1

例4-，、一abc,,/土

4-求------------的值.

ab+ac+be

.〃c+ba+c求(a+〃)(c+〃)(a+c)的伯

例5

ahabc

abc

例6已知abc=l,求證：---------+---------+---------=1

Q〃+Q+1bc+b+TQC+C+1

課后作業(yè)

一、填空（

I%!-]丫2_Q

1若分式口一的值為零，則X的值等于________,若分式一~二值為零，則*=

x—Ix—4-x+3

當(dāng)乂=w,分式無意義

2函數(shù)v=立亙的自變量x的取值范圍是，(x+x1)-1=

x-\

na-b()3孫()

□------------------------------------

ab2a2bx2-2xx—2

4已知x2-3x+l=0,貝1」工2+」=,x--=

XX

211cniii2b~3ab—2。.［犬+y—z

5若--------=2,貝lj----------------------=____________已知x:y:z=3:4:6W0,貝lj-------------

aba+ab—bx-y+z

7若代數(shù)式立有意義，則x的取值范圍是___________

x+2x+4

*分式二?五可三節(jié)的最簡公分母是

1X2

9若X+—=3,則分式1―--的值是_________

XX+X+1

二、選擇（

1計(jì)算±1+1一_1]的結(jié)果是（）

aIa）

11

A-------B1C-------D-1

a+1ci—1

2已知a、b為實(shí)數(shù)，且ab=l,設(shè)M=一3一+―2-,N=」一+」一則M、N的關(guān)系是（）

a+16+1o+lZ?+1

AM>N,BM=NCM<ND不確定

3一件工作，甲獨(dú)做a小時(shí)完成，乙獨(dú)做b小時(shí)完成，則甲、乙兩人合作完成需要（）

A（―+-）小時(shí)B小時(shí)c―L?小時(shí)D小時(shí)

ahaha+ba+b

4把分式匕』中的x、y都擴(kuò)大2倍，那么分式的值

孫

A擴(kuò)大2倍B擴(kuò)大4倍C縮小一半D不變

54+'-+-!-等于()

x2x3x

13「115

AA—B—C—D—

2x2x6x6x

\a\-a

6若a<0,則-----=()