2021年湖南省邵陽市中考數(shù)學(xué)試卷

2021年湖南省邵陽市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題有10個小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.（3分）-3的相反數(shù)是（）

A.-3B.0C.3D.n

2.（3分）下列四個圖形中，是中心對稱圖形的是（）

3.（3分）2021年我國首次發(fā)射探測器對火星進(jìn)行探測.北京時(shí)間2月10日晚，“天問一號”

探測器在距離地球約192000000加1處成功實(shí)施制動捕獲，隨后進(jìn)入火星軌道.用科學(xué)記

數(shù)法將192000000表示為“X1（）8的形式，則。的值是（）

A.0.192B.1.92C.19.2D.192

4.（3分）如圖，若數(shù)軸上兩點(diǎn)M,N所對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為m,〃，則m+n的值可能是（）

-3-2-1012

A.2B.1C.-1D.-2

5.（3分）如圖，在aAOB中，AO=1,旦.將△AOB繞點(diǎn)。逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,

2

得到OB',連接AA'.則線段A4'的長為（）

B'B

6.（3分）其社區(qū)針對5月30日前該社區(qū)居民接種新冠疫苗的情況開展了問卷調(diào)查，共收

回6000份有效問卷.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，制成如下數(shù)據(jù)表格.

接種疫苗針數(shù)0123

人數(shù)210022801320300

小杰同學(xué)選擇扇形統(tǒng)計(jì)圖分析接種不同針數(shù)的居民人數(shù)所占總?cè)藬?shù)的百分比.下面是制

作扇形統(tǒng)計(jì)圖的步驟（順序打亂）：

①計(jì)算各部分扇形的圓心角分別為126°,136.8°,79.2°,18°.

②計(jì)算出接種不同針數(shù)的居民人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比分別為35%,38%,22%,5%.

③在同一個圓中，根據(jù)所得的圓心角度數(shù)畫出各個扇形，并注明各部分的名稱及相應(yīng)的

百分比.

制作扇形統(tǒng)計(jì)圖的步驟排序正確的是（）

A.②①③B.①③②C.①②③D.③①②

5x-l>3x-4

7.（3分）下列數(shù)值不是不等式組［1,2的整數(shù)解的是（）

—3飛—3~x

A.-2B.-1C.0D.1

8.（3分）某天早晨7：00,小明從家騎自行車去上學(xué)，途中因自行車發(fā)生故障，就地修車

耽誤了一段時(shí)間，修好車后繼續(xù)騎行，7：30趕到了學(xué)校.如圖所示的函數(shù)圖象反映了他

騎車上學(xué)的整個過程.結(jié)合圖象，判斷下列結(jié)論正確的是（）

B.小明家距離學(xué)校1100，〃

C.小明修好車后花了30w?〃到達(dá)學(xué)校

D.小明修好車后騎行到學(xué)校的平均速度是3mls

9.（3分）如圖，點(diǎn)A,B,C是0。上的三點(diǎn).若NAOC=90°,ZBAC=30°,則/AOB

的大小為（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

10.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，若直線卜=-x+m不經(jīng)過第一象限，則關(guān)于x的方程"/+x+l

=0的實(shí)數(shù)根的個數(shù)為（）

A.0個B.1個C.2個D.1或2個

二、填空題（本大題有8個小題，每小題3分，共24分）

11.（3分）16的算術(shù)平方根是.

12.（3分）因式分解：肛2-/=.

13.（3分）如圖，點(diǎn)D,E,F分別為△ABC三邊的中點(diǎn).若8c的周長為10,則

的周長為.

BC

14.（3分）已知點(diǎn)A（1,yi）,B（2,”）為反比例函數(shù)y=3圖象上的兩點(diǎn)，則yi與”

x

的大小關(guān)系是yi”.（填“=”或“<”）

15.（3分）如圖，已知線段AB長為4.現(xiàn)按照以下步驟作圖：

①分別以點(diǎn)A,8為圓心，大于工8長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點(diǎn)E,F；

2

②過E,尸兩點(diǎn)作直線，與線段AB相交于點(diǎn)0.

則AO的長為.

16.（3分）一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個岔路口都會隨機(jī)選擇

其中一條路徑，則它遇到食物的概率是.

17.（3分）《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問題，原文如下：

今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四.問人數(shù)、物價(jià)各幾何？

意思是：幾個人一起去購買某物品，如果每人出8錢，則多了3錢；如果每人出7錢，

則少了4錢.問有多少人，物品的價(jià)值是多少？

該問題中物品的價(jià)值是錢.

18.（3分）如圖，在矩形A2CD中，DELAC,垂足為點(diǎn)E.若sinNAQE=g,AO=4,則

5

AB的長為

三、解答題（本大題有8個小題，第19?25題每題8分，第26題10分，共66分.解答應(yīng)

寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程）

19.（8分）計(jì)算：（2021-TT）°-|b-2|-tan60°.

20.（8分）先化簡，再從-1,0,1,2,V2+1中選擇一個合適的x的值代入求值.（1-上）

x+1

21

.J,x-1

X2+2X+1

21.（8分）如圖，在正方形A8C。中，對角線AC,8。相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,尸是對角線AC

上的兩點(diǎn)，且4E=CF.連接OE,DF,BE,BF.

（1）證明：△ADEmXCBF.

（2）若AB=4夜，AE=2,求四邊形BED尸的周長.

22.（8分）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校計(jì)劃舉行“學(xué)黨史?感黨恩”知識競答活

動，并計(jì)劃購置籃球、鋼筆、筆記本作為獎品.采購員劉老師在某文體用品店購買了做

為獎品的三種物品，回到學(xué)校后發(fā)現(xiàn)發(fā)票被弄花了，有幾個數(shù)據(jù)變得不清楚，如圖.

請根據(jù)圖所示的發(fā)票中的信息，幫助劉老師復(fù)原弄花的數(shù)據(jù)，即分別求出購置鋼筆、筆

記本的數(shù)量及對應(yīng)的金額.

23.（8分）為落實(shí)湖南省共青團(tuán)“青年大學(xué)習(xí)”的號召，某校團(tuán)委針對該校學(xué)生每周參加

“青年大學(xué)習(xí)”的時(shí)間（單位：h）進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，并將獲得的數(shù)據(jù)繪制成如下統(tǒng)

計(jì)表和如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，請根據(jù)圖表中的信息回答下列問題.

周學(xué)習(xí)時(shí)間頻數(shù)頻率

0Wf<l50.05

1W/V2200.20

2W/V3a0.35

30V425m

4WW5150.15

（1）求統(tǒng)計(jì)表中a,m的值.

（2）甲同學(xué)說“我的周學(xué)習(xí)時(shí)間是此次抽樣調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)”.求甲同學(xué)的周學(xué)

習(xí)時(shí)間在哪個范圍內(nèi).

（3）已知該校學(xué)生約有2000人，試估計(jì)該校學(xué)生每周參加“青年大學(xué)習(xí)”的時(shí)間不少

于3〃的人數(shù).

24.（8分）某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐，它的底面圓直徑EO與母線AO長之比為1：

2.制作這種外包裝需要用如圖所示的等腰三角形材料，其中AB=AC,ADLBC.將扇

形AEF圍成圓錐時(shí)，AE,AF恰好重合.

（1）求這種加工材料的頂角/A4c的大小.

（2）若圓錐底面圓的直徑EZ）為5c7”，求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積.（結(jié)

果保留ir）

25.（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C：y^ax2+bx+c（aWO）經(jīng)過點(diǎn)（1,1）

和（4,1）.

（1）求拋物線C的對稱軸.

（2）當(dāng)。=-1時(shí)，將拋物線C向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得到拋物線

C1.

①求拋物線Ci的解析式.

②設(shè)拋物線C1與x軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,連接BC.點(diǎn)

D為第一象限內(nèi)拋物線Ci上一動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DELOA于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m.是

否存在點(diǎn)。，使得以點(diǎn)。，D,E為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似，若存在，求出團(tuán)的值:

若不存在，請說明理由.

備用圖

26.(10分)如圖，在RL^ABC中，點(diǎn)P為斜邊BC上一動點(diǎn)，將△A8P沿直線AP折疊，

使得點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B',連接AB',CB',BB',PB'.

(1)如圖①，若產(chǎn)夕"LAC,證明：PB'=A8'.

(2)如圖②，若AB=AC,BP=3PC,求cos/B'AC的值.

(3)如圖③，若NACB=30°,是否存在點(diǎn)P,使得A8=CB'.若存在，求此時(shí)里的

BC

值；若不存在，請說明理由.

2021年湖南省邵陽市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題有10個小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.（3分）-3的相反數(shù)是（）

A.-3B.0C.3D.ir

【解答】解：相反數(shù)指的是只有符號不同的兩個數(shù)，因此-3的相反數(shù)為3.

故選：C.

2.（3分）下列四個圖形中，是中心對稱圖形的是（）

【解答】解：A.不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

B.不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

C.是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

D.不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意.

故選：C.

3.（3分）2021年我國首次發(fā)射探測器對火星進(jìn)行探測.北京時(shí)間2月10日晚，“天問一號”

探測器在距離地球約192000000m處成功實(shí)施制動捕獲，隨后進(jìn)入火星軌道.用科學(xué)記

數(shù)法將192000000表示為“X1（）8的形式，則〃的值是（）

A.0.192B.1.92C.19.2D.192

【解答】解：192000000=1.92X1（）8,

故a=l.92,

故選：B.

4.（3分）如圖，若數(shù)軸上兩點(diǎn)M,N所對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為m,n,則m+n的值可能是（）

-3-2-1012

A.2B.1C.-1D.-2

【解答】解：N所對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為，小n,

：.-3<m<-2<0<?<1,

：.m+n的值可能是-2.

故選：D.

5.（3分）如圖，在△AOB中，AO=1,BO=AB=旦.將△AOB繞點(diǎn)。逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,

2

得到OB',連接A4'.則線段44'的長為（）

A.1B.&C..1D..^2

【解答】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，0A=。4=1,ZAOA'=90°,

則△AOA為等腰直角三角形，

AA=VoA2-H3Ay2=我.

故選：B.

6.（3分）其社區(qū)針對5月30日前該社區(qū)居民接種新冠疫苗的情況開展了問卷調(diào)查，共收

回6000份有效問卷.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，制成如下數(shù)據(jù)表格.

接種疫苗針數(shù)0123

人數(shù)210022801320300

小杰同學(xué)選擇扇形統(tǒng)計(jì)圖分析接種不同針數(shù)的居民人數(shù)所占總?cè)藬?shù)的百分比.下面是制

作扇形統(tǒng)計(jì)圖的步驟（順序打亂）：

①計(jì)算各部分扇形的圓心角分別為126°,136.8°,79.2°,18°.

②計(jì)算出接種不同針數(shù)的居民人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比分別為35%,38%,22%,5%.

③在同一個圓中，根據(jù)所得的圓心角度數(shù)畫出各個扇形，并注明各部分的名稱及相應(yīng)的

百分比.

制作扇形統(tǒng)計(jì)圖的步驟排序正確的是（）

A.②①③B.①③②C.①②③D.③①②

【解答】解：由題意可知，小杰同學(xué)制作扇形統(tǒng)計(jì)圖的步驟為：

先計(jì)算出接種不同針數(shù)的居民人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比分別為35%,38%,22%,5%；

再計(jì)算各部分扇形的圓心角分別為126°,136.8°,79.2°,18°；

然后在同一個圓中，根據(jù)所得的圓心角度數(shù)畫出各個扇形，并注明各部分的名稱及相應(yīng)

的百分比.

故選：A.

5x-l>3x-4

7.（3分）下列數(shù)值不是不等式組［1,2的整數(shù)解的是（）

3--^-—3—X

A.-2B.-1C.0D.1

5x-l>3x-4（l）

【解答】解：.1Y,-2xz②

解不等式①，得：x>-3,

2

解不等式②，得：xWl,

不等式組的解集為：一gVxWl,

2

不等式組的整數(shù)解為-1,0,1,

故選：A.

8.（3分）某天早晨7：00,小明從家騎自行車去上學(xué)，途中因自行車發(fā)生故障，就地修車

耽誤了一段時(shí)間，修好車后繼續(xù)騎行，7：30趕到了學(xué)校.如圖所示的函數(shù)圖象反映了他

騎車上學(xué)的整個過程.結(jié)合圖象，判斷下列結(jié)論正確的是（）

C.小明修好車后花了30,加?〃到達(dá)學(xué)校

D.小明修好車后騎行到學(xué)校的平均速度是3mls

【解答】解：A.由橫坐標(biāo)看出，小明修車時(shí)間為20-5=15（分鐘），故本選項(xiàng)符合題意；

B.由縱坐標(biāo)看出，小明家學(xué)校離家的距離為2100米，故本選項(xiàng)不合題意；

C.由橫坐標(biāo)看出，小明修好車后花了30-20=10（疝〃）到達(dá)學(xué)校，故本選項(xiàng)不合題意；

。.小明修好車后騎行到學(xué)校的平均速度是：（2100-1100）+10=100（米/分鐘）=5

3

（mis）,故本選項(xiàng)不合題意；

故選：A.

9.（3分）如圖，點(diǎn)A,B,C是。。上的三點(diǎn).若NAOC=90°,ZBAC=30°,則/AOB

的大小為（）

【解答】解：與N8OC所對弧為血,

由圓周角定理可知：NBOC=2/8AC=60°,

又/AOC=90°,

：.ZAOB^ZAOC-ZBOC=90°-60°=30°.

故選:B.

10.(3分)在平面直角坐標(biāo)系中，若直線＞=-》+〃?不經(jīng)過第一象限，則關(guān)于》的方程以2+；1+1

=0的實(shí)數(shù)根的個數(shù)為()

A.0個B.1個C.2個D.1或2個

【解答】解：???直線y=-x+，〃不經(jīng)過第一象限，

wWO,

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，方程如人次+1=0是一次方程，有一個根，

當(dāng)機(jī)＜0時(shí)，

?關(guān)于x的方程m^+x+\=0,

關(guān)于x的方程rn^+x+X=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

故選：D.

二、填空題(本大題有8個小題，每小題3分，共24分)

II.(3分)16的算術(shù)平方根是4.

【解答】解：：42=16,

故答案為：4.

12.(3分)因式分解：沖2_/=x(y+x)(y-x).

【解答】解：A/-?=x(y2-x2)

=x(y+x)(y-x).

故答案為：x(y+x)(y-x).

13.(3分)如圖，點(diǎn)￡＞,E,F分別為△ABC三邊的中點(diǎn).若△ABC的周長為10,貝必山下

的周長為5.

【解答】解：：力、E、尸分別是A3、AC、BC的中點(diǎn),

:.FD、FE、OE為△4BC中位線，

:.DF=1AC,FE=1AB,DE=LBC；

222

：.DF+FE+DE=1-AC+1AB+1.BC=1.（AB+AC+CB）=AXIO=5,

22222

故答案為：5.

14.（3分）已知點(diǎn)A（1,yi）,B（2,經(jīng)）為反比例函數(shù)y=3圖象上的兩點(diǎn)，則yi與中

X

的大小關(guān)系是方>V2.（填”或“V”）

【解答】解：?.?反比例函數(shù)y=2■中，％=3>0,

x

.?.函數(shù)圖象的兩個分支分別位于第一、三象限，且在每一象限內(nèi)〉隨X的增大而減小.

VA（1,yi）,B（2,*）,

.?.點(diǎn)A、B都在第一象限，

又1<2,

故答案為：>.

15.（3分）如圖，已知線段A8長為4.現(xiàn)按照以下步驟作圖：

①分別以點(diǎn)A,8為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點(diǎn)E,F；

2

②過E,F兩點(diǎn)作直線，與線段AB相交于點(diǎn)。.

則A0的長為2.

【解答】解：由基本作圖方法可得：EF垂直平分A8,

；48=4,

：.A0=1AB=2.

2

故答案為：2.

16.（3分）一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個岔路口都會隨機(jī)選擇

其中一條路徑，則它遇到食物的概率是1.

一3一

食物

螞蟻

【解答】解：?.?一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個岔路口都會隨

機(jī)的選擇一條路徑，

,它有6種路徑，

???獲得食物的有2種路徑，

...它遇到食物的概率是：

2=工

03"

故答案為：1.

3

17.（3分）《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問題，原文如下：

今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四.問人數(shù)、物價(jià)各幾何？

意思是：幾個人一起去購買某物品，如果每人出8錢，則多了3錢；如果每人出7錢，

則少了4錢.問有多少人，物品的價(jià)值是多少？

該問題中物品的價(jià)值是53錢.

【解答】解：設(shè)有x人，物品的價(jià)值為y錢，

依題意，得：了'XT,

[y=7x+4

解得：（x=7.

ly=53

即該問題中物品的價(jià)值是53錢，

故答案為：53.

18.（3分）如圖，在矩形ABCD中，DEA.AC,垂足為點(diǎn)E.若AD=4,則

5

AB的長為3.

AZADE+ZCAD=90°,

VZACD+ZCAD=90°,

ZACD=ZADE,

;矩形ABCD的對邊AB〃CD,

NBAC=NACD,

VsinZ^￡>￡=A,

5

?BC=-4-,

"AC5

BC4

：.AC=T=I=5c

55

由勾股定理得，AB—2=^^2_^2=3,

故答案為：3.

三、解答題（本大題有8個小題，第19?25題每題8分，第26題10分，共66分.解答應(yīng)

寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程）

19.（8分）計(jì)算：（2021-TT）°-|F-2|-tan60°.

【解答】解：原式=1-（2-V3）-V3

20.（8分）先化簡，再從-1,0,1,2,V2+1中選擇一個合適的x的值代入求值.（1-上）

x+1

21

上xT

X2+2X+1

x+l-x（x+1）2

【解答】解：原式=

x+1（x+1）（X-1）

=1

又土1,

可以取0,此時(shí)原式=-1；

x可以取2,此時(shí)原式=1；

x可以取&+1,此時(shí)原式=-1一N0.

V2+1-12

21.(8分)如圖，在正方形ABC。中，對角線4C,80相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,尸是對角線AC

上的兩點(diǎn)，且4E=CF.連接OE,DF,BE,BF.

(1)證明：△ADE9XCBF.

(2)若4B=4夜，AE=2,求四邊形8EDF的周長.

【解答】解；(1)證明：由正方形對角線平分每一組對角可知：NDAE=NBCF=45°,

在△ADE和△C2F中，

'AD=BC

<ZDAE=ZBCF)

AE=CF

:.AADEq/\CBF(SAS).

(2)'：AB=AD=-4\^2-

?，,BDNAB2+AD2=V(W2)2+(4X/2)2=8'

由正方形對角線相等且互相垂直平分可得：AC=BD=S,D0=B0=4,0A=0C=4,

又AE=CF=2,

：.OA-AE=OC-CF,

即OE=OF=4-2=2,

故四邊形BEDF為菱形.

VZDOE=90°,

D￡=VD02+E02=V42+22=2^-

.'.4DE=8^5

故四邊形BEDF的周長為8V5-

22.（8分）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校計(jì)劃舉行“學(xué)黨史?感黨恩”知識競答活

動，并計(jì)劃購置籃球、鋼筆、筆記本作為獎品.采購員劉老師在某文體用品店購買了做

為獎品的三種物品，回到學(xué)校后發(fā)現(xiàn)發(fā)票被弄花了，有幾個數(shù)據(jù)變得不清楚，如圖.

05f?ft

a竦?6100.00600.00

M電**fl

電記本?M爭,

?■56Y1000.00

請根據(jù)圖所示的發(fā)票中的信息，幫助劉老師復(fù)原弄花的數(shù)據(jù)，即分別求出購置鋼筆、筆

記本的數(shù)量及對應(yīng)的金額.

【解答】解：設(shè)鋼筆購買了x支，筆記本購買了y本.

由題意得：卜4y+6=56

I15x+5y+600=1000

解得：卜口5,

ly=35

.,.15X15=225（元），35義5=175（元），

答：鋼筆購買了15支共225元，筆記本購買了35本共175元.

23.（8分）為落實(shí)湖南省共青團(tuán)“青年大學(xué)習(xí)”的號召，某校團(tuán)委針對該校學(xué)生每周參加

“青年大學(xué)習(xí)”的時(shí)間（單位：力）進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，并將獲得的數(shù)據(jù)繪制成如下統(tǒng)

計(jì)表和如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，請根據(jù)圖表中的信息回答下列問題.

周學(xué)習(xí)時(shí)間頻數(shù)頻率

50.05

l<r<2200.20

2Wf<3a0.35

3<f<425tn

4WfW5150.15

（1）求統(tǒng)計(jì)表中a,機(jī)的值.

（2）甲同學(xué)說“我的周學(xué)習(xí)時(shí)間是此次抽樣調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)”.求甲同學(xué)的周學(xué)

習(xí)時(shí)間在哪個范圍內(nèi).

（3）已知該校學(xué)生約有2000人，試估計(jì)該校學(xué)生每周參加“青年大學(xué)習(xí)”的時(shí)間不少

于3人的人數(shù).

.?.4=100X0.35=35,w=254-100=0.25；

（2）?.?一共有100個數(shù)據(jù)，其中位數(shù)是第50、51個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，而這2個數(shù)據(jù)均落

在2Wf<3范圍內(nèi)，

二甲同學(xué)的周學(xué)習(xí)時(shí)間在2W/V3范圍內(nèi)；

⑶估計(jì)該校學(xué)生每周參加“青年大學(xué)習(xí)”的時(shí)間不少于3人的人數(shù)為2000X（0.25+0.15）

=800（人）.

24.（8分）某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐，它的底面圓直徑EQ與母線長之比為1：

2.制作這種外包裝需要用如圖所示的等腰三角形材料，其中AB=AC,ADA.BC.將扇

形AEF圍成圓錐時(shí)，AE,AF恰好重合.

（1）求這種加工材料的頂角NBAC的大小.

（2）若圓錐底面圓的直徑EQ為5a",求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積.（結(jié)

果保留n）

【解答】解：（1）設(shè)NBAC="°.

由題意得TT￡）E=n兀'知,AD=2DE,

180

An=90,

AZBAC=90°.

(2)：AO=2OE=10(c"?),

2

2

：.SSi^l-BC*AD-S扇形AEF=LX10X20-9。兀-1。.=(100-25n)cw.

22360

25.(8分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C：y=ax2+bx+c(aWO)經(jīng)過點(diǎn)(1,1)

和(4,1).

(1)求拋物線C的對稱軸.

(2)當(dāng)a=-1時(shí)，將拋物線C向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得到拋物線

C1.

①求拋物線Ci的解析式.

②設(shè)拋物線G與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,連接BC.點(diǎn)

。為第一象限內(nèi)拋物線C1上一動點(diǎn)，過點(diǎn)。作DEA.OA于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為乙是

否存在點(diǎn)。，使得以點(diǎn)O,D,E為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似，若存在，求出，〃的值;

若不存在，請說明理由.

備用圖

【解答】解：(1)???點(diǎn)(1,1)和(4,1)的縱坐標(biāo)相同，

故上述兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸對稱，

故拋物線的對稱軸為直線x=L(1+4)=5；

22

⑵①由題意得：(T+b+c=O,解得［b=5,

I-16+4b+c=0Ic="3

故原拋物線的表達(dá)式為y=-/+5x-3；

由平移的性質(zhì)得，平移后的拋物線表達(dá)式為y=-(x+2)2+5(x+2)-3-1=-/+x+2；

②存在，理由:

令y=-7+x+2=0,解得x=-l或2,令x=0,則y=2,

故點(diǎn)B、A的坐標(biāo)分別為(-1,0)、(2,0),點(diǎn)C(0,2)；

；tan/8co=還＞」，

CO2

同理可得：tanNCBO=2,

當(dāng)以點(diǎn)O,D,E為頂點(diǎn)的三角形與aBOC相似時(shí)，

則tan/￡)0E=2或4，

2

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(m-m2+m+2),

2

則tanZDOE———~m=2或2，

OEm2_

解得：燒=-2(舍去)或1或上迤(舍去)或上H痣,

_22

故〃?=1或生畫.

2

26.(10分)如圖，在RtZXABC中，點(diǎn)P為斜邊BC上一動點(diǎn)，將△ABP沿直線4P折疊,

使得點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B',連接A8',CB',BB',PB'.

(1)如圖①，若PB'±AC,證明：PB'=A2'.

(2)如圖②，若AB=4C,BP=3PC,求cos/B'AC的值.

(3)如圖③，若NACB=30°,是否存在點(diǎn)P,使得AB=CB'.若存在，求此時(shí)里的

BC

值；若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)證明：'：PB'±AC,NCAB=90°,

：.PB'//AB.

：.ZB'PA^ZBAP,

又由折疊可知

：.ZB'PA=ZB'AP.

故PB'=AB'.

(2)設(shè)AB=AC=a,AC、PB'交于點(diǎn)、D,

則△ABC為等腰直角三角形，

：.BC=\f2a,PC=^a，尸8=冬3,

44

由折疊可知，NPB'A=NB=45°,

又NAC8=45°,

：.ZPB'A^ZACB,

又NCDP=NB'DA,

：.^CDP~/\B'DA.

近a

...g_包_2^=工=返.①

ByDDABzAa4

設(shè)B'D=b,則CD=以

4

：.AD=AC-CD=a-返ft,

4_

PD=PB'-B'D=PB-87)=2^a-b,

4a

迤a-b

由①里=返得：——=返.

AD4V24

a丁bv

解得：b=2返a-

7a

過點(diǎn)。作于點(diǎn)E,則AB，OE為等腰直角三角形.

=

.?.B'E=sin45°XB'D=J^h—a^—a'

2b27a7a

...AE=AB'-B'E=AB-B'E=a-1a=|a,

XAD=AC-CD=a-^2.b=a-—廣9水

47a7a

3

,ya

：.cosZB'AC=cosZEAD=^-=-^—=^-.

ADH5

7

(3)存在點(diǎn)P,使得CB,=AB=m.

VZACB=30°,ZCAB=90°.

??BC=2m.

①如答圖2所示,

由題意可知，點(diǎn)8的運(yùn)動軌跡為以A為圓心、A8為半徑的半圓A.

當(dāng)尸為8c中點(diǎn)時(shí)，PC^BP=AP=AB'=m,

又NB=60°,

B為等邊三角形.

又由折疊可得四邊形A8P8為菱形.

：.PB'//AB,

：.PB'1.AC.

^'：AP=AB',

則易知AC為的垂直平分線.

故CB'=PC=A8=，〃，滿足題意.

此時(shí)、Z2.=_5L=A.

BC2m2

②當(dāng)點(diǎn)后落在BC上時(shí)，如答圖3所示,

此時(shí)CB'=AB=m,

貝ijPB，="2a_a)=,a，

二PC=CB'+PB'=a+工=A.,

2a2a

3_

?PC=5a=3

BC2a4

綜上所述，里的值為工或3.

答圖3

答圖1

2021年河南省普通高中招生考試試卷

數(shù)學(xué)

一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個選項(xiàng)，其中只有一個

是正確的.

1.—2的絕對值是（）

B.—2

2.河南人民濟(jì)困最“給力！據(jù)報(bào)道，2020年河南人民在濟(jì)困方面捐款達(dá)到2.94億元數(shù)據(jù)

“2.94億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.2.94X1O7B.2.94xlO8C.0.294xlO6

D.0.294xlO9

3.如圖是由8個相同的小正方體組成的幾何體，其主視圖是（）

3

4.下列運(yùn)算正確的是()

A.(-a)2=-a2B.2a~—a2=2C.a2-a~a3

D.(?-l)2=a2-l

5.如圖，a/lb,Nl=60°,則N2的度數(shù)為()

A.90°B.100°C.110°D.120°

6.關(guān)于菱形的性質(zhì)，以下說法下思酶的是（)

A.四條邊相等B.對角線相等C.對角線互相垂直D.是軸對稱圖

形

7.若方程/一2彳+w=0沒有實(shí)數(shù)根，則加的值可以是（）

A.-1B.0C.1D.V3

8.現(xiàn)有4張卡片，正面圖案如圖所示，它們除此之外完全相同.把這4張卡片背面朝上洗

勻，從中隨機(jī)抽取兩張，則這兩張卡片正面圖案好是“天問”和“九章”的概率是（）

9.如圖，QA6C的頂點(diǎn)0（0,0）,4（1,2）,點(diǎn)C在x軸的正半軸上，延長84交y軸于

點(diǎn)。.將△OD4繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△0。/',當(dāng)點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)D,落在OA上時(shí),

O'A的延長線恰好經(jīng)過點(diǎn)C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）

A.（273,0）B.（275,0）C.（2百+1,0）

D.（2^+1,0）

10.如圖1,矩形ABC。中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿從點(diǎn)8運(yùn)動到點(diǎn)C,設(shè)5,

P兩點(diǎn)間的距離為x,PA-PE=y,圖2是點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)y隨x變化的關(guān)系圖象，則8C的

長為（）

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.若代數(shù)式」一有意義，則實(shí)數(shù)X的取值范圍是

X-1----------------

12.請寫出一個圖象經(jīng)過原點(diǎn)的函數(shù)的解析式.

13.某外貿(mào)公司耍出口一批規(guī)格為200克/盒的紅棗，現(xiàn)有甲、乙兩個廠家提供貨源，它們

的價(jià)格相同，品質(zhì)也相近.質(zhì)檢員從兩廠的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取15盒進(jìn)行檢測，測得它們的

平均質(zhì)量均為200克，每盒紅棗的質(zhì)量如圖所示，則產(chǎn)品更符合規(guī)格耍求的廠家

是.（填''甲"或“乙”）

14.如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A,B,。均在小正方形的頂點(diǎn)

上，且點(diǎn)8,。在上，=22.5°,則8c的長為.

15.小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖1,在RtA4BC中，ZACB=90°,

/B=30。，AC=\.第一步，在邊上找一點(diǎn)。，將紙片沿CD折疊，點(diǎn)A落在A處,

如圖2,第二步，將紙片沿C4'折疊，點(diǎn)。落在￡>'處，如圖3.當(dāng)點(diǎn)。'恰好在原直角三角

形紙片的邊上時(shí)，線段4。'的長為.

圖1圖2圖3

三、解答題（本大題共8個小題，共75分）

16.（1）計(jì)算：3T-\+（3-百）°；（2）化簡：［1一：）士與2.

17.2021年4月，教育部印發(fā)《關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)中小學(xué)生睡眠管理工作的通知》，明確要求

初中生每天睡眠時(shí)間應(yīng)達(dá)到9小時(shí).某初級中學(xué)為了解學(xué)生睡眠時(shí)間的情況，從本校學(xué)生中

隨機(jī)抽取500名進(jìn)行卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果用統(tǒng)計(jì)圖描述如下.

調(diào)查問卷

1.近兩周你平均每天睡眠時(shí)間大約是小時(shí).

如果你平均每天睡眠時(shí)間不足9小時(shí)，請回答第2個問題

2.影響你睡眠時(shí)間的主要原因是.(單選)

A.校內(nèi)課業(yè)負(fù)擔(dān)重B.校外學(xué)習(xí)任務(wù)重C.學(xué)習(xí)效率低D.其他

平均每天睡眠時(shí)間統(tǒng)計(jì)圖影響學(xué)生睡眠時(shí)間的主要原因統(tǒng)計(jì)圖

平均每天睡眠時(shí)間x(時(shí))分為5組：?5<X<6；?6<X<7；(3)7<X<8；?8<X<9；

⑤9K尤<10.

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)本次調(diào)查中，平均每天睡眠時(shí)間的中位數(shù)落在第(填序號)組，達(dá)到9小

時(shí)的學(xué)生人數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的百分比為；

(2)請對該校學(xué)生睡眠時(shí)間的情況作出評價(jià)，并提出兩條合理化建議.

18.如圖，大、小兩個正方形的中心均與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)0重合，邊分別與坐標(biāo)軸

平行，反比例函數(shù)曠=士的圖象與大正方形的一邊交于點(diǎn)A(l,2),且經(jīng)過小正方形的頂點(diǎn)

x

B.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)求圖中陰影部分的面積.

19.開鑿于北魏孝文帝年間的龍門石窟是中國石刻藝術(shù)瑰寶，盧舍那佛像是石窟中最大的佛

像.某數(shù)學(xué)活動小組到龍門石窟景區(qū)測量這尊佛像的高度.如圖，他們選取的測量點(diǎn)A與

佛像BD的底部。在同一水平線上.已知佛像頭部BC為4m,在A處測得佛像頭頂部B的

仰角為45°,頭底部C的仰角為37.5°,求佛像的高度(結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù):

sin37.5°?0.61,cos37.5°?0.79,tan37.5°?0.77)

H

''A；

.c

20.在古代，智慧的勞動人民已經(jīng)會使用“石磨”，其原理為在磨盤的邊緣連接一個固定長

度的“連桿”，推動“連桿”帶動磨盤轉(zhuǎn)動，將糧食磨碎，物理學(xué)上稱這種動力傳輸工具為

“曲柄連桿機(jī)構(gòu)”.

小明受此啟發(fā)設(shè)計(jì)了一個“雙連桿機(jī)構(gòu)”，設(shè)計(jì)圖如圖1,兩個固定長度的“連桿”AP,BP

的連接點(diǎn)P在O。上，當(dāng)點(diǎn)P在0。上轉(zhuǎn)動時(shí)，帶動點(diǎn)A,3分別在射線OM,ON上滑

動，OM±ON.當(dāng)AP與.。相切時(shí)，點(diǎn)8恰好落在0。上，如圖2.

(1)求證：/PAO=2/PBO；

20

(2)若0。的半徑為5,AP=一，求3尸的長.

3

21.狒猴嬉戲是王屋山景區(qū)的一大特色，搟猴玩偶非常暢銷.小李在某網(wǎng)店選中A,B兩

款物猴玩偶，決定從該網(wǎng)店進(jìn)貨并銷售.兩款玩偶的進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如下表：

類別

A款玩偶B款玩偶

價(jià)格

進(jìn)貨價(jià)(元/個)4030

銷售價(jià)(元/個)5645

(1)第一次小李用1100元購進(jìn)了A,B兩款玩偶共30個，求兩款玩偶各購進(jìn)多少個；

(2)第二次小李進(jìn)貨時(shí)，網(wǎng)店規(guī)定A款玩偶進(jìn)貨數(shù)量不得超過B款玩偶進(jìn)貨數(shù)量的一半.小

李計(jì)劃購進(jìn)兩款玩偶共30個，應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？

(3)小李第二次進(jìn)貨時(shí)采取了(2)中設(shè)計(jì)的方案，并且兩次購進(jìn)的玩偶全部售出，請從利

潤率的角度分析，對于小李來說哪一次更合算？

利潤

(注：利潤率=1^、100%)

22.如圖，拋物線＞與直線y=—x+A交于點(diǎn)A(2,0)和點(diǎn)6.

(1)求機(jī)和人的值；

(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)，并結(jié)合圖象寫出不等式x?+爾〉—x+人的解集；

(3)點(diǎn)M是直線AB上的一個動點(diǎn)，將點(diǎn)M向左平移3個單位長度得到點(diǎn)N,若線段MN

與拋物線只有一個公共點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)X”的取值范圍.

23.下面是某數(shù)學(xué)興趣小探究用不同方法作一角的平分線的討論片段.請仔細(xì)閱讀，并完成

相應(yīng)的任務(wù).

小明：如圖I,(1)分別在射線。4,03上截取OC=">,0E=0F(點(diǎn)C,E不重

合)；(2)分別作線段CE,?！傅拇怪逼椒志€乙，12,交點(diǎn)為P,垂足分別為點(diǎn)G,H；

(3)作射線0P,射線0P即為NA0?的平分線.簡述理由如下：

由作圖，ZPGO=ZPHO=90°,0G