151分式的概念和性質(zhì)（講練）-2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊重要考點(人教版)

15.1分式的概念和性質(zhì)分式的概念一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.注意：（1）區(qū)別：分式的分母中含有字母；分數(shù)的分子、分母中都不含字母.（2）聯(lián)系：由于分式中的字母可以表示不同的數(shù)，所以分式比分數(shù)更具有一般性；分數(shù)是分式中字母取特定值后的特殊情況.（3）但π表示圓周率，是一個常數(shù)，不是字母，如是整式而不能當(dāng)作分式.（4）是分式，與有區(qū)別，是整式，即只看形式，不能看化簡的結(jié)果.題型1：分式的概念1.下列各式中，是分式的是（）A．?b2a B．a(chǎn)+b2 C．12【答案】A【解析】【解答】解：A、?b2aB、a+b2C、12D、3abπ故答案為：A.【分析】利用分式的定義：分母中含有字母的式子，可得到是分式的選項.【變式11】代數(shù)式xx+1，52x，3x3A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】【解答】解：xx+1，52x，3x3x，xπ，4?故答案為：B．【分析】根據(jù)分式的定義逐項判斷即可?！咀兪?2】在代數(shù)式32+x，3+x2，32+x，A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】【解答】解：32+x、3+x2x的分母中含字母，是分式，3+x2、3故答案為：A．【分析】形如A/B，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式。根據(jù)分式的定義求解即可。分式有意義，無意義或等于零的條件1.分式有意義的條件：分母不等于零.2.分式無意義的條件：分母等于零.3.分式的值為零的條件：分子等于零且分母不等于零.注意：（1）分式有無意義與分母有關(guān)但與分子無關(guān)，分式要明確其是否有意義，就必須分析、討論分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值為零.（2）本章中如果沒有特殊說明，所遇到的分式都是有意義的，也就是說分式中分母的值不等于零.（3）必須在分式有意義的前提下，才能討論分式的值.題型2：分式有意義、無意義的條件2.使分式x?32x?1有意義的x的取值范圍是()A．x≥12 B．x≤12 C．x＞12【答案】D【解析】【解答】解：由2x1≠0得x≠12故答案為：D.

【分析】分式有意義的條件：分母不為0，據(jù)此解答即可.【變式21】分式x+1x(x?1【答案】x≠0且x≠1【解析】【解答】解：分式x+1x(解得x≠0且x≠1故答案：x≠0且x≠1．

【分析】根據(jù)分式有意義的條件可得x(x?1)【變式22】要使分式3x2+2【答案】任意實數(shù)【解析】【解答】解：∵分式3x∴x∴x為任意實數(shù)故答案為：任意實數(shù)

【分析】根據(jù)分式有意義的條件列出不等式求解即可。題型3：分式值為0的條件3.使分式x2?1A．1 B．?1 C．±1 D．不存在【答案】A【解析】【解答】解：由題意得：x2﹣1＝0且x+1≠0，解得：x＝1.故答案為：A.【分析】分式值為0的條件：分子為0且分母不為0，據(jù)此解答即可.【變式31】如果分式|mA．m≠2 B．m=±2 C．m=﹣2 D．m=2【答案】D【解析】【解答】解：∵分式|m∴|m|﹣2=0，2m+4≠0，解得：m=2．故答案為：D．

【分析】根據(jù)分式的值為0的條件可得|m|﹣2=0，2m+4≠0，再求出m的值即可。當(dāng)x＝2時，分式x?kx+m的值為0，則k、m必須滿足的條件是【答案】k＝2且m≠－2【解析】【解答】解：由分子xk=2k=0，解得：k=2；又x+m=2+m≠0即：m≠2．故答案為k=2、m≠2．【分析】將x=2代入分式，再根據(jù)分式的值為0的條件列出xk=2k=0，x+m=2+m≠0即可得出k、m需滿足的條件?！咀兪?2】若分式2?|x|(x?1)(x?2)=0，則x=【答案】2【解析】【解答】解：∵2?|x|∴2?|x|=0，且(x?1)(x?2)≠0，∴x=±2，且x≠1，且x≠2，∴x=2．故答案為：2．

【分析】利用分式的值為0的性質(zhì)可以得到2?|x|=0，且(x?1)(x?2)≠0，再求解即可。當(dāng)x=時，分式x2【答案】4【解析】【解答】解：根據(jù)題意可知x2解得：x=?4.故答案為：4.【分析】根據(jù)分式等于0時，分子等于等于且分母不為0.從而列出混合組，求解即可.已知分式x+12?x，當(dāng)x取a時，該分式的值為0；當(dāng)x取b時，分式無意義，則ab的值等于【答案】1【解析】【解答】解：分式x+12?x當(dāng)x=a時，a+12?a當(dāng)a+1＝0時，解得：a＝﹣1時，該分式的值為0；當(dāng)x=b時，b+12?b當(dāng)2﹣b＝0時，解得：b＝2，即x＝2時分式無意義，此時b＝2，則ab＝（﹣1）2＝1．故答案為：1．

【分析】先根據(jù)分式的值為0的條件求出a的值，再根據(jù)分式無意義的條件求出b的值，最后將a、b的值代入計算即可。分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變，這個性質(zhì)叫做分式的基本性質(zhì)，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.注意：（1）基本性質(zhì)中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知條件中隱含著的條件，一般在解題過程中不另強調(diào)；M≠0是在解題過程中另外附加的條件，在運用分式的基本性質(zhì)時，必須重點強調(diào)M≠0這個前提條件.（2）在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)進行分式變形時，雖然分式的值不變，但分式中字母的取值范圍有可能發(fā)生變化.例如：，在變形后，字母的取值范圍變大了.題型4：分式的基本性質(zhì)4.下列等式中，正確的是（）A．a(chǎn)b=a+1C．a(chǎn)b=a【答案】B【解析】【解答】解：A.abB.abC.abD.0.故答案為：B．

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)逐項判斷即可?！咀兪?1】如果把分式中x+y2xyA．?dāng)U大為原來的2倍 B．縮小為原來的1C．不變 D．?dāng)U大為原來的4倍【答案】B【解析】【解答】解：分別用2x和2y去代換原分式中的x和y，得2x+2y2×2x×2y可見新分式縮小為原來的12故答案為：B．

【分析】分別用2x和2y去代換原分式中的x和y，然后化簡求值，從而判斷即可.【變式42】若把分式xyx+y的x和y都擴大3倍，那么分式xyA．?dāng)U大3倍 B．?dāng)U大9倍 C．?dāng)U大4倍 D．不變【答案】A【解析】【解答】解：把分式xyx+y3x×3y即分式的值擴大3倍．故答案為：A

【分析】根據(jù)已知列出算式，再根據(jù)分式的基本性質(zhì)進行化簡即可。分式的變號法則對于分式中的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變；改變其中任何一個或三個，分式成為原分式的相反數(shù).分式的約分，最簡分式與分數(shù)的約分類似，利用分式的基本性質(zhì)，約去分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.如果一個分式的分子與分母沒有相同的因式（1除外），那么這個分式叫做最簡分式.注意：根據(jù)分式的基本性質(zhì)有，.根據(jù)有理數(shù)除法的符號法則有.分式與互為相反數(shù).分式的符號法則在以后關(guān)于分式的運算中起著重要的作用.注意：（1）約分的實質(zhì)是將一個分式化成最簡分式，即約分后，分式的分子與分母再沒有公因式.（2）約分的關(guān)鍵是確定分式的分子與分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系數(shù)的最大公約數(shù)與相同因式最低次冪的積；當(dāng)分式的分子、分母中含有多項式時，要先將其分解因式，使之轉(zhuǎn)化為分子與分母是不能再分解的因式積的形式，然后再進行約分.題型5：約分及最簡分式5.①分式?xx2A．?1x?y B．?1x+y C．【答案】A【解析】【解答】原式=?x=?1故答案為：A．

【分析】先把分母因式分解，再進行約分運算，即可得出答案.②下列分式①b8a②3x2y9xy2③a+b【答案】①③【解析】【解答】解：∵3x2y9xy∴②④⑤不是最簡分式，①③不能再化簡，是最簡分式．故答案為：①③．

【分析】根據(jù)最簡分式的的定義逐項判斷即可?！咀兪?1】約分：（1）x58x2=（2）7m2n【答案】（1）x（2）m（3）1【解析】【解答】解：（1）原式=x2?x（2）原式=7mm?m?7mn?(?5n)=m（3）原式=(a?b)2故答案為x38，【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)進行約分即可?！咀兪?2】化簡分式xy+xx2的結(jié)果是【答案】y+1【解析】【解答】解：xy+x故答案為：y+1【分析】利用分式的性質(zhì)計算求解即可?；唜2?4x【答案】x?2【解析】【解答】解：x=故答案為：x?2

【分析】先利用因式分解化簡分子和分母，再利用約分化簡即可?；喎质絰2?92x?6【答案】x+3【解析】【解答】解：x=(x+3)(x?3)=x+3故答案為：x+32【分析】先對分子分母進行因式分解再約分即可。分式的通分與分數(shù)的通分類似，利用分式的基本性質(zhì)，使分式的分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼?，不改變分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分.注意：（1）通分的關(guān)鍵是確定各分式的最簡公分母：一般取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母.（2）如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)與相同字母的最高次冪的乘積；如果各分母都是多項式，就要先把它們分解因式，然后再找最簡公分母.（3）約分和通分恰好是相反的兩種變形，約分是對一個分式而言，而通分則是針對多個分式而言.題型6：分式的通分6.把分式1x?y，1x+y，1A．x﹣y B．x+yC．x2﹣y2 D．（x+y）（x﹣y）（x2﹣y2）【答案】C【解析】【解答】解：分式1x?y，1x+y，則最簡公分母是（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2．故答案為：C.【分析】先分解第三個分式的分母，然后根據(jù)最簡公分母確定即可.【變式61】12a2b與【答案】6【解析】【解答】12a2b故答案為：6

【分析】根據(jù)最簡公分母的定義求解即可。分式1x2【答案】x（x+2）（x2）【解析】【解答】解：1?則最簡公分母為x（x+2）（x2），故答案為：x（x+2）（x2）．

【分析】根據(jù)最簡公分母的定義求解即可。分式1x2?y【答案】x(x+y)(x?y)【解析】【解答】解：兩個分式可化為：1(x+y)(x?y)，1故最簡公分母：x(x+y)(x?y)，故答案為：x(x+y)(x?y)．

【分析】先將題干中分式的分母因式分解，再根據(jù)最簡公分母的定義求解即可。【變式62】通分：（1）2b3a2（2）2xx2【答案】（1）解：分式：2b3a2，?∴2b3a（2）解：分式：2xx2?9，x∴2xx2?9【解析】【分析】（1）先確定最簡公分母，然后通分即可；

（2）先分解兩個分式的分母確定最簡公分母，然后進行通分可得結(jié)果.（3）1x2?6x+9，【答案】解：因為它們的最簡公分母是3(x?3)所以,1x2x1【解析】【分析】先分解三個分式的分母，然后確定最簡公分母，最后通分可得結(jié)果.題型7：根據(jù)分式的正負求字母取值范圍7.若分式2x?5x2A．x為任意數(shù) B．x<52 C．x>5【答案】B【解析】【解答】解：∵分式2x?5x2+4∴2x5<0，解得x<5故答案為：B.【分析】根據(jù)分式的值為負數(shù)可得分子、分母異號，由分母為正數(shù)可得分子為負數(shù)，從而列出不等式求解可得x的范圍.【變式71】若分式2x?1xA．x為任意實數(shù) B．x<12 C．x>1【答案】C【解析】【解答】解：∵x2∴分式2x?1x2+3解得：x>1故答案為：C.【分析】先求出2x?1>0，再解不等式即可?！咀兪?2】若分式x?1(x+1)2的值為負數(shù)，則x的取值范圍是【答案】x＜1且x≠1【解析】【解答】解：∵分式x?1(x+1)∴x1＜0，x+1≠0∴x＜1且x≠1故答案為：x＜1且x≠1．

【分析】根據(jù)分式的值為負數(shù)可得x1＜0，x+1≠0即可求出x的取值范圍。題型8：化簡求值解方程組8.已知＝0，求的值．【分析】直接利用算術(shù)平方根的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)結(jié)合分式有意義的條件得出x，y的值，進而代入求出答案．【解答】解：∵＝0，∴x﹣3y＝0，x2﹣9＝0，x+3≠0，解得：x＝3，y＝1，則＝＝2．所以的值是2．【點評】此題主要考查了算術(shù)平方根的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)，正確得出x，y的值是解題關(guān)鍵．【變式81】已知xyz≠0，且滿足x+3y+7z＝0，3x﹣4y﹣18z＝0，求的值．【分析】根據(jù)二元一次方程組的解法即可利用z表示出x與y，然后代入原式即可求出答案．【解答】解：由題意可知：，解得：∴原式＝＝＝【點評】本題考查分式的值，解題的關(guān)鍵是將三元一次方程組轉(zhuǎn)變?yōu)槎淮畏匠探M，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式82】已知x2﹣3xy﹣4y2＝0（y≠0），試求代數(shù)式的值．【分析】根據(jù)題意可得x﹣4y＝0或x+y＝0，即x＝4y或x＝﹣y，把x＝4y，x＝﹣y代入計算即可．【解答】解：∵x2﹣3xy﹣4y2＝0（y≠0），即（x﹣4y）（x+y）＝0，∴x﹣4y＝0或x+y＝0，即x＝4y或x＝﹣y，當(dāng)x＝4y時，原式＝＝，當(dāng)x＝﹣y時，原式＝＝2，答：代數(shù)式的值為或2．【點評】本題考查分式的值，由題意得到x＝4y或x＝﹣y是正確解答的前提．題型9：化簡求值整體代入法9.已知x+y＝6，xy＝9，求的值．【分析】首先化簡，然后把x+y＝6，xy＝9代入化簡后的算式計算即可．【解答】解：∵x+y＝6，xy＝9，∴＝＝＝＝．【點評】此題主要考查了分式的值，分式求值歷來是各級考試中出現(xiàn)頻率較高的題型，而條件分式求值是較難的一種題型，在解答時應(yīng)從已知條件和所求問題的特點出發(fā)，通過適當(dāng)?shù)淖冃?、轉(zhuǎn)化，才能發(fā)現(xiàn)解題的捷徑．【變式91】（1）已知＝1，求的值；（2）已知+＝2，求的值．【分析】（1）用a代替b代入原式化簡即可；（2）把2ab＝a+b代入原式化簡即可．【解答】解：（1）由得b＝a，代入式子得，；（2）由得2ab＝a+b代入式子得，．【點評】本題考查了分式的求值問題，關(guān)鍵是整體代入方式化簡．【變式92】已知＝2，求的值．【分析】先把＝2，變形為x＝2y，再代入，求解即可．【解答】解：∵＝2，∴x＝2y，∴＝．【點評】本題考查了分式的值，掌握整體代入思想的運用是解題的關(guān)鍵．題型10：化簡求值設(shè)輔助參數(shù)10.已知＝＝＝，且2b﹣d+5f≠0，求的值．【分析】由于＝＝＝，那么可得a＝b，c＝d，e＝f，把a、c、e的值同時代入所求的代數(shù)式中即可求值．【解答】解：∵＝＝＝，∴a＝b，c＝d，e＝f，∴＝＝＝．【點評】本題考查了分式的值，整體代入、分式化簡的有關(guān)知識．【變式101】已知：a：b：c＝2：3：5，求分式的值．【分析】設(shè)a、b、c均為k的倍數(shù)，然后用k表示出a、b、c，再把a、b、c的值代入代數(shù)式進行計算即可得解．【解答】解：∵a：b：c＝2：3：5，∴設(shè)a＝2k，b＝3k，c＝5k，（k≠0）∴＝＝＝﹣，即分式的值是﹣．【點評】本題考查了分式的值，利用“設(shè)k法”表示出a、b、c是解題的關(guān)鍵．【變式102】已知：，求代數(shù)式的值．【分析】設(shè)t＝，則x、y、z可以用同一個字母來表示，然后將其代入代數(shù)式，然后將代數(shù)式化簡即可．【解答】解：設(shè)t＝，則x＝2t①y＝3t②z＝4t③將①②③代入代數(shù)式，得＝＝，所以，代數(shù)式的值是．【點評】本題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，將未知數(shù)x、y、z轉(zhuǎn)化為含有相同字母的量，然后代入所求代數(shù)式，只要將代數(shù)式化簡即可．題型11：分式與規(guī)律性題11.觀察下面一列分式：，﹣，，﹣，…（1）計算這列分式中，一個分式與它前一個分式的商，你有什么發(fā)現(xiàn)？（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第n個分式．【分析】（1）按要求分別進行計算，得到商都是﹣；（2）先看分式的符號，第一個+，第二個﹣，依次可以看作（﹣1）n+1，分母的系數(shù)是1、2、4、8、都是2的冪；分母中x項，依次為x、x2、x3、x4…，得出第n個分式．【解答】解：（1）﹣＝﹣，÷（﹣）＝﹣，﹣÷＝﹣，…，發(fā)現(xiàn)：一個分式與它前一個分式的商，都是﹣；（2）第1個分式：，第2個分式：﹣，第3個分式：，第4個分式：﹣，…第n個分式：．【點評】本題考查了分式的定義、分式的除法和數(shù)字類的規(guī)律問題，分式的除法運算，根據(jù)除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)進行計算，對于分式中的規(guī)律問題，分解為三個問題考慮：分式的符號、分子、分母；把各個規(guī)律結(jié)合在一起，得出結(jié)論即可．【變式111】觀察式子：，﹣，，﹣，…，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律知，第8個式子為．【分析】根據(jù)已知分式可以找到規(guī)律：第n個分式為（﹣1）n+1?．【解答】解：∵，﹣，，﹣，…，∴第n個分式為（﹣1）n+1?，∴第8個式子為（﹣1）8+1?＝﹣；故答案是：﹣．【點評】本題考查了分式的定義．解答該題時，是根據(jù)已知式子，找出第n個式子的通式后，再來求第8個式子的【變式112】觀察下列各式：2×＝2+；3×＝3+；4×＝4+…若n為正整數(shù)，用含n的等式表示上述規(guī)律．【分析】觀察以上等式，不難發(fā)現(xiàn)（n+1）×＝（n+1）+，其中，n為正整數(shù)．【解答】解：∵2×＝2+；3×＝3+；4×＝4+…，∴（n+1）×＝（n+1）+（n是正整數(shù)）．【點評】本題考查了分式的定義．仔細觀察數(shù)據(jù)的變化情況是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．若分式x?2x+3的值等于0，則xA．2 B．2 C．3 D．3【答案】A【解析】【解答】解：由題意得：x?2=0x+3≠0，

解得：x=2.

【分析】分式等于零的條件是分子等于零，且分母不等于零，依此列式求解，即可解答.2．若把分式3xx+yA．?dāng)U大3倍 B．?dāng)U大9倍 C．不變 D．縮小3倍【答案】C【解析】【解答】∵把分式3xx+y3×3x3x+3y∴分式的值不變.故答案為：C.【分析】分別把分式3xx+y3．如果分式2xx+y中的x和yA．?dāng)U大2倍 B．?dāng)U大4倍C．縮小為原來的一半 D．不變【答案】D【解析】【解答】解：把分式2xx+y4x2x+2y=2x故答案為：D．

【分析】利用分式的性質(zhì)判斷即可。4．下列變形從左到右一定正確的是（）A．a(chǎn)b=a?2b?2 B．a(chǎn)b=【答案】D【解析】【解答】A.因為分子，分母都－2，不符合分式基本選擇；B.因為沒有給出c≠0的條件；C.因為分子，分母分別平方不符合分式基本選擇.D.原式若有意義則隱含x≠0，所以分子，分母同除以x，符合分式基本選擇.故答案為：D

【分析】根據(jù)分式的定義判斷即可5．下列不屬于分式12x2A．（2x2﹣18）（4x+12） B．16（x﹣3）（x+3）C．4（x﹣3）（x+3） D．2（x+3）（x﹣3）【答案】D【解析】【解答】解：∵12xx4x+12=x∴最簡公分母是4（x+3）（x﹣3），A、（2x2﹣18）（4x+12）=2（x+3）×4（x﹣3）（x+3），故本選項錯誤；B、16（x+3）（x﹣3）=4×4（x﹣3）（x+3），故本選項錯誤；C、4（x+3）（x﹣3）=4（x+3）（x﹣3），故本選項錯誤；D、2（x+3）（x﹣3）不是公分母，故本選項正確；故選D．【分析】先把各個分母分解因式，再找出最簡公分母，即可得出選項．二、填空題6．化簡：6ab3【答案】3【解析】【解答】解：6ab故答案為：3b【分析】利用分式的基本性質(zhì)進行約分，即可得到答案.7．若分式x3x+2的值為0，則x的值為【答案】0【解析】【解答】解：由題意可得x=0且3x+2≠0，解得x=0.故答案為：0.【分析】根據(jù)分式值為0的條件“分子等于0，且分母不為0”可得x=0且3x+2≠0，求解可得x的值.8．若分式x?2x+1的值為0，則x=【