第一章 數值積分

第一章數據處理1.2數值微分1.2.1用差商近似微商我們知道函數

在

的導數可以通過下述差商的極限得到

因此可以通過適當選取h達到用差商

近似導數的目的，這就是利用差商代替導數的思想。第一章數據處理1.2數值微分中心差商

向前差商

向后差商

1.2數值微分對于二階導數則有：第一章數據處理第一章數據處理1.2數值微分1.2.2用插值函數計算微商方法思想：利用插值多項式的導數作為導數的近似當，則有兩個節(jié)點，可以取0，1當，有三個點，可以取0，1，2（1）兩點求導公式（2）三點求導公式例題：

原始數據記錄10.330.250.1t/minCt/(g/L)求在t=1min，3min和5min時的反應速度。第一章數據處理1.2數值微分解：當只選取兩個點1和3當課堂練習（三）x1.01.11.21.3f(x)0.250.22860.20660.1898用兩點求導公式和三點求導公式求出x為1.0及1.1處的導數值：1.3數值積分一、數值積分的必要性本章主要討論如下形式的一元函數積分在微積分里，按Newton-Leibniz公式求定積分要求被積函數?有解析表達式；?

的原函數

為初等函數．

實際問題1.

的原函數

不能用初等函數表示例如函數:2.

有些被積函數其原函數雖然可以用初等函數表示成有限形式,但表達式相當復雜,計算極不方便.例如函數:并不復雜,但它的原函數卻十分復雜:3.

沒有解析表達式，只有數表形式:1423454.5688.5原來通過原函數來計算積分有它的局限性。那……怎么辦呢？呵呵…這就需要積分的數值方法來幫忙啦。二、數值積分的基本思想1、定積分的幾何意義3、求積公式的構造

若簡單選取區(qū)間端點或中點的函數值作為平均高度，則可得一點求積公式如下：左矩形公式：中矩形公式：右矩形公式：左矩形公式：中矩形公式：右矩形公式：

若取兩點，并令，則可得梯形公式（兩點求積公式）則可得Simpson公式(三點求積公式)

若取三點，并令1.3.1插值型求積公式一、定義在積分區(qū)間上，取個節(jié)點作

的次代數插值多項式（拉格朗日插值公式）:則有其中，為插值余項。于是有：取Ak由節(jié)點決定，與

無關。稱為插值型求積公式Newton-Cotes公式1、定義一、Cotes系數取節(jié)點為等距分布：由此構造的插值型求積公式稱為Newton-Cotes公式,此時求積系數：令Cotes系數二、Newton-Cotes公式1、定義：記則求積公式變?yōu)榉Q上式為n階閉型Newton-Cotes求積公式。注意:由式Cotes系數只與和有關,

與

和積分區(qū)間無關，且滿足:2、截斷誤差Newton-Cotes公式的誤差為:與x有關三、幾種常用的低階求積公式n=1:梯形公式代數精度=1n=2:Simpson公式代數精度=3n=4:

Cotes公式代數精度=5,這里1.3.2求積公式的代數精度定義：如果求積公式對于不高于m次的代數多項式都能精確成立，而對m+1次多項式不能精確成立，則稱該求積公式具有m次代數精度。例1:對梯形公式

解：令

首先將代入左邊=b-a，右邊=b-a代入左邊=，右邊=

代入左邊=，右邊=所以梯形公式的代數精度為1。例2確定以下求積公式的待定系數，使其代數精度盡可能高又由于3、代數精度定理：含有n+1個節(jié)點利用插值公式來確定的數值積分公式，它至少具有n次代數精度。

我們可以用余項的思想來理解此定理：令所以左邊=右邊，至少為n次。作為插值型求積公式，具有次代數精度，階Newton-Cotes公式至少而實際的代數精度是否可以進一步提高呢？定理當階數為偶數時,Newton-Cotes公式至少具有次代數精度。證明:只需驗證當為偶數時,Newton-Cotes公式對的余項為零。由于

,所以

即得引進變換,因為為偶數,故為整數,于是有據此可斷定

,因為上述被積函數是個奇函數.1.3.3復化求積公式

高次插值有Runge現(xiàn)象，怎么辦？可采用分段低次插值來解決高階Newton-Cotes公式會出現(xiàn)數值不穩(wěn)定。而低階Newton-Cotes公式有時又不能滿足精度要求，怎么辦？可將積分區(qū)間分成若干小區(qū)間，在每個小區(qū)間上用低階求積公式計算，然后求和。

復化梯形公式：在每個上用梯形公式：=

Tn

復化梯形公式積分法

復化Simpson公式：44444=

Sn

復化Simpson公式積分法

復化Cotes公式：=

Cn

收斂速度與誤差估計：定義：若一個積分公式的誤差滿足，且

，則稱該公式是p

階收斂的。~~~例:利用數據表01/83/81/25/83/47/811/422.265492.460002.876403.200003.506853.764703.938464計算積分解：這個問題有明顯的答案取n=8用復化梯形公式=3.138988494取n=4

用辛普生公式=3.141592502運算量基本相同1.3.4變步長求積公式1）梯形公式的加速由前面的誤差分析得，復化梯形求積公式的截斷誤差為

類似根據復化梯形公式的截斷誤差為

兩式相比可得：即：

假設已知，，則2）辛普森公式的加速類似梯形加速公式的導出，由的截斷誤差為

可得，如何證明？？1.3.5龍貝格積分例:計算已知對于

=106

須將區(qū)間對分9次，得到T512=3.14159202考察由來計算I

效果是否好些？=3.141592502=S4一般有：Romberg序列

Romberg算法：<

?<

?<

?………………

T1=)0(0T

T8=)3(0T

T4=)2(0T

T2=)1(0T

S1=)0(1T

R1=)0(3T

S2=)1(1T

C1=)0(2T

C2=)1(2T

S4=)2(1T問題的提出:已知一組實驗數據求它們的近似函數關系y＝f(x).需要解決兩個問題:1.確定近似函數的類型

根據數據點的分布規(guī)律

根據問題的實際背景2.確定近似函數的標準實驗數據有誤差,不能要求1.4最小二乘曲線擬合

偏差有正有負,值都較小且便于計算,可由偏差平方和最小為使所有偏差的絕對來確定近似函數f(x).最小二乘法原理:設有一列實驗數據分布在某條曲線上,通過偏差平方和最小求該曲線的方法稱為最小二乘法,找出的函數關系稱為經驗公式.,它們大體特別,當數據點分布近似一條直線時,問題為確定a,b

令滿足:使得解此線性方程組即得a,b稱為法方程組(注意其特點)例1.為了測定刀具的磨損速度,每隔1小時測一次刀具的厚度,得實驗數據如下:找出一個能使上述數據大體適合的經驗公式.解:

通過在坐標紙上描點可看出它們大致在一條直線上,列表計算:故可設經驗公式為27.026.826.526.326.125.725.324.80123456701234567得法方程組解得故所求經驗公式為0027.0074924.8137.628140208.5717.0為衡量上述經驗公式的優(yōu)劣,計算各點偏差如下:稱為均方誤差,對本題均方誤差它在一定程度上反映了經驗函數的好壞.偏差平方和為27.026.826.526.326.125.725.324.80123456727.12526.51825.91125.30326.82126.21425.60725.000－0.125－0.0180.189－0.003－0.0210.0860.093－0.200例2.

在研究某單分子化學反應速度時,得到下列數據:57.641.931.022.716.612.28.96.53691215182124123456