第六章-高中數(shù)學考試及其命題技術

第六章高中數(shù)學考試及其命題技術第五節(jié)高中數(shù)學考試中的選擇題及其命制技術一、選擇題及其特征1.選擇題及其結構選擇題是一種常用的基本題型，它的基本特點是不要求考生寫出解答過程，只要求考生從指定的幾個選項中將正確的答案挑選出來.作為一種客觀性試題，選擇題往往被看作是一種最具有適應性和最有用的試題類型，被廣泛應用于測量在知識、理解和應用方面等多種復雜的學習結果。一道選擇題包括一個問題和一組答案。問題可以使一個直接提問或者是一個不完整的陳述，又稱為題干。答案可以包括文字、數(shù)字、符號或者短語，又稱為選項（或被選答案）。選擇題一般要求學生閱讀題干和備選答案，然后，選擇一個正確的或最好的答案。每道題目的正確備選項叫做答案，其余的備選項叫做干擾項（又稱為迷惑項），這是因為它們的作用就是干擾對那些正確答案有迷惑的學生做出選擇。2．選擇題的類型目前，選擇題通常由三種形式：（1）直接提問形式。如，例1若函數(shù)y=f(2x+1)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(2x)的圖象的對稱軸是（）（A）x=-1;(B)x=1;(C)x=-1/2;(D)x=1/2這種形式更容易編寫，呈現(xiàn)問題也更加清楚明確，而低年齡段的學生讀起來會更覺得自然。（2）不完整的陳述形式。如，例2函數(shù)f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是（）(A)π/4;(B)π/2;(C)π;(D)2π在這道題目中，只有一個正確答案，所有其他的備選項都是錯誤的。如果用詞巧妙的話，同樣也能夠清楚明確地呈現(xiàn)出一個問題。（3）最佳答案類型。如，例3（2000年高考數(shù)學卷第6題）《中華人民共和國個人所得稅法》規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過800元的部分不必納稅，超過800元的部分為全月應納稅所得額，此項稅款按下表分段累進計算（表見下欄）．某人一月份應交納此項稅款26．78元，則他的當月工資、薪金所得介于（）．Ａ．800～900元Ｂ．900～1200元Ｃ．1200～1500元Ｄ．1500～2000元、全月應納稅所得額稅率不超過500元的部分5％超過500元至2000元的部分10％超過2000元至5000元的部分15％…………需要指出的是，對于那些需要揭示一些可能的程序類的選擇題中，一些程序也會比另一些程序更可取。這種選擇最佳答案的題目類型，在考查學生對事實性信息的理解、應用或解釋時特別有效。當然，這個最佳的答案必須確保無懈可擊。在編制選擇題時，一般的程序是，首先用直接提問作為題干，如果能保留題意的清楚明確，可以轉換成不完整陳述的形式，以使形式更為簡明。3．選擇題的作用選擇題是最為通用的一種測試題型，它可以測試從簡單到復雜不同種類的學習結果，并且適用于大多數(shù)的數(shù)學內(nèi)容。（1）用于測量知識學習結果的測量首先是術語的測量，它要求學生通過選擇與所給出的術語相同意思的詞語，或者給出一個術語的定義，在展示他們對某個數(shù)學術語知識的掌握情況。還可以讓學生根據(jù)上下文的線索鑒別術語的含義，測查一個術語的特殊用法。其次是專業(yè)知識的測量。通常使用“何時、什么條件下、什么結果”等形式來設計。如，例4已知動點P（x,y）到定點（0，1）的距離與它到直線的距離之比為2：1，那么動點P的軌跡是（）（A）橢圓；（B）雙曲線；（C）兩條直線；（D）雙曲線或兩條直線。再次，基本原理性知識、方法和程序性知識的測量。如例5某工廠八年來某種產(chǎn)品總產(chǎn)量c與時間t（年）的函數(shù)關系如右圖，下列四種說法：①前三年中，產(chǎn)量增長的速度越來越快；②前三年中，產(chǎn)量增長的速度越來越慢；③第三年后，這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)；④第三年后，年產(chǎn)量保持不變，其中說法正確的是（）（A）②與③；（B）②與④；（C）①與③；（D）①與④．（2）在理解和應用水平上測量學習結果主要用于鑒別應用事實和原理的能力，解釋因果關系的能力，對方法和程序的辨別能力等等。如例6“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領先的兔子看著緩慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺.當它醒來時，發(fā)現(xiàn)烏龜快要到終點了，于是急忙追趕，但為時已晚,烏龜還是先到了終點.用S1、S2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時間，則下列圖象中與故事情節(jié)相吻合的是（）這道題以一個美麗的童話故事為背景，從兩個運動過程的圖象表示為切入點，用函數(shù)圖象來表示生活中的現(xiàn)象.這是典型的“鑒別應用事實和原理”的選擇題范例。4．選擇題的優(yōu)先和不足選擇題具有靈活的特點，不受其他常見題目類型的常見缺點的影響，可以有效地測量不同類型的知識和復雜的學習結果，可以避免填空題中經(jīng)常出現(xiàn)的起義和含糊不清的缺點。事實上，與填空題相比，選擇題的備選項可以使問題情境建構得更加清楚。選擇題的另一個優(yōu)點是，學生僅僅知道一個陳述是錯誤的時候是不能得分的，他還必須知道什么是正確的。如，判斷題不能呈現(xiàn)一個沒有對錯限制的陳述，而使用選擇題中的最佳答案題型可以避免這樣的難題。選擇題的另外兩個優(yōu)點是，第一，它不太受反映傾向的影響；第二，使用似是而非的干擾選項，使得測驗結果具有診斷性。盡管選擇題有很多優(yōu)點，但也存在一些局限。集中表現(xiàn)在：第一，選擇題局限于對于言語水平的學習結果的測量，而對于真實情境中的表現(xiàn)無法測量；第二，不太適用于測量問題解決技能，以及組織能力和觀點陳述等內(nèi)容；第三，難以找到足夠多的似是而非的干擾項。二、選擇題編制的基本要求當前，在高中數(shù)學考試試卷中，作為一類大題，選擇題通常放在解答題的前面.近幾年來，在選擇題的題干部分，有時又可再分試題的背景部分與試題的內(nèi)容部分兩部分，雖然呈現(xiàn)形式主要還是“純數(shù)學內(nèi)容＋選擇支”，但題干中帶有問題背景的選擇題已引起了廣泛的關注和老師們的興趣，已經(jīng)成為了試題研究的一個新的動向，它在對數(shù)學基礎知識、基本技能和空間觀念的考查中發(fā)揮中重要而新的作用.從全國高中數(shù)學試卷上看，選擇題主要有兩種形態(tài)：單項選擇題與多項選擇題，而以單項選擇題占絕大多數(shù)，后者多用于日常的高中數(shù)學考試中，但也出現(xiàn)過介于兩者之間類型，如下面的試題雖然屬于單項選擇題，但其結構實際上是多項選擇題改編而成的。例7關于函數(shù)y＝arcsinx與y＝arcsin(-x)的圖象，在下列幾個判斷中：①關于軸對稱;②關于軸對稱;③關于原點對稱。正確命題的序號是（）（A）①；（B）②；（C）①②；（D）①②③在高考數(shù)學試卷中，單項選擇題基本上采用的是四選一的形式，即一個問題，提供四個選擇項（有的叫選擇支），其中只有一個是正確的，要求考生將這正確的選項選出來，選對的得滿分，不選或選錯的得0分；多項選擇題通常也只設置四個選項，其中至少有一項是正確的，錯選或不選得0分，否則每漏選一個扣1分，直至扣完為止（當然也有其它的給分方式）.選擇題的編制通常應遵循四個基本要求：（1）難度不宜過大，一般不應低于0.60；（2）涉及的知識點不能過多；（3）一般情況下，題干部分應簡明扼要，文字量不宜過多；（4）有利于考查學生對重要概念的理解水平、基本技能的運用水平和一定的思維水平.三、選擇題的編制技術選擇題的編制技術可從題干的背景、數(shù)學內(nèi)容的選定、與選擇支的設置三個方面來說明.1.選擇題的背景多數(shù)選擇題并不需要賦予實際背景或其它背景，而直接陳述出來就可以了.但在一份試卷中，若有少數(shù)幾道選擇題設置了恰當?shù)谋尘?，那么這幾道選擇題就會給整個試卷添光增彩，同時，對考查數(shù)學的更高級思維能力也發(fā)揮了一定的作用（一般情況下，選擇題主要用于考查對觀念的理解與較低層次的思維水平上）.如果你想在選擇題中，編制帶有一定背景的題目，那么可以參照如下的思路：（1）選取一種操作性、活動性情景作為背景.這時，可把這種操作與活動中所可能出現(xiàn)的某些結果作為選擇支（當然，有時選擇支可以是假想的，但應不影響對數(shù)學內(nèi)容的考查）.（2）選取一個運動性、游戲性情景作為背景（3）選取實際生活中的某個情景或場景作為背景（4）選取文字或其它美麗圖案作背景例8中央電視臺“幸運52”欄目中的“百寶箱”互動環(huán)節(jié)，是一種競猜游戲，游戲規(guī)則如下：在20個商標牌中，有5個商標牌的背面注明一定的獎金額，其余商標牌的背面是一張哭臉，若翻到哭臉，就不得獎，參與這個游戲的觀眾有三次翻牌機會（翻過的牌不能再翻）.某觀眾前面兩次翻牌均獲得若干獎金，那么他第三次翻牌獲獎的概率是（）（A）1/4

（B）1/5

（C）1/6

（D）3/20這道試題以學生喜歡的游戲節(jié)目為背景來構造問題，同時，又包含了重要的數(shù)學內(nèi)容―概率，因而是個可以借鑒的思路.2.數(shù)學內(nèi)容的選定選擇題中，對某些題目加上適當?shù)谋尘笆窃试S的.但更重要的是問題中要有好的數(shù)學.命題時，題目要考查什么和實際上考查了什么，這一點命題者是要清楚明白的.在知識點的選擇上，最重要、最本質(zhì)的核心內(nèi)容應優(yōu)先予以考慮.例9當x＝1時，代數(shù)式px3+qx+1的值為2001，則當x＝－1時，代數(shù)式px3+qx+1的值為（）（A）－1999

（B）－2000

（C）－2001

（D）1999這道題著重于考查學生的整體思維―我們有時可以在不確切知道或不需要知道其局部的情況下而能對全體做出準確的判斷與推理，所用到的技巧是整體地實行代數(shù)代換，設計簡潔、明快.其實，這里也可以理解為奇函數(shù)的應用。采用類比法，運用整體思想，可以編出不少有價值的題目.如，用函數(shù)來反映生活中的運動與變化現(xiàn)象，編制出與生活有聯(lián)系的試題：例102003年又是海南水果的豐收年，某芒果園的果樹上掛滿了成熟的芒果，一陣微風吹過，一個熟透的芒果從樹上掉了下來.下面四個圖象中，能表示芒果下落過程中速度與時間變化關系的圖象只可能是：例11如圖，P（x,y）是以坐標原點為圓心，5為半徑的圓周上的點，若x,y都是整數(shù)，則這樣的點共有（）(A)4個（B）8個（C）12個（D）16個本題看似簡單，但它較好地考查了學生的空間觀念、對稱思想和全面考慮問題的思維習慣，同時，又能較好區(qū)分不同層次學生的思維水平.采用數(shù)學概念之間的內(nèi)在關聯(lián)，也可以編制出好的選擇題，如，2004年湖南高考文科第9題：例12若函數(shù)f(x)=x2+bx+c的圖象的頂點在第四象限，則函數(shù)f'/(x)的圖象是（）3.選擇支的設置選擇支的設計通常應遵循如下要求：（1）選擇項之間不應有包含關系，否則，某一選項或幾項就失去了作用，形同虛設.（2）選擇項之間從表面上看來有較大的相似或相近性，即錯誤的選擇支對正確的選擇支有一定的干擾性.（3）在錯誤的選項中，每個選項被選擇的可能性不能相差太遠，即一般情況下不宜出現(xiàn)某一兩個選項幾乎沒有被選的現(xiàn)象.（4）選擇支的設計應有較大的信度，不能出現(xiàn)錯誤的解答而得到正確的結果這一現(xiàn)象，同時，也應當避免“學生選對了而無法判斷其是否真懂”這一現(xiàn)象的發(fā)生.編制選擇題時，選擇支的設計是一個非常重要的因素.選擇支的設計有很多方法，下面的幾種方法可供參考：

在問題中設置兩個變量來構造選擇支；圍繞一個主題來設置選擇支；從學生可能發(fā)生的錯誤中設計選擇支；形象地表達一個數(shù)學結論。例13點Ｏ是△ＡＢＣ所在平面內(nèi)的一點，滿足，則點Ｏ是△ＡＢＣ的（）Ａ三個內(nèi)角的角平分線的交點Ｂ三條邊的垂直平分線的交點Ｃ三條中線的交點Ｄ三條高的交點（２００５年高考，全國卷Ⅰ，文，第（１１）題）評注：此題的選擇支就是圍繞著點Ｃ的位置來設置的。例14設函數(shù)，若f(X0)>1，則X0的取值范圍是(

)（A）（-1，1）（B）（-1，+∞）（C）（-∞，-2）∪（0，+∞）（D）（-∞，-1）∪（1，+∞）（2003年全國高考題）【解】圖解法：在同一直角坐標系中，作出函數(shù)y=f(x)的圖象和直線y=1，它們相交于（－1，1）和（1，1）兩點，由f(X0)>1，得或X0<-1或X0>1.嚴格地說，圖解法并非屬于選擇題解題思路范疇，而是一種數(shù)形結合的解題策略.但它在解有關選擇題時非常簡便有效.不過運用圖解法解題一定要對有關函數(shù)圖象、方程曲線、幾何圖形較熟悉，否則錯誤的圖象反而會導致錯誤的選擇.如：最后，有一個值得特別說明與重視的是：當你將一道題目改編成一道選擇題，或自編一道選擇題時，一定要具體地進行求解，否則可能形式上看沒有問題，但求解的結果卻不合題意.所以，編題與審題，首要的是發(fā)現(xiàn)問題，這正說明了“發(fā)現(xiàn)問題往往比解決問題更為重要”.四、設計選擇題的一些策略Robert等學者①從客觀題的設計角度給出了設計選擇題的建議，這些建議給我們設計高中數(shù)學選擇題提供了一些有效策略：1．題干本身應具有意義并以一個確定的問題呈現(xiàn)。2．題干應當包括盡可能多的內(nèi)容，但與題干無關的材料應當刪去。3．除非某種重要的學習結果需要，一般不使用否定式的題干。4．全部的選項都應該與題干在語法上保持一致。5．一個題目應該只有一個正確或者是明顯的最佳答案。6．用來測量理解力的題目應該具有一定的新穎性，但也不要過于新穎。7．所有的干擾項都應該是似是而非的。8．避免使題干與正確答案之間存在語言聯(lián)系。9．不要通過選項的相對長度來提供答案的線索。10．正確答案出現(xiàn)在選項中的位置應該大致平均而且是隨機的。11．少用諸如“以上都不對”或者“以上都對”的選項。12．如果其他題型更合適，就不要使用選擇題。①[美]RobertL.Linn&NormanE.Gronlund著，教學中的測驗與評價[M]，北京：中國輕工業(yè)出版社，2003年：123

第六章高中數(shù)學考試及其命題技術第七節(jié)高中數(shù)學考試中的解答題及其命制技術一、解答題及其類型正如前文所分析的，試題的內(nèi)容要求和能力要求是通過一定的形式呈現(xiàn)的.題型就是體現(xiàn)考試要求的形式.題型和考試要求的關系實質(zhì)上是形式與內(nèi)容的關系，不同類型的試題在考查不同知識和能力要求上有不同的功能.一個考試所采用的題型，主要取決于考試目的、內(nèi)容和誤差控制等要求.解答題作為高中數(shù)學考中的必備題型，包含計算（求解）題、證明題、綜合題等等多種類型。解答題作為一種主觀題，要求考生寫出解題過程，能夠比較全面地反映考生學科智力水平，展示其分析數(shù)學問題，綜合運用數(shù)學知識進行邏輯思維的過程，適合對發(fā)散、綜合、評價以及復雜運算、文字表達等高層次能力的考查.一定量的解答題對中學教學也有較好的導向作用.實驗表明，客觀題比例越大，考生對嚴密的邏輯推理、準確的計算和條理清楚的表達等方面則越不重視，教學上相對來說可能放松要求，對中學數(shù)學教育會產(chǎn)生不良影響.但解答題作為一種主觀題也有其本身的不足，如對評卷者要求較高、題量少覆蓋面窄，特別是難于實行機器評卷，評卷效率低等.因此，高考中不能像校內(nèi)班級測驗或文化大革命前試卷那樣全是解答題，應定出合適的比例.近年來，高考數(shù)學科選用的題型主要有四選一的選擇題以及填空題和解答題.以考生作答方式和評分方法分類，選擇題、填空題應屬于客觀題，這是因為其評分不受評分者主觀因素的影響，而解答題應屬主觀題.主、客觀試題的比例是值得注意的一個問題，應從我國提倡的標準化考試的目的、性質(zhì)出發(fā)，從本學科的知識與智能結構出發(fā)來確定題型及其比例，題型要為考試內(nèi)容服務，內(nèi)容決定了題型.從考試時間和題量看，近年來，全國高考數(shù)學科考試時間為120分鐘，但覆蓋面要求較大.數(shù)學科有近二百個知識點為達到60%~70%的覆蓋面，以每題平均2~4個知識點論，要有近40個題，顯然，靠解答題是不可能很好實現(xiàn)考查目的的，因此，必須要有一定數(shù)量的選擇題以增加全卷題目數(shù)量，提高覆蓋率，同時也可以提高考試的信度和效度，使解答題真正發(fā)揮其考查綜合分析、邏輯推理等復雜思維過程的功能.二、解答題命制的一般步驟與選擇題、填空題的試題相比，解答題的編制的自由度要大得多。這種題型的試題能夠深刻地考查數(shù)學的各種能力，難度調(diào)節(jié)的范圍也很寬泛。要設計一到好的解答題，一般遵循如下幾個步驟①：1．選材與立意選材是編寫試題的第一步，立意就是確定考查目的和核心任務，二者往往交織在一起。選材一般有兩個途徑：一是來自于相關的教科書、資料等中的一些基本問題，二是來自于數(shù)學研究，現(xiàn)實生活、科學實驗等有關的數(shù)據(jù)資料或背景材料。立意包含立足點和考查意向兩個方面，立足點也就是試題的中心，考查意向也就是考查目的、考查目標。一道試題可以有多種立意的出發(fā)點：當考試題目以知識立意時，多數(shù)試題將以知識內(nèi)容立意；當時卷以數(shù)學能力考查為主線時，多數(shù)試題則應當以能力立意；對于那些綜合性比較強和實際應用型的試題，則宜以問題和情境作為立意的基點為佳。當然，立意是核心，選材服務于立意。例1（1994年全國高考數(shù)學試題，理科）已知直線l過坐標原點，拋物線C的定點在于原點，焦點在x軸正半軸上，若點A（-1，0）和點B（0，8）關于l的對稱點都在C上，求直線l和拋物線C的方程。其立意、取材分別為②：立意：擬編一道平面解析幾何的綜合性試題，考查運動變化的辯證思想，邏輯思維能力和運算能力。要求難度控制在0.3左右。取材：拋物線與軸對稱的有關問題，動點的軌跡問題。2．搭架與構題搭架也就是構筑試題的模坯。其間，往往伴隨著題材的剪切和重組，而且，不同的題材往往采取與之相對應的結構框架。3．加工與調(diào)整試題的加工和調(diào)整，主要包括兩件事情，一是確保試題科學、符合相應的課程教學的要求（不超綱），而是精心調(diào)整試題的難度，通常通過調(diào)整試題的設問方式、改變題設的條件、改變綜合程度等等策略來完成。其實，長期以來，全國高考數(shù)學試卷中，選擇題、填空題中多數(shù)考查基本概念和基本運算，其程度相當于課本習題，少數(shù)相當于課本復習參考題，不少試題就是通過將課本的習題和復習題進行適當?shù)母脑於傻摹?．審題與復核復核工作通常需要兩人以上完成，防止先入為主，確保試題考查有效性與預先的設計意圖相一致；同時，復核的另一項工作就是文字功夫，也就是對試題的字詞句、數(shù)學符號和圖表等一一推敲，決不放過任何一絲一毫的可能隱患。三、解答題命題的特殊方法在中學數(shù)學考試中，計算（求解）題、證明題、綜合題等等多種類型，是解答題的具體體現(xiàn)。下面我們結合高考中的典型試題，例舉計算（求解）題、證明題、綜合題的命題技術。1．計算（求解）題在高中數(shù)學內(nèi)容的考查中，有一類以考查數(shù)或式的運算（或數(shù)與式問題的求解）為主要任務的題目，這就是計算（求解）題.對于計算（求解）題，我們不但關心解答的結果，更加關注學生的解答過程.在高中數(shù)學試卷中，單純的計算（求解）題的綜合程度不是很高，主要用于考查學生對運算技能的掌握程度與代數(shù)的分析、推理能力，它通常處于解答題中的前部或中部.計算（求解）題在編制時應遵循三個基本要求：（1）如果出現(xiàn)了幾個知識點的連接，那么這個連接應當是自然的、和諧的；（2）如果是一個單純的運算題，那么這個運算式的結構應當有個主題；（3）如果一個求解題中包含著兩個小的問題，那么這兩個小的問題之間有一定的聯(lián)系是較好的.計算（求解）題一般可以分為簡單計算（求解）題、復雜的計算題。簡單計算（求解）題是指問題比較簡單、解答有固定程序、以技能為主要考查對象的試題.對這類試題，命制時，應注意如下兩點：（1）要把握好試題難度，難度可控制在0.75－0.50之間；（2）通常不附加過多的問題情景；如果有所創(chuàng)新，那么也主要是呈現(xiàn)形式上的、不影響學生答題心理的創(chuàng)新.如，例2（2004年遼寧高考）設全集U＝R。（1）解關于x的不等式|x-1|+a-1>0(a∈R）（2）記A為（1）中不等式的解集，集合B＝，若(CUA)∩B恰有3個元素,求a的取值范圍．評注：這種常規(guī)形式的式的運算、解不等式、解方程、求字母的值之類的題目，在高考試卷中，是常考的內(nèi)容，它既是解決問題的一個重要部分，又是今后學習的基礎.例3（2002年全國高考，文科第17題）如圖，某地一天從6時至14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)（1）求這段時間的最大溫差；（2）寫出這段時間的函數(shù)解析式；例4（2002年全國高考，理科第17題）已知sin22a+sin2acosa-cos2a＝1，a∈(0,π/2)，求sina、tga的值。例5（2005年上海春季高考試題，第18題）已知tga是方程x2+2xseca+1＝0的兩個根中較小的根，求a的值.較為復雜的求解題，是指有一定挑戰(zhàn)性的試題，亦即，通常至少在某一點或某個方面上有一定的新意，沒有十分明確的解題思路，或在計算上有一定的技巧，要完整的解答出來，通常需要一定的思維能力.因此，在編制這種帶有一定挑戰(zhàn)性的試題時，一是可在知識點的組合上與平常接觸到的形式稍有不同，二是在試題的構造上與已見過的形式略有差別，三是使問題確實有一定的思考性，對多數(shù)學生而言，不是一眼就可看穿的.在數(shù)與代數(shù)內(nèi)容中，它主要出現(xiàn)在與數(shù)列、函數(shù)、解析幾何等有關的帶有參數(shù)問題上.在空間與圖形中，它通常需要一定的推理作幫助.有時，這種挑戰(zhàn)性的題目又突出表現(xiàn)在數(shù)學思想方法的運用上.例6如右下圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,已知AB＝4,AD＝3,AA1＝2.E、F分別是線段AB、BC上的點，且EB＝FB＝1.(1)求二面角C-DE-C1的正切值;(2)求直線EC1與FD1所成的余弦值.（2004年廣東省數(shù)學高考試題）例7（2004年高考重慶卷，第18題）設一汽車在前進途中要經(jīng)過4個路口，汽車在每個路口遇到綠燈的概率為3/4，遇到紅燈（禁止通行）的概率為1/4。假定汽車只在遇到紅燈或到達目的地才停止前進，§表示停車時已經(jīng)通過的路口數(shù)，求：（1）§的概率的分布列及期望E§;(2)停車時最多已通過3個路口的概率。例8(2004年全國卷IV)某村計劃建造一個室內(nèi)面積為800的矩形蔬菜溫室。在溫室內(nèi)，沿左．右兩側與后側內(nèi)墻各保留1寬的通道，沿前側內(nèi)墻保留3寬的空地。當矩形溫室的邊長各為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大種植面積是多少？這道題主要考查把實際問題抽象為數(shù)學問題，應用不等式等基礎知識和方法解決問題的能力.2．證明題在高中數(shù)學中，證明題主要包括簡單的代數(shù)證明題、三角證明題與幾何證明題.證明題的基本特點是，它有明確的已知條件與結論，要求學生從已知條件與所學過的知識出發(fā)，通過邏輯推理來推斷結論的正確性.要完成由已知到結論的邏輯鏈接，可采用分析法、反證法、綜合法等等.因此，證明題的主要功能是考查學生的邏輯推理能力，當然，這其中也往往會涉及到合情推理與空間想像，但主體是邏輯推理.近年來，單純的幾何證明題比較少見，多數(shù)情況下，幾何證明多是與其它題型結合在一起來設計的，如開放性試題、探索題等.但是，作為單純證明題的編制研究仍是不可少的，一方面是它本身仍然是一種獨立的題型，也常常在考查中發(fā)揮重要作用，另一方面是，即使它與其它題型組合在一起，作為具有獨特教育功能的推理與證明也是考查的一個重要方面。編制證明題的快捷而有效的方法之一就是改編法，即是從教材或某一個所熟悉的幾何或代數(shù)題出發(fā)，通過如下等途徑，得到一個新的命題：（1）將原有試題的條件與結論，或它們其中的一部分互換；（2）將兩個幾何問題疊加在一起；（3）利用已知條件而改換圖形；（4）利用已知圖形而改變條件；（5）將原問題的條件作適當改變，減少或增加，可推出若干結論，將其中的一個作為結論，于是就構成了一個新的問題；（6）將問題中的一個點視作動點，當這點運動到一個新的位置時，就構成了一個新的問題；（7）將一個代數(shù)結構中的一部分改變一下，或將幾個代數(shù)結構重新組合一下，便構成了一個新的問題；（8）通過幾何圖形翻折、命題的逆命題等等方式可以構造一個新的問題；（9）以特殊圖形作基礎可以構造一些新的問題；等等.例9(2004年江蘇卷）已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足下列條件：對任意的實數(shù)x1，x2都有λ(x1-x2)2≤(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]和|f(x1)-f(x2)|≤|X1-X2|，其中λ是大于0的常數(shù).設實數(shù)a0，a，b滿足f(a0)＝0和b＝a-λf(a)(Ⅰ)證明λ≤1，并且不存在b0≠a0，使得f(b0)＝0；(Ⅱ)證明(b-a0)2≤(1-λ2)(a-a0)2；(Ⅲ)證明[f(b)]2≤(1-λ2)[f(a)]2.這道試題主要考查函數(shù)、不等式等基本知識，以及綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。其取材實際上源于基礎數(shù)學中的不動點理論。3．綜合型試題的命題技術從理論上說，計算題、證明題與綜合題等并不是一個無交叉的分類，計算題與證明題中往往也有綜合性，計算中涉及證明，證明中涉及計算是司空見慣的，但在某種意義上說，它們各自強調(diào)的側重點不同，在實踐上作這種劃分還是便于交流的.綜合題，有的綜合性程度比較小，有的綜合性程度比較大，可以是以代數(shù)綜合題、幾何綜合題、代數(shù)幾何綜合題、代數(shù)與統(tǒng)計綜合題等等.這里的綜合題是指綜合性程度比較大的綜合題.縱觀近幾年全國各地的高中數(shù)學試卷（尤其是高考數(shù)學試卷），不難發(fā)現(xiàn)，綜合題主要有如下特點：*涉及的知識點較多.*至少涉及到一、兩種有價值的數(shù)學思想方法.*問題通常由兩個以上的小問題組成，且成臺階式顯現(xiàn).*需要靈活地運用有關知識，才能完整地解決該問題.因此，綜合題注意從學科的整體高度出發(fā)，注重各部分知識的綜合性、相互聯(lián)系及在各自發(fā)展過程中各部分知識間的縱向聯(lián)系，在知識網(wǎng)絡交匯點處設計試題。綜合題對于考查學生的分析、綜合能力、靈活地運用知識的能力有較大的作用.在高中數(shù)學考試中，單純的代數(shù)綜合題或幾何綜合題，不宜過難，多處于大題的中間位置，對于代數(shù)幾何等類的綜合題，因其對解答要求較高，多處于最后或靠后位置.綜合題該如何編制呢？下面的方法可以參考.（1）選擇適當?shù)牧⒁鈽嬎紒砭幹凭C合題。一個好的試題要有一個好的立意與構思.立意，即確立意圖，明確方向；構思，即構建框架，思索方案.選擇適當?shù)牧⒁鈽嬎际蔷幹凭C合題的一個重要因素.在高考中鑒別考生是否具有創(chuàng)造力的有效方法就是編制新穎的試題，要求考生應用已知的方法和知識，分析一些情境的特點，找出已知和未知的聯(lián)系，重新組織若干已有的規(guī)則，形成新的規(guī)則，嘗試解決新的問題.所謂新穎是相對于絕大多數(shù)考生來說，相對于用常規(guī)的方法難以解答，要求考生思維靈活、敏捷，創(chuàng)造性地應用知識，解決問題.例10已知a、b、c是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax2+bx+c,g(x)＝ax+b,當-1≤x≤1時，｜f(x)|≤1（Ⅰ）證明：│c│≤1；（Ⅱ）證明：當－1≤x≤1時，│g（x）│≤2；（Ⅲ）設a＞0，當－1≤x≤1時，g（x）的最大值為2，求f（x）.(2001年全國高考試題)這道題的設計比較新穎，沒有常見的解題模式可以套用.題目以二次函數(shù)和一次函數(shù)為載體，著重考查對函數(shù)概念的理解、含絕對值不等式的性質(zhì)、抽象的數(shù)學問題的具體化等.首先本題沒有設計為證明某個函數(shù)的單調(diào)性，而是考查對函數(shù)單調(diào)性概念的理解和運用.其次題目中沒有給出a、b、c的具體數(shù)值，而是給出比較抽象的函數(shù)表達式，要求考生根據(jù)題目的條件導出一些關系式│f（0）│≤1，f（x）=x·g（x）＋c,g（1）=f（1）－f（0），進而求出具體函數(shù).同時本題還要求進行等式和不等式的轉化，運用雙邊不等式－1≤f（0）≤－1得出等式c=f（0）=－1。進而，根據(jù)二次函數(shù)的極小值點，通過逆向思維求出函數(shù)f（x）的一次項系數(shù).例11某地為促進淡水魚養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展，將價格控制在適當?shù)姆秶鷥?nèi)，決定對淡水魚養(yǎng)殖提供政府補貼.設淡水魚的市場價格為x元/千克，政府補貼為t元/千克.根據(jù)市場調(diào)查，當8≤x≤14時，淡水魚的市場日供應量P千克與市場日需求量Q千克近似地滿足關系：P＝1000（x＋t－8）（x≥8，t≥0），Q＝500（8≤x≤14）.當P＝Q時的市場價格稱為市場平衡價格.（Ⅰ）將市場平衡價格表示為政府補貼的函數(shù)，并求出函數(shù)的定義域；（Ⅱ）為使市場平衡價格不高于每千克10元，政府補貼至少為每千克多少元？這道題是一道實際應用問題，試題密切結合當時的中國社會經(jīng)濟生活，背景新穎.同時題目引入了一些新的概念，如市場平衡價格、政府補貼等.試題的要求也不同于一般的數(shù)學試題，要求考生首先讀懂題目，理解題目的條件和結論，將其轉化為數(shù)學表達式，以便應用數(shù)學工具解決.題目根據(jù)問題的實際背景，對各參數(shù)限制了其取值范圍，在數(shù)學運算過程中要求靈活地應用這些要求求解.在綜合題中，通常設置幾個問題，一是可以減緩梯度，避免難度急然上升，多數(shù)學生難以適從，二是可以通過不同層次問題的設置，更好的體現(xiàn)不同的學生得到不同的表現(xiàn)，使更多的學生都能夠得到自己所能得到的肯定.因此，并不是說綜合題的所有問題都是較難的，事實上正相反，往往前面的一兩問是比較容易的，或作為到達更高山峰前的一個小山峰，或作為相對孤立一個小山峰.本題中，第（I）、（II）題是簡單的，但第（III）題對學生的思維設置了一個適當?shù)母叨龋m說學生要全面地找出所有的點P不容易，但有不少學生能夠達到或接近達到，其難度是允許的；同時，這種全面細致考慮問題的思維習慣與思維方式的培養(yǎng)正可能是數(shù)學教育貢獻給學生一輩子的財富，因而對這一點的考查是有價值的.（2）通過層次多樣、旨在考查綜合運用各種知識解決問題的能力的綜合性試題。考生解決這類問題的過程是綜合運用各種能力的過程，因此，高考中對能力的考查也應強調(diào)綜合考查.例12已知過原點O的一條直線與函數(shù)y＝log8x的圖象交于A、B兩點，分別過A、B作y軸的平行線與函數(shù)的圖象交于C、D兩點.（Ⅰ）證明：點C、D和原點O在同一條直線上；（Ⅱ）當BC平行于x軸時，求點A的坐標.這道試題考查對數(shù)函數(shù)的圖象與直線的位置關系.兩條平行于y軸的直線，如果與兩個不同的對數(shù)函數(shù)的圖象分別有兩個交點，若其中一個對數(shù)函數(shù)的圖象中的這兩點的連線通過原點，則另一個對數(shù)函數(shù)的圖象中的兩點也必然通過原點。這是由于兩個對數(shù)函數(shù)f（x）=logax、f（x）=logbx之間有這樣的關系：logax=（logbx）/logba.在此，很難分清是用袋鼠方法研究幾何問題，還是用幾何方法研究代數(shù)問題，這是考查綜合運用數(shù)學知識的能力和學習潛能的更高層次的要求.例13設曲線C的方程是y＝x3－x，將C沿x軸、y軸正向分別平行移動t、s單位后得曲線C1.（Ⅰ）寫出曲線C1的方程；（II）證明：如果曲線C與C1關于點A（t/4，s/2）對稱；（III）如果曲線C與C1有且只有一個公共點，證明：s=t3/4-t，且t≠0。（2001年全國高考試題，第22題）這道題的設計思想是試題能夠體現(xiàn)代數(shù)表述及其推理與其幾何背景的平衡，根據(jù)這一立意，命題選取了考生熟悉的平面曲線的平移、對稱和旋轉以及相互之間的關系作為出發(fā)點，討論相應的代數(shù)表述和有關函數(shù)基本特性的代數(shù)推理.本題以三次函數(shù)設定情境，將平移、對稱、相交等概念有機結合在一起，討論曲線C與C1之間的關系。這道題很難按其所涉及具體的知識點、按一般的分類將其歸入代數(shù)或解析幾何類試題，而是把中學教學里函數(shù)及圖象的基本概念、基本性質(zhì)與曲線的幾何變換（平移、中心對稱）的性質(zhì)，以及用代數(shù)方程研究曲線位置關系的思想方法等，許多重要內(nèi)容融合在一起，命題頗具創(chuàng)意.（3）通過構建新的情景來編制綜合題構造新的情景是編制綜合題的一個重要手段.手段可以是舊的，但情景可以是新的，例如，利用運動來編題是一個常規(guī)手段，但運動的背景與運動的方式卻五花八門，需要我們?nèi)?chuàng)新.當然，我們還可以從其它的角度來創(chuàng)設情景，如應用題的背景等.例15(2004年福建卷）某企業(yè)2003年的純利潤為500萬元，因設備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不能進行技術改造，預測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進行技術改造，預測在未扣除技術改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤為500(1+1/2n)萬元（n為正整數(shù)）.（Ⅰ）設從今年起的前n年，若該企業(yè)不進行技術改造的累計純利潤為An萬元，進行技術改造后的累計純利潤為Bn萬元（須扣除技術改造資金），求An、Bn的表達式；（Ⅱ）依上述預測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤？這道試題主要考查建立函數(shù)關系式、數(shù)列求和、不等式的等基礎知識，考查運用數(shù)學知識解決實際問題的能力.事實上，這道題是深受2002年“汽車的城市增容量”應用題的影響。（4）通過創(chuàng)新方式或借鑒相關領域的方法來編制試題獨辟蹊徑，以一種新的方式來構造問題是命制高水平試題的重要途徑，同時這一方式也常常給他人以有益的啟示.當一個新的命題切入方式，或新的命題思路，或新的命題方式出現(xiàn)之后，學習、借鑒、修改他人之法，是命制綜合題的有效途徑.這與創(chuàng)新的情景有所不同，這里強調(diào)的是一種思想的借鑒與發(fā)揮，而主要不是情景上的簡單改變.如，2002年高考文科第22題：（I）給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖1，圖2），要求用其中一塊剪拼成一個三棱錐模型，另一塊剪拼成一個正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請設計一種剪拼方法，分別用虛線標示在圖1、圖2中，并作簡要說明；（II）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大小；（III）（本小題為附加題，如果解答正確，加4分，但全卷總分不超過150分）如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3），要求剪栟成一個直三棱柱，使它的全面積與給出的三角形的面積相等。請設計一種剪拼方法，用虛線標示在圖3中，并作簡要說明。這道題充分借鑒義務教育階段操作型試題的特點，要求考生自行設計，將正三角形紙片剪拼成正三棱錐、正三棱模型，通過動手剪拼的實際操作，要求考生把握數(shù)學規(guī)律的內(nèi)在本質(zhì)，自己動手解決實際問題。這種題型有較大的自由度和思維空間，體現(xiàn)自主學習和主動探究精神，顯現(xiàn)了研究性學習的特點，對于培養(yǎng)考生的實踐能力和創(chuàng)新意識有重要的意義。（5）通過改造有關的試題構造新的試題。近年來，全國高考試題中，解答題中也有一定數(shù)量的基本題是課本題稍加改造而成的。即使一些難題也是在挖掘教材的基礎上引伸出來的，吸收教材組題的思想，并將其進行加工、組合編制而成。下面通過對數(shù)學課本中一道典型習題的研究，看看歷年試題是如何對其進行改造的。如原《教學大綱》下的數(shù)學教材第二冊（上）23頁習題5：求證：改造1：令|A|＝1，|B|＝t,常用對數(shù)換成以a為底的對數(shù)，得1988年全國高考題：比較與且的大小。改造2：令|A|＝x1，|B|＝x2,常用對數(shù)換成以a為底的對數(shù)，得1994年全國高考文科題：已知函數(shù)f(x)=logax(a>0且a≠1,x>0)，若x1,x2∈(0,+∞),，判斷與的大小，并加以證明。改造3：令|A|＝x1，|B|＝x2,常用對數(shù)換成正切函數(shù)，得1994年全國高考理科題：設f(x)＝tanx,x∈(0,π/2),若x1,x2∈(0,π/2)，且x1≠x2,，證明：。改造4：與數(shù)列結合，則得1995年全國高考最后一題：設是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是其前n項和。（1）證明：；（2）是否存在常數(shù)c>0，使得成立？并證明你的結論。改造5：令|A|＝a，|B|＝b,則得2000年全國高考題：，則下面成立的是（）A.R<P<Q

B.P<Q<R

C.Q<P<R

D.P<R<Q。①教育部考試中心（任子朝主編），高考數(shù)學測量理論與實踐[M]，北京：高等教育出版社，2005年第2版：266②教育部考試中心（任子朝主編），高考數(shù)學測量理論與實踐[M]，北京：高等教育出版社，2005年第2版：268

第六章高中數(shù)學考試及其命題技術第六節(jié)高中數(shù)學考試中的填空題及其命制技術填空題是數(shù)學高考的三種基本題型之一，也是高中數(shù)學考試中的常見題型之一。研究填空題及其命題技術，對于完成高中數(shù)學教育評價具有重要作用。一、填空題及其類型1．填空題的特點填空題與選擇題一樣，是最基本、最常用的基本題型，它通常放在第一大題或在第二大題的位置，主要考查簡單計算、簡單推理、簡單的空間想象以及簡單的合情推理能力.解答時，它不要求學生寫出過程，而只要求學生直接將結果寫在題中的橫線上.注重結果而不注重過程，是填空題的突出特點。正是由于這個特點，使得中學數(shù)學考試中，經(jīng)常使用填空題。

一個簡單的填空題通常包括三個部分：一是操作指令；二是操作內(nèi)容；三是填寫操作結果.2．填空題的類別按照不同的視角，填空題有不同的分類：（1）從答案的開放性看，填空題有兩種形式：答案唯一確定的填空題與帶有開放特點的、答案雖然有多個但只要求學生寫出其中的一個或少數(shù)幾個的填空題。如例1若首項為ａ1,公式為ｑ的等比數(shù)列{ａｎ}的前ｎ項和總小于這個數(shù)列的各項和,則首項ａ1,公比ｑ的一組取值可以是(ａ1,ｑ)＝＿＿＿＿＿＿.分析:這是一道結論開放型填空題,考查學生的代數(shù)推理能力.由題設有ａ1(1-ｑｎ)/（1-ｑ）<ａ1/（1-ｑ）(|ｑ|<1),∴ａ1ｑｎ>0,只須取一組ａ1>0,0<ｑ<1的數(shù)即可,如填(1,0.5).例2α、β是兩個不同的平面,ｍ、ｎ是平面α及β之外的兩條不同直線.給出四個論斷:①ｍ⊥ｎ②α⊥β;③ｎ⊥β;④ｍ⊥α.以其中三個論斷作為條件,余下一個論斷作為結論,寫出你認為正確的一個命題:__________.分析:此題條件和結論都開放,答案不惟一.由題設可組合成四個不同命題,其中有真有假,對能力的要求較高.解答時,任意組合一個命題進行判斷,正確的填入,錯誤的去掉,再組合判斷.正確的命題有ｍ⊥α,ｎ⊥β,ｍ⊥ｎα⊥β(或α⊥β,ｍ⊥α,ｎ⊥βｍ⊥ｎ).（2）從問題的背景看，有兩種類型：帶有一定實際情景的填空題與不帶有實際情景的的填空題；如下面的試題就屬于帶有一定實際背景的填空題：例3某商場開展促銷活動，設計一種對獎券，號碼從000000到999999.若號碼的奇位數(shù)字是不同的奇數(shù)，偶位數(shù)字均為偶數(shù)時，為中獎號碼，則中獎面（即中獎號碼占全部號碼的百分比）為____________.（3）從推理的邏輯性看，還可分為兩種：以考察邏輯思維能力為主的填空題（包括簡單計算）與以考察合情推理能力為主的填空題.（4）填充題還可以分為圖、表填充題和文字填充題兩種，前者簡稱為填圖題，后者簡稱為填空題。特別地，圖表型填空題信息新穎、直觀、實用,能很好地考查學生運用數(shù)形結合思想和解決實際問題的能力.如2002年全國高考文科數(shù)學第13題：例4據(jù)新華社2002年3月12日電,1985年到2000年間,我國農(nóng)村人均居住面積如右圖所示,其中,從年到的五年間增長最快.分析:用圖形來表達某種信息的填空題,令人耳目一新.這種信息題不僅關注學生的思考結果,更關注了他們的思考過程.過每個矩形的上底作平行線,觀察發(fā)現(xiàn)上面兩條平行線的距離最大,所以填1995、2000.近幾年來，填空題還有不少新的發(fā)展，如將圖案設計等問題放在填空題中，這也就大大拓寬了填空題的外延，也大大提升了填空題的作用.二、填空題的編制渠道填空題是一種比較容易命制的考試題，填空題的設計主要來源于常規(guī)解答題。在編制填空題時，一般所留空白均多于要求回答的字數(shù)，而且盡可能做到一道試題內(nèi)和各道試題之間所留空白的長短一致，免給應考者填寫答案時以不應有的暗示。從填寫內(nèi)容來看，編制填空題主要有三渠道：1．定量型即需要填寫數(shù)值或數(shù)量關系得填空題。例如例5已知球面上A、B兩點間的球面距離是1，過這兩點的球面半徑的夾角為600，則這個球的表面積與球的體積之比是________。例6拋物線y2＝4x的準線方程是_________,焦點坐標是__________。(2005年高考,北京卷,文,第(9)題)2．定性型即填寫具有某種性質(zhì)的數(shù)學對象，或數(shù)學對象的某種性質(zhì)。如例7已知下列四個命題：①角a一定是直線y＝x·tga-2的傾斜角；②點P是線段AB上的點，若AP/AB＝3/5，則；Ｘp＝(2XA+3XB)/5③直線y＝K1X+b1到直線y＝K2X+b2的夾角公式為tga＝(K1-K2)/(1+K1K2)；④方程X2+Y2＝１與方程表示同一條曲線，其中正確命題的序號是（把你認為正確命題的序號都填上）__________。例8如右圖，E、F分別是正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是__________（要求：把可能的圖的序號都填上）（2001年全國高考題）3．混合型即，在回答有關問題時，既需要定性也需要定量。例如：例9已知下列曲線：以及編號為①②③④的四個方程：請按曲線（A）（B）（C）（D）的順序，依次寫出與之對應的曲線方程的編號：________________。例10已知函數(shù)y=f(x)，x∈D,y∈R+,且正數(shù)C為常數(shù)．對于任意的x1∈D，存在一個x2∈D，使，則稱函數(shù)y=f(x)在D上的均值為C.試依據(jù)上述定義，寫出一個均值為9的函數(shù)的例子：________________.三、填空題的編制技術根據(jù)填空題所處的位置和類型的不同，數(shù)學中考填空題在編制時應遵循如下要求：（1）表達應當簡潔、科學，綜合性程度小；（2）操作要求要明確，操作內(nèi)容要適宜、有價值；（3）涉及應用問題時，其情景亦不宜復雜；（4）難度不能過大.填空題如何編制呢？如下的實例與評注可供參考.1．問題情景的設定填空題，雖然一半以上的題目不必涉及問題情景，但近幾年來，帶有簡單情景的填空題已經(jīng)司空見慣.若試卷中，編制出了一至幾個有特色、有情景的適當?shù)奶羁疹}，那么既可有效地激發(fā)學生的解題愿望，同時也使試卷增添亮色.例11一只酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的函數(shù)解析式是y＝x2/2(0≤y≤20)，在杯內(nèi)放一個玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑r的取值范圍是___________.評注：本題從酒杯的形狀中，提煉出數(shù)學問題，給人一種親切的感受.例12如圖所示，如果（士）所在位置的坐標為（－1,－2），（相）所在位置的坐標為（2,－2），那么，（炮）所在位置的坐標為___________。

評注：本題以象棋盤為背景，建立起與坐標的聯(lián)系，使“冷冰冰”的數(shù)學有了一種活力.這種將形式化的數(shù)學用形象化的方法去表達，是適合學生年齡特征的，這也是新課程所倡導的，要加強數(shù)學與生活的聯(lián)系的理念的體現(xiàn).圖6－12、數(shù)學內(nèi)容的確定數(shù)學內(nèi)容是填空題設置的核心與本質(zhì)，即使在其中引入了適當?shù)那榫?，但重要的還是應著重于數(shù)學內(nèi)容的考查.在選擇填空題中的數(shù)學內(nèi)容時，應把在解答題中的、尚未考查到的重要知識放在優(yōu)先位置予以考慮.（1）問題中應當包含重要、有價值的數(shù)學內(nèi)容例13（重慶2004年高考，文16）．毛澤東在《送瘟神》中寫到：“坐地日行八萬里”。又知地球的體積大約是火星的8倍，則火星的大圓周長約為______________萬里.評注：估算似乎是再簡單不過的事，但在生活中常常用到，我們發(fā)現(xiàn)即使在成人中，也常常在計算工齡時發(fā)生錯誤.在數(shù)學上，如在求和中計算項數(shù)時就會遇到類似的問題，可見，試題的內(nèi)容是有價值的.從生活中尋找出某些最基本、最簡單、又適宜的個別知識作為中考試題的設計材料是個可以參考的思路.例14(福建2004年高考，理16)如圖1，將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器.當這個正六棱柱容器的底面邊長為______時，其容積最大。評注：空間圖形的折疊與展開是考查空間觀念的一個重要方面，是編制試題的一條思路.由于選取折疊的圖形和設計問題的角度不同，將產(chǎn)生不同的試題.本題著重在裁去的圖形中的角度上做文章.（2）試題可由改編而來利用已有的題目進行改編是填空題的一大來源.例15原題：化簡.以此題作基礎，變個形，再考點其它東西，可以編出如下試題：新題：當a________時，的最大值為.評注：在利用已有試題改編新題時，可以對原來的結構作一些調(diào)整，也可以增加一些其它的內(nèi)容，這樣，變化起來就多種多樣了.許多填空題都可由代數(shù)運算題改編而來.而2004年北京高考文科第9題也與這道題有關，函數(shù)f(x)=sinxcosx的最小正周期是______________.（3）利用變換來構造試題利用幾何變換、代數(shù)的變量替換等方法來構造填空題是一種良好的途徑.如，將sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ中的α、β分別替換為x和x+π/4，就可得到上海2004年高考理科第一題：函數(shù)y=sinxcos(x+π/4)+cosasin(x+π/4)的最小正周期T=________.例16如圖5－62，ABCD是一張矩形紙片，點O為矩形對角線的交點.直線MN經(jīng)過點O交AD于M，交BC于N.操作：先沿直線MN剪開，并將直角三角形MNCD繞點O旋轉________度后（填入一個你認為正確答案的序號：①90；②180；③270；④360），恰與直角梯形NMAB完全重合；再將重合后的直角梯形MNCD以直線MN為軸旋轉180°后所得到的圖形是下列中的________.（填寫正確圖形的代號）A

B

C

D評注：由拼接構造問題的空間非常大，由于選取的圖形不同，拼接的方式不同，那么拼接出來的圖案將豐富多彩，實是一種構造問題的值得借鑒的好的想法.利用七巧板就可以造出許多類似的試題來.另一方面，本題也可看成是一道選擇題，它給