第六章-高中數(shù)學(xué)考試及其命題技術(shù)

第六章高中數(shù)學(xué)考試及其命題技術(shù)第五節(jié)高中數(shù)學(xué)考試中的選擇題及其命制技術(shù)一、選擇題及其特征1.選擇題及其結(jié)構(gòu)選擇題是一種常用的基本題型，它的基本特點(diǎn)是不要求考生寫(xiě)出解答過(guò)程，只要求考生從指定的幾個(gè)選項(xiàng)中將正確的答案挑選出來(lái).作為一種客觀性試題，選擇題往往被看作是一種最具有適應(yīng)性和最有用的試題類(lèi)型，被廣泛應(yīng)用于測(cè)量在知識(shí)、理解和應(yīng)用方面等多種復(fù)雜的學(xué)習(xí)結(jié)果。一道選擇題包括一個(gè)問(wèn)題和一組答案。問(wèn)題可以使一個(gè)直接提問(wèn)或者是一個(gè)不完整的陳述，又稱(chēng)為題干。答案可以包括文字、數(shù)字、符號(hào)或者短語(yǔ)，又稱(chēng)為選項(xiàng)（或被選答案）。選擇題一般要求學(xué)生閱讀題干和備選答案，然后，選擇一個(gè)正確的或最好的答案。每道題目的正確備選項(xiàng)叫做答案，其余的備選項(xiàng)叫做干擾項(xiàng)（又稱(chēng)為迷惑項(xiàng)），這是因?yàn)樗鼈兊淖饔镁褪歉蓴_對(duì)那些正確答案有迷惑的學(xué)生做出選擇。2．選擇題的類(lèi)型目前，選擇題通常由三種形式：（1）直接提問(wèn)形式。如，例1若函數(shù)y=f(2x+1)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(2x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸是（）（A）x=-1;(B)x=1;(C)x=-1/2;(D)x=1/2這種形式更容易編寫(xiě)，呈現(xiàn)問(wèn)題也更加清楚明確，而低年齡段的學(xué)生讀起來(lái)會(huì)更覺(jué)得自然。（2）不完整的陳述形式。如，例2函數(shù)f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是（）(A)π/4;(B)π/2;(C)π;(D)2π在這道題目中，只有一個(gè)正確答案，所有其他的備選項(xiàng)都是錯(cuò)誤的。如果用詞巧妙的話，同樣也能夠清楚明確地呈現(xiàn)出一個(gè)問(wèn)題。（3）最佳答案類(lèi)型。如，例3（2000年高考數(shù)學(xué)卷第6題）《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過(guò)800元的部分不必納稅，超過(guò)800元的部分為全月應(yīng)納稅所得額，此項(xiàng)稅款按下表分段累進(jìn)計(jì)算（表見(jiàn)下欄）．某人一月份應(yīng)交納此項(xiàng)稅款26．78元，則他的當(dāng)月工資、薪金所得介于（）．Ａ．800～900元Ｂ．900～1200元Ｃ．1200～1500元Ｄ．1500～2000元、全月應(yīng)納稅所得額稅率不超過(guò)500元的部分5％超過(guò)500元至2000元的部分10％超過(guò)2000元至5000元的部分15％…………需要指出的是，對(duì)于那些需要揭示一些可能的程序類(lèi)的選擇題中，一些程序也會(huì)比另一些程序更可取。這種選擇最佳答案的題目類(lèi)型，在考查學(xué)生對(duì)事實(shí)性信息的理解、應(yīng)用或解釋時(shí)特別有效。當(dāng)然，這個(gè)最佳的答案必須確保無(wú)懈可擊。在編制選擇題時(shí)，一般的程序是，首先用直接提問(wèn)作為題干，如果能保留題意的清楚明確，可以轉(zhuǎn)換成不完整陳述的形式，以使形式更為簡(jiǎn)明。3．選擇題的作用選擇題是最為通用的一種測(cè)試題型，它可以測(cè)試從簡(jiǎn)單到復(fù)雜不同種類(lèi)的學(xué)習(xí)結(jié)果，并且適用于大多數(shù)的數(shù)學(xué)內(nèi)容。（1）用于測(cè)量知識(shí)學(xué)習(xí)結(jié)果的測(cè)量首先是術(shù)語(yǔ)的測(cè)量，它要求學(xué)生通過(guò)選擇與所給出的術(shù)語(yǔ)相同意思的詞語(yǔ)，或者給出一個(gè)術(shù)語(yǔ)的定義，在展示他們對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)知識(shí)的掌握情況。還可以讓學(xué)生根據(jù)上下文的線索鑒別術(shù)語(yǔ)的含義，測(cè)查一個(gè)術(shù)語(yǔ)的特殊用法。其次是專(zhuān)業(yè)知識(shí)的測(cè)量。通常使用“何時(shí)、什么條件下、什么結(jié)果”等形式來(lái)設(shè)計(jì)。如，例4已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x,y）到定點(diǎn)（0，1）的距離與它到直線的距離之比為2：1，那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）（A）橢圓；（B）雙曲線；（C）兩條直線；（D）雙曲線或兩條直線。再次，基本原理性知識(shí)、方法和程序性知識(shí)的測(cè)量。如例5某工廠八年來(lái)某種產(chǎn)品總產(chǎn)量c與時(shí)間t（年）的函數(shù)關(guān)系如右圖，下列四種說(shuō)法：①前三年中，產(chǎn)量增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快；②前三年中，產(chǎn)量增長(zhǎng)的速度越來(lái)越慢；③第三年后，這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)；④第三年后，年產(chǎn)量保持不變，其中說(shuō)法正確的是（）（A）②與③；（B）②與④；（C）①與③；（D）①與④．（2）在理解和應(yīng)用水平上測(cè)量學(xué)習(xí)結(jié)果主要用于鑒別應(yīng)用事實(shí)和原理的能力，解釋因果關(guān)系的能力，對(duì)方法和程序的辨別能力等等。如例6“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著緩慢爬行的烏龜，驕傲起來(lái)，睡了一覺(jué).當(dāng)它醒來(lái)時(shí)，發(fā)現(xiàn)烏龜快要到終點(diǎn)了，于是急忙追趕，但為時(shí)已晚,烏龜還是先到了終點(diǎn).用S1、S2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時(shí)間，則下列圖象中與故事情節(jié)相吻合的是（）這道題以一個(gè)美麗的童話故事為背景，從兩個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的圖象表示為切入點(diǎn)，用函數(shù)圖象來(lái)表示生活中的現(xiàn)象.這是典型的“鑒別應(yīng)用事實(shí)和原理”的選擇題范例。4．選擇題的優(yōu)先和不足選擇題具有靈活的特點(diǎn)，不受其他常見(jiàn)題目類(lèi)型的常見(jiàn)缺點(diǎn)的影響，可以有效地測(cè)量不同類(lèi)型的知識(shí)和復(fù)雜的學(xué)習(xí)結(jié)果，可以避免填空題中經(jīng)常出現(xiàn)的起義和含糊不清的缺點(diǎn)。事實(shí)上，與填空題相比，選擇題的備選項(xiàng)可以使問(wèn)題情境建構(gòu)得更加清楚。選擇題的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是，學(xué)生僅僅知道一個(gè)陳述是錯(cuò)誤的時(shí)候是不能得分的，他還必須知道什么是正確的。如，判斷題不能呈現(xiàn)一個(gè)沒(méi)有對(duì)錯(cuò)限制的陳述，而使用選擇題中的最佳答案題型可以避免這樣的難題。選擇題的另外兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)是，第一，它不太受反映傾向的影響；第二，使用似是而非的干擾選項(xiàng)，使得測(cè)驗(yàn)結(jié)果具有診斷性。盡管選擇題有很多優(yōu)點(diǎn)，但也存在一些局限。集中表現(xiàn)在：第一，選擇題局限于對(duì)于言語(yǔ)水平的學(xué)習(xí)結(jié)果的測(cè)量，而對(duì)于真實(shí)情境中的表現(xiàn)無(wú)法測(cè)量；第二，不太適用于測(cè)量問(wèn)題解決技能，以及組織能力和觀點(diǎn)陳述等內(nèi)容；第三，難以找到足夠多的似是而非的干擾項(xiàng)。二、選擇題編制的基本要求當(dāng)前，在高中數(shù)學(xué)考試試卷中，作為一類(lèi)大題，選擇題通常放在解答題的前面.近幾年來(lái)，在選擇題的題干部分，有時(shí)又可再分試題的背景部分與試題的內(nèi)容部分兩部分，雖然呈現(xiàn)形式主要還是“純數(shù)學(xué)內(nèi)容＋選擇支”，但題干中帶有問(wèn)題背景的選擇題已引起了廣泛的關(guān)注和老師們的興趣，已經(jīng)成為了試題研究的一個(gè)新的動(dòng)向，它在對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和空間觀念的考查中發(fā)揮中重要而新的作用.從全國(guó)高中數(shù)學(xué)試卷上看，選擇題主要有兩種形態(tài)：?jiǎn)雾?xiàng)選擇題與多項(xiàng)選擇題，而以單項(xiàng)選擇題占絕大多數(shù)，后者多用于日常的高中數(shù)學(xué)考試中，但也出現(xiàn)過(guò)介于兩者之間類(lèi)型，如下面的試題雖然屬于單項(xiàng)選擇題，但其結(jié)構(gòu)實(shí)際上是多項(xiàng)選擇題改編而成的。例7關(guān)于函數(shù)y＝arcsinx與y＝arcsin(-x)的圖象，在下列幾個(gè)判斷中：①關(guān)于軸對(duì)稱(chēng);②關(guān)于軸對(duì)稱(chēng);③關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。正確命題的序號(hào)是（）（A）①；（B）②；（C）①②；（D）①②③在高考數(shù)學(xué)試卷中，單項(xiàng)選擇題基本上采用的是四選一的形式，即一個(gè)問(wèn)題，提供四個(gè)選擇項(xiàng)（有的叫選擇支），其中只有一個(gè)是正確的，要求考生將這正確的選項(xiàng)選出來(lái)，選對(duì)的得滿分，不選或選錯(cuò)的得0分；多項(xiàng)選擇題通常也只設(shè)置四個(gè)選項(xiàng)，其中至少有一項(xiàng)是正確的，錯(cuò)選或不選得0分，否則每漏選一個(gè)扣1分，直至扣完為止（當(dāng)然也有其它的給分方式）.選擇題的編制通常應(yīng)遵循四個(gè)基本要求：（1）難度不宜過(guò)大，一般不應(yīng)低于0.60；（2）涉及的知識(shí)點(diǎn)不能過(guò)多；（3）一般情況下，題干部分應(yīng)簡(jiǎn)明扼要，文字量不宜過(guò)多；（4）有利于考查學(xué)生對(duì)重要概念的理解水平、基本技能的運(yùn)用水平和一定的思維水平.三、選擇題的編制技術(shù)選擇題的編制技術(shù)可從題干的背景、數(shù)學(xué)內(nèi)容的選定、與選擇支的設(shè)置三個(gè)方面來(lái)說(shuō)明.1.選擇題的背景多數(shù)選擇題并不需要賦予實(shí)際背景或其它背景，而直接陳述出來(lái)就可以了.但在一份試卷中，若有少數(shù)幾道選擇題設(shè)置了恰當(dāng)?shù)谋尘?，那么這幾道選擇題就會(huì)給整個(gè)試卷添光增彩，同時(shí)，對(duì)考查數(shù)學(xué)的更高級(jí)思維能力也發(fā)揮了一定的作用（一般情況下，選擇題主要用于考查對(duì)觀念的理解與較低層次的思維水平上）.如果你想在選擇題中，編制帶有一定背景的題目，那么可以參照如下的思路：（1）選取一種操作性、活動(dòng)性情景作為背景.這時(shí)，可把這種操作與活動(dòng)中所可能出現(xiàn)的某些結(jié)果作為選擇支（當(dāng)然，有時(shí)選擇支可以是假想的，但應(yīng)不影響對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的考查）.（2）選取一個(gè)運(yùn)動(dòng)性、游戲性情景作為背景（3）選取實(shí)際生活中的某個(gè)情景或場(chǎng)景作為背景（4）選取文字或其它美麗圖案作背景例8中央電視臺(tái)“幸運(yùn)52”欄目中的“百寶箱”互動(dòng)環(huán)節(jié)，是一種競(jìng)猜游戲，游戲規(guī)則如下：在20個(gè)商標(biāo)牌中，有5個(gè)商標(biāo)牌的背面注明一定的獎(jiǎng)金額，其余商標(biāo)牌的背面是一張哭臉，若翻到哭臉，就不得獎(jiǎng)，參與這個(gè)游戲的觀眾有三次翻牌機(jī)會(huì)（翻過(guò)的牌不能再翻）.某觀眾前面兩次翻牌均獲得若干獎(jiǎng)金，那么他第三次翻牌獲獎(jiǎng)的概率是（）（A）1/4

（B）1/5

（C）1/6

（D）3/20這道試題以學(xué)生喜歡的游戲節(jié)目為背景來(lái)構(gòu)造問(wèn)題，同時(shí)，又包含了重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容―概率，因而是個(gè)可以借鑒的思路.2.數(shù)學(xué)內(nèi)容的選定選擇題中，對(duì)某些題目加上適當(dāng)?shù)谋尘笆窃试S的.但更重要的是問(wèn)題中要有好的數(shù)學(xué).命題時(shí)，題目要考查什么和實(shí)際上考查了什么，這一點(diǎn)命題者是要清楚明白的.在知識(shí)點(diǎn)的選擇上，最重要、最本質(zhì)的核心內(nèi)容應(yīng)優(yōu)先予以考慮.例9當(dāng)x＝1時(shí)，代數(shù)式px3+qx+1的值為2001，則當(dāng)x＝－1時(shí)，代數(shù)式px3+qx+1的值為（）（A）－1999

（B）－2000

（C）－2001

（D）1999這道題著重于考查學(xué)生的整體思維―我們有時(shí)可以在不確切知道或不需要知道其局部的情況下而能對(duì)全體做出準(zhǔn)確的判斷與推理，所用到的技巧是整體地實(shí)行代數(shù)代換，設(shè)計(jì)簡(jiǎn)潔、明快.其實(shí)，這里也可以理解為奇函數(shù)的應(yīng)用。采用類(lèi)比法，運(yùn)用整體思想，可以編出不少有價(jià)值的題目.如，用函數(shù)來(lái)反映生活中的運(yùn)動(dòng)與變化現(xiàn)象，編制出與生活有聯(lián)系的試題：例102003年又是海南水果的豐收年，某芒果園的果樹(shù)上掛滿了成熟的芒果，一陣微風(fēng)吹過(guò)，一個(gè)熟透的芒果從樹(shù)上掉了下來(lái).下面四個(gè)圖象中，能表示芒果下落過(guò)程中速度與時(shí)間變化關(guān)系的圖象只可能是：例11如圖，P（x,y）是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，5為半徑的圓周上的點(diǎn)，若x,y都是整數(shù)，則這樣的點(diǎn)共有（）(A)4個(gè)（B）8個(gè)（C）12個(gè)（D）16個(gè)本題看似簡(jiǎn)單，但它較好地考查了學(xué)生的空間觀念、對(duì)稱(chēng)思想和全面考慮問(wèn)題的思維習(xí)慣，同時(shí)，又能較好區(qū)分不同層次學(xué)生的思維水平.采用數(shù)學(xué)概念之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，也可以編制出好的選擇題，如，2004年湖南高考文科第9題：例12若函數(shù)f(x)=x2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)在第四象限，則函數(shù)f'/(x)的圖象是（）3.選擇支的設(shè)置選擇支的設(shè)計(jì)通常應(yīng)遵循如下要求：（1）選擇項(xiàng)之間不應(yīng)有包含關(guān)系，否則，某一選項(xiàng)或幾項(xiàng)就失去了作用，形同虛設(shè).（2）選擇項(xiàng)之間從表面上看來(lái)有較大的相似或相近性，即錯(cuò)誤的選擇支對(duì)正確的選擇支有一定的干擾性.（3）在錯(cuò)誤的選項(xiàng)中，每個(gè)選項(xiàng)被選擇的可能性不能相差太遠(yuǎn)，即一般情況下不宜出現(xiàn)某一兩個(gè)選項(xiàng)幾乎沒(méi)有被選的現(xiàn)象.（4）選擇支的設(shè)計(jì)應(yīng)有較大的信度，不能出現(xiàn)錯(cuò)誤的解答而得到正確的結(jié)果這一現(xiàn)象，同時(shí)，也應(yīng)當(dāng)避免“學(xué)生選對(duì)了而無(wú)法判斷其是否真懂”這一現(xiàn)象的發(fā)生.編制選擇題時(shí)，選擇支的設(shè)計(jì)是一個(gè)非常重要的因素.選擇支的設(shè)計(jì)有很多方法，下面的幾種方法可供參考：

在問(wèn)題中設(shè)置兩個(gè)變量來(lái)構(gòu)造選擇支；圍繞一個(gè)主題來(lái)設(shè)置選擇支；從學(xué)生可能發(fā)生的錯(cuò)誤中設(shè)計(jì)選擇支；形象地表達(dá)一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論。例13點(diǎn)Ｏ是△ＡＢＣ所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)Ｏ是△ＡＢＣ的（）Ａ三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)Ｂ三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)Ｃ三條中線的交點(diǎn)Ｄ三條高的交點(diǎn)（２００５年高考，全國(guó)卷Ⅰ，文，第（１１）題）評(píng)注：此題的選擇支就是圍繞著點(diǎn)Ｃ的位置來(lái)設(shè)置的。例14設(shè)函數(shù)，若f(X0)>1，則X0的取值范圍是(

)（A）（-1，1）（B）（-1，+∞）（C）（-∞，-2）∪（0，+∞）（D）（-∞，-1）∪（1，+∞）（2003年全國(guó)高考題）【解】圖解法：在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y=f(x)的圖象和直線y=1，它們相交于（－1，1）和（1，1）兩點(diǎn)，由f(X0)>1，得或X0<-1或X0>1.嚴(yán)格地說(shuō)，圖解法并非屬于選擇題解題思路范疇，而是一種數(shù)形結(jié)合的解題策略.但它在解有關(guān)選擇題時(shí)非常簡(jiǎn)便有效.不過(guò)運(yùn)用圖解法解題一定要對(duì)有關(guān)函數(shù)圖象、方程曲線、幾何圖形較熟悉，否則錯(cuò)誤的圖象反而會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的選擇.如：最后，有一個(gè)值得特別說(shuō)明與重視的是：當(dāng)你將一道題目改編成一道選擇題，或自編一道選擇題時(shí)，一定要具體地進(jìn)行求解，否則可能形式上看沒(méi)有問(wèn)題，但求解的結(jié)果卻不合題意.所以，編題與審題，首要的是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，這正說(shuō)明了“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題往往比解決問(wèn)題更為重要”.四、設(shè)計(jì)選擇題的一些策略Robert等學(xué)者①?gòu)目陀^題的設(shè)計(jì)角度給出了設(shè)計(jì)選擇題的建議，這些建議給我們?cè)O(shè)計(jì)高中數(shù)學(xué)選擇題提供了一些有效策略：1．題干本身應(yīng)具有意義并以一個(gè)確定的問(wèn)題呈現(xiàn)。2．題干應(yīng)當(dāng)包括盡可能多的內(nèi)容，但與題干無(wú)關(guān)的材料應(yīng)當(dāng)刪去。3．除非某種重要的學(xué)習(xí)結(jié)果需要，一般不使用否定式的題干。4．全部的選項(xiàng)都應(yīng)該與題干在語(yǔ)法上保持一致。5．一個(gè)題目應(yīng)該只有一個(gè)正確或者是明顯的最佳答案。6．用來(lái)測(cè)量理解力的題目應(yīng)該具有一定的新穎性，但也不要過(guò)于新穎。7．所有的干擾項(xiàng)都應(yīng)該是似是而非的。8．避免使題干與正確答案之間存在語(yǔ)言聯(lián)系。9．不要通過(guò)選項(xiàng)的相對(duì)長(zhǎng)度來(lái)提供答案的線索。10．正確答案出現(xiàn)在選項(xiàng)中的位置應(yīng)該大致平均而且是隨機(jī)的。11．少用諸如“以上都不對(duì)”或者“以上都對(duì)”的選項(xiàng)。12．如果其他題型更合適，就不要使用選擇題。①[美]RobertL.Linn&NormanE.Gronlund著，教學(xué)中的測(cè)驗(yàn)與評(píng)價(jià)[M]，北京：中國(guó)輕工業(yè)出版社，2003年：123

第六章高中數(shù)學(xué)考試及其命題技術(shù)第七節(jié)高中數(shù)學(xué)考試中的解答題及其命制技術(shù)一、解答題及其類(lèi)型正如前文所分析的，試題的內(nèi)容要求和能力要求是通過(guò)一定的形式呈現(xiàn)的.題型就是體現(xiàn)考試要求的形式.題型和考試要求的關(guān)系實(shí)質(zhì)上是形式與內(nèi)容的關(guān)系，不同類(lèi)型的試題在考查不同知識(shí)和能力要求上有不同的功能.一個(gè)考試所采用的題型，主要取決于考試目的、內(nèi)容和誤差控制等要求.解答題作為高中數(shù)學(xué)考中的必備題型，包含計(jì)算（求解）題、證明題、綜合題等等多種類(lèi)型。解答題作為一種主觀題，要求考生寫(xiě)出解題過(guò)程，能夠比較全面地反映考生學(xué)科智力水平，展示其分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行邏輯思維的過(guò)程，適合對(duì)發(fā)散、綜合、評(píng)價(jià)以及復(fù)雜運(yùn)算、文字表達(dá)等高層次能力的考查.一定量的解答題對(duì)中學(xué)教學(xué)也有較好的導(dǎo)向作用.實(shí)驗(yàn)表明，客觀題比例越大，考生對(duì)嚴(yán)密的邏輯推理、準(zhǔn)確的計(jì)算和條理清楚的表達(dá)等方面則越不重視，教學(xué)上相對(duì)來(lái)說(shuō)可能放松要求，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教育會(huì)產(chǎn)生不良影響.但解答題作為一種主觀題也有其本身的不足，如對(duì)評(píng)卷者要求較高、題量少覆蓋面窄，特別是難于實(shí)行機(jī)器評(píng)卷，評(píng)卷效率低等.因此，高考中不能像校內(nèi)班級(jí)測(cè)驗(yàn)或文化大革命前試卷那樣全是解答題，應(yīng)定出合適的比例.近年來(lái)，高考數(shù)學(xué)科選用的題型主要有四選一的選擇題以及填空題和解答題.以考生作答方式和評(píng)分方法分類(lèi)，選擇題、填空題應(yīng)屬于客觀題，這是因?yàn)槠湓u(píng)分不受評(píng)分者主觀因素的影響，而解答題應(yīng)屬主觀題.主、客觀試題的比例是值得注意的一個(gè)問(wèn)題，應(yīng)從我國(guó)提倡的標(biāo)準(zhǔn)化考試的目的、性質(zhì)出發(fā)，從本學(xué)科的知識(shí)與智能結(jié)構(gòu)出發(fā)來(lái)確定題型及其比例，題型要為考試內(nèi)容服務(wù)，內(nèi)容決定了題型.從考試時(shí)間和題量看，近年來(lái)，全國(guó)高考數(shù)學(xué)科考試時(shí)間為120分鐘，但覆蓋面要求較大.數(shù)學(xué)科有近二百個(gè)知識(shí)點(diǎn)為達(dá)到60%~70%的覆蓋面，以每題平均2~4個(gè)知識(shí)點(diǎn)論，要有近40個(gè)題，顯然，靠解答題是不可能很好實(shí)現(xiàn)考查目的的，因此，必須要有一定數(shù)量的選擇題以增加全卷題目數(shù)量，提高覆蓋率，同時(shí)也可以提高考試的信度和效度，使解答題真正發(fā)揮其考查綜合分析、邏輯推理等復(fù)雜思維過(guò)程的功能.二、解答題命制的一般步驟與選擇題、填空題的試題相比，解答題的編制的自由度要大得多。這種題型的試題能夠深刻地考查數(shù)學(xué)的各種能力，難度調(diào)節(jié)的范圍也很寬泛。要設(shè)計(jì)一到好的解答題，一般遵循如下幾個(gè)步驟①：1．選材與立意選材是編寫(xiě)試題的第一步，立意就是確定考查目的和核心任務(wù)，二者往往交織在一起。選材一般有兩個(gè)途徑：一是來(lái)自于相關(guān)的教科書(shū)、資料等中的一些基本問(wèn)題，二是來(lái)自于數(shù)學(xué)研究，現(xiàn)實(shí)生活、科學(xué)實(shí)驗(yàn)等有關(guān)的數(shù)據(jù)資料或背景材料。立意包含立足點(diǎn)和考查意向兩個(gè)方面，立足點(diǎn)也就是試題的中心，考查意向也就是考查目的、考查目標(biāo)。一道試題可以有多種立意的出發(fā)點(diǎn)：當(dāng)考試題目以知識(shí)立意時(shí)，多數(shù)試題將以知識(shí)內(nèi)容立意；當(dāng)時(shí)卷以數(shù)學(xué)能力考查為主線時(shí)，多數(shù)試題則應(yīng)當(dāng)以能力立意；對(duì)于那些綜合性比較強(qiáng)和實(shí)際應(yīng)用型的試題，則宜以問(wèn)題和情境作為立意的基點(diǎn)為佳。當(dāng)然，立意是核心，選材服務(wù)于立意。例1（1994年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題，理科）已知直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C的定點(diǎn)在于原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上，若點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（0，8）關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在C上，求直線l和拋物線C的方程。其立意、取材分別為②：立意：擬編一道平面解析幾何的綜合性試題，考查運(yùn)動(dòng)變化的辯證思想，邏輯思維能力和運(yùn)算能力。要求難度控制在0.3左右。取材：拋物線與軸對(duì)稱(chēng)的有關(guān)問(wèn)題，動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題。2．搭架與構(gòu)題搭架也就是構(gòu)筑試題的模坯。其間，往往伴隨著題材的剪切和重組，而且，不同的題材往往采取與之相對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)框架。3．加工與調(diào)整試題的加工和調(diào)整，主要包括兩件事情，一是確保試題科學(xué)、符合相應(yīng)的課程教學(xué)的要求（不超綱），而是精心調(diào)整試題的難度，通常通過(guò)調(diào)整試題的設(shè)問(wèn)方式、改變題設(shè)的條件、改變綜合程度等等策略來(lái)完成。其實(shí)，長(zhǎng)期以來(lái)，全國(guó)高考數(shù)學(xué)試卷中，選擇題、填空題中多數(shù)考查基本概念和基本運(yùn)算，其程度相當(dāng)于課本習(xí)題，少數(shù)相當(dāng)于課本復(fù)習(xí)參考題，不少試題就是通過(guò)將課本的習(xí)題和復(fù)習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)母脑於傻摹?．審題與復(fù)核復(fù)核工作通常需要兩人以上完成，防止先入為主，確保試題考查有效性與預(yù)先的設(shè)計(jì)意圖相一致；同時(shí)，復(fù)核的另一項(xiàng)工作就是文字功夫，也就是對(duì)試題的字詞句、數(shù)學(xué)符號(hào)和圖表等一一推敲，決不放過(guò)任何一絲一毫的可能隱患。三、解答題命題的特殊方法在中學(xué)數(shù)學(xué)考試中，計(jì)算（求解）題、證明題、綜合題等等多種類(lèi)型，是解答題的具體體現(xiàn)。下面我們結(jié)合高考中的典型試題，例舉計(jì)算（求解）題、證明題、綜合題的命題技術(shù)。1．計(jì)算（求解）題在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的考查中，有一類(lèi)以考查數(shù)或式的運(yùn)算（或數(shù)與式問(wèn)題的求解）為主要任務(wù)的題目，這就是計(jì)算（求解）題.對(duì)于計(jì)算（求解）題，我們不但關(guān)心解答的結(jié)果，更加關(guān)注學(xué)生的解答過(guò)程.在高中數(shù)學(xué)試卷中，單純的計(jì)算（求解）題的綜合程度不是很高，主要用于考查學(xué)生對(duì)運(yùn)算技能的掌握程度與代數(shù)的分析、推理能力，它通常處于解答題中的前部或中部.計(jì)算（求解）題在編制時(shí)應(yīng)遵循三個(gè)基本要求：（1）如果出現(xiàn)了幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)的連接，那么這個(gè)連接應(yīng)當(dāng)是自然的、和諧的；（2）如果是一個(gè)單純的運(yùn)算題，那么這個(gè)運(yùn)算式的結(jié)構(gòu)應(yīng)當(dāng)有個(gè)主題；（3）如果一個(gè)求解題中包含著兩個(gè)小的問(wèn)題，那么這兩個(gè)小的問(wèn)題之間有一定的聯(lián)系是較好的.計(jì)算（求解）題一般可以分為簡(jiǎn)單計(jì)算（求解）題、復(fù)雜的計(jì)算題。簡(jiǎn)單計(jì)算（求解）題是指問(wèn)題比較簡(jiǎn)單、解答有固定程序、以技能為主要考查對(duì)象的試題.對(duì)這類(lèi)試題，命制時(shí)，應(yīng)注意如下兩點(diǎn)：（1）要把握好試題難度，難度可控制在0.75－0.50之間；（2）通常不附加過(guò)多的問(wèn)題情景；如果有所創(chuàng)新，那么也主要是呈現(xiàn)形式上的、不影響學(xué)生答題心理的創(chuàng)新.如，例2（2004年遼寧高考）設(shè)全集U＝R。（1）解關(guān)于x的不等式|x-1|+a-1>0(a∈R）（2）記A為（1）中不等式的解集，集合B＝，若(CUA)∩B恰有3個(gè)元素,求a的取值范圍．評(píng)注：這種常規(guī)形式的式的運(yùn)算、解不等式、解方程、求字母的值之類(lèi)的題目，在高考試卷中，是常考的內(nèi)容，它既是解決問(wèn)題的一個(gè)重要部分，又是今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).例3（2002年全國(guó)高考，文科第17題）如圖，某地一天從6時(shí)至14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)（1）求這段時(shí)間的最大溫差；（2）寫(xiě)出這段時(shí)間的函數(shù)解析式；例4（2002年全國(guó)高考，理科第17題）已知sin22a+sin2acosa-cos2a＝1，a∈(0,π/2)，求sina、tga的值。例5（2005年上海春季高考試題，第18題）已知tga是方程x2+2xseca+1＝0的兩個(gè)根中較小的根，求a的值.較為復(fù)雜的求解題，是指有一定挑戰(zhàn)性的試題，亦即，通常至少在某一點(diǎn)或某個(gè)方面上有一定的新意，沒(méi)有十分明確的解題思路，或在計(jì)算上有一定的技巧，要完整的解答出來(lái)，通常需要一定的思維能力.因此，在編制這種帶有一定挑戰(zhàn)性的試題時(shí)，一是可在知識(shí)點(diǎn)的組合上與平常接觸到的形式稍有不同，二是在試題的構(gòu)造上與已見(jiàn)過(guò)的形式略有差別，三是使問(wèn)題確實(shí)有一定的思考性，對(duì)多數(shù)學(xué)生而言，不是一眼就可看穿的.在數(shù)與代數(shù)內(nèi)容中，它主要出現(xiàn)在與數(shù)列、函數(shù)、解析幾何等有關(guān)的帶有參數(shù)問(wèn)題上.在空間與圖形中，它通常需要一定的推理作幫助.有時(shí)，這種挑戰(zhàn)性的題目又突出表現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用上.例6如右下圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,已知AB＝4,AD＝3,AA1＝2.E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EB＝FB＝1.(1)求二面角C-DE-C1的正切值;(2)求直線EC1與FD1所成的余弦值.（2004年廣東省數(shù)學(xué)高考試題）例7（2004年高考重慶卷，第18題）設(shè)一汽車(chē)在前進(jìn)途中要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口，汽車(chē)在每個(gè)路口遇到綠燈的概率為3/4，遇到紅燈（禁止通行）的概率為1/4。假定汽車(chē)只在遇到紅燈或到達(dá)目的地才停止前進(jìn)，§表示停車(chē)時(shí)已經(jīng)通過(guò)的路口數(shù)，求：（1）§的概率的分布列及期望E§;(2)停車(chē)時(shí)最多已通過(guò)3個(gè)路口的概率。例8(2004年全國(guó)卷IV)某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800的矩形蔬菜溫室。在溫室內(nèi)，沿左．右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3寬的空地。當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為多少時(shí)，蔬菜的種植面積最大？最大種植面積是多少？這道題主要考查把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)用不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和方法解決問(wèn)題的能力.2．證明題在高中數(shù)學(xué)中，證明題主要包括簡(jiǎn)單的代數(shù)證明題、三角證明題與幾何證明題.證明題的基本特點(diǎn)是，它有明確的已知條件與結(jié)論，要求學(xué)生從已知條件與所學(xué)過(guò)的知識(shí)出發(fā)，通過(guò)邏輯推理來(lái)推斷結(jié)論的正確性.要完成由已知到結(jié)論的邏輯鏈接，可采用分析法、反證法、綜合法等等.因此，證明題的主要功能是考查學(xué)生的邏輯推理能力，當(dāng)然，這其中也往往會(huì)涉及到合情推理與空間想像，但主體是邏輯推理.近年來(lái)，單純的幾何證明題比較少見(jiàn)，多數(shù)情況下，幾何證明多是與其它題型結(jié)合在一起來(lái)設(shè)計(jì)的，如開(kāi)放性試題、探索題等.但是，作為單純證明題的編制研究仍是不可少的，一方面是它本身仍然是一種獨(dú)立的題型，也常常在考查中發(fā)揮重要作用，另一方面是，即使它與其它題型組合在一起，作為具有獨(dú)特教育功能的推理與證明也是考查的一個(gè)重要方面。編制證明題的快捷而有效的方法之一就是改編法，即是從教材或某一個(gè)所熟悉的幾何或代數(shù)題出發(fā)，通過(guò)如下等途徑，得到一個(gè)新的命題：（1）將原有試題的條件與結(jié)論，或它們其中的一部分互換；（2）將兩個(gè)幾何問(wèn)題疊加在一起；（3）利用已知條件而改換圖形；（4）利用已知圖形而改變條件；（5）將原問(wèn)題的條件作適當(dāng)改變，減少或增加，可推出若干結(jié)論，將其中的一個(gè)作為結(jié)論，于是就構(gòu)成了一個(gè)新的問(wèn)題；（6）將問(wèn)題中的一個(gè)點(diǎn)視作動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)這點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到一個(gè)新的位置時(shí)，就構(gòu)成了一個(gè)新的問(wèn)題；（7）將一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)中的一部分改變一下，或?qū)讉€(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)重新組合一下，便構(gòu)成了一個(gè)新的問(wèn)題；（8）通過(guò)幾何圖形翻折、命題的逆命題等等方式可以構(gòu)造一個(gè)新的問(wèn)題；（9）以特殊圖形作基礎(chǔ)可以構(gòu)造一些新的問(wèn)題；等等.例9(2004年江蘇卷）已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足下列條件：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1，x2都有λ(x1-x2)2≤(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]和|f(x1)-f(x2)|≤|X1-X2|，其中λ是大于0的常數(shù).設(shè)實(shí)數(shù)a0，a，b滿足f(a0)＝0和b＝a-λf(a)(Ⅰ)證明λ≤1，并且不存在b0≠a0，使得f(b0)＝0；(Ⅱ)證明(b-a0)2≤(1-λ2)(a-a0)2；(Ⅲ)證明[f(b)]2≤(1-λ2)[f(a)]2.這道試題主要考查函數(shù)、不等式等基本知識(shí)，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。其取材實(shí)際上源于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的不動(dòng)點(diǎn)理論。3．綜合型試題的命題技術(shù)從理論上說(shuō)，計(jì)算題、證明題與綜合題等并不是一個(gè)無(wú)交叉的分類(lèi)，計(jì)算題與證明題中往往也有綜合性，計(jì)算中涉及證明，證明中涉及計(jì)算是司空見(jiàn)慣的，但在某種意義上說(shuō)，它們各自強(qiáng)調(diào)的側(cè)重點(diǎn)不同，在實(shí)踐上作這種劃分還是便于交流的.綜合題，有的綜合性程度比較小，有的綜合性程度比較大，可以是以代數(shù)綜合題、幾何綜合題、代數(shù)幾何綜合題、代數(shù)與統(tǒng)計(jì)綜合題等等.這里的綜合題是指綜合性程度比較大的綜合題.縱觀近幾年全國(guó)各地的高中數(shù)學(xué)試卷（尤其是高考數(shù)學(xué)試卷），不難發(fā)現(xiàn)，綜合題主要有如下特點(diǎn)：*涉及的知識(shí)點(diǎn)較多.*至少涉及到一、兩種有價(jià)值的數(shù)學(xué)思想方法.*問(wèn)題通常由兩個(gè)以上的小問(wèn)題組成，且成臺(tái)階式顯現(xiàn).*需要靈活地運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，才能完整地解決該問(wèn)題.因此，綜合題注意從學(xué)科的整體高度出發(fā)，注重各部分知識(shí)的綜合性、相互聯(lián)系及在各自發(fā)展過(guò)程中各部分知識(shí)間的縱向聯(lián)系，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)試題。綜合題對(duì)于考查學(xué)生的分析、綜合能力、靈活地運(yùn)用知識(shí)的能力有較大的作用.在高中數(shù)學(xué)考試中，單純的代數(shù)綜合題或幾何綜合題，不宜過(guò)難，多處于大題的中間位置，對(duì)于代數(shù)幾何等類(lèi)的綜合題，因其對(duì)解答要求較高，多處于最后或靠后位置.綜合題該如何編制呢？下面的方法可以參考.（1）選擇適當(dāng)?shù)牧⒁鈽?gòu)思來(lái)編制綜合題。一個(gè)好的試題要有一個(gè)好的立意與構(gòu)思.立意，即確立意圖，明確方向；構(gòu)思，即構(gòu)建框架，思索方案.選擇適當(dāng)?shù)牧⒁鈽?gòu)思是編制綜合題的一個(gè)重要因素.在高考中鑒別考生是否具有創(chuàng)造力的有效方法就是編制新穎的試題，要求考生應(yīng)用已知的方法和知識(shí)，分析一些情境的特點(diǎn)，找出已知和未知的聯(lián)系，重新組織若干已有的規(guī)則，形成新的規(guī)則，嘗試解決新的問(wèn)題.所謂新穎是相對(duì)于絕大多數(shù)考生來(lái)說(shuō)，相對(duì)于用常規(guī)的方法難以解答，要求考生思維靈活、敏捷，創(chuàng)造性地應(yīng)用知識(shí)，解決問(wèn)題.例10已知a、b、c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax2+bx+c,g(x)＝ax+b,當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，｜f(x)|≤1（Ⅰ）證明：│c│≤1；（Ⅱ）證明：當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，│g（x）│≤2；（Ⅲ）設(shè)a＞0，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，g（x）的最大值為2，求f（x）.(2001年全國(guó)高考試題)這道題的設(shè)計(jì)比較新穎，沒(méi)有常見(jiàn)的解題模式可以套用.題目以二次函數(shù)和一次函數(shù)為載體，著重考查對(duì)函數(shù)概念的理解、含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)、抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題的具體化等.首先本題沒(méi)有設(shè)計(jì)為證明某個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，而是考查對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的理解和運(yùn)用.其次題目中沒(méi)有給出a、b、c的具體數(shù)值，而是給出比較抽象的函數(shù)表達(dá)式，要求考生根據(jù)題目的條件導(dǎo)出一些關(guān)系式│f（0）│≤1，f（x）=x·g（x）＋c,g（1）=f（1）－f（0），進(jìn)而求出具體函數(shù).同時(shí)本題還要求進(jìn)行等式和不等式的轉(zhuǎn)化，運(yùn)用雙邊不等式－1≤f（0）≤－1得出等式c=f（0）=－1。進(jìn)而，根據(jù)二次函數(shù)的極小值點(diǎn)，通過(guò)逆向思維求出函數(shù)f（x）的一次項(xiàng)系數(shù).例11某地為促進(jìn)淡水魚(yú)養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展，將價(jià)格控制在適當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)，決定對(duì)淡水魚(yú)養(yǎng)殖提供政府補(bǔ)貼.設(shè)淡水魚(yú)的市場(chǎng)價(jià)格為x元/千克，政府補(bǔ)貼為t元/千克.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)8≤x≤14時(shí)，淡水魚(yú)的市場(chǎng)日供應(yīng)量P千克與市場(chǎng)日需求量Q千克近似地滿足關(guān)系：P＝1000（x＋t－8）（x≥8，t≥0），Q＝500（8≤x≤14）.當(dāng)P＝Q時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格稱(chēng)為市場(chǎng)平衡價(jià)格.（Ⅰ）將市場(chǎng)平衡價(jià)格表示為政府補(bǔ)貼的函數(shù)，并求出函數(shù)的定義域；（Ⅱ）為使市場(chǎng)平衡價(jià)格不高于每千克10元，政府補(bǔ)貼至少為每千克多少元？這道題是一道實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，試題密切結(jié)合當(dāng)時(shí)的中國(guó)社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活，背景新穎.同時(shí)題目引入了一些新的概念，如市場(chǎng)平衡價(jià)格、政府補(bǔ)貼等.試題的要求也不同于一般的數(shù)學(xué)試題，要求考生首先讀懂題目，理解題目的條件和結(jié)論，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式，以便應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決.題目根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際背景，對(duì)各參數(shù)限制了其取值范圍，在數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程中要求靈活地應(yīng)用這些要求求解.在綜合題中，通常設(shè)置幾個(gè)問(wèn)題，一是可以減緩梯度，避免難度急然上升，多數(shù)學(xué)生難以適從，二是可以通過(guò)不同層次問(wèn)題的設(shè)置，更好的體現(xiàn)不同的學(xué)生得到不同的表現(xiàn)，使更多的學(xué)生都能夠得到自己所能得到的肯定.因此，并不是說(shuō)綜合題的所有問(wèn)題都是較難的，事實(shí)上正相反，往往前面的一兩問(wèn)是比較容易的，或作為到達(dá)更高山峰前的一個(gè)小山峰，或作為相對(duì)孤立一個(gè)小山峰.本題中，第（I）、（II）題是簡(jiǎn)單的，但第（III）題對(duì)學(xué)生的思維設(shè)置了一個(gè)適當(dāng)?shù)母叨?，雖說(shuō)學(xué)生要全面地找出所有的點(diǎn)P不容易，但有不少學(xué)生能夠達(dá)到或接近達(dá)到，其難度是允許的；同時(shí)，這種全面細(xì)致考慮問(wèn)題的思維習(xí)慣與思維方式的培養(yǎng)正可能是數(shù)學(xué)教育貢獻(xiàn)給學(xué)生一輩子的財(cái)富，因而對(duì)這一點(diǎn)的考查是有價(jià)值的.（2）通過(guò)層次多樣、旨在考查綜合運(yùn)用各種知識(shí)解決問(wèn)題的能力的綜合性試題?？忌鉀Q這類(lèi)問(wèn)題的過(guò)程是綜合運(yùn)用各種能力的過(guò)程，因此，高考中對(duì)能力的考查也應(yīng)強(qiáng)調(diào)綜合考查.例12已知過(guò)原點(diǎn)O的一條直線與函數(shù)y＝log8x的圖象交于A、B兩點(diǎn)，分別過(guò)A、B作y軸的平行線與函數(shù)的圖象交于C、D兩點(diǎn).（Ⅰ）證明：點(diǎn)C、D和原點(diǎn)O在同一條直線上；（Ⅱ）當(dāng)BC平行于x軸時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo).這道試題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與直線的位置關(guān)系.兩條平行于y軸的直線，如果與兩個(gè)不同的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象分別有兩個(gè)交點(diǎn)，若其中一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象中的這兩點(diǎn)的連線通過(guò)原點(diǎn)，則另一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象中的兩點(diǎn)也必然通過(guò)原點(diǎn)。這是由于兩個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）=logax、f（x）=logbx之間有這樣的關(guān)系：logax=（logbx）/logba.在此，很難分清是用袋鼠方法研究幾何問(wèn)題，還是用幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題，這是考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力和學(xué)習(xí)潛能的更高層次的要求.例13設(shè)曲線C的方程是y＝x3－x，將C沿x軸、y軸正向分別平行移動(dòng)t、s單位后得曲線C1.（Ⅰ）寫(xiě)出曲線C1的方程；（II）證明：如果曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A（t/4，s/2）對(duì)稱(chēng)；（III）如果曲線C與C1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，證明：s=t3/4-t，且t≠0。（2001年全國(guó)高考試題，第22題）這道題的設(shè)計(jì)思想是試題能夠體現(xiàn)代數(shù)表述及其推理與其幾何背景的平衡，根據(jù)這一立意，命題選取了考生熟悉的平面曲線的平移、對(duì)稱(chēng)和旋轉(zhuǎn)以及相互之間的關(guān)系作為出發(fā)點(diǎn)，討論相應(yīng)的代數(shù)表述和有關(guān)函數(shù)基本特性的代數(shù)推理.本題以三次函數(shù)設(shè)定情境，將平移、對(duì)稱(chēng)、相交等概念有機(jī)結(jié)合在一起，討論曲線C與C1之間的關(guān)系。這道題很難按其所涉及具體的知識(shí)點(diǎn)、按一般的分類(lèi)將其歸入代數(shù)或解析幾何類(lèi)試題，而是把中學(xué)教學(xué)里函數(shù)及圖象的基本概念、基本性質(zhì)與曲線的幾何變換（平移、中心對(duì)稱(chēng)）的性質(zhì)，以及用代數(shù)方程研究曲線位置關(guān)系的思想方法等，許多重要內(nèi)容融合在一起，命題頗具創(chuàng)意.（3）通過(guò)構(gòu)建新的情景來(lái)編制綜合題構(gòu)造新的情景是編制綜合題的一個(gè)重要手段.手段可以是舊的，但情景可以是新的，例如，利用運(yùn)動(dòng)來(lái)編題是一個(gè)常規(guī)手段，但運(yùn)動(dòng)的背景與運(yùn)動(dòng)的方式卻五花八門(mén)，需要我們?nèi)?chuàng)新.當(dāng)然，我們還可以從其它的角度來(lái)創(chuàng)設(shè)情景，如應(yīng)用題的背景等.例15(2004年福建卷）某企業(yè)2003年的純利潤(rùn)為500萬(wàn)元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不能進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)從今年起每年比上一年純利潤(rùn)減少20萬(wàn)元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬(wàn)元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤(rùn)為500(1+1/2n)萬(wàn)元（n為正整數(shù)）.（Ⅰ）設(shè)從今年起的前n年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)為An萬(wàn)元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)為Bn萬(wàn)元（須扣除技術(shù)改造資金），求An、Bn的表達(dá)式；（Ⅱ）依上述預(yù)測(cè)，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過(guò)多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)？這道試題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式的等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.事實(shí)上，這道題是深受2002年“汽車(chē)的城市增容量”應(yīng)用題的影響。（4）通過(guò)創(chuàng)新方式或借鑒相關(guān)領(lǐng)域的方法來(lái)編制試題獨(dú)辟蹊徑，以一種新的方式來(lái)構(gòu)造問(wèn)題是命制高水平試題的重要途徑，同時(shí)這一方式也常常給他人以有益的啟示.當(dāng)一個(gè)新的命題切入方式，或新的命題思路，或新的命題方式出現(xiàn)之后，學(xué)習(xí)、借鑒、修改他人之法，是命制綜合題的有效途徑.這與創(chuàng)新的情景有所不同，這里強(qiáng)調(diào)的是一種思想的借鑒與發(fā)揮，而主要不是情景上的簡(jiǎn)單改變.如，2002年高考文科第22題：（I）給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖1，圖2），要求用其中一塊剪拼成一個(gè)三棱錐模型，另一塊剪拼成一個(gè)正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，分別用虛線標(biāo)示在圖1、圖2中，并作簡(jiǎn)要說(shuō)明；（II）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大?。唬↖II）（本小題為附加題，如果解答正確，加4分，但全卷總分不超過(guò)150分）如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3），要求剪栟成一個(gè)直三棱柱，使它的全面積與給出的三角形的面積相等。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，用虛線標(biāo)示在圖3中，并作簡(jiǎn)要說(shuō)明。這道題充分借鑒義務(wù)教育階段操作型試題的特點(diǎn)，要求考生自行設(shè)計(jì)，將正三角形紙片剪拼成正三棱錐、正三棱模型，通過(guò)動(dòng)手剪拼的實(shí)際操作，要求考生把握數(shù)學(xué)規(guī)律的內(nèi)在本質(zhì)，自己動(dòng)手解決實(shí)際問(wèn)題。這種題型有較大的自由度和思維空間，體現(xiàn)自主學(xué)習(xí)和主動(dòng)探究精神，顯現(xiàn)了研究性學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，對(duì)于培養(yǎng)考生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)有重要的意義。（5）通過(guò)改造有關(guān)的試題構(gòu)造新的試題。近年來(lái)，全國(guó)高考試題中，解答題中也有一定數(shù)量的基本題是課本題稍加改造而成的。即使一些難題也是在挖掘教材的基礎(chǔ)上引伸出來(lái)的，吸收教材組題的思想，并將其進(jìn)行加工、組合編制而成。下面通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)課本中一道典型習(xí)題的研究，看看歷年試題是如何對(duì)其進(jìn)行改造的。如原《教學(xué)大綱》下的數(shù)學(xué)教材第二冊(cè)（上）23頁(yè)習(xí)題5：求證：改造1：令|A|＝1，|B|＝t,常用對(duì)數(shù)換成以a為底的對(duì)數(shù)，得1988年全國(guó)高考題：比較與且的大小。改造2：令|A|＝x1，|B|＝x2,常用對(duì)數(shù)換成以a為底的對(duì)數(shù)，得1994年全國(guó)高考文科題：已知函數(shù)f(x)=logax(a>0且a≠1,x>0)，若x1,x2∈(0,+∞),，判斷與的大小，并加以證明。改造3：令|A|＝x1，|B|＝x2,常用對(duì)數(shù)換成正切函數(shù)，得1994年全國(guó)高考理科題：設(shè)f(x)＝tanx,x∈(0,π/2),若x1,x2∈(0,π/2)，且x1≠x2,，證明：。改造4：與數(shù)列結(jié)合，則得1995年全國(guó)高考最后一題：設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和。（1）證明：；（2）是否存在常數(shù)c>0，使得成立？并證明你的結(jié)論。改造5：令|A|＝a，|B|＝b,則得2000年全國(guó)高考題：，則下面成立的是（）A.R<P<Q

B.P<Q<R

C.Q<P<R

D.P<R<Q。①教育部考試中心（任子朝主編），高考數(shù)學(xué)測(cè)量理論與實(shí)踐[M]，北京：高等教育出版社，2005年第2版：266②教育部考試中心（任子朝主編），高考數(shù)學(xué)測(cè)量理論與實(shí)踐[M]，北京：高等教育出版社，2005年第2版：268

第六章高中數(shù)學(xué)考試及其命題技術(shù)第六節(jié)高中數(shù)學(xué)考試中的填空題及其命制技術(shù)填空題是數(shù)學(xué)高考的三種基本題型之一，也是高中數(shù)學(xué)考試中的常見(jiàn)題型之一。研究填空題及其命題技術(shù)，對(duì)于完成高中數(shù)學(xué)教育評(píng)價(jià)具有重要作用。一、填空題及其類(lèi)型1．填空題的特點(diǎn)填空題與選擇題一樣，是最基本、最常用的基本題型，它通常放在第一大題或在第二大題的位置，主要考查簡(jiǎn)單計(jì)算、簡(jiǎn)單推理、簡(jiǎn)單的空間想象以及簡(jiǎn)單的合情推理能力.解答時(shí)，它不要求學(xué)生寫(xiě)出過(guò)程，而只要求學(xué)生直接將結(jié)果寫(xiě)在題中的橫線上.注重結(jié)果而不注重過(guò)程，是填空題的突出特點(diǎn)。正是由于這個(gè)特點(diǎn)，使得中學(xué)數(shù)學(xué)考試中，經(jīng)常使用填空題。

一個(gè)簡(jiǎn)單的填空題通常包括三個(gè)部分：一是操作指令；二是操作內(nèi)容；三是填寫(xiě)操作結(jié)果.2．填空題的類(lèi)別按照不同的視角，填空題有不同的分類(lèi)：（1）從答案的開(kāi)放性看，填空題有兩種形式：答案唯一確定的填空題與帶有開(kāi)放特點(diǎn)的、答案雖然有多個(gè)但只要求學(xué)生寫(xiě)出其中的一個(gè)或少數(shù)幾個(gè)的填空題。如例1若首項(xiàng)為ａ1,公式為ｑ的等比數(shù)列{ａｎ}的前ｎ項(xiàng)和總小于這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和,則首項(xiàng)ａ1,公比ｑ的一組取值可以是(ａ1,ｑ)＝＿＿＿＿＿＿.分析:這是一道結(jié)論開(kāi)放型填空題,考查學(xué)生的代數(shù)推理能力.由題設(shè)有ａ1(1-ｑｎ)/（1-ｑ）<ａ1/（1-ｑ）(|ｑ|<1),∴ａ1ｑｎ>0,只須取一組ａ1>0,0<ｑ<1的數(shù)即可,如填(1,0.5).例2α、β是兩個(gè)不同的平面,ｍ、ｎ是平面α及β之外的兩條不同直線.給出四個(gè)論斷:①ｍ⊥ｎ②α⊥β;③ｎ⊥β;④ｍ⊥α.以其中三個(gè)論斷作為條件,余下一個(gè)論斷作為結(jié)論,寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題:__________.分析:此題條件和結(jié)論都開(kāi)放,答案不惟一.由題設(shè)可組合成四個(gè)不同命題,其中有真有假,對(duì)能力的要求較高.解答時(shí),任意組合一個(gè)命題進(jìn)行判斷,正確的填入,錯(cuò)誤的去掉,再組合判斷.正確的命題有ｍ⊥α,ｎ⊥β,ｍ⊥ｎα⊥β(或α⊥β,ｍ⊥α,ｎ⊥βｍ⊥ｎ).（2）從問(wèn)題的背景看，有兩種類(lèi)型：帶有一定實(shí)際情景的填空題與不帶有實(shí)際情景的的填空題；如下面的試題就屬于帶有一定實(shí)際背景的填空題：例3某商場(chǎng)開(kāi)展促銷(xiāo)活動(dòng)，設(shè)計(jì)一種對(duì)獎(jiǎng)券，號(hào)碼從000000到999999.若號(hào)碼的奇位數(shù)字是不同的奇數(shù)，偶位數(shù)字均為偶數(shù)時(shí)，為中獎(jiǎng)號(hào)碼，則中獎(jiǎng)面（即中獎(jiǎng)號(hào)碼占全部號(hào)碼的百分比）為_(kāi)___________.（3）從推理的邏輯性看，還可分為兩種：以考察邏輯思維能力為主的填空題（包括簡(jiǎn)單計(jì)算）與以考察合情推理能力為主的填空題.（4）填充題還可以分為圖、表填充題和文字填充題兩種，前者簡(jiǎn)稱(chēng)為填圖題，后者簡(jiǎn)稱(chēng)為填空題。特別地，圖表型填空題信息新穎、直觀、實(shí)用,能很好地考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.如2002年全國(guó)高考文科數(shù)學(xué)第13題：例4據(jù)新華社2002年3月12日電,1985年到2000年間,我國(guó)農(nóng)村人均居住面積如右圖所示,其中,從年到的五年間增長(zhǎng)最快.分析:用圖形來(lái)表達(dá)某種信息的填空題,令人耳目一新.這種信息題不僅關(guān)注學(xué)生的思考結(jié)果,更關(guān)注了他們的思考過(guò)程.過(guò)每個(gè)矩形的上底作平行線,觀察發(fā)現(xiàn)上面兩條平行線的距離最大,所以填1995、2000.近幾年來(lái)，填空題還有不少新的發(fā)展，如將圖案設(shè)計(jì)等問(wèn)題放在填空題中，這也就大大拓寬了填空題的外延，也大大提升了填空題的作用.二、填空題的編制渠道填空題是一種比較容易命制的考試題，填空題的設(shè)計(jì)主要來(lái)源于常規(guī)解答題。在編制填空題時(shí)，一般所留空白均多于要求回答的字?jǐn)?shù)，而且盡可能做到一道試題內(nèi)和各道試題之間所留空白的長(zhǎng)短一致，免給應(yīng)考者填寫(xiě)答案時(shí)以不應(yīng)有的暗示。從填寫(xiě)內(nèi)容來(lái)看，編制填空題主要有三渠道：1．定量型即需要填寫(xiě)數(shù)值或數(shù)量關(guān)系得填空題。例如例5已知球面上A、B兩點(diǎn)間的球面距離是1，過(guò)這兩點(diǎn)的球面半徑的夾角為600，則這個(gè)球的表面積與球的體積之比是________。例6拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程是_________,焦點(diǎn)坐標(biāo)是__________。(2005年高考,北京卷,文,第(9)題)2．定性型即填寫(xiě)具有某種性質(zhì)的數(shù)學(xué)對(duì)象，或數(shù)學(xué)對(duì)象的某種性質(zhì)。如例7已知下列四個(gè)命題：①角a一定是直線y＝x·tga-2的傾斜角；②點(diǎn)P是線段AB上的點(diǎn)，若AP/AB＝3/5，則；Ｘp＝(2XA+3XB)/5③直線y＝K1X+b1到直線y＝K2X+b2的夾角公式為tga＝(K1-K2)/(1+K1K2)；④方程X2+Y2＝１與方程表示同一條曲線，其中正確命題的序號(hào)是（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）__________。例8如右圖，E、F分別是正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是__________（要求：把可能的圖的序號(hào)都填上）（2001年全國(guó)高考題）3．混合型即，在回答有關(guān)問(wèn)題時(shí)，既需要定性也需要定量。例如：例9已知下列曲線：以及編號(hào)為①②③④的四個(gè)方程：請(qǐng)按曲線（A）（B）（C）（D）的順序，依次寫(xiě)出與之對(duì)應(yīng)的曲線方程的編號(hào)：________________。例10已知函數(shù)y=f(x)，x∈D,y∈R+,且正數(shù)C為常數(shù)．對(duì)于任意的x1∈D，存在一個(gè)x2∈D，使，則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在D上的均值為C.試依據(jù)上述定義，寫(xiě)出一個(gè)均值為9的函數(shù)的例子：________________.三、填空題的編制技術(shù)根據(jù)填空題所處的位置和類(lèi)型的不同，數(shù)學(xué)中考填空題在編制時(shí)應(yīng)遵循如下要求：（1）表達(dá)應(yīng)當(dāng)簡(jiǎn)潔、科學(xué)，綜合性程度小；（2）操作要求要明確，操作內(nèi)容要適宜、有價(jià)值；（3）涉及應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，其情景亦不宜復(fù)雜；（4）難度不能過(guò)大.填空題如何編制呢？如下的實(shí)例與評(píng)注可供參考.1．問(wèn)題情景的設(shè)定填空題，雖然一半以上的題目不必涉及問(wèn)題情景，但近幾年來(lái)，帶有簡(jiǎn)單情景的填空題已經(jīng)司空見(jiàn)慣.若試卷中，編制出了一至幾個(gè)有特色、有情景的適當(dāng)?shù)奶羁疹}，那么既可有效地激發(fā)學(xué)生的解題愿望，同時(shí)也使試卷增添亮色.例11一只酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的函數(shù)解析式是y＝x2/2(0≤y≤20)，在杯內(nèi)放一個(gè)玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑r的取值范圍是___________.評(píng)注：本題從酒杯的形狀中，提煉出數(shù)學(xué)問(wèn)題，給人一種親切的感受.例12如圖所示，如果（士）所在位置的坐標(biāo)為（－1,－2），（相）所在位置的坐標(biāo)為（2,－2），那么，（炮）所在位置的坐標(biāo)為_(kāi)__________。

評(píng)注：本題以象棋盤(pán)為背景，建立起與坐標(biāo)的聯(lián)系，使“冷冰冰”的數(shù)學(xué)有了一種活力.這種將形式化的數(shù)學(xué)用形象化的方法去表達(dá)，是適合學(xué)生年齡特征的，這也是新課程所倡導(dǎo)的，要加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系的理念的體現(xiàn).圖6－12、數(shù)學(xué)內(nèi)容的確定數(shù)學(xué)內(nèi)容是填空題設(shè)置的核心與本質(zhì)，即使在其中引入了適當(dāng)?shù)那榫?，但重要的還是應(yīng)著重于數(shù)學(xué)內(nèi)容的考查.在選擇填空題中的數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)，應(yīng)把在解答題中的、尚未考查到的重要知識(shí)放在優(yōu)先位置予以考慮.（1）問(wèn)題中應(yīng)當(dāng)包含重要、有價(jià)值的數(shù)學(xué)內(nèi)容例13（重慶2004年高考，文16）．毛澤東在《送瘟神》中寫(xiě)到：“坐地日行八萬(wàn)里”。又知地球的體積大約是火星的8倍，則火星的大圓周長(zhǎng)約為_(kāi)_____________萬(wàn)里.評(píng)注：估算似乎是再簡(jiǎn)單不過(guò)的事，但在生活中常常用到，我們發(fā)現(xiàn)即使在成人中，也常常在計(jì)算工齡時(shí)發(fā)生錯(cuò)誤.在數(shù)學(xué)上，如在求和中計(jì)算項(xiàng)數(shù)時(shí)就會(huì)遇到類(lèi)似的問(wèn)題，可見(jiàn)，試題的內(nèi)容是有價(jià)值的.從生活中尋找出某些最基本、最簡(jiǎn)單、又適宜的個(gè)別知識(shí)作為中考試題的設(shè)計(jì)材料是個(gè)可以參考的思路.例14(福建2004年高考，理16)如圖1，將邊長(zhǎng)為1的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的正六棱柱容器.當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為_(kāi)_____時(shí)，其容積最大。評(píng)注：空間圖形的折疊與展開(kāi)是考查空間觀念的一個(gè)重要方面，是編制試題的一條思路.由于選取折疊的圖形和設(shè)計(jì)問(wèn)題的角度不同，將產(chǎn)生不同的試題.本題著重在裁去的圖形中的角度上做文章.（2）試題可由改編而來(lái)利用已有的題目進(jìn)行改編是填空題的一大來(lái)源.例15原題：化簡(jiǎn).以此題作基礎(chǔ)，變個(gè)形，再考點(diǎn)其它東西，可以編出如下試題：新題：當(dāng)a________時(shí)，的最大值為.評(píng)注：在利用已有試題改編新題時(shí)，可以對(duì)原來(lái)的結(jié)構(gòu)作一些調(diào)整，也可以增加一些其它的內(nèi)容，這樣，變化起來(lái)就多種多樣了.許多填空題都可由代數(shù)運(yùn)算題改編而來(lái).而2004年北京高考文科第9題也與這道題有關(guān)，函數(shù)f(x)=sinxcosx的最小正周期是______________.（3）利用變換來(lái)構(gòu)造試題利用幾何變換、代數(shù)的變量替換等方法來(lái)構(gòu)造填空題是一種良好的途徑.如，將sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ中的α、β分別替換為x和x+π/4，就可得到上海2004年高考理科第一題：函數(shù)y=sinxcos(x+π/4)+cosasin(x+π/4)的最小正周期T=________.例16如圖5－62，ABCD是一張矩形紙片，點(diǎn)O為矩形對(duì)角線的交點(diǎn).直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)O交AD于M，交BC于N.操作：先沿直線MN剪開(kāi)，并將直角三角形MNCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)________度后（填入一個(gè)你認(rèn)為正確答案的序號(hào)：①90；②180；③270；④360），恰與直角梯形NMAB完全重合；再將重合后的直角梯形MNCD以直線MN為軸旋轉(zhuǎn)180°后所得到的圖形是下列中的________.（填寫(xiě)正確圖形的代號(hào)）A

B

C

D評(píng)注：由拼接構(gòu)造問(wèn)題的空間非常大，由于選取的圖形不同，拼接的方式不同，那么拼接出來(lái)的圖案將豐富多彩，實(shí)是一種構(gòu)造問(wèn)題的值得借鑒的好的想法.利用七巧板就可以造出許多類(lèi)似的試題來(lái).另一方面，本題也可看成是一道選擇題，它給