2024-2025學(xué)年河南省“天一大聯(lián)考”10月高二上學(xué)期階段性測(cè)試（一）數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年河南省“天一大聯(lián)考”10月高二上學(xué)期階段性測(cè)試（一）數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.圖中4條直線中斜率最小的是(

)

A.l1 B.l2 C.l32.已知向量a=(1,3,?2)與b=(3,x,y)平行，則x?y=(

)A.?15 B.?3 C.3 D.153.已知直線l的一個(gè)方向向量為m=(1,2,?4)，平面α的一個(gè)法向量為n=(2,3,t)，若l//α，則t=(

)A.1 B.2 C.3 D.44.將直線y=2x+1繞點(diǎn)(1,3)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π2rad后所得直線的方程為(

)A.x?2y+5=0 B.x?2y+1=0 C.x+2y?7=0 D.x+2y+1=05.已知平面α，β均以n=(?2,1,2)為法向量，平面α經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，平面β經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,2,?1)，則平面α與β的距離為(

)A.2 B.22 C.3 6.已知直線l與m:3x?y+c=0(c<0)平行，且l，m之間的距離與點(diǎn)A(0,2)到l的距離均為1，則l在y軸上的截距為A.?1 B.0 C.1 D.47.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1A.A1P?A1B B.A8.如圖，在正四面體O?ABC中，M為棱OC的中點(diǎn)，N為棱AB上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則異面直線AM與CN所成角的余弦值為(

)

A.216 B.219 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.若直線l:(2a?1)x+(a?3)y+1=0不經(jīng)過(guò)第四象限，則實(shí)數(shù)a的可能取值為(

)A.13 B.43 C.3 10.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知點(diǎn)A(3,2,?1)，B(m,1,n)，C(2,p,q)，其中m，n，p，q∈R，若四邊形OABC為菱形，則(

)A.m=5 B.p=?1 C.n=±2 D.q=±311.已知點(diǎn)A(3,3)和B(4,?2)，P是直線l:x+y+2=0上的動(dòng)點(diǎn)，則(

)A.存在P(1,?3)，使|PA|+|PB|最小

B.存在P(?1,?1)，使||PA|?|PB||最小

C.存在P(5,?7)，使|PA|?|PB|最大

D.存在P(12,?三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量AB=(2,3,23)，BC=(x,0,23)13.已知a>0，平面內(nèi)三點(diǎn)A(0,?a)，B(1,a2)，C(3,2a3)14.已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的體積為4，側(cè)面積為8，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在線段C1四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)已知空間中三點(diǎn)A(?2,?3,3)，B(1,0,2)，C(2,?1,5)，設(shè)向量a=AB，(Ⅰ)若(a+kb)⊥(Ⅱ)若向量c與a?b共線，且|c|=416.(本小題12分)已知直線l1的方程為(a+3)x?ay+2=0，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,0)(Ⅰ)若l1⊥l2(Ⅱ)若當(dāng)a變化時(shí)，l1總過(guò)定點(diǎn)C，求|AC|．17.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，△PAD為等邊三角形，且PB=AC，E為棱PD的中點(diǎn)．

(Ⅰ)證明：平面PAD⊥平面ABCD;(Ⅱ)求直線CE與平面PAB所成角的正弦值．18.(本小題12分)

如圖，將一塊三角形的玉石ABO置于平面直角坐標(biāo)系中，已知|AO|=|AB|=5，|OB|=2，點(diǎn)P(1,1)，圖中陰影三角形部分為玉石上的瑕疵，為了將這塊玉石雕刻成工藝品，要先將瑕疵部分切割掉，可沿經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線MN進(jìn)行切割．(Ⅰ)求直線MN的傾斜角α的取值范圍．(Ⅱ)是否存在直線MN，使得點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在線段AB上?(Ⅲ)設(shè)玉石經(jīng)切割后剩余部分的面積為S，求S的取值范圍．19.(本小題12分)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，過(guò)點(diǎn)P(x0,y0,z0)且以u(píng)(Ⅰ)若直線l1:x?12=y=?(z?1)與l2(Ⅱ)在三棱柱ABC?A1B1C1中，點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，點(diǎn)A在平面Oxz內(nèi)，平面ABC以m=(1,?1,?3)為法向量，平面(Ⅲ)若集合M={(x,y,z)||x|+|y|+|z|=2}中所有的點(diǎn)構(gòu)成了多面體Ω的各個(gè)面，求Ω的體積和相鄰兩個(gè)面所在平面的夾角的余弦值．

參考答案1.C

2.D

3.B

4.C

5.A

6.B

7.D

8.A

9.BC

10.ABD

11.ACD

12.2

13.2

14.615.解析(Ⅰ)由題意知a=(3,3,?1)，b所以a+k因?yàn)?a+kb解得k=19(Ⅱ)a?b=(2，因?yàn)閏與a?b共線，所以存在λ∈R，使得所以|c可得λ=±2所以c的坐標(biāo)為(43

16.解析

(Ⅰ)l1:(a+3)x?ay+2=0的斜率為a+3a，因?yàn)閘1⊥l即2a2?a?3=0，解得a=(Ⅱ)將l1的方程改寫(xiě)為a(x?y)+3x+2=0由x?y=0,3x+2=0,解得x=y=?23，所以所以|AC|=

17.解析(Ⅰ)如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接PO，BO．因?yàn)椤鱌AD是等邊三角形，所以PO⊥AD．設(shè)AB=a，則AC=2a，即PB=2a，PO=又AD∩BO=O，所以PO⊥平面ABCD，因?yàn)镻O?平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD．

(Ⅱ)取BC的中點(diǎn)F，連接OF，由(Ⅰ)可知OP，OA，OF兩兩互相垂直，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，同(Ⅰ)設(shè)AB=a，則A(a2,0,0)，B(a2,a,0)，C(?a所以PA=(a2,0,?設(shè)平面PAB的法向量為n=(x,y,z)則PA?n=0,AB設(shè)直線CE與平面PAB所成的角為θ，則sinθ=|cos<即直線CE與平面PAB所成角的正弦值為15

18.解析(Ⅰ)因?yàn)閨AO|=|AB|=5，|OB|=2，所以A(1,2)，由題圖可知，當(dāng)直線MN過(guò)點(diǎn)O時(shí)傾斜角最小，此時(shí)α=π當(dāng)直線MN繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，斜率增大，當(dāng)其過(guò)點(diǎn)A時(shí)，傾斜角最大，此時(shí)α=π所以α的取值范圍是[(Ⅱ)由已知可得直線AB的斜率為0?22?1若點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在線段AB上，則MN⊥AB，所以直線MN的斜率k=1由(Ⅰ)知直線MN的傾斜角α∈[π4,π2]，所以(Ⅲ)當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，直線MN的方程為x=1，此時(shí)S=1當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y=k(x?1)+1，k∈[1,+∞).令y=0，得x=1?1k，所以點(diǎn)易得直線AB的方程為y=?2x+4，聯(lián)立y=k(x?1)+1,y=?2x+4,解得則S=1因?yàn)閗∈[1,+∞)，所以k2+2k∈[3,+∞)綜上，S的取值范圍是[1,

19.(Ⅰ)由題意可知l1和l2都經(jīng)過(guò)點(diǎn)且l1的方向向量為n1=(2,1,?1)，l設(shè)平面α的法向量為u=(a,b,c)，因?yàn)閘1，所以u(píng)?n1又點(diǎn)(1,0,1)在平面α內(nèi)，所以平面α的方程為2x?y+3z=5．(Ⅱ)因?yàn)镃(0,0,0)，平面ABC的法向量為m=(1,?1,?3)所以平面ABC的方程為x?y?3z=0．點(diǎn)A在平面ABC和平面ABB1A1內(nèi)，又點(diǎn)A在平面O即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0,1)．(Ⅲ)討論x，y，z的符號(hào)，將方程|x|+|y|+|z|=2中的絕對(duì)值符號(hào)去掉，可以得到8個(gè)不同的方程，則多