2024-2025學(xué)年廣東省廣州市華南師大附中高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省廣州市華南師大附中高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知直線l過點(diǎn)A(1,2)，B(3,4)，則直線l的傾斜角為(

)A.?π6 B.?π3 C.2.直線x?2y+1=0的一個(gè)方向向量是(

)A.(1,?2) B.(1,2) C.(2,?1) D.(2,1)3.已知a=(1,0)，b=(1,1)，若(λa?bA.?2 B.2 C.?1 D.14.“m=?13”是“兩條直線x+my?1=0，(3m?2)x+y?1=0平行”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.在正四棱錐P?A1B1C1D1中，PB1⊥PDA.26 B.423 6.若圓C：x2+y2?2y?1=0上存在唯一點(diǎn)P，使得|PA|=2|PO|A.3±3 B.2±3 C.7.在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=120°，D是棱BC上的動(dòng)點(diǎn)，直線A1D與平面ABC所成角的最大值是45°，點(diǎn)A.π3 B.2π3 C.4π38.已知點(diǎn)P在直線y=x?2上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E是圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是圓(x?6)A.6 B.7 C.8 D.9二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知角A，B，C是三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角，下列結(jié)論一定成立的有(

)A.sin(A+B)=sinC

B.cos(A+B)=cosC

C.若sinA<sinB，則A<B

D.若sinB=cosA，則10.已知⊙M：x2+y2?4x+2y+1=0，直線l：A.直線l和⊙M可能相切

B.直線l過定點(diǎn)(3,0)

C.直線l被⊙M截得的弦最長時(shí)，直線l的方程為x?y?3=0

D.直線l被⊙M截得的弦長最小值為211.已知圓Ck：x2+(y?k2)A.x軸截圓C1所得的弦長為2

B.對(duì)任意正整數(shù)k，圓Ck內(nèi)含于圓Ck+1

C.任意正實(shí)數(shù)m，存在k∈N?，使得圓Ck與直線y=m有交點(diǎn)

D.存在正實(shí)數(shù)m，使得A中與直線三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.過點(diǎn)P(3,4)的圓x2+y13.已知向量a=(5,5)，b=(?2,1)，則向量a在向量b上的投影向量為______．14.在邊長為4的正方形ABCD中，如圖甲所示，E，F(xiàn)，分別為BC，CD的中點(diǎn)，分別沿AE，AF及EF所在直線把△AEB，△AFE和△EFC折，使B，C，D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，得到三棱錐P?AEF，則三棱錐P?AEF外接球的表面積為______．

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a：b：c=2：3：4．

(1)求cosA；

(2)若點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，且CD=10，求△ABC16.(本小題15分)

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(?1,2)和直線l：x?y+1=0，點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足|PO|2+|PB|2=2．

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)及點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)若點(diǎn)P的軌跡與直線17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD//BC，AB⊥BC，PA=AD=4，BC=1，AB=3．

(1)證明：平面PCD⊥平面PAC；

(2)求AD與平面PCD18.(本小題17分)

已知圓C過點(diǎn)P(1,1)，且與圓M：(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱．

(1)判斷圓C與圓M的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)過點(diǎn)P作兩條相異直線分別與⊙C相交于A，B．

①若直線PA和直線PB互相垂直，求PA+PB的最大值；

②若直線PA和直線PB與x軸分別交于點(diǎn)G、H，且19.(本小題17分)

已知集合A={1,2,3,…,n}(n∈N，n≥3)，W?A且W中元素的個(gè)數(shù)為m(m≥2).若存在u，v∈W(u≠v得u+v為2的正整數(shù)指數(shù)冪，則稱W為A的弱P(m)子集；若對(duì)任意的s，t∈W(s≠t)，s+t均為2的正整數(shù)指則稱W為A的強(qiáng)P(m)子集．

(Ⅰ)請(qǐng)判斷集合W1={1,2,3}和W2={2,3,4}是否為A的弱P(3)子集，并說明理由；

(Ⅱ)是否存在A的強(qiáng)P(3)子集？若存在，請(qǐng)寫出一個(gè)例子；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(Ⅲ)若n=11，且A的任意一個(gè)元素個(gè)數(shù)為m的子集都是A的弱P(m)子集，求參考答案1.C

2.D

3.B

4.C

5.C

6.B

7.B

8.C

9.AC

10.BCD

11.ACD

12.3x+4y?25=0

13.(2,?1)

14.24π

15.解：(1)由題意，設(shè)a=2k，b=3k，c=4k，k>0，

則由余弦定理得cosA=b2+c2?a22bc=9k2+16k2?4k22×3k?4k=78；

(2)在△ACD中，cosA=78，則sinA=1?cos2A=158，

由點(diǎn)D為AB16.解：(1)設(shè)B(m,n)，

由題有n?2m+1=?1m?12?n+22+1=0，

解得m=1n=0，故B(1,0)，

設(shè)P(x,y)，則x2+y2+(x?1)2+y2=2，

整理得(x?12)2+y2=34，

故點(diǎn)P的軌跡方程為(x?12)17.解：(1)AB⊥BC，BC=1，AB=3，則AC=AB2+BC2=12+(3)2=2，∠ACB=π3，

△ACD中，CD2=AC2+AD2?2AC?AD?cosπ3=4+16?2×2×4×12=12，

故AC?2+CD2=4+12=16=AD2，故DC⊥AC，

又因?yàn)镻A⊥底面ABCD，DC?底面ABCD，所以PA⊥DC，

又因?yàn)锳C∩PA=A，AC，PA?平面PAC，DC⊥平面PAC，DC?底面PCD，故平面PDC⊥平面PAC，

(2)作AH⊥PC，垂直為H，連接DH，

因?yàn)槠矫鍼DC⊥平面PAC，且平面PDC∩平面PAC=PC，AH?平面PAC，

所以AH⊥平面PCD，故∠ADH為AD與平面PCD所成的角，

△PAC中，AH=PA?ACPC=4×225=45，sin∠ADH=AHDA=45×14=5518.解(1)設(shè)圓心C(a,b)，則a?22+b?22+2=0b+2a+2=1，解得a=0b=0…(2分)

則圓C的方程為x2+y2=r2，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得r2=2，故圓C的方程為x2+y2=2

∴CM=22，又兩半徑之和為22，∴圓M與圓C外切．…(4分)

(2)令l1、l2即PA，PB為過P點(diǎn)的兩條弦

①設(shè)l1、l2被圓C所截得弦的中點(diǎn)分別為E、F，弦長分別為d1，d2，因?yàn)樗倪呅蜲EPF是矩形，

所以O(shè)E2+OF2=OP2=2，即(2?(d12)2)+(2?(d22)2)=2，化簡得d12+d22=8…(9分)

從而d1+d2≤2?d12+d22=4，(d1=d2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線PA，PB必有一條斜率不存在)

綜上：l1、l2被圓C所截得弦長之和的最大值為4…(10分)

另解：若直線PA與PB中有一條直線的斜率不存在，

則PA=PB=2，此時(shí)PA+PB=4.…(5分)

若直線PA與PB斜率都存在，且互為負(fù)倒數(shù)，故可設(shè)PA：y?1=k(x?1)，即kx?y?k+1=0，(k≠0)

點(diǎn)C到PA的距離為|k?1|1+k2，同理可得點(diǎn)C19.解：(Ⅰ)W1是A的弱P(3)子集，W2不是A的弱P(3)子集．

理由如下：1+3=22，W1中存在兩個(gè)元素的和是2的正整數(shù)指數(shù)冪，所以W1是A的弱P(3)子集．

2+3=5，3=4=7，2+4=6，W2中任意兩個(gè)元素的和都不是2的正整數(shù)指數(shù)冪，所以W2不是A的弱P(3)子集．

(Ⅱ)不存在A的強(qiáng)P(3)子集．

理由如下：假設(shè)存在A的強(qiáng)P(3)子集W={a,b,c}，不妨設(shè)a<b<c，a，b，c為正整數(shù)，

a+b=2k1，a+c=2k2，b+c=2k3，則k1<k2<