《平面向量應(yīng)用舉例》名師課件

名師課件0平面向量應(yīng)用舉例名師：廖俊宇知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測平面向量的平行四邊形法則、三角形法則平面向量的基本定理檢測下預(yù)習(xí)效果：點(diǎn)擊“隨堂訓(xùn)練”選擇“《平面向量應(yīng)用舉例》預(yù)習(xí)自測”a·b=|a||b|cosθ，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·b=0．知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測0探究一：平面向量解決平面幾何中問題的優(yōu)越性①平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型，如圖，你能觀察、發(fā)現(xiàn)并猜想出平行四邊形對角線的長度與兩鄰邊長度之間有什么關(guān)系嗎？②你能利用所學(xué)知識證明你的猜想嗎？能利用所學(xué)的向量方法證明嗎？試一試可用哪些方法？③你能總結(jié)一下利用平面向量解決平面幾何問題的基本思路嗎？平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．綜合方法、解析方法、向量方法．知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測0證明：方法一：如圖．作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，則Rt△ADF≌Rt△BCE．∴AD＝BC，AF＝BE．由于AC2＝AE2＋CE2＝(AB＋BE)2＋CE2＝AB2＋2AB·BE＋BE2＋CE2＝AB2＋2AB·BE＋BC2．BD2＝BF2＋DF2＝(AB－AF)2＋DF2＝AB2－2AB·AF＋AF2＋DF2＝AB2－2AB·AF＋AD2＝AB2－2AB·BE＋BC2．∴AC2＋BD2＝2(AB2＋BC2)．知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測0方法二：如圖．以AB所在直線為x軸，A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．設(shè)B(a，0)，D(b，c)，則C(a＋b，c)．∴|AC|2＝(a＋b)2＋c2＝a2＋2ab＋b2＋c2，|BD|2＝(a－b)2＋(－c)2＝a2－2ab＋b2＋c2．∴|AC|2＋|BD|2＝2a2＋2(b2＋c2)＝2(|AB|2＋|AD|2)．方法三：設(shè)

＝a，

＝b，則

＝a＋b，

＝a－b，||2＝|a|2，||2＝|b|2．∴||2＝

·＝(a＋b)·(a＋b)＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝|a|2＋2a·b＋|b|2．①同理||2＝|a|2－2a·b＋|b|2．②觀察①②兩式的特點(diǎn)，我們發(fā)現(xiàn)，①＋②得||2＋||2＝2(|a|2＋|b|2)＝2(||2＋||2)，知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測0用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”，即：（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測0探究二：平面幾何在物理中的應(yīng)用兩個(gè)人提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力．在單杠上做引體向上運(yùn)動，兩臂夾角越小越省力．這些問題是為什么？分析：上面的問題可以抽象為如右圖所示的數(shù)學(xué)模型．只要分析清楚F、G、θ三者之間的關(guān)系（其中F為F1、F2的合力），就得到了問題的數(shù)學(xué)解釋．解：不妨設(shè)|F1|=|F2|，

由向量加法的平行四邊形法則，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到.|F1|=通過上面的式子我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)θ由逐漸變大時(shí)，由逐漸變大，的值由大逐漸變小，因此，|F1|由小逐漸變大，即F1、F2之間的夾角越大越費(fèi)力，夾角越小越省力．思考θ為何值時(shí)，|F1|最小，最小值是多少？θ=0時(shí)，|F1|最小，等于.知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測探究三：應(yīng)用示例例1．如下圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m，一艘船從A處出發(fā)到河對岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，問行駛航程最短時(shí)，所用的時(shí)間是多少(精確到0.1min)？【解題過程】(km/h)，所以，(min)．【思路點(diǎn)撥】如果水是靜止的，則船只要取垂直于對岸的方向行駛，就能使行駛航程最短，所用時(shí)間最短．考慮到水的流速，要使船的行駛航程最短，那么船的速度與水流速度的合速度v必須垂直于對岸．知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測0例2．如圖，

ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？【解題過程】如圖，設(shè)

＝a，

＝b，

＝r，

＝t，則

＝a＋b．由于

與

共線，所以我們設(shè)r＝n(a＋b)，n∈R．又因?yàn)?/p>

＝

－

＝a－

b，

與

共線，所以我們設(shè)

＝m＝m(a－

b)．因?yàn)?/p>

＝

＋

，所以r＝

b＋m(a－

b)．因此n(a＋b)＝

b＋m(a－

b)，即(n－m)a＋(n＋

)b＝0．知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測0【思路點(diǎn)撥】探究過程對照用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”很容易地可得到結(jié)論．第一步，建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；第二步，通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；第三步，把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系：AR＝RT＝TC．由于向量a、b不共線，要使上式為0，必須解得n＝m＝

．所以

＝

．同理

＝

．于是

＝

．所以AR＝RT＝TC．知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測例3．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于E，求

的值．【解題過程】方法一：(基向量法)設(shè)

＝a，

＝b，|a|＝1，|b|＝2．a(chǎn)·b＝|a||b|cos60°＝1，

＝a＋b．設(shè)

＝λ＝λb，則

＝

－

＝λb－a．由AE⊥BD，得

·＝0．即(λb－a)·(a＋b)＝0．解得λ＝，∴．知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測方法二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BC為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件，設(shè)B(0，0)，C(2，0)，A，D．又設(shè)E(m，0)，則，．由AE⊥BD，得

＝0．即，得m＝，∴．【思路點(diǎn)撥】利用向量解決平面幾何問題時(shí)，有兩種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量，一種思路是建立坐標(biāo)系，求出題目中涉及到的向量的坐標(biāo)．這兩種思路都是通過向量的計(jì)算獲得幾何命題的證明．知識梳理知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測0（1）用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．（2）利用向量解決物理問題的基本步驟:①問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；②建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型；③求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等；④回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題．重難點(diǎn)突破