《一元二次不等式及其解法》教學(xué)設(shè)計

1/33.2一元二次不等式及其解法(名師:向鑫)一、教學(xué)目標(biāo)【核心素養(yǎng)】通過學(xué)習(xí)一元二次不等式的解法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理能力.【學(xué)習(xí)目標(biāo)】（1）經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程；（2）通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系；（3）會解一元二次不等式.【學(xué)習(xí)重點】從實際問題中抽象出一元二次不等式模型，圍繞一元二次不等式的解法展開，突出體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想.【學(xué)習(xí)難點】理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式解集的關(guān)系.二、教學(xué)設(shè)計（一）課前設(shè)計預(yù)習(xí)任務(wù)任務(wù)：預(yù)習(xí)教材P76—P80,完成P80相應(yīng)練習(xí)題預(yù)習(xí)自測1.不等式的解集是（）A.B.C.D.答案：A解析：略2.不等式的解集為（）A.B.C.D.答案：B解析：略（二）課堂設(shè)計1.知識回顧（1）一元二次方程的方程的解法.（2）二次函數(shù)的性質(zhì).（3）我們預(yù)習(xí)本課的一元二次不等式的解法？2.問題探究問題探究一一元二次不等式的含義1.什么是一元二次不等式？閱讀與思考：春天來了，熊貓飼養(yǎng)員計劃在靠墻的位置為它們?nèi)ㄒ粋€矩形的室外活動室.現(xiàn)有可以做出20m柵欄的材料，要求使得活動室的面積不小于42m2，你能確定與墻平行的柵欄的長度范圍嗎？分析：設(shè)與墻平行的柵欄長度為（）則依題意得：，整理得：.想一想：（1）該式子是等式還是不等式？（2）該式中含有幾個未知數(shù)？（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是幾次？定義：我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.寫一寫：請寫出5個不同的一元二次不等式.抽象與歸納：用字母代替數(shù)，抽象一元二次不等式的一般形式.=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④.2.一元二次不等式的解集與三個二次的關(guān)系？（1）二次方程的根與二次函數(shù)的零點的關(guān)系觀察與思考：（1）一元二次不等式左邊的形式，在學(xué)過的哪些知識中出現(xiàn)過？一元二次方程；二次函數(shù)容易知道：二次方程的有兩個實數(shù)根：二次函數(shù)有兩個零點：于是，我們得到：二次方程的根就是二次函數(shù)的零點.（2）一元二次不等式的解集與一元二次方程的根，與一元二次函數(shù)的圖象，有怎樣的關(guān)系？一元二次不等式的解集，就是二次函數(shù)的圖象在部分點的橫坐標(biāo)的集合.抽象與歸納：一般地，一元二次不等式的解集，就是二次函數(shù)的圖象在部分的點的橫坐標(biāo)的集合.一元二次不等式的解集，就是二次函數(shù)的圖象在部分的點的橫坐標(biāo)的集合.一元二次方程的解集，就是二次函數(shù)的圖象在的點的橫坐標(biāo)的集合.可得下表：二次函數(shù)（）的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根無實根R例1：解不等式.【知識點：一元二次不等式的解法】【解析】兩邊都乘以－1，并移項，得.因為Δ＞0，方程的解是.所以，原不等式的解集是{x|1－eq\f(\r(3),3)＜x＜1＋eq\f(\r(3),3)}.點拔：解一元二次不等式直接用圖解法處理，解題過程中的二次函數(shù)圖像可畫出草稿紙上.例2：已知的解集為{x|－eq\f(1,3)<x<eq\f(1,2)}，設(shè)求a、c的值，并解不等式.【知識點：含參不等式的解法,二次函數(shù)的圖像】【解析】由的解集為{x|－eq\f(1,3)<x<eq\f(1,2)}知a<0，且方程的兩根為.由韋達定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,－\f(1,3)＋\f(1,2)＝－\f(2,a),－\f(1,3)×\f(1,2)＝\f(c,a)，))由此得a＝－12，c＝2.此時，即化為.得解集為{x|－2<x<3}.點拔：解決這類問題的關(guān)鍵是善于從題目條件中捕捉到根的信息，然后利用一元二次不等式與方程根的關(guān)系解決.例3.解不等式(x3－1)(x2＋2x－3)(x－2)≥0.解析：【知識點：高次不等式的解法】原不等式可化為(x－1)2(x2＋x＋1)(x＋3)(x－2)≥0，即(x－1)2(x＋3)(x－2)≥0.由上圖可知原不等式的解集為{x|x≤－3或x≥2或x＝1}．點撥：解高次不等式的一般方法為數(shù)軸標(biāo)根，其步驟分為兩大步：①將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式，強調(diào)不等式右邊為0，左邊各因式x的系數(shù)均為1；②畫數(shù)軸穿根，強調(diào)區(qū)別各根是否滿足不等式，偶次不穿．3.課堂總結(jié)【知識梳理】二次函數(shù)（）的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根無實根R【思維導(dǎo)圖】一元一次不等式研究方法一元一次不等式研究方法解一元二次不等式（及其逆向運用）可化為一元二次不等式的分式不等式解含參一元二次不等式一元二次不等式的解一元二次不等式恒成立一元二次函數(shù)圖像一元二次方程的根解一元二次不等式（及其逆向運用）可化為一元二次不等式的分式不等式解含參一元二次不等式一元二次不等式的解一元二次不等式恒成立一元二次函數(shù)圖像一元二次方程的根一元二次不等一元二次不等式及其解法【重難點突破】(1)一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的關(guān)系(2)含參一元二次不等式的解法.4.隨堂檢測1.已知函數(shù)，則當(dāng)自變量x滿足________，函數(shù)值等于0；當(dāng)自變量x滿足________，函數(shù)值大于0；當(dāng)自變量x滿足________，函數(shù)值小于0.答案：x＝1或x＝3；x>3或x<1；1<x<3.解析：【知識點：一元二次不等式的解法,二次函數(shù)的圖像】2.已知x＝1是不等式的解，求k的取值范圍_______.答案：(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)解析：【知識點：一元二次不等式的解法,二次函數(shù)的圖像】3.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分對應(yīng)值如表：x－3－2－101234y60－4－6－6－406則不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________.答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞)解析：【知識點：一元二次不等式的解法,二次函數(shù)的圖像】4.若關(guān)于x的不等式對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍是______.答案：0≤k<3解析：【知識點：一元二次不等式的解法,二次函數(shù)的圖像】5.已知集合A＝{x|}，B＝{x|0<x＋a<4}，若A∩B＝?，則實數(shù)a的取值范圍________.答案：1≤a≤2解析：【知識點：一元二次不等式的解法,二次函數(shù)的圖像】三、課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是（）A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(2,3)≤x≤\f(1,2)))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤－\f(2,3)或x≥\f(1,2)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≥\f(1,2)))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤－\f(3,2)))答案：B解析：【知識點：一元二次不等式的解法】2.不等式eq\f(x－1,x＋2)<0的解集為（）A.(1，＋∞)B.(－∞，－2)C.(－2,1)D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案：C解析：【知識點：一元二次不等式的解法,分式不等式的解法】3.不等式的解集為（）A.B.RC.D.答案：C解析：【知識點：一元二次不等式的解法】4.若0＜m＜1，則不等式(x－m)(x－eq\f(1,m))＜0的解集為（）A.{x|eq\f(1,m)＜x＜m}B.{x|x＞eq\f(1,m)或x＜m}C.{x|x＞m或x＜eq\f(1,m)}D.{x|m＜x＜eq\f(1,m)}答案：D解析：【知識點：一元二次不等式的解法】5.不等式的解集是_____________.答案：解析：【知識點：一元二次不等式的解法】6.解下列不等式：(1)(x＋3)(2－x)≤4；(2)；(3).答案：見解析解析：【知識點：一元二次不等式的解法】(1)(x＋3)(2－x)≤4?(x＋3)(x－2)≥－4???(x＋2)(x－1)≥0.∴原不等式的解集為{x|x≤－2或x≥1}.(2)∵，∴.即解不等式.由求根公式知.∴的解集是{x|x<eq\f(1－\r(5),2)或x>eq\f(1＋\r(5),2)}.∴原不等式的解集為{x|x<eq\f(1－\r(5),2)或x>eq\f(1＋\r(5),2)}.(3)原不等式的解集為{x|－eq\r(2)<x<eq\r(2)}.能力型師生共研7.若不等式的解集為，則的取值范圍是（）A.B.C.D.答案：B解析：【知識點：一元二次不等式的解法,二次函數(shù)的圖像】8.不等式的解集是，則（）A.B.C.D.答案：C解析：【知識點：一元二次不等式的解法,二次函數(shù)的圖像】9.不等式的解集是（）A.B.C.D.答案：D解析：【知識點：一元二次不等式的解法,指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)】10.不等式－1<x2＋2x－1≤2的解集是________.答案：{x|－3≤x<－2或0<x≤1}解析：【知識點：一元二次不等式的解法,二次函數(shù)的圖像】探究型多維突破11.若不等式|2x－3|>4與關(guān)于x的不等式的解集相同，則的解集是（）A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(7,2)或x<－\f(1,2)))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(7,2)))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(7,2)或x>\f(1,2)))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)<x<\f(1,2)))))答案：D解析：【知識點：一元二次不等式的解法,二次函數(shù)的圖像】由|2x－3|>4得2x－3>4或2x－3<－4，則x>eq\f(7,2)或x<－eq\f(1,2).由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－p＝\f(7,2)－\f(1,2)，,q＝\f(7,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)－\f(7,2)，,q＝\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)))，))對應(yīng)方程的兩根分別為eq\f(1,2)，－eq\f(7,2)，則的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)<x<\f(1,2))))).12.已知函數(shù)的圖像都在x軸的上方，求實數(shù)k的取值范圍.答案：見解析解析：【知識點：一元二次不等式的解法,二次函數(shù)的圖像】(1)當(dāng)時，k＝－5或k＝1.若k＝－5，則y＝24x＋3的圖像不可能都在x軸的上方.若k＝1，則y＝3的圖像都在x軸的上方.(2)當(dāng)時，則所給二次函數(shù)應(yīng)滿足，即，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＜－5，或k＞1,1＜k＜19，))解得1＜k＜19.綜上所述，1≤k＜19.四、自助餐1.不等式－x2－x＋2≥0的解集為（）A.{x|x≤2或x≥1}B.{x|－2<x<1}C.{x|－2≤x≤1}D.?答案：C解析：【知識點：一元二次不等式的解法】2.不等式的解集為（）A.B.RC.D.答案：A解析：【知識點：一元二次不等式的解法】3.設(shè)集合A＝{x|(x－1)2<3x＋7，x∈R}，則集合A∩Z中元素的個數(shù)是（）A.4B.5C.6D.7答案：C解析：【知識點：一元二次不等式的解法】4.已知集合，，則集合=（）A.B.C.D.答案：C解析：【知識點：一元二次不等式的解法】5.函數(shù)y＝lg(x2－4)＋eq\r(x2＋6x)的定義域是（）A.(－∞，－2)∪[0，＋∞)B.(－∞，－6]∪(2，＋∞)C.(－∞，－2]∪[0，＋∞)D.(－∞，－6)∪[2，＋∞)答案：B解析：【知識點：一元二次不等式的解法,函數(shù)的定義域】6.已知集合，，且，則a的取值范圍為（）A.B.C.D.答案：A解析：【知識點：一元二次不等式的解法】7.若，則不等式的解是（）A.B.C.或D.或答案：A解析：【知識點：一元二次不等式的解法,】8.不等式解集為，則的值為（）A.B.C.D.答案：B解析：【知識點：一元二次不等式的解法,二次函數(shù)的圖像】9.若，則的解集是__________.答案：解析：【知識點：一元二次不等式的解法,二次函數(shù)的圖像】10.若關(guān)于x的不等式eq\f(x－a,x＋1)>0的解集為(－∞，－1)∪(4，＋∞)，則實數(shù)a＝______.答案：4解析：【知識點：一元二次不等式的解法,二次函數(shù)的圖像】11.解下列不等式：（1）；（2）.答案：見解析解析：【知識點：一元二次不等式的解法】（1）不等式可化為，∴不等式的解集是；（2）的根為，∴不等式的解集是.12.若關(guān)于x的不等式的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\