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第4章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)本卷滿分150分,考試時間120分鐘。一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的.1.在下面四個等式運(yùn)算中,正確的是A. B.C. D.【試題來源】北京市第四中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)測試題【答案】B【解析】,A錯誤;,B正確;,C錯誤;,D錯誤.故選B.2.若實(shí)數(shù)x、y滿足(,且),則的值為A. B.2C. D.1【試題來源】滬教版(2020)必修第一冊達(dá)標(biāo)檢測期中測試【答案】D【解析】由已知,,所以,,所以,,得.故選D.3.三個數(shù),,的大小順序是A. B.C. D.【試題來源】廣東省廣州市仲元中學(xué)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期期末【答案】C【解析】因?yàn)?,,,,又函?shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,所以,即.故選C.4.已知函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn),交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m、n,則以下結(jié)論中正確的是A. B.C. D.【試題來源】滬教版(2020)必修第一冊達(dá)標(biāo)檢測第四章【答案】B【解析】不妨設(shè),則兩式相減,得,所以.故選B.5.若a?b?c都是正數(shù),且,那么A. B.C. D.【試題來源】湖北省騰云聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考【答案】D【解析】由于,,都是正數(shù),故可設(shè),,,,則,,.,,即,去分母整理得,.所以ABC不正確,D正確,故選D.6.若直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點(diǎn),則的取值可以是A. B.C.2 D.4【試題來源】黑龍江省佳木斯市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中【答案】A【解析】畫出兩個函數(shù)在同一坐標(biāo)系下的圖象,若有兩個交點(diǎn),則,故選A7.已知函數(shù)(其中)的圖象如圖所示,則函數(shù)的圖象是A. B.C. D.【試題來源】浙江省舟山中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中【答案】D【解析】由函數(shù)(其中)的圖象可得,所以,所以排除BC,因?yàn)椋詾樵龊瘮?shù),所以排除A,故選D8.已知時,當(dāng)時,滿足,則關(guān)于以下兩個結(jié)論正確的判斷是①函數(shù)只有一個零點(diǎn);②函數(shù)的零點(diǎn)必定在區(qū)間(a,b)內(nèi).A.①②均對 B.①對,②錯C.①錯,②對 D.①②均錯【試題來源】滬教版(2020)必修第一冊達(dá)標(biāo)檢測第五章5.3函數(shù)的應(yīng)用【答案】B【解析】因?yàn)楹途鶠閰^(qū)間上的嚴(yán)格增函數(shù),因此函數(shù)也是區(qū)間上的嚴(yán)格增函數(shù),且,.所以只有一個零點(diǎn),①對.因?yàn)?,所以的符號為兩正一?fù)或者全負(fù),因?yàn)?,所以必有,,或者,,.?dāng),,時,零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi);當(dāng),,時,零點(diǎn)在區(qū)間(a,b)內(nèi),所以②錯.故選B.二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.若,且,,,且,則下列各式不恒成立的是①;②;③;④.A.① B.②C.③ D.④【試題來源】福建省莆田第七中學(xué)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期第二次月考【答案】AC【解析】若x<0,則①錯誤;易知,則,所以,②正確;若x<0,y<0,則③錯誤;因?yàn)?,所以,所以,④正確.故選AC.10.已知,,則A. B.C. D.【試題來源】2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)鏈接教材精準(zhǔn)變式練(蘇教版2019必修第一冊)【答案】ABD【解析】由,得.,故B正確;由,,且得,故A正確;,故C錯誤;,故D正確.故選ABD.11.給出下列四個命題,其中所有正確命題的選項(xiàng)是A.函數(shù)的圖象過定點(diǎn)B.化簡的結(jié)果為25C.已知函數(shù)(且)在上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是D.若(,),則【試題來源】廣東省汕頭市潮師高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考【答案】BD【解析】對于A,函數(shù)的圖象過定點(diǎn),A錯,對于B,,B對,對于C,由函數(shù)(且)在上是減函數(shù),可得,且,所以,故C錯誤;對于D,令,若,則,即,又,在上單減,所以,所以故D對,故選BD.12.已知函數(shù),若方程有三個實(shí)數(shù)根,,,且,則A. B.實(shí)數(shù)a的取值范圍為C.的取值范圍為 D.的解集為【試題來源】湘教版(2019)必修第一冊突圍者第4章全章綜合檢測【答案】ACD【解析】由題意方程有三個實(shí)數(shù)根,,,則函數(shù)的圖象與直線有三個交點(diǎn),且橫坐標(biāo)分別為,,.作出函數(shù)的圖象和直線如圖所示:由圖可知,,所以,故A正確;由于,所以,故B錯誤;由,得,所以,所以,故C正確;當(dāng)時,由,即,得,當(dāng)時,由,即,得,故的解集為,故D正確.故選ACD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________.【試題來源】陜西省西安中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中【答案】【解析】令,則,因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為.14.已知,,定義,則__________.【試題來源】滬教版(2020)必修第一冊達(dá)標(biāo)檢測第三章3.1冪與指數(shù)【答案】【解析】.故答案為15.已知[x]表示不超過x的最大整數(shù),定義函數(shù)f(x)=x-[x].有下列結(jié)論:①函數(shù)的圖象是一條直線;②函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,1);③方程f(x)=有無數(shù)個解;④函數(shù)是R上的增函數(shù).其中正確的是__________.(填序號)【試題來源】黑龍江省鶴崗市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中【答案】②③【解析】畫出函數(shù)的圖象,如圖所示,可以看出函數(shù)的圖象不是一條直線,故A錯誤;函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,故②正確;方程有無數(shù)個解,③正確;函數(shù)是分段函數(shù),且函數(shù)不是R上的增函數(shù),故④錯誤.故答案為②③16.已知,設(shè),若,則的取值范圍是__________.【試題來源】滬教版(2020)必修第一冊達(dá)標(biāo)檢測第五章章測試【答案】【解析】作出函數(shù)在區(qū)間(0,1)與上的圖象,如圖所示:若,滿足,則必有,,且,即,所以,,令,,則.設(shè),可得,因此所求取值范圍是.故答案為.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)化簡與求值.(1)化簡:(,);(2)已知,求的值.【試題來源】北師大版(2019)必修第一冊突圍者第三章全章綜合檢測【答案】(1),(2)【解析】(1)因?yàn)?,,所以.?)因?yàn)椋裕?,又,而,所以,故?8.(12分)(1)計算;(2)已知,,求的值.【試題來源】北京市大興區(qū)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中考試【答案】(1);(2)【解析】(1)(2)因?yàn)?,,所?9.(12分)在飛機(jī)制造業(yè)中,發(fā)現(xiàn)一條規(guī)律:制造第2架飛機(jī)所需的工時數(shù)是第1架的80%;第4(即)架又是第2架的80%;第8(即)架又是第4架的80%;……這就是說,通過積累經(jīng)驗(yàn),可以提高效率.這也是符合學(xué)習(xí)規(guī)律的,這里的80%稱為“進(jìn)步率”,所制造的飛機(jī)架數(shù)與所需工時數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系所確定的曲線常稱為“學(xué)習(xí)曲線”.設(shè)制造第1架飛機(jī)需要用k個工時,進(jìn)步率為r,試求出制造第x架飛機(jī)與需用的工時數(shù)y之間的函數(shù)表達(dá)式.【試題來源】滬教版(2020)必修第一冊達(dá)標(biāo)檢測第五章5.3函數(shù)的應(yīng)用【答案】【解析】由題意,可知第1架用k個工時,第2架用kr個工時,第架用個工時,……第架用個工時.令,則,因此,所以制造第x架飛機(jī)與需用的工時數(shù)y之間的函數(shù)表達(dá)式為.20.(12分)設(shè)正整數(shù)a、b、c滿足:對任意的正整數(shù)n,都有成立.(1)求證:;(2)求出所有滿足題設(shè)的a、b、c的值.【試題來源】滬教版(2020)必修第一冊達(dá)標(biāo)檢測第三章章測試【答案】(1)證明見解析,(2)【解析】(1)當(dāng)時,,則.因?yàn)?,所以,所以,即成立.?)不妨設(shè),易得.若,則,,故,解得,與n為任意的正整數(shù)矛盾.若,則.故,,從而.因?yàn)椋曰?.當(dāng)時,,而,矛盾,故舍去;當(dāng)時,,從而,,所以21.(12分)函數(shù).(1)當(dāng)時,求函數(shù)在區(qū)間上的最值;(2)已知方程的兩個實(shí)數(shù)根,,滿足,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【試題來源】廣東省深圳市深圳中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中【答案】(1)最小值為-5,最大值為-1,(2)【解析】(1)設(shè),由可得,故所求即為在上的最值,該函數(shù)為開口向上的二次函數(shù),且對稱軸為故的最小值為,最大值為,所以,當(dāng)時,取得最小值為;當(dāng)時,取得最大值為.(2)所求即為方程的兩個實(shí)數(shù)根,,滿足,設(shè)可得,即,解得,實(shí)數(shù)的取值范
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