3.2.2 雙曲線的簡單幾何性質(分層練習)(解析版)

第三章圓錐曲線的方程3.2.2雙曲線的簡單幾何性質精選練習基礎篇基礎篇雙曲線y2?x2mA．9 B．－9 C．19 D．【答案】C【分析】根據雙曲線的方程，求得a=1,b=m【詳解】由雙曲線y2?x2m因為雙曲線的實軸長是虛軸長的3倍，可得a=3b，即1=3m，解得m=直線l與雙曲線x2?y24=1交于A、B兩點，線段AB的中點為A．3 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】利用點差法計算即可.【詳解】設Ax則有x1化簡得y1+y2x已知F為雙曲線C：x2?y23=1的一個焦點，則點A．3 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】先求焦點，再用點到直線的距離公式即可.【詳解】由雙曲線的標準方程得c=所以F坐標為2,0或?2,0，漸近線方程為y=±3x，所求距離d=已知頂點在x軸上的雙曲線實軸長為4，其兩條漸近線方程為2x±y=0，該雙曲線的焦點為（

）A．±23,0 C．±25,0 【答案】C【分析】設雙曲線方程為x2a2?y【詳解】設雙曲線方程為x2因為雙曲線實軸長為4，漸近線方程為2x±y=0，所以2a=4ba=2，解得a=2，b=4所以該雙曲線的焦點為±25已知F1,F2分別為雙曲線E:x2a2?y2A．y=±2x B．y=±12x C．y=±【答案】C【分析】由已知條件結合雙曲線的定義可得b=3【詳解】依題，F1F2根據雙曲線的定義||F又b2=c2?所以其漸近線方程為y=±3故選：C已知雙曲線C:x216?y29=1的左焦點為F，過原點O的直線與C的右支交于點A，若A．95 B．125 C．3【答案】A【分析】由△OAF為等腰三角形，可得OF=OA，證得AF⊥AF'，有AF2+AF'【詳解】設雙曲線C的右焦點為F'，由題意可得a=4,b=3,c=a2則有F?5,0，F'若△OAF為等腰三角形，則OF=OA（線段OF與所以OA=12FF'，又則有AF2由雙曲線的定義得AF?所以AF?設點A到x軸的距離為h，則h=AF在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線E：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的右焦點為F，過F作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為M，直線A．2 B．2 C．3 D．3【答案】B【分析】根據雙曲線的性質結合等腰三角形的角度關系求解即可；【詳解】如圖所示，由題意可知，∠AOF=∠COF1又因為若M是FN的中點，OM⊥FN,所以∠AOF=∠AOC,所以3∠AOF=π，∠AOF=根據雙曲線的性質，雙曲線的漸近線方程為：y=±OF=c，tan∠AOF=ba因為a2+b2過原點的直線l與雙曲線E：x2a2?y2b2=1a>0,b>0交于A，B兩點（點A在第一象限），AC⊥x交x軸于A．y=±2x B．y=±12x C．y=±【答案】D【分析】由題可設，A(x0,y0【詳解】因為A,B直線過原點，所以A,B關于原點對稱，設A(x因為AC與x軸垂直，所以C(x0設kAB則k1而k所以，k1所以，a2=2b2,a=2已知雙曲線x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左焦點為F1，O為坐標原點，右焦點為F22,0A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據右焦點為F22,0，得到F1F2=4，進而得到PF【詳解】解：因為右焦點為F22,0，所以又因為F1F2又因為F1F2所以O為坐標原點，且M為線段PF2的中點，所以OM已知雙曲線E：y2a2?x2b2=1（a>0，b>0【答案】1,【分析】確定雙曲線的漸近線方程，由題意可得關于a,b的不等關系，即可求得離心率范圍.【詳解】因為雙曲線E:y2a2?x2因為，要使直線y=±2x與E無公共點，則ab所以，0<ba所以滿足條件的離心率的范圍是1,提升篇提升篇（多選）已知雙曲線C:x2?y216=1A．雙曲線C的離心率為17B．焦點到漸近線的距離為4C．左右焦點分別為F1,F2，若|PD．若左、右頂點分別為A,B，當P與A,B不重合時，直線PA與直線PB的斜率之積為16【答案】ABD【分析】根據方程求出a,b,c的值，求出離心率；得出漸近線以及焦點坐標.結合點到直線的距離，即可得出B；根據雙曲線的定義，結合雙曲線的范圍，即可判斷C項；表示出直線PA與直線PB的斜率，結合雙曲線的方程，即可得出D項.【詳解】

由已知可得，a2=1，a=1，b2=16，b=4，所以選項A：e=c選項B：雙曲線的一條漸近線方程為4x?y=0，右焦點坐標為17,0∴焦點到漸近線的距離為d=417選項C：∵根據雙曲線的定義可得PF∴PF2=2∵PF2>c?a=選項D：設Px0,y0則kPA故選：ABD.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左?右焦點分別為F1,F2，過F1斜率為4A．13 B．233 【答案】D【分析】求得P點坐標，根據直線PF【詳解】由于線段PF1與y軸的交點恰為PF1的中點，且O所以PF2⊥F1則Pc,b2a，而8ac=3c兩邊除以a2得3e2?8e?3=0，解得e=3或（多選）已知雙曲線C:x2a2?y2a2+3=1(a>0)A．C的離心率為5B．若PF1C．若PF1=2PFD．點P到C的兩條漸近線的距離之積為4【答案】ACD【分析】首先根據題意得到雙曲線C:x2?y24=1，對選項A，根據e=ca求解即可，對選項B，根據題意得到x【詳解】因為F1F2所以a2+a2+3=5對于A，a=1,c=5雙曲線C的離心率e=對于B，由題可得F1?5所以xP=?5，則5?yP對于C，因為PF1=2PF

所以PF12+P對于D，設Px0,因為雙曲線C的漸近線方程為x?y2=0所以點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積為x0故選ACD．已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的右焦點為F，過F作直線分別與雙曲線的兩漸近線相交于A．2 B．3 C．2 D．5【答案】B【分析】由已知得OB⊥BF，BF=b，OB=a，利用【詳解】雙曲線的右焦點為Fc,0，漸近線方程為bx±ay=0，OB?BF=0，則有OB⊥BF，FOF=c，BF=b，∴OB=a則tan∠AOB=2ba，tan∠FOB=b由∠AOB=π?2∠FOB，有tan∠AOB+tan2∠FOB=0，即2ba解得ba2=2，則有c2a已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0），斜率為?3的直線l過原點O且與雙曲線C交于A．3+12 B．3+1 C．2【答案】B【分析】先由雙曲線與直線對稱性，得四邊形PFQF【詳解】設雙曲線C的左焦點F，右焦點為F'，P為第二象限上的點，連接PF，PF'根據雙曲線的性質和直線l的對稱性知，四邊形PFQF'因為以PQ為直徑的圓經過雙曲線的一個焦點，所以PF⊥QF，即四邊形PFQF由直線l的斜率為?3，得∠POF=又PO=FO=c，則△POF在Rt△PFQ中，PQ=2c，則FQ=3c，故又由雙曲線定義知PF'?|PF|=2a則e=ca=已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)右支上非頂點的一點A關于原點的對稱點為B,FA．1,2 B．2,2 C．2,+【答案】C【分析】作出對應的圖象，設雙曲線的左焦點為F'，連接AF'，BF'，則四邊形AFBF'為矩形．因此|AB=|F【詳解】如圖所示，設雙曲線的左焦點為F'，連接AF'因為AF⊥FB，則四邊形AFBF'為矩形，所以則|AF|=2csinα，|BF|=2ccosα．∵|AF'|?|AF|=2a．∴2ccosα?2csinα=2a．即c(cosα?sinα)=a，則e=ca因為α∈π12,可得cosα+π4所以e=1即雙曲線離心率的取值范圍是2,+∞已知F1,F2是雙曲線C:x2a2?y2b2A．2 B．3 C．2 D．2【答案】A【分析】設AF2=BF2=m【詳解】如圖，過F2作AB⊥F2N設AF2=BF∴AB=BF1?由題意知∠BF1F2=F1N=在Rt△ANF2中,AN2+N∴雙曲線C的離心率為2.故選：A.直線l過圓M:(x?4)2+y2=1的圓心，且與圓相交于A,B兩點，P為雙曲線A．?2 B．1 C．2 D．0【答案】D【分析】求出圓的圓心的坐標，結合平面向量的混合運算法則推出PA?【詳解】圓M:(x?4)2+設P(x0,y0)，在雙曲線所以PA?=(x0對稱軸為x=9因為x0≥3，所以當x0=3時，故選：D．（多選）已知雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為A．e=5 B．e=2 C．b=5a【答案】BCD【分析】利用同角三角函數基本關系式、雙曲線定義、雙曲線性質、余弦定理、離心率公式運算即可得解.【詳解】解：當∠F1PF∵PF1=2∴cos∠F∴解得：c2=4a2，∴∴a2當∠F1PF∵PF1=2∴cos∠F∴解得：c2=6a2，∴∴a2+b故選：BCD.已知F1，F2分別為雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點，C的離心率為2，過F1且傾斜角為120°的直線l與【答案】6【分析】由題意可得a=b，C的漸近線方程為y=±x，△ABF2的內切圓的半徑為r=6，結合雙曲線的定義可得AB=4a【詳