北師大版必修一課后作業(yè)第三章指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)1

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解正整數(shù)指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景.2.了解正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的概念.3.理解具體的正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像特征及其單調(diào)性．知識(shí)點(diǎn)一正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的概念思考定義在N＋上的函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下，試寫出其解析式，并指出自變量位置.x12345678…y248163264128256…答案y＝2x，x∈N＋，自變量在指數(shù)上．梳理正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整數(shù)指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是正整數(shù)集N＋.知識(shí)點(diǎn)二正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像特征及其單調(diào)性思考比較eq\f(1,2)，(eq\f(1,2))2，(eq\f(1,2))3的大小，你有什么發(fā)現(xiàn)？答案eq\f(1,2)>(eq\f(1,2))2>(eq\f(1,2))3，對(duì)于y＝(eq\f(1,2))x，x∈N＋，x越大，y越?。崂砗瘮?shù)y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)圖像是散點(diǎn)圖，當(dāng)a>1時(shí)，在定義域上遞增；當(dāng)0<a<1時(shí)，在定義域上遞減．知識(shí)點(diǎn)三指數(shù)型函數(shù)思考y＝3·2x，x∈N＋是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)嗎？答案不是，正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的系數(shù)為1.梳理形如y＝kax(k∈R，a>0，且a≠1)的函數(shù)稱為指數(shù)型函數(shù)，在實(shí)際問題中，經(jīng)常會(huì)遇到類似的指數(shù)增長模型．類型一正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的概念eq\x(命題角度1判斷是否為正整數(shù)指數(shù)函數(shù))例1下列表達(dá)式是否為正整數(shù)指數(shù)函數(shù)？(1)y＝1x；(2)y＝(－2)x；(3)y＝3－x(x∈R)；(4)y＝ex(x∈N＋)．解(1)(2)底數(shù)不符合，要大于0且不等于1，(3)中y＝3－x＝(eq\f(1,3))x，但定義域不符合，所以只有(4)為正整數(shù)指數(shù)函數(shù)．反思與感悟判斷函數(shù)是否為正整數(shù)指數(shù)函數(shù)，應(yīng)注意函數(shù)形式是否符合，特別還應(yīng)看定義域是否為正整數(shù)集．跟蹤訓(xùn)練1下列函數(shù)中是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的是()A．y＝－2x，x∈N＋B．y＝2x，x∈RC．y＝x2，x∈N＋D．y＝(eq\f(1,2))x，x∈N＋答案D解析結(jié)合正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義可知選D.eq\x(命題角度2根據(jù)正整數(shù)指數(shù)函數(shù)概念求參數(shù))例2已知正整數(shù)指數(shù)函數(shù)f(x)＝(a－2)·ax，則f(2)等于()A．2B．3C．9D．16答案C解析∵f(x)是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2＝1，,a>0且a≠1，))∴a＝3，f(x)＝3x.∴f(2)＝32＝9.反思與感悟解此類題的關(guān)鍵是找到參數(shù)應(yīng)滿足的條件．跟蹤訓(xùn)練2函數(shù)y＝(1－3a)x是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)，則a應(yīng)滿足________．答案a<eq\f(1,3)，且a≠0解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3a>0，,1－3a≠1，))解得a<eq\f(1,3)，且a≠0.類型二正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)例3比較下面兩個(gè)正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)．(1)y＝2x(x∈N＋)；(2)y＝0.95x(x∈N＋)．解列表比較如下：函數(shù)y＝2x(x∈N＋)y＝0.95x(x∈N＋)圖像定義域正整數(shù)集N＋單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)圖像特征由一群孤立的點(diǎn)組成反思與感悟通過列表、描點(diǎn)畫圖，即可得到正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像，由于定義域?yàn)檎麛?shù)集，所以不需要連成光滑曲線，圖像就是由一群孤立的點(diǎn)組成．跟蹤訓(xùn)練3作出下列函數(shù)(x∈N＋)的圖像．(1)y＝3x；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x.解(1)(2)類型三正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用例4某種儲(chǔ)蓄按復(fù)利計(jì)算利息，若本金為a元，每期利率為r，設(shè)存期是x，本利和(本金加上利息)為y元．(1)寫出本利和y隨存期x變化的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果存入本金1000元，每期利率為2.25%，試計(jì)算5期后的本利和．解(1)已知本金為a元，利率為r，則1期后的本利和為y＝a＋a×r＝a(1＋r)，2期后的本利和為y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，3期后的本利和為y＝a(1＋r)3，x期后的本利和為y＝a(1＋r)x，x∈N＋，即本利和y隨存期x變化的函數(shù)關(guān)系式為y＝a(1＋r)x，x∈N＋.(2)將a＝1000(元)，r＝2.25%，x＝5代入上式，得y＝1000×(1＋2.25%)5＝1000×1.02255≈1117.68(元)，即5期后本利和約為1117.68元．反思與感悟建立實(shí)際問題的函數(shù)模型關(guān)鍵是獲得數(shù)據(jù)，并根據(jù)數(shù)據(jù)歸納規(guī)律．跟蹤訓(xùn)練4一個(gè)人喝了少量酒后血液中酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時(shí)50%的速度減少．為了保障交通安全，某地交通規(guī)則規(guī)定，駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.08mg/mL.問喝了少量酒的駕駛員，至少過幾小時(shí)才能駕駛？(精確到1小時(shí))解1小時(shí)后駕駛員血液中的酒精含量為0.3(1－50%)mg/mL，x小時(shí)后其酒精含量為0.3(1－50%)xmg/mL.由題意知：0.3(1－50%)x≤0.08，(eq\f(1,2))x≤eq\f(4,15).采用估算法，當(dāng)x＝1時(shí)，(eq\f(1,2))1＝eq\f(1,2)>eq\f(4,15)；當(dāng)x＝2時(shí)，(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,4)＝eq\f(4,16)<eq\f(4,15).由于y＝(eq\f(1,2))x是減函數(shù)，所以滿足要求的x的最小整數(shù)為2，故至少過2小時(shí)駕駛員才能駕駛．1．下列函數(shù)：①y＝3x3(x∈N＋)；②y＝5x(x∈N＋)；③y＝3x＋1(x∈N＋)；④y＝(a－3)x(a>3，x∈N＋)．其中正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3答案B2．當(dāng)x∈N＋時(shí)，函數(shù)y＝(a－1)x的值總大于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．1<a<2 B．a(chǎn)<1C．a(chǎn)>1 D．a(chǎn)>2答案D解析在y＝(a－1)x中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1.而x∈N＋時(shí)，y>1，則必有a－1>1，∴a>2，故選D.3．某商品的價(jià)格前兩年每年遞增20%，后兩年每年遞減20%，則四年后的價(jià)格與原來價(jià)格比較，變化情況是()A．增加7.84% B．減少7.84%C．減少9.5% D．不增不減答案B解析設(shè)商品原價(jià)為a，兩年后價(jià)格為a(1＋20%)2，四年后價(jià)格為a(1＋20%)2(1－20%)2＝a(1－0.04)2＝0.9216a，∴eq\f(a－0.9216a,a)×100%＝7.84%，故選B.4．函數(shù)y＝(eq\f(1,3))x(x∈N＋)的值域是()A．R B．正實(shí)數(shù)C．N D．{eq\f(1,3)，eq\f(1,32)，eq\f(1,33)，…}答案D5．正整數(shù)指數(shù)函數(shù)f(x)＝(a－2)(2a)x(x∈N＋)在定義域N＋上是________的．(填“增加”或“減少”)答案增加解析∵f(x)＝(a－2)(2a)x是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)，∴a－2＝1，且2a>0,2a≠1，∴a＝3，∴f(x)＝6x，x∈N＋.∵6>1，∴f(x)在N＋上是增加的．1．判斷函數(shù)是否為正整數(shù)指數(shù)函數(shù)，應(yīng)注意函數(shù)形式和定義域是否為正整數(shù)集．2．當(dāng)a>1時(shí)是增函數(shù)．3．當(dāng)0<a<1時(shí)是減函數(shù)．4．正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像是一些孤立的點(diǎn)．課時(shí)作業(yè)一、選擇題1．下列函數(shù)：①y＝4x2，②y＝6x，③y＝32x，④y＝32x，⑤y＝2x＋1.(以上各函數(shù)定義域?yàn)閤∈N＋)其中正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3答案C解析只有②③符合題意．2．函數(shù)f(x)＝(eq\f(1,4))x，x∈N＋，則f(2)等于()A．2 B．8C．16 D.eq\f(1,16)答案D解析∵f(x)＝(eq\f(1,4))x，x∈N＋，∴f(2)＝(eq\f(1,4))2＝eq\f(1,16).3．函數(shù)y＝(eq\f(3,8))x，x∈N＋是()A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．增函數(shù) D．減函數(shù)答案D解析因?yàn)檎麛?shù)指數(shù)函數(shù)y＝(eq\f(3,8))x，x∈N＋的底數(shù)eq\f(3,8)小于1，所以此函數(shù)是減函數(shù)．4．中心城區(qū)現(xiàn)有綠化面積為1000hm2，計(jì)劃每年增長4%，經(jīng)過x(x∈N＋)年，綠化面積為yhm2，則x，y間的函數(shù)關(guān)系為()A．y＝1000(1＋4%)x(x∈N＋)B．y＝(1000×4%)x(x∈N＋)C．y＝1000(1－4%)x(x∈N＋)D．y＝1000(4%)x(x∈N＋)答案A5．正整數(shù)指數(shù)函數(shù)f(x)＝(a＋1)x是N＋上的減函數(shù)，則a的取值范圍是()A．a(chǎn)<0 B．－1<a<0C．0<a<1 D．a(chǎn)<－1答案B解析∵函數(shù)f(x)＝(a＋1)x是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)，且f(x)為減函數(shù)，∴0<a＋1<1，∴－1<a<0.6．函數(shù)y＝3×2x－3，x∈N＋，且x∈[0,4]，則y的值域是()A．{－3,3,9,21,45} B．{3,9,21,45}C．{0,3,9,21,45} D．{－3,0,3,9,21,45}答案B解析∵x∈N＋且x∈[0,4]，∴x＝1,2,3,4，故值域?yàn)閧3,9,21,45}．7．預(yù)測人口的變化趨勢有多種方法，最常用的是“直接推算法”，使用的公式是Pn＝P0(1＋K)n(K為常數(shù))，其中Pn為預(yù)測期內(nèi)n年后的人口數(shù)，P0為初期人口數(shù)，K為預(yù)測期內(nèi)的年增長率，若－1<K<0，則在這期間人口數(shù)()A．呈上升趨勢B．呈下降趨勢C．呈先上升再下降的趨勢D．呈先下降再上升的趨勢答案B解析P0>0,0<1＋K<1，∴Pn＝P0(1＋K)n是減少的．二、填空題8．當(dāng)x∈N＋時(shí)，用“>”“<”或“＝”填空．(eq\f(1,2))x________1,2x________1，(eq\f(1,2))x________2x，(eq\f(1,2))x________(eq\f(1,3))x,2x________3x.答案<><><解析∵x∈N＋，∴(eq\f(1,2))x<1,2x>1.∴2x>(eq\f(1,2))x.又根據(jù)對(duì)其圖像的研究，知2x<3x，(eq\f(1,2))x>(eq\f(1,3))x.也可以代入特殊值比較大小．9．已知不等式(a2＋a＋2)2x>(a2＋a＋2)x＋8，其中x∈N＋，使此不等式成立的x的最小整數(shù)值是________．答案9解析∵a2＋a＋2＝(a＋eq\f(1,2))2＋eq\f(7,4)>1，且x∈N＋，∴可以利用正整數(shù)指數(shù)函數(shù)在底數(shù)大于1時(shí)遞增的性質(zhì)，得2x>x＋8，即x>8，∴使此不等式成立的x的最小整數(shù)值為9.10．有濃度為a%的酒精一滿瓶共m升，每次倒出n升，再用水加滿，一共倒了10次，則加了10次水后瓶中的酒精濃度是________．答案(1－eq\f(n,m))10a%解析第1次加滿水后，瓶中酒精的濃度為(1－eq\f(n,m))·a%，第2次加滿水后，瓶中酒精的濃度為(1－eq\f(n,m))(1－eq\f(n,m))a%＝(1－eq\f(n,m))2a%，依次可得第x次加滿水后，瓶中酒精的濃度為(1－eq\f(n,m))x·a%(x∈N＋)．三、解答題11．有關(guān)部門計(jì)劃于2017年向某市投入128輛電力型公交車，且隨后電力型公交車每年的投入量比上一年增加50%，試問，該市在2023年應(yīng)投入多少輛電力型公交車？解由題意知，在2018年應(yīng)投入電力型公交車的數(shù)量為128×(1＋50%)；在2019年應(yīng)投入的數(shù)量為128×(1＋50%)(1＋50%)＝128×(1＋50%)2；…故在2023年應(yīng)投入電力型公交車的數(shù)量為128×(1＋50%)6，即128×(eq\f(3,2))6＝1458(輛)．答該市在2023年應(yīng)投入1458輛電力型公交車．12．對(duì)于五年可成材的樹木，在此期間的年生長率為18%，以后的年生長率為10%，樹木成材后，既可以出售重栽也可以讓其繼續(xù)生長．問哪一種方案可獲得較大的木材量？(只需考慮十年的情形)解設(shè)新樹苗的木材量為Q，則十年后有兩種結(jié)果：①連續(xù)生長十年，木材量N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5；②生長五年后重栽，木材量M＝2Q(1＋18%)5，則eq\f(M,N)＝eq\f(2,1＋10%5)，因?yàn)?1＋10%)5≈1.61<2，所以eq\f(M,N)>1，即M>N.因此，生長五年后重栽可獲得較大的木材量．