寒假作業(yè)12三角形中的倒角模型（16道經(jīng)典題型4道中考真題）（原卷版）-2024年八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)練（人教版）

限時(shí)練習(xí)：40min完成時(shí)間：月日天氣：寒假作業(yè)12三角形中的倒角模型近年來(lái)各地中考和模擬考中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）.本節(jié)就三角形中的倒角模型（“8”字模型、“A”字模型、燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏（鷹爪）模型、高分線模型、雙垂直模型、雙角平分線等）進(jìn)行專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練，方便同學(xué)們熟練掌握.1．如圖，在中，分別是邊上的高，并且交于點(diǎn)P，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．2．如圖，將沿著DE翻折，使B點(diǎn)與B'點(diǎn)重合，若∠1+∠2=80°，則∠B的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°3．如圖，在四邊形中，，的平分線與的平分線交于點(diǎn)P，則（

）A． B． C． D．4．如圖，在中，，平分，若，，則（）A． B． C． D．5．如圖，在中，，于點(diǎn)D，的平分線BE交AD于F，交AC于E，若，，則_____________．6．如圖，∠ABD的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)E，∠A=80°，則∠E的度數(shù)是_____.7．如圖，在中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝11，則線段MN的長(zhǎng)為．8．如圖1，已知線段相交于點(diǎn)O，連接，則我們把形如這樣的圖形稱(chēng)為“8字型”．(1)求證：；(2)如圖2，若和的平分線和相交于點(diǎn)P，且與分別相交于點(diǎn)．①若，求的度數(shù)；②若角平分線中角的關(guān)系改為“”，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系．9．利用“模型”解決幾何綜合問(wèn)題往往會(huì)取得事半功倍的效果．幾何模型：如圖（1），我們稱(chēng)它為“A”型圖案，易證明：∠EDF=∠A+∠B+∠C.應(yīng)用上面模型解決問(wèn)題：(1)如圖（2），“五角星”形，求的度數(shù).分析：圖中是“A”型圖，于是，所以=

___.(2)如圖（3），“七角星”形，求的度數(shù).(3)如圖（4），“八角星”形，可以求得=______.10．如圖，在中，，三角形兩外角的角平分線交于點(diǎn)E，則．11．如圖，在中，，分別是的高和角平分線．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出與，的關(guān)系．12．已知，如圖，在中，，，分別在邊，上，，相交于點(diǎn)．(1)給出下列信息：①；②是的角平分線；③是的高．請(qǐng)你用其中的兩個(gè)事項(xiàng)作為條件，余下的事項(xiàng)作為結(jié)論，構(gòu)造一個(gè)真命題，并給出證明；條件：______，結(jié)論：______．（填序號(hào)）證明：(2)在（1）的條件下，若，求的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）13.在中，D是邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)時(shí)，_____；(2)如圖2，當(dāng)平分時(shí)，若，，求的值（用含m、n的式子表示）；(3)如圖3，平分，延長(zhǎng)到E，使得，連接，若，求的值．14．請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：有趣的“飛鏢圖”：如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱(chēng)它為“飛鏢圖”．當(dāng)我們仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)，它實(shí)際上就是凹四邊形．那么它具有哪些性質(zhì)呢？又將怎樣應(yīng)用呢？下面我們進(jìn)行認(rèn)識(shí)與探究：凹四邊形通俗地說(shuō)，就是一個(gè)角“凹”進(jìn)去的四邊形，如圖1，且∠ADB=∠A＋∠B＋∠C.理由如下：方法一：如圖2，連接AB，則在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如圖3，連接CD并延長(zhǎng)至F，∵∠1和∠3分別是△ACD和△BCD的一個(gè)外角，......大家在探究的過(guò)程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論，你有自己的方法嗎？任務(wù)：(1)填空：“方法一”主要依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是___________；(2)探索：根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫(xiě)出該證明過(guò)程的剩余部分；(3)應(yīng)用：如圖4，AE是∠CAD的平分線，BF是∠CBD的平分線，AE與BF交于G，若∠ADB=150°，∠AGB=110°，請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠C的大?。?5．我們將內(nèi)角互為對(duì)頂角的兩個(gè)三角形稱(chēng)為“對(duì)頂三角形”．例如，在圖1中，的內(nèi)角與的內(nèi)角互為對(duì)頂角，則與為對(duì)頂三角形，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知“對(duì)頂三角形”有如下性質(zhì)：．（1）【性質(zhì)理解】如圖2，在“對(duì)頂三角形”與中，，，求證：；（2）【性質(zhì)應(yīng)用】如圖3，在中，點(diǎn)D、E分別是邊、上的點(diǎn)，，若比大20°，求的度數(shù)；（3）【拓展提高】如圖4，已知，是的角平分線，且和的平分線和相交于點(diǎn)P，設(shè)，求的度數(shù)（用表示）．16．認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問(wèn)題.探究1：如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，分析發(fā)現(xiàn)，理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC、∠ACB的角平分線，∴，，∴，∴.（1）探究2：如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）探究3：如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？（直接寫(xiě)出結(jié)論）（3）拓展：如圖4，在四邊形ABCD中，O是∠ABC與∠DCB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A+∠D有怎樣的關(guān)系？（直接寫(xiě)出結(jié)論）（4）運(yùn)用：如圖5，五邊形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分別是∠FCD、∠GDC，CP、DP分別平分∠FCD和∠GDC且相交于點(diǎn)P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，則∠CPD=_____度．17．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，旋轉(zhuǎn)角為，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊上，若，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．18．（2021·河北·中考真題）如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），與的交點(diǎn)為，且，，保持不變．為了舒適，需調(diào)整的大小，使，則圖中應(yīng)（填“增加”或“減少”）度．19．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，中，，，射線從射線開(kāi)始繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，與射線相交于點(diǎn)D，將沿射線翻折至處，射線與射線相交于點(diǎn)E．若是等腰三角形，則的度數(shù)為．20．（2022·山東青島·中考真題）【圖形定義】有一條高線相等的兩個(gè)三角形稱(chēng)為等高三角形．例如：如圖①．在和中，分別是和邊上的高線，且，則和是等高三角形．【性質(zhì)探究