高考數(shù)學（文）一輪復習教師用書第七章第一節(jié)空間幾何體的結構特征及三視圖與直觀圖

第一節(jié)空間幾何體的結構特征及三視圖與直觀圖1．簡單幾何體(1)多面體的結構特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且相等多邊形互相平行側棱平行且相等相交于一點，但不一定相等延長線交于一點側面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉體的結構特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點延長線交于一點軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形eq\a\vs4\al(圓)側面展開圖矩形扇形扇環(huán)2．直觀圖(1)畫法：常用斜二測畫法．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?．三視圖(1)幾何體的三視圖包括正視圖、側視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線．說明：正視圖也稱主視圖，側視圖也稱左視圖．(2)作、看三視圖的3原則①位置原則：②度量原則：長對正、高平齊、寬相等(即正俯同長、正側同高、俯側同寬)．③虛實原則：輪廓線——現(xiàn)則實、隱則虛．1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．()(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()(3)棱臺是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分．()(4)夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是圓柱．()(5)上下底面是兩個平行的圓面的旋轉體是圓臺．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．用一個平行于水平面的平面去截球，得到如圖所示的幾何體，則它的俯視圖是()解析：選B俯視圖中顯然應有一個被遮擋的圓，所以內圓是虛線，故選B.3．若一個三棱柱的三視圖如圖所示，其俯視圖為正三角形，則這個三棱柱的高和底面邊長分別為()A．2,2eq\r(3) B．2eq\r(2)，2C．4,2 D．2,4解析：選D由三視圖可知，正三棱柱的高為2，底面正三角形的高為2eq\r(3)，故底面邊長為4，故選D.4．(教材習題改編)如圖，長方體ABCD-A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是________，截去的幾何體是______．答案：五棱柱三棱柱5．利用斜二測畫法得到的①三角形的直觀圖一定是三角形；②正方形的直觀圖一定是菱形；③等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形；④菱形的直觀圖一定是菱形．以上結論正確的個數(shù)是________．解析：由斜二測畫法的規(guī)則可知①正確；②錯誤，是一般的平行四邊形；③錯誤，等腰梯形的直觀圖不可能是平行四邊形；而菱形的直觀圖也不一定是菱形，④也錯誤，故結論正確的個數(shù)為1.答案：1eq\a\vs4\al(考點一空間幾何體的結構特征)eq\a\vs4\al(基礎送分型考點——自主練透)[考什么·怎么考]空間幾何體的結構特征是立體幾何的基礎知識，很少單獨考查.多作為載體與三視圖、表面積、體積等綜合考查，題型為選擇題或填空題，難度較低.1．用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體一定是()A．圓柱 B．圓錐C．球體 D．圓柱、圓錐、球體的組合體解析：選C截面是任意的且都是圓面，則該幾何體為球體．2．給出下列幾個命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②底面為正多邊形，且有相鄰兩個側面與底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱臺的上、下底面可以不相似，但側棱長一定相等．其中正確命題的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選B①錯誤，只有這兩點的連線平行于軸時才是母線；②正確；③錯誤，棱臺的上、下底面是相似且對應邊平行的多邊形，各側棱延長線交于一點，但是側棱長不一定相等．3．給出下列命題：①棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形；②若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則其三個側面也兩兩垂直；③在四棱柱中，若兩個過相對側棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；④存在每個面都是直角三角形的四面體．其中正確命題的序號是________．解析：①不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側面都是平行四邊形，但不一定全等；②正確，若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則三個側面構成的三個平面的二面角都是直二面角；③正確，因為兩個過相對側棱的截面的交線平行于側棱，又垂直于底面；④正確，如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC，四個面都是直角三角形．答案：②③④[怎樣快解·準解]空間幾何體概念辨析題的常用方法定義法緊扣定義，由已知構建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素，根據(jù)定義進行判定．反例法通過反例對結構特征進行辨析，即要說明一個結論是錯誤的，只要舉出一個反例即可.eq\a\vs4\al(考點二空間幾何體的直觀圖)eq\a\vs4\al(基礎送分型考點——自主練透)[考什么·怎么考]單獨考查空間幾何體的直觀圖的題目很少，多與三視圖、表面積、體積等綜合考查，題型為選擇題或填空題，難度較低.1.用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個正方形，則原來的圖形是()解析：選A由直觀圖可知，在直觀圖中多邊形為正方形，對角線長為eq\r(2)，所以原圖形為平行四邊形，位于y軸上的對角線長為2eq\r(2).故選A.2．已知正三角形ABC的邊長為2，那么△ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為________．解析：如圖，圖①、圖②分別表示△ABC的實際圖形和直觀圖．從圖②可知，A′B′＝AB＝2，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),2)，C′D′＝O′C′sin45°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),4).所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(6),4)＝eq\f(\r(6),4).答案：eq\f(\r(6),4)3.用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y′軸，BC，AD平行于x′軸．已知四邊形ABCD的面積為2eq\r(2)cm2，則原平面圖形的面積為解析：依題意可知∠BAD＝45°，則原平面圖形為直角梯形，上下底的長分別與BC，AD相等，高為梯形ABCD的高的2eq\r(2)倍，所以原平面圖形的面積為8cm2.答案：8[怎樣快解·準解]1．原圖形與直觀圖中的“三變”與“三不變”(1)“三變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(坐標軸的夾角改變,與y軸平行的線段的長度改變減半,圖形改變))(2)“三不變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行性不變,與x軸平行的線段長度不變,相對位置不變))2．原圖形與直觀圖面積的關系按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關系：(1)S直觀圖＝eq\f(\r(,2),4)S原圖形；(2)S原圖形＝2eq\r(,2)S直觀圖．eq\a\vs4\al(考點三空間幾何體的三視圖)eq\a\vs4\al(題點多變型考點——追根溯源)eq\x(\a\al(空間幾何體的三視圖的辨析是高考的熱點內容，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).,常見的命題角度有：,1已知幾何體，識別三視圖；,2已知三視圖，判斷幾何體；,3已知幾何體的三視圖中的某兩個視圖，確定另一種視圖.))[題點全練]角度(一)已知幾何體，識別三視圖1.(2018·河北衡水中學調研)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點，用過點A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的側視圖為()解析：選C如圖所示，過點A，E，C1的截面為AEC1F，則剩余幾何體的側視圖為選項C[題型技法]識別三視圖的步驟(1)弄清幾何體的結構特征及具體形狀、明確幾何體的擺放位置；(2)根據(jù)三視圖的有關定義和規(guī)則先確定正視圖，再確定俯視圖，最后確定側視圖；(3)被遮住的輪廓線應為虛線，若相鄰兩個物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線；對于簡單的組合體，要注意它們的組合方式，特別是它們的交線位置．角度(二)已知三視圖，判斷幾何體2．(2017·北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為()A．3eq\r(2) B．2eq\r(3)C．2eq\r(2) D．2解析：選B在正方體中還原該四棱錐如圖所示，從圖中易得最長的棱為AC1＝eq\r(AC2＋CC\o\al(2,1))＝eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3).[題型技法]由三視圖確定幾何體的3步驟熟練掌握規(guī)則幾何體的三視圖是三視圖還原幾何體的基礎，在明確三視圖畫法規(guī)則的基礎上，按以下步驟可輕松解決此類問題：角度(三)已知幾何體三視圖中的某兩個視圖，確定另外一個視圖3．如圖，一個三棱柱的正視圖和側視圖分別是矩形和正三角形，則這個三棱柱的俯視圖為()解析：選D由正視圖和側視圖可知，這是一個水平放置的正三棱柱．故選D.[題型技法]由幾何體的部分視圖畫出剩余視圖的方法解決此類問題，可先根據(jù)已知的一部分視圖，還原、推測直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分視圖的可能形式．當然作為選擇題，也可將選項逐項代入檢驗．[題“根”探求]根據(jù)幾何體的三視圖判斷幾何體的結構特征，常見的有以下幾類三視圖的形狀對應的幾何體三個三角形三棱錐兩個三角形，一個四邊形四棱錐兩個三角形，一個圓圓錐一個三角形，兩個四邊形三棱柱三個四邊形四棱柱兩個四邊形，一個圓圓柱[沖關演練]1．(2018·惠州調研)如圖所示，將圖①中的正方體截去兩個三棱錐，得到圖②中的幾何體，則該幾何體的側(左)視圖為()解析：選B從幾何體的左側看，對角線AD1在視線范圍內，故畫為實線，右側面的棱C1F不在視線范圍內，故畫為虛線，且上端點位于幾何體上底面邊的中點．故選2.(2018·石家莊質檢)一個三棱錐的正(主)視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(左)視圖可能為()解析：選D由題圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面ACD⊥平面BCD，故選D.3.(2017·全國卷Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為()A．10 B．12C．14 D．16解析：選B由三視圖可知該多面體是一個組合體，下面是一個底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一個底面是等腰直角三角形的三棱錐，等腰直角三角形的腰長為2，直三棱柱的高為2，三棱錐的高為2，易知該多面體有2個面是梯形，這些梯形的面積之和為eq\f(2＋4×2,2)×2＝12，故選B.(一)普通高中適用作業(yè)A級——基礎小題練熟練快1.如圖，△A′B′O′是利用斜二測畫法畫出的△ABO的直觀圖，已知A′B′∥y′軸，O′B′＝4，且△ABO的面積為16，過A′作A′C′⊥x′軸，則A′C′的長為()A．2eq\r(2) B.eq\r(2)C．16eq\r(2) D．1解析：選A因為A′B′∥y′軸，所以△ABO中，AB⊥OB.又因為△ABO的面積為16，所以eq\f(1,2)AB·OB＝16.因為OB＝O′B′＝4，所以AB＝8，所以A′B′＝4.因為A′C′⊥O′B′于C′，所以B′C′＝A′C′，所以A′C′＝4·sin45°＝2eq\r(2)，故選A.2．一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個俯視圖中正確的是()解析：選B由直觀圖可知，該幾何體由一個長方體和一個截角三棱柱組成．從上往下看，外層輪廓線是一個矩形，矩形內部是一條水平線段連接兩個三角形，故選B.3．若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是()解析：選D由三視圖知該幾何體的上半部分是一個三棱柱，下半部分是一個四棱柱．故選D.4.在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應的側視圖為()解析：選D由正視圖與俯視圖知，幾何體是一個三棱錐與半個圓錐的組合體，故側視圖為D.5.如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，點P是平面A1B1C1D1內一點，則三棱錐P-BCD的正視圖與側視圖的面積之比為(A．1∶1 B．2∶1C．2∶3 D．3∶2解析：選A根據(jù)題意，三棱錐P-BCD的正視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的底面邊長、高為正四棱柱的高；側視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的底面邊長、高為正四棱柱的高．故三棱錐P-BCD的正視圖與側視圖的面積之比為1∶1.6．某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是()A．2 B.eq\f(9,2)C.eq\f(3,2) D．3解析：選D根據(jù)三視圖判斷幾何體為四棱錐，其直觀圖如圖所示，則體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1＋2,2)×2×x＝3，解得x＝3，故選D.7．設有以下四個命題：①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；②底面是矩形的平行六面體是長方體；③直四棱柱是直平行六面體；④棱臺的相對側棱延長后必交于一點．其中真命題的序號是________．解析：命題①符合平行六面體的定義，故命題①是正確的；底面是矩形的平行六面體的側棱可能與底面不垂直，故命題②是錯誤的；因為直四棱柱的底面不一定是平行四邊形，故命題③是錯誤的；命題④由棱臺的定義知是正確的．答案：①④8．一個圓臺上、下底面的半徑分別為3cm和8cm，若兩底面圓心的連線長為12cm，則這個圓臺的母線長為________cm.解析：如圖，過點A作AC⊥OB，交OB于點C.在Rt△ABC中，AC＝12(cm)，BC＝8－3＝5(cm)．∴AB＝eq\r(122＋52)＝13(cm)．答案：139．已知正四棱錐V-ABCD中，底面面積為16，一條側棱的長為2eq\r(11)，則該棱錐的高為________．解析：如圖，取正方形ABCD的中心O，連接VO，AO，則VO就是正四棱錐V-ABCD的高．因為底面面積為16，所以AO＝2eq\r(2).因為一條側棱長為2eq\r(11).所以VO＝eq\r(\a\vs4\al(VA2－AO2))＝eq\r(44－8)＝6.所以正四棱錐V-ABCD的高為6.答案：610．已知某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖和側視圖都是矩形，俯視圖是正方形，在該幾何體上任意選擇4個頂點，以這4個點為頂點的幾何體的形狀給出下列命題：①矩形；②有三個面為直角三角形，有一個面為等腰三角形的四面體；③兩個面都是等腰直角三角形的四面體．其中正確命題的序號是________．解析：由三視圖可知，該幾何體是正四棱柱，作出其直觀圖為如圖所示的四棱柱ABCD-A1B1C1D1，當選擇的4個點是B1，B，C，C1時，可知①正確；當選擇的4個點是B，A，B1，C時，可知②正確；易知③不正確．答案：①②B級——中檔題目練通抓牢1．用若干塊相同的小正方體搭成一個幾何體，該幾何體的三視圖如圖所示，則搭成該幾何體需要的小正方體的塊數(shù)是()A．8 B．7C．6 D．5解析：選C畫出直觀圖可知，共需要6塊．2.將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側視圖為()解析：選B如圖所示，由正視圖和側視圖可知該幾何體是由長方體ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐B1-A1BC1得到的，故其側視圖為選項B.3．已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，則四棱錐P-ABCD的四個側面中面積最大的是()A．3 B．2eq\r(5)C．6 D．8解析：選C四棱錐如圖所示，取AD的中點N，BC的中點M，連接PM，PN，則PN＝eq\r(5)，PM＝3，S△PAD＝eq\f(1,2)×4×eq\r(5)＝2eq\r(5)，S△PAB＝S△PDC＝eq\f(1,2)×2×3＝3，S△PBC＝eq\f(1,2)×4×3＝6.所以四個側面中面積最大的是6.4．已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三個視圖都是直角三角形，則在該三棱錐的四個面中，直角三角形的個數(shù)為________．解析：由題意可知，該幾何體是三棱錐，將其放置在長方體中形狀如圖所示(圖中棱錐P-ABC)，利用長方體模型可知，此三棱錐的四個面全部是直角三角形．答案：45.如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為4m，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點P處．若該小蟲爬行的最短路程為4eq\解析：把圓錐側面沿過點P的母線展開成如圖所示的扇形，由題意OP＝4，PP′＝4eq\r(3)，則cos∠POP′＝eq\f(42＋42－4\r(3)2,2×4×4)＝－eq\f(1,2)，所以∠POP′＝eq\f(2π,3).設底面圓的半徑為r，則2πr＝eq\f(2π,3)×4，所以r＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)6．已知正三棱錐V-ABC的正視圖、側視圖和俯視圖如圖所示．(1)畫出該三棱錐的直觀圖；(2)求出側視圖的面積．解：(1)直觀圖如圖所示．(2)根據(jù)三視圖間的關系可得BC＝2eq\r(3)，∴側視圖中VA＝eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)×2\r(3)))2)＝2eq\r(3)，∴S△VBC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2eq\r(3)＝6.7.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直，下圖為該四棱錐的正視圖和側視圖，它們是腰長為6cm的全等的等腰直角三角形．(1)根據(jù)圖中所給的正視圖、側視圖，畫出相應的俯視圖，并求出該俯視圖的面積；(2)求PA.解：(1)該四棱錐的俯視圖為(內含對角線)邊長為6cm的正方形，如圖，其面積為36cm2.(2)由側視圖可求得PD＝eq\r(PC2＋CD2)＝eq\r(62＋62)＝6eq\r(2).由正視圖可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝eq\r(PD2＋AD2)＝eq\r(6\r(2)2＋62)＝6eq\r(3)cm.C級——重難題目自主選做1．(2018·泉州模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側視圖中的虛線部分是()A．圓弧 B．拋物線的一部分C．橢圓的一部分 D．雙曲線的一部分解析：選D根據(jù)幾何體的三視圖可得，側視圖中的虛線部分是由平行于旋轉軸的平面截圓錐所得，故側視圖中的虛線部分是雙曲線的一部分，故選D.2.一只螞蟻從正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A出發(fā)，經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到頂點C1的位置，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻最短爬行路線的正視圖的是()A．①② B．①③C．③④ D．②④解析：選D由點A經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到達頂點C1的位置，共有6種路線(對應6種不同的展開方式)．若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一個平面內，連接AC1，則AC1是最短路線，且AC1會經(jīng)過BB1的中點，此時對應的正視圖為②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一個平面內，連接AC1，則AC1是最短路線，且AC1會經(jīng)過CD的中點，此時對應的正視圖為④.而其他幾種展開方式對應的正視圖在題中沒有出(二)重點高中適用作業(yè)A級——保分題目巧做快做1.“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學家劉徽在研究球的體積的過程中構造的一個和諧優(yōu)美的幾何體．它由完全相同的四個曲面構成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上，好似兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)．其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線．當其正視圖和側視圖完全相同時，它的俯視圖可能是()解析：選B根據(jù)直觀圖以及圖中的輔助四邊形分析可知，當正視圖和側視圖完全相同時，俯視圖為B，故選B.2.已知點E，F(xiàn)，G分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1，DD1的中點，點M，N，Q，P分別在線段DF，AG，BE，C1B1上．以M，N，Q，P為頂點的三棱錐P-MNQ的俯視圖不可能是(解析：選C當M與F重合，N與G重合，Q與E重合，P與B1重合時，三棱錐P-MNQ的俯視圖為A；當M，N，Q，P是所在線段的中點時，三棱錐P-MNQ的俯視圖為B；當M，N，Q，P位于所在線段的非端點位置時，存在三棱錐P-MNQ，使其俯視圖為D.故選C.3.已知一個三棱錐的俯視圖與側視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，側視圖是有一條直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為()解析：選C由已知條件得直觀圖如圖所示，PC⊥底面ABC，正視圖是直角三角形，中間的線是看不見的線PA形成的投影，應為虛線，故選C.4．某幾何體的正視圖和側視圖如圖1所示，它的俯視圖的直觀圖是如圖2所示的矩形O1A1B1C1，其中O1A1＝6，O1C1＝2A．48 B．64C．96 D．128解析：選C由題意可知該幾何體是一個直四棱柱，∵它的俯視圖的直觀圖是矩形O1A1B1C1，O1A1＝6，O1C∴它的俯視圖是邊長為6的菱形，∵棱柱的高為4，故該幾何體的側面積為4×6×4＝96.5．已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，則四棱錐P-ABCD的四個側面中面積最大的是()A．3 B．2eq\r(5)C．6 D．8解析：選C四棱錐如圖所示，取AD的中點N，BC的中點M，連接PM，PN，則PN＝eq\r(5)，PM＝3，S△PAD＝eq\f(1,2)×4×eq\r(5)＝2eq\r(5)，S△PAB＝S△PDC＝eq\f(1,2)×2×3＝3，S△PBC＝eq\f(1,2)×4×3＝6.所以四個側面中面積最大的是6.6．一個圓臺上、下底面的半徑分別為3cm和8cm，若兩底面圓心的連線長為12cm，則這個圓臺的母線長為________cm.解析：如圖，過點A作AC⊥OB，交OB于點C.在Rt△ABC中，AC＝12(cm)，BC＝8－3＝5(cm)．∴AB＝eq\r(122＋52)＝13(cm)．答案：137．已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三個視圖都是直角三角形，則在該三棱錐的四個面中，直角三角形的個數(shù)為________．解析：由題意可知，該幾何體是三棱錐，將其放置在長方體中形狀如圖所示(圖中棱錐P-ABC)，利用長方體模型可知，此三棱錐的四個面全部是直角三角形．答案：48.如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為4m，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點P處．若該小蟲爬行的最短路程為4eq\r(3)解析：把圓錐側面沿過點P的母線展開成如圖所示的扇形，由題意OP＝4，PP′＝4eq\r(3)，則cos∠POP′＝eq\f(42＋42－4\r(3)2,2×4×4)＝－eq\f(1,2)，所以∠POP′＝eq\f(2π,3).設底面圓的半徑為r，則2πr＝eq\f(2π,3)×4，所以r＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)9.如圖是一個幾何體的正視圖和俯視圖．(1)試判斷該幾何體是什么幾何體；(2)畫出其側視圖，并求該平面圖形的面積；(3)求出該幾何體的體積．解：(1)由題意可知該幾何體為正六棱錐．(2)其側視圖如圖所示，其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的長是俯視圖中的正六邊形對邊的距離，即BC＝eq\r(3)a，AD的長是正六棱錐的高，即AD＝eq\r(3)a，∴該平面圖形的面積S＝eq\f(1,2)·eq\r(3)a·eq\r(3)a＝eq\f(3,2)a2.(3)V＝eq\f(1,3)×6×eq\f(\r(3),4)a2×eq\r(3)a＝eq\f(3,2)a3.10．已知正三棱錐V-ABC的正視圖、側視圖和俯視圖如圖所示．(1)畫出該三棱錐的直觀圖；(2)求出側視圖的面積．解：(1)直觀圖如圖所示．(2)根據(jù)三視圖間的關系可得BC＝2eq\r(3)，∴側視圖中VA＝eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)×2\r(3)))2)＝2eq\r(3)，∴S△VBC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2eq\r(3)＝6.B級——拔高題目穩(wěn)做準做1．(2018·邵陽模擬)某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的六條棱中，長度最長的棱的長是()A．2eq\r(5) B．2eq\r(6)C．2eq\r(7) D．4eq\r(2)解析：選C由三視圖可知該四面體的直觀圖如圖所示．其中AC＝2，PA＝2，△ABC中，邊AC上的高為2eq\r(3)，所以BC＝eq\r(42＋2\r(3)2)＝2eq\r(7)，AB＝eq\r(2\r(3)2＋22)＝4，而PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝2eq\r(2)，因此在四面體的六條棱中，長度最長的是BC，其長為2eq\r(7)，選C.2．(2018·泉州模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側視圖中的虛線部分是()A．圓弧 B．拋物線的一部分C．橢圓的一部分 D．雙曲線的一部分解析：選D根據(jù)幾何體的三視圖可得，側視圖中的虛線部分是由平行于旋轉軸的平面截圓錐所得，故側視圖