高考數(shù)學(xué)（文）一輪復(fù)習(xí)教師用書(shū)第七章第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖與直觀圖

第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖與直觀圖1．簡(jiǎn)單幾何體(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱(chēng)棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相平行且相等多邊形互相平行側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)，但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱(chēng)圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形eq\a\vs4\al(圓)側(cè)面展開(kāi)圖矩形扇形扇環(huán)2．直觀圖(1)畫(huà)法：常用斜二測(cè)畫(huà)法．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半．3．三視圖(1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫(huà)出的輪廓線．說(shuō)明：正視圖也稱(chēng)主視圖，側(cè)視圖也稱(chēng)左視圖．(2)作、看三視圖的3原則①位置原則：②度量原則：長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等(即正俯同長(zhǎng)、正側(cè)同高、俯側(cè)同寬)．③虛實(shí)原則：輪廓線——現(xiàn)則實(shí)、隱則虛．1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．()(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()(3)棱臺(tái)是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分．()(4)夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是圓柱．()(5)上下底面是兩個(gè)平行的圓面的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．用一個(gè)平行于水平面的平面去截球，得到如圖所示的幾何體，則它的俯視圖是()解析：選B俯視圖中顯然應(yīng)有一個(gè)被遮擋的圓，所以?xún)?nèi)圓是虛線，故選B.3．若一個(gè)三棱柱的三視圖如圖所示，其俯視圖為正三角形，則這個(gè)三棱柱的高和底面邊長(zhǎng)分別為()A．2,2eq\r(3) B．2eq\r(2)，2C．4,2 D．2,4解析：選D由三視圖可知，正三棱柱的高為2，底面正三角形的高為2eq\r(3)，故底面邊長(zhǎng)為4，故選D.4．(教材習(xí)題改編)如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是________，截去的幾何體是______．答案：五棱柱三棱柱5．利用斜二測(cè)畫(huà)法得到的①三角形的直觀圖一定是三角形；②正方形的直觀圖一定是菱形；③等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形；④菱形的直觀圖一定是菱形．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是________．解析：由斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則可知①正確；②錯(cuò)誤，是一般的平行四邊形；③錯(cuò)誤，等腰梯形的直觀圖不可能是平行四邊形；而菱形的直觀圖也不一定是菱形，④也錯(cuò)誤，故結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為1.答案：1eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[考什么·怎么考]空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是立體幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，很少單獨(dú)考查.多作為載體與三視圖、表面積、體積等綜合考查，題型為選擇題或填空題，難度較低.1．用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是()A．圓柱 B．圓錐C．球體 D．圓柱、圓錐、球體的組合體解析：選C截面是任意的且都是圓面，則該幾何體為球體．2．給出下列幾個(gè)命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選B①錯(cuò)誤，只有這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；②正確；③錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面是相似且對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等．3．給出下列命題：①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；②若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直；③在四棱柱中，若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；④存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體．其中正確命題的序號(hào)是________．解析：①不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；②正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個(gè)側(cè)面構(gòu)成的三個(gè)平面的二面角都是直二面角；③正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；④正確，如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC，四個(gè)面都是直角三角形．答案：②③④[怎樣快解·準(zhǔn)解]空間幾何體概念辨析題的常用方法定義法緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，根據(jù)定義進(jìn)行判定．反例法通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可.eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二空間幾何體的直觀圖)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[考什么·怎么考]單獨(dú)考查空間幾何體的直觀圖的題目很少，多與三視圖、表面積、體積等綜合考查，題型為選擇題或填空題，難度較低.1.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形，則原來(lái)的圖形是()解析：選A由直觀圖可知，在直觀圖中多邊形為正方形，對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(2)，所以原圖形為平行四邊形，位于y軸上的對(duì)角線長(zhǎng)為2eq\r(2).故選A.2．已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，那么△ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為_(kāi)_______．解析：如圖，圖①、圖②分別表示△ABC的實(shí)際圖形和直觀圖．從圖②可知，A′B′＝AB＝2，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),2)，C′D′＝O′C′sin45°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),4).所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(6),4)＝eq\f(\r(6),4).答案：eq\f(\r(6),4)3.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y′軸，BC，AD平行于x′軸．已知四邊形ABCD的面積為2eq\r(2)cm2，則原平面圖形的面積為解析：依題意可知∠BAD＝45°，則原平面圖形為直角梯形，上下底的長(zhǎng)分別與BC，AD相等，高為梯形ABCD的高的2eq\r(2)倍，所以原平面圖形的面積為8cm2.答案：8[怎樣快解·準(zhǔn)解]1．原圖形與直觀圖中的“三變”與“三不變”(1)“三變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(坐標(biāo)軸的夾角改變,與y軸平行的線段的長(zhǎng)度改變減半,圖形改變))(2)“三不變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行性不變,與x軸平行的線段長(zhǎng)度不變,相對(duì)位置不變))2．原圖形與直觀圖面積的關(guān)系按照斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關(guān)系：(1)S直觀圖＝eq\f(\r(,2),4)S原圖形；(2)S原圖形＝2eq\r(,2)S直觀圖．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三空間幾何體的三視圖)eq\a\vs4\al(題點(diǎn)多變型考點(diǎn)——追根溯源)eq\x(\a\al(空間幾何體的三視圖的辨析是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).,常見(jiàn)的命題角度有：,1已知幾何體，識(shí)別三視圖；,2已知三視圖，判斷幾何體；,3已知幾何體的三視圖中的某兩個(gè)視圖，確定另一種視圖.))[題點(diǎn)全練]角度(一)已知幾何體，識(shí)別三視圖1.(2018·河北衡水中學(xué)調(diào)研)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點(diǎn)，用過(guò)點(diǎn)A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的側(cè)視圖為()解析：選C如圖所示，過(guò)點(diǎn)A，E，C1的截面為AEC1F，則剩余幾何體的側(cè)視圖為選項(xiàng)C[題型技法]識(shí)別三視圖的步驟(1)弄清幾何體的結(jié)構(gòu)特征及具體形狀、明確幾何體的擺放位置；(2)根據(jù)三視圖的有關(guān)定義和規(guī)則先確定正視圖，再確定俯視圖，最后確定側(cè)視圖；(3)被遮住的輪廓線應(yīng)為虛線，若相鄰兩個(gè)物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線；對(duì)于簡(jiǎn)單的組合體，要注意它們的組合方式，特別是它們的交線位置．角度(二)已知三視圖，判斷幾何體2．(2017·北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為()A．3eq\r(2) B．2eq\r(3)C．2eq\r(2) D．2解析：選B在正方體中還原該四棱錐如圖所示，從圖中易得最長(zhǎng)的棱為AC1＝eq\r(AC2＋CC\o\al(2,1))＝eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3).[題型技法]由三視圖確定幾何體的3步驟熟練掌握規(guī)則幾何體的三視圖是三視圖還原幾何體的基礎(chǔ)，在明確三視圖畫(huà)法規(guī)則的基礎(chǔ)上，按以下步驟可輕松解決此類(lèi)問(wèn)題：角度(三)已知幾何體三視圖中的某兩個(gè)視圖，確定另外一個(gè)視圖3．如圖，一個(gè)三棱柱的正視圖和側(cè)視圖分別是矩形和正三角形，則這個(gè)三棱柱的俯視圖為()解析：選D由正視圖和側(cè)視圖可知，這是一個(gè)水平放置的正三棱柱．故選D.[題型技法]由幾何體的部分視圖畫(huà)出剩余視圖的方法解決此類(lèi)問(wèn)題，可先根據(jù)已知的一部分視圖，還原、推測(cè)直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分視圖的可能形式．當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入檢驗(yàn)．[題“根”探求]根據(jù)幾何體的三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，常見(jiàn)的有以下幾類(lèi)三視圖的形狀對(duì)應(yīng)的幾何體三個(gè)三角形三棱錐兩個(gè)三角形，一個(gè)四邊形四棱錐兩個(gè)三角形，一個(gè)圓圓錐一個(gè)三角形，兩個(gè)四邊形三棱柱三個(gè)四邊形四棱柱兩個(gè)四邊形，一個(gè)圓圓柱[沖關(guān)演練]1．(2018·惠州調(diào)研)如圖所示，將圖①中的正方體截去兩個(gè)三棱錐，得到圖②中的幾何體，則該幾何體的側(cè)(左)視圖為()解析：選B從幾何體的左側(cè)看，對(duì)角線AD1在視線范圍內(nèi)，故畫(huà)為實(shí)線，右側(cè)面的棱C1F不在視線范圍內(nèi)，故畫(huà)為虛線，且上端點(diǎn)位于幾何體上底面邊的中點(diǎn)．故選2.(2018·石家莊質(zhì)檢)一個(gè)三棱錐的正(主)視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)(左)視圖可能為()解析：選D由題圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面ACD⊥平面BCD，故選D.3.(2017·全國(guó)卷Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為()A．10 B．12C．14 D．16解析：選B由三視圖可知該多面體是一個(gè)組合體，下面是一個(gè)底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一個(gè)底面是等腰直角三角形的三棱錐，等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為2，直三棱柱的高為2，三棱錐的高為2，易知該多面體有2個(gè)面是梯形，這些梯形的面積之和為eq\f(2＋4×2,2)×2＝12，故選B.(一)普通高中適用作業(yè)A級(jí)——基礎(chǔ)小題練熟練快1.如圖，△A′B′O′是利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的△ABO的直觀圖，已知A′B′∥y′軸，O′B′＝4，且△ABO的面積為16，過(guò)A′作A′C′⊥x′軸，則A′C′的長(zhǎng)為()A．2eq\r(2) B.eq\r(2)C．16eq\r(2) D．1解析：選A因?yàn)锳′B′∥y′軸，所以△ABO中，AB⊥OB.又因?yàn)椤鰽BO的面積為16，所以eq\f(1,2)AB·OB＝16.因?yàn)镺B＝O′B′＝4，所以AB＝8，所以A′B′＝4.因?yàn)锳′C′⊥O′B′于C′，所以B′C′＝A′C′，所以A′C′＝4·sin45°＝2eq\r(2)，故選A.2．一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是()解析：選B由直觀圖可知，該幾何體由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)截角三棱柱組成．從上往下看，外層輪廓線是一個(gè)矩形，矩形內(nèi)部是一條水平線段連接兩個(gè)三角形，故選B.3．若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()解析：選D由三視圖知該幾何體的上半部分是一個(gè)三棱柱，下半部分是一個(gè)四棱柱．故選D.4.在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖為()解析：選D由正視圖與俯視圖知，幾何體是一個(gè)三棱錐與半個(gè)圓錐的組合體，故側(cè)視圖為D.5.如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐P-BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為(A．1∶1 B．2∶1C．2∶3 D．3∶2解析：選A根據(jù)題意，三棱錐P-BCD的正視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的底面邊長(zhǎng)、高為正四棱柱的高；側(cè)視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的底面邊長(zhǎng)、高為正四棱柱的高．故三棱錐P-BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為1∶1.6．某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是()A．2 B.eq\f(9,2)C.eq\f(3,2) D．3解析：選D根據(jù)三視圖判斷幾何體為四棱錐，其直觀圖如圖所示，則體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1＋2,2)×2×x＝3，解得x＝3，故選D.7．設(shè)有以下四個(gè)命題：①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；②底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體；③直四棱柱是直平行六面體；④棱臺(tái)的相對(duì)側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)．其中真命題的序號(hào)是________．解析：命題①符合平行六面體的定義，故命題①是正確的；底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直，故命題②是錯(cuò)誤的；因?yàn)橹彼睦庵牡酌娌灰欢ㄊ瞧叫兴倪呅?，故命題③是錯(cuò)誤的；命題④由棱臺(tái)的定義知是正確的．答案：①④8．一個(gè)圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為3cm和8cm，若兩底面圓心的連線長(zhǎng)為12cm，則這個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為_(kāi)_______cm.解析：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB，交OB于點(diǎn)C.在Rt△ABC中，AC＝12(cm)，BC＝8－3＝5(cm)．∴AB＝eq\r(122＋52)＝13(cm)．答案：139．已知正四棱錐V-ABCD中，底面面積為16，一條側(cè)棱的長(zhǎng)為2eq\r(11)，則該棱錐的高為_(kāi)_______．解析：如圖，取正方形ABCD的中心O，連接VO，AO，則VO就是正四棱錐V-ABCD的高．因?yàn)榈酌婷娣e為16，所以AO＝2eq\r(2).因?yàn)橐粭l側(cè)棱長(zhǎng)為2eq\r(11).所以VO＝eq\r(\a\vs4\al(VA2－AO2))＝eq\r(44－8)＝6.所以正四棱錐V-ABCD的高為6.答案：610．已知某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖和側(cè)視圖都是矩形，俯視圖是正方形，在該幾何體上任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，以這4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的幾何體的形狀給出下列命題：①矩形；②有三個(gè)面為直角三角形，有一個(gè)面為等腰三角形的四面體；③兩個(gè)面都是等腰直角三角形的四面體．其中正確命題的序號(hào)是________．解析：由三視圖可知，該幾何體是正四棱柱，作出其直觀圖為如圖所示的四棱柱ABCD-A1B1C1D1，當(dāng)選擇的4個(gè)點(diǎn)是B1，B，C，C1時(shí)，可知①正確；當(dāng)選擇的4個(gè)點(diǎn)是B，A，B1，C時(shí)，可知②正確；易知③不正確．答案：①②B級(jí)——中檔題目練通抓牢1．用若干塊相同的小正方體搭成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖如圖所示，則搭成該幾何體需要的小正方體的塊數(shù)是()A．8 B．7C．6 D．5解析：選C畫(huà)出直觀圖可知，共需要6塊．2.將一個(gè)長(zhǎng)方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為()解析：選B如圖所示，由正視圖和側(cè)視圖可知該幾何體是由長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐B1-A1BC1得到的，故其側(cè)視圖為選項(xiàng)B.3．已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，則四棱錐P-ABCD的四個(gè)側(cè)面中面積最大的是()A．3 B．2eq\r(5)C．6 D．8解析：選C四棱錐如圖所示，取AD的中點(diǎn)N，BC的中點(diǎn)M，連接PM，PN，則PN＝eq\r(5)，PM＝3，S△PAD＝eq\f(1,2)×4×eq\r(5)＝2eq\r(5)，S△PAB＝S△PDC＝eq\f(1,2)×2×3＝3，S△PBC＝eq\f(1,2)×4×3＝6.所以四個(gè)側(cè)面中面積最大的是6.4．已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中三個(gè)視圖都是直角三角形，則在該三棱錐的四個(gè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．解析：由題意可知，該幾何體是三棱錐，將其放置在長(zhǎng)方體中形狀如圖所示(圖中棱錐P-ABC)，利用長(zhǎng)方體模型可知，此三棱錐的四個(gè)面全部是直角三角形．答案：45.如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為4m，一只小蟲(chóng)從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)P處．若該小蟲(chóng)爬行的最短路程為4eq\解析：把圓錐側(cè)面沿過(guò)點(diǎn)P的母線展開(kāi)成如圖所示的扇形，由題意OP＝4，PP′＝4eq\r(3)，則cos∠POP′＝eq\f(42＋42－4\r(3)2,2×4×4)＝－eq\f(1,2)，所以∠POP′＝eq\f(2π,3).設(shè)底面圓的半徑為r，則2πr＝eq\f(2π,3)×4，所以r＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)6．已知正三棱錐V-ABC的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示．(1)畫(huà)出該三棱錐的直觀圖；(2)求出側(cè)視圖的面積．解：(1)直觀圖如圖所示．(2)根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得BC＝2eq\r(3)，∴側(cè)視圖中VA＝eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)×2\r(3)))2)＝2eq\r(3)，∴S△VBC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2eq\r(3)＝6.7.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直，下圖為該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖，它們是腰長(zhǎng)為6cm的全等的等腰直角三角形．(1)根據(jù)圖中所給的正視圖、側(cè)視圖，畫(huà)出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積；(2)求PA.解：(1)該四棱錐的俯視圖為(內(nèi)含對(duì)角線)邊長(zhǎng)為6cm的正方形，如圖，其面積為36cm2.(2)由側(cè)視圖可求得PD＝eq\r(PC2＋CD2)＝eq\r(62＋62)＝6eq\r(2).由正視圖可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝eq\r(PD2＋AD2)＝eq\r(6\r(2)2＋62)＝6eq\r(3)cm.C級(jí)——重難題目自主選做1．(2018·泉州模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖中的虛線部分是()A．圓弧 B．拋物線的一部分C．橢圓的一部分 D．雙曲線的一部分解析：選D根據(jù)幾何體的三視圖可得，側(cè)視圖中的虛線部分是由平行于旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐所得，故側(cè)視圖中的虛線部分是雙曲線的一部分，故選D.2.一只螞蟻從正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到頂點(diǎn)C1的位置，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻?zhàn)疃膛佬新肪€的正視圖的是()A．①② B．①③C．③④ D．②④解析：選D由點(diǎn)A經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到達(dá)頂點(diǎn)C1的位置，共有6種路線(對(duì)應(yīng)6種不同的展開(kāi)方式)．若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一個(gè)平面內(nèi)，連接AC1，則AC1是最短路線，且AC1會(huì)經(jīng)過(guò)BB1的中點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的正視圖為②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一個(gè)平面內(nèi)，連接AC1，則AC1是最短路線，且AC1會(huì)經(jīng)過(guò)CD的中點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的正視圖為④.而其他幾種展開(kāi)方式對(duì)應(yīng)的正視圖在題中沒(méi)有出(二)重點(diǎn)高中適用作業(yè)A級(jí)——保分題目巧做快做1.“牟合方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過(guò)程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體．它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)．其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線．當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的俯視圖可能是()解析：選B根據(jù)直觀圖以及圖中的輔助四邊形分析可知，當(dāng)正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，俯視圖為B，故選B.2.已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1，DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N，Q，P分別在線段DF，AG，BE，C1B1上．以M，N，Q，P為頂點(diǎn)的三棱錐P-MNQ的俯視圖不可能是(解析：選C當(dāng)M與F重合，N與G重合，Q與E重合，P與B1重合時(shí)，三棱錐P-MNQ的俯視圖為A；當(dāng)M，N，Q，P是所在線段的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐P-MNQ的俯視圖為B；當(dāng)M，N，Q，P位于所在線段的非端點(diǎn)位置時(shí)，存在三棱錐P-MNQ，使其俯視圖為D.故選C.3.已知一個(gè)三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示，俯視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)視圖是有一條直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為()解析：選C由已知條件得直觀圖如圖所示，PC⊥底面ABC，正視圖是直角三角形，中間的線是看不見(jiàn)的線PA形成的投影，應(yīng)為虛線，故選C.4．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖1所示，它的俯視圖的直觀圖是如圖2所示的矩形O1A1B1C1，其中O1A1＝6，O1C1＝2A．48 B．64C．96 D．128解析：選C由題意可知該幾何體是一個(gè)直四棱柱，∵它的俯視圖的直觀圖是矩形O1A1B1C1，O1A1＝6，O1C∴它的俯視圖是邊長(zhǎng)為6的菱形，∵棱柱的高為4，故該幾何體的側(cè)面積為4×6×4＝96.5．已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，則四棱錐P-ABCD的四個(gè)側(cè)面中面積最大的是()A．3 B．2eq\r(5)C．6 D．8解析：選C四棱錐如圖所示，取AD的中點(diǎn)N，BC的中點(diǎn)M，連接PM，PN，則PN＝eq\r(5)，PM＝3，S△PAD＝eq\f(1,2)×4×eq\r(5)＝2eq\r(5)，S△PAB＝S△PDC＝eq\f(1,2)×2×3＝3，S△PBC＝eq\f(1,2)×4×3＝6.所以四個(gè)側(cè)面中面積最大的是6.6．一個(gè)圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為3cm和8cm，若兩底面圓心的連線長(zhǎng)為12cm，則這個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為_(kāi)_______cm.解析：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB，交OB于點(diǎn)C.在Rt△ABC中，AC＝12(cm)，BC＝8－3＝5(cm)．∴AB＝eq\r(122＋52)＝13(cm)．答案：137．已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中三個(gè)視圖都是直角三角形，則在該三棱錐的四個(gè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．解析：由題意可知，該幾何體是三棱錐，將其放置在長(zhǎng)方體中形狀如圖所示(圖中棱錐P-ABC)，利用長(zhǎng)方體模型可知，此三棱錐的四個(gè)面全部是直角三角形．答案：48.如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為4m，一只小蟲(chóng)從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)P處．若該小蟲(chóng)爬行的最短路程為4eq\r(3)解析：把圓錐側(cè)面沿過(guò)點(diǎn)P的母線展開(kāi)成如圖所示的扇形，由題意OP＝4，PP′＝4eq\r(3)，則cos∠POP′＝eq\f(42＋42－4\r(3)2,2×4×4)＝－eq\f(1,2)，所以∠POP′＝eq\f(2π,3).設(shè)底面圓的半徑為r，則2πr＝eq\f(2π,3)×4，所以r＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)9.如圖是一個(gè)幾何體的正視圖和俯視圖．(1)試判斷該幾何體是什么幾何體；(2)畫(huà)出其側(cè)視圖，并求該平面圖形的面積；(3)求出該幾何體的體積．解：(1)由題意可知該幾何體為正六棱錐．(2)其側(cè)視圖如圖所示，其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的長(zhǎng)是俯視圖中的正六邊形對(duì)邊的距離，即BC＝eq\r(3)a，AD的長(zhǎng)是正六棱錐的高，即AD＝eq\r(3)a，∴該平面圖形的面積S＝eq\f(1,2)·eq\r(3)a·eq\r(3)a＝eq\f(3,2)a2.(3)V＝eq\f(1,3)×6×eq\f(\r(3),4)a2×eq\r(3)a＝eq\f(3,2)a3.10．已知正三棱錐V-ABC的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示．(1)畫(huà)出該三棱錐的直觀圖；(2)求出側(cè)視圖的面積．解：(1)直觀圖如圖所示．(2)根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得BC＝2eq\r(3)，∴側(cè)視圖中VA＝eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)×2\r(3)))2)＝2eq\r(3)，∴S△VBC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2eq\r(3)＝6.B級(jí)——拔高題目穩(wěn)做準(zhǔn)做1．(2018·邵陽(yáng)模擬)某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的六條棱中，長(zhǎng)度最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)是()A．2eq\r(5) B．2eq\r(6)C．2eq\r(7) D．4eq\r(2)解析：選C由三視圖可知該四面體的直觀圖如圖所示．其中AC＝2，PA＝2，△ABC中，邊AC上的高為2eq\r(3)，所以BC＝eq\r(42＋2\r(3)2)＝2eq\r(7)，AB＝eq\r(2\r(3)2＋22)＝4，而PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝2eq\r(2)，因此在四面體的六條棱中，長(zhǎng)度最長(zhǎng)的是BC，其長(zhǎng)為2eq\r(7)，選C.2．(2018·泉州模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖中的虛線部分是()A．圓弧 B．拋物線的一部分C．橢圓的一部分 D．雙曲線的一部分解析：選D根據(jù)幾何體的三視圖可得，側(cè)視圖中的虛線部分是由平行于旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐所得，故側(cè)視圖