242圓的一般方程（導(dǎo)學(xué)案）

2.4.2圓的一般方程導(dǎo)學(xué)案教學(xué)目標(biāo)理解圓的一般方程及其特點掌握圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化會根據(jù)給定的條件求圓的一般方程，并能用圓的一般方程解決簡單問題會求圓的一般方程以及與圓有關(guān)的簡單的軌跡方程問題教學(xué)重難點重點：理解圓的一般方程及其特點，掌握圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化．難點：會根據(jù)給定的條件求圓的一般方程，并能用圓的一般方程解決簡單問題，會求圓的一般方程以及與圓有關(guān)的簡單的軌跡方程問題.教學(xué)過程新課探究思考：前面我們學(xué)習(xí)直線方程時，所有的二元一次方程都可表示直線，那么，類比學(xué)習(xí)，是否所有的二元二次方程表示的就是圓呢？探究：觀察以下三個方程：(1)x2＋y2＋2x＋2y＋8＝0；(2)x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0；(3)x2＋y2＋2x＋2y＝0.先將它們分別按圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式進(jìn)行配方，分析它們分別表示什么圖形？按要求進(jìn)行配方，并分析表示的圖形：(1)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝－6，>不表示任何圖形．(2)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝0，>表示點(－1，－1)(3)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝2，>表示圓探究：有些二元二次方程不表示任何圖形，有些表示點，有些表示圓，對于以下二元二次方程，如果它要表示圓，系數(shù)D、E、F需要滿足什么條件呢？思考：分析方程②，思考：方程①表示的一定是圓嗎？若要表示圓，需要滿足什么條件呢？得出結(jié)論：方程①表示的不一定是圓，只有當(dāng)時才能表示圓.師生：總結(jié)歸納，并得出圓的一般方程：當(dāng)時，二元二次方程：此時，我們稱方程:為圓的一般方程.思考：當(dāng)、時，方程①分別表示什么圖形？當(dāng)時，方程①只有實數(shù)解，，它表示一個點；當(dāng)時，方程①沒有實數(shù)解，它不表示任何圖形．思考：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程各有什么特點？圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明確給出了圓心坐標(biāo)和半徑，重“形”；圓的一般方程則明確表明其形式是一種特殊的二元二次方程,方程的代數(shù)特征非常明顯，重“數(shù)”，這兩個方程充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的具象提現(xiàn).應(yīng)用新知例4求過三點，，的圓的方程，并求這個圓的圓心坐標(biāo)和半徑．預(yù)設(shè)：設(shè)圓的方程是．①因為，，三點都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都是方程①的解．把它們的坐標(biāo)依次代入方程①，得到關(guān)于，，的一個三元一次方程組解這個方程組，得所以，所求圓的方程是．由前面的討論可知，所求圓的圓心坐標(biāo)是，半徑．思考：與P83頁例2的方法比較，你有什么體會？面對兩次使用待定系數(shù)法，學(xué)生通過解題過程的分析與比較，體會其中的相同點和不通點，并得出結(jié)論：都是用待定系數(shù)法求圓的方程，只是設(shè)的方程形式不同，待定的系數(shù)不同.師生：結(jié)合兩次使用待定系數(shù)法，總結(jié)待定系數(shù)法求圓的方程的步驟：①設(shè)：根據(jù)題意，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；②列：根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組；③解：解方程組得到a，b，r或D，E，F(xiàn)的值；④代：代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程，即可得解；跟蹤練習(xí)：的三個頂點分別是，，，求的外接圓的一般方程，并寫出圓心坐標(biāo)和半徑．預(yù)設(shè)：設(shè)圓的方程是．①因為，，三點都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都是方程①的解．把它們的坐標(biāo)依次代入方程①，得到關(guān)于，，的一個三元一次方程組解這個方程組，得所以，所求圓的方程是．由前面的討論可知，所求圓的圓心坐標(biāo)是，半徑．例5已知線段的端點的坐標(biāo)是，端點在圓上運(yùn)動，求線段的中點的軌跡方程．知識小貼士：點的運(yùn)動軌跡是指點的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式．軌跡是指點在運(yùn)動變化過程中形成的圖形．在解析幾何中，我們常常把圖形看作點的軌跡（集合）．師生：共同分析；如圖，點運(yùn)動引起點運(yùn)動，而點在已知圓上運(yùn)動，點的坐標(biāo)滿足方程．建立點與點坐標(biāo)之間的關(guān)系，就可以利用點的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式得到點的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，求出點的軌跡方程．預(yù)設(shè)：設(shè)點的坐標(biāo)是，點的坐標(biāo)是．由于點的坐標(biāo)是，且是線段的中點，所以，于是有，．①因為點在圓上運(yùn)動，所以點的坐標(biāo)滿足圓的方程，即．②把①代入②得．整理，得．這就是點的軌跡方程，它表示以為圓心，半徑為1的圓．教師：這種求動點軌跡方程的方法稱之為相關(guān)點法師生：共同總結(jié)分析，用相關(guān)點法求動點軌跡方程的有哪些步驟：①設(shè)坐標(biāo)：設(shè)所求動點坐標(biāo)為，另一動點為；②找關(guān)系：根據(jù)已知條件找到與、與的等式關(guān)系；③代方程：將第二步中的兩個等式關(guān)系代入另一動點的軌跡方程；④標(biāo)準(zhǔn)化：將所得新的方程進(jìn)行整理成標(biāo)準(zhǔn)化方程；跟蹤練習(xí)：已知線段的端點的坐標(biāo)是，端點在圓上運(yùn)動，求線段的中點的軌跡方程．預(yù)設(shè)：設(shè)點的坐標(biāo)是，點的坐標(biāo)是．由于點的坐標(biāo)是，且是線段的中點，所以，于是有，．①因為點在圓上運(yùn)動，所以點的坐標(biāo)滿足圓的方程，即．②把①代入②得．整理，得．這就是點的軌跡方程，它表示以為圓心，半徑為的圓．能力提升題型一：根據(jù)圓的一般方程，求圓心坐標(biāo)和半徑例題1、求下列圓的圓心坐標(biāo)和半徑.

預(yù)設(shè)：（1）因為，整理得：，所以，圓心坐標(biāo)為：，半徑為2.（2）因為，整理得：，所以，圓心坐標(biāo)為：，半徑為.方法總結(jié)：方法一：先將一般方程按照圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式配方好，然后寫出圓心坐標(biāo)和半徑即可；方法二：記住圓心坐標(biāo)公式和半徑公式，代入計算而得.題型二：根據(jù)圓的一般方程求參數(shù)（值）范圍例題2，若方程表示圓，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．.預(yù)設(shè)：因為方程表示圓，所以，即，解得；故選：D方法總結(jié)：利用圓的條件，建立不等式，解不等式即可得解題型三：直接法求動點的軌跡方程例題3，已知，若動點P滿足直線與直線的斜率之積為，求動點P的軌跡方程.預(yù)設(shè)：設(shè)，因為，所以，又因為直線與直線的斜率之積為，所以，整理得.思考：為何要x≠±2？學(xué)生：可以從如果x=2和x=2，會得出怎樣的結(jié)論？從而得出答案：當(dāng)x=2時，直線PB的斜率不存在，不合題意當(dāng)x=2時，直線PA的斜率不存在，不合題意方法總結(jié)：直接法求動點的軌跡方程的步驟：①設(shè)坐標(biāo)：設(shè)所求動點坐標(biāo)為(x,y)；②符號化：將已知條件中的等式關(guān)系符號化：即用含x與y式子表示等式；③標(biāo)準(zhǔn)化：將第二步中的兩個等式關(guān)系代入另一動點的軌跡方程；④剔點：剔除不滿足題意的點，比如斜率不存在，不能構(gòu)成三角形等；課堂小結(jié)隨堂限時小練判斷列方程能否表示一個圓？：(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；(2)x2＋xy＋y2＋6x＝0；(3)2x2＋2y2－3x＋4y＋16＝0；(4)3x2＋3y2－2x＋4y－9＝0.分析：要判斷一個方程是否表示圓，關(guān)鍵是看如下三點：(1)x2和y2的系數(shù)相同，但不等于零；(2)沒有xy這樣的二次項；(3)D2＋E2－4F>0.預(yù)設(shè)(1)x2，y2的系數(shù)不相等，故(1)表示的不是圓．(2)方程含有xy項，故(2)表示的不是圓．(3)原方程可化為.故(3)構(gòu)不成任何圖形，不是圓．(4)原方程可化為,∴(4)表示一個圓．2、圓的半徑等于（

）．A． B． C． D．預(yù)設(shè)：把圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，圓，所以圓的半徑為．故選：B．3、若方程表示圓，則下列四個數(shù)中不能取的是（

）A． B． C． D．預(yù)設(shè)：方程表示圓，，或，不能取，故選：A4、已知圓過，，三點，求圓的一般方程.預(yù)設(shè)：設(shè)圓的方程為，由題意得，解得，，．圓的方程是．5、已知O為坐標(biāo)原點，P在圓C：(x－2)2＋y2＝1上運(yùn)動，求線段OP的中點M的軌跡方程．預(yù)設(shè)：設(shè)點M坐標(biāo)為(x，y)，點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，O點坐標(biāo)為(0，0)，由中點坐標(biāo)公式，可得x＝eq\f(x0＋0,2)，y＝eq\f(y0＋0,2).于是x0＝2x，y0＝2y.①∵點P在圓(x－2)2＋y2＝1上運(yùn)動，∴點P的坐標(biāo)滿足方程(x－2)2＋y2＝1，即(x0－2)2＋y02＝1.②把①代入②，得(2x－2)2＋(2y)2＝1，整理，得(x－1)2＋y2＝eq\f(1,4).∴點M的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝eq\f(1,4)6、已知點的坐標(biāo)分別為，直線相交于點,且直線的斜率與直線的斜率的差是1，求點的軌跡方程.預(yù)設(shè)：設(shè)，直線的斜率為，直線的斜率為，有直線的斜率與直線的斜率的差是1，所以，通分得：，整理得：，即點的軌跡方程為.課后作業(yè)布置作業(yè)1：完成教材：第88頁練習(xí)1,2,3,4作業(yè)2：配套輔導(dǎo)資料對應(yīng)的《圓的一般方程》課后作業(yè)答案練習(xí)（第88頁）1．求下列各圓的圓心坐標(biāo)和半徑：（1）；（2）；（3）．解析：（1）圓心坐標(biāo)為，半徑長為3；（2）圓心坐標(biāo)為，半徑長為；（3）圓心坐標(biāo)為，半徑長為．2．判斷下列方程分別表示什么圖形，并說明理由：（1）；（2）；（3）．解析：（1）方程表示一個點；（2）方程表示圓心坐標(biāo)是，半徑長是的圓；（3）當(dāng)時，方程表示圓心坐標(biāo)是，半徑長是的圓；當(dāng)時，方程表示一個點．3．如圖，在四邊形中，，，且，，與間的距離為3．求等腰梯形的外接圓的方程，并求這個圓的圓心坐標(biāo)和半徑．解析：（方法1)由題意可知，，，設(shè)所求圓的方程為．則，解得．故所求圓的方程為，其圓心坐標(biāo)為，半徑長為．(方法2)由題意，可得點的坐標(biāo)是，點的坐標(biāo)為，線段的中點坐標(biāo)是，直線的斜率，線段的垂直平分線的方程是，與方程聯(lián)立，解得，所以四邊形外接圓的圓心的坐標(biāo)是，半徑長為，所以四邊形的外接圓的方程是，這個圓的圓心坐標(biāo)為，半徑長為．習(xí)題2.4（第88頁）1．求下列各圓的圓心坐標(biāo)和半徑，并畫出它們的圖形：（1）；（2）；（3）；（4）．解析：（1）圓的圓心坐標(biāo)是，半徑長；（2）圓的圓心坐標(biāo)是，半徑長；（3）圓的圓心坐標(biāo)是，半徑長；（4）圓的圓心坐標(biāo)是，半徑長．2． 求下列各圓的方程，并畫出圖形：（1）圓心為點，且過點；（2）過，，三點．解析：（1）半徑長，圓的方程是．（2）（方法1)設(shè)經(jīng)過，，三點的圓的方程為．①把，，的坐標(biāo)分別代入①，得，解此方程組，得．所以，經(jīng)過，，三點的圓的方程是．（方法2)設(shè)圓的方程為，則，解得，所以圓的方程為．（方法3)已知，，，所以，，的中點坐標(biāo)為，的中點坐標(biāo)為，所以的垂直平分線方程為，的垂直平分線方程為，即．由，解得所以圓心坐標(biāo)為，半徑，所以經(jīng)過，，三點的圓的方程是．3．已知圓經(jīng)過原點和點，并且圓心在直線上，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解析：（方法1）設(shè)所求圓的方程為，由題設(shè)，得，解此方程組，得，所以，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（方法2）因為圓心在直線上，所以可設(shè)圓心的坐標(biāo)為．因為圓經(jīng)過原點和點，所以．即，解得．所以圓心坐標(biāo)為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．說明：本題也可以先求出線段的垂直平分線的方程，然后與方程聯(lián)立，求出圓心坐標(biāo)為，再求出半徑長，從而求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．4．圓的圓心在軸上，并且過和兩點，求圓的方程．解析：由題設(shè)，線段的中點坐標(biāo)是，直線的斜率．所以線段的垂直平分線的方程是與軸的方程聯(lián)立，解得，即圓心的坐標(biāo)是，半徑長．所以所求圓的方程為．5．已知圓的一條直徑的端點分別是，，求證此圓的方程是．證明：（方法l)因為直徑的兩個端點為，，所以圓心坐標(biāo)和半徑長分別為，．所以圓的方程，化簡得．（方法2)設(shè)是圓上不同于，的任意一點由知，，即①反過來，坐標(biāo)滿足①式的點，一定滿足，即該點在以為直徑的圓上．又因為點，的坐標(biāo)也滿足上式，所以所求圓的方程為．6．平面直角坐標(biāo)系中有，，，四點，這四點是否在同一個圓上？為什么？解析：是．設(shè)經(jīng)過，，三點的圓的方程為．①把，，的坐標(biāo)分別代入①，得，解此方程組，得，所以經(jīng)過，，三點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．把點的坐標(biāo)代入上面方程的左邊，得．所以點在經(jīng)過，，三點的圓上，即，，，四點在同一個圓上．7．已知等腰三角形的一個頂點為，底邊的一個端點為，求底邊的另一個端點的軌跡方程，并說明它是什么圖形．解析：如圖，根據(jù)題意，等腰三角形的底邊另一個端點在以為圓心，經(jīng)過點的圓上，且除去點以及點關(guān)于點對稱的點．設(shè)與點關(guān)于點對稱的點是，則有，解得，所以點關(guān)于點對稱的點是．又．所以的軌跡是圓且，．8．長為的線段的兩個端點和分別在軸和軸上滑動，求線段的中點的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．解析：如圖，設(shè)線段的中點為，點運(yùn)動時，到原點的距離為定長，即的斜邊上的中線長．因為，即點的軌跡是以為圓心，為半徑長的圓．根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點的軌跡方程為．9．已知