第2章一元二次方程章末重難點(diǎn)檢測(cè)卷

第2章一元二次方程章末重難點(diǎn)檢測(cè)卷注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，考試時(shí)間120分鐘，試題共24題。答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分。每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的,不選、多選、錯(cuò)選均不得分)1．（2023上·浙江臺(tái)州·九年級(jí)臺(tái)州初級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列各數(shù)中，是方程的根的是（

）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】本題主要考查解一元二次方程，解出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，或，或．故選：C．2．（2023上·浙江臺(tái)州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）電影《八角籠中》講述了向騰輝傾注心血想把當(dāng)?shù)責(zé)o人照料的孩子培養(yǎng)成才，這讓生活本沒有出路的孩子們看到了一絲通向未來(lái)的曙光的故事．一經(jīng)上映就獲得追捧，第一天票房收入約6億元，第三天票房收入達(dá)到了億元，設(shè)第一天到第三天票房收入平均每天增長(zhǎng)的百分率為，則可列方程（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程與增長(zhǎng)率問題．根據(jù)題意即可列出方程．【詳解】解：∵第一天到第三天票房收入平均每天增長(zhǎng)的百分率為，且第一天票房收入約6億元，第三天票房收入達(dá)到了億元，∴故選：C3．（2023上·浙江金華·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知二次方程的兩根為和5，則一次函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】A【分析】本題考查通過(guò)二次方程的解建立二元一次方程組求解一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，再結(jié)合一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系，即可解題．【詳解】解：的兩根為和5，，解得，則一次函數(shù)為，則一次函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)第一象限，故選：A．4．（2023上·浙江臺(tái)州·九年級(jí)臺(tái)州初級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)方程的兩個(gè)根為m，n，那么的值等于（

）A． B． C．1 D．3【答案】D【分析】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，掌握一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：方程的兩個(gè)根為m，n，，，．故選：D．5．（2023上·浙江臺(tái)州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）一元二次方程的根的情況是（

）A．沒有實(shí)數(shù)根 B．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【答案】A【分析】本題考查一元二次方程的根與判別式的關(guān)系，求出判別式與0的關(guān)系直接判斷即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，，∴方程沒有實(shí)數(shù)根，故選：A．6．（2023下·浙江麗水·八年級(jí)期末）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且關(guān)于的分式方程有正數(shù)解，則符合條件的整數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查根的判別式及分式方程的解法，求得的取值范圍是解題的關(guān)鍵．先利用判別式的意義得到且，再解把分式方程化為整式方程得到，利用分式方程有正數(shù)解可得到關(guān)于的不等式組，則可求得的取值范圍，則可求得滿足條件的整數(shù)的個(gè)數(shù)．【詳解】解：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，解得且，分式方程去分母得，解得，分式方程有正數(shù)解，且，解得且，的范圍為且，，符合條件的整數(shù)的值是，即符合條件的只有一個(gè)，故選：．7．（2022下·浙江·八年級(jí)開學(xué)考試）己知下面三個(gè)關(guān)于x的一元二次方程恰好有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根b，則的值為（

）A．0 B．1 C．3 D．不確定【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的解，使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解．把代入3個(gè)方程得出，3個(gè)方程相加即可得出，即可求出答案．【詳解】把代入得：，相加得：，，∵，∴，故選：A．8．（2023·浙江寧波·九年級(jí)效實(shí)中學(xué)校聯(lián)考自主招生）已知為正實(shí)數(shù)，，是方程的兩個(gè)根，則()A． B． C． D．【答案】C【詳解】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，再利用完全平方公式把變形為，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：∵，是方程的兩個(gè)根，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程的兩根，，．9．（2023下·浙江·八年級(jí)期中）若方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根滿足，則實(shí)數(shù)p的所有值之和為（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系得到，，進(jìn)而推出，則，，即可推出，然后代入，得到，再根據(jù)判別式求出符號(hào)題意的值即可得到答案．【詳解】解：∵是方程的兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，，∴，∴，∴，∴，同理得，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得，∵，∴，∴，∴不符合題意，∴∴符合題意，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，一元二次方程解的定義，熟知一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．10．（2023下·浙江杭州·八年級(jí)校考期中）對(duì)于一元二次方程，下列說(shuō)法：①若a＋b＋c＝0，則方程必有一根為x＝1；②若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程無(wú)實(shí)根；③若方程兩根為，且滿足，則方程，必有實(shí)根，；④若是一元二次方程的根，則其中正確的（

）A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式及根的定義以及求根公式逐個(gè)判斷排除．【詳解】解：①若，則是方程的解，故①正確；②方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，，則方程的判別式，方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根，故②錯(cuò)誤；③∵方程兩根為，且滿足，∴，令，，∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，令兩根分別為，∴，，∴方程，必有實(shí)根，，故③正確；④若是一元二次方程的根，則由求根公式可得：，，，故④正確．故正確的有①③④，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判斷，根據(jù)方程形式，判斷根的情況是求解本題的關(guān)鍵．二、填空題(本大題共6小題,每小題4分,共24分)11．（2023上·浙江臺(tái)州·九年級(jí)臺(tái)州初級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程的一根為2，則另一根為．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為，則，解得：，故答案為：．12．（2023上·浙江杭州·九年級(jí)杭州綠城育華學(xué)校?？计谥校┮阎獙?shí)數(shù)，滿足，則代數(shù)式的最小值是．【答案】3【分析】此題考查了代數(shù)式的變式與二次函數(shù)最值，解題的關(guān)鍵是由題意得，代入代數(shù)式可得，由此可知代數(shù)式的最小值是3．【詳解】解：，，，，，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值等于3，故答案為：3．13．（2023上·浙江臺(tái)州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）請(qǐng)寫出一個(gè)常數(shù)c的值，使得關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則c的值可以是．【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)．一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則；有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則；沒有實(shí)數(shù)根，則．據(jù)此即可求解．熟記相關(guān)結(jié)論即可．【詳解】解：由題意得：∴故（答案不唯一）14．（2023下·浙江湖州·八年級(jí)校考期中）為積極響應(yīng)國(guó)家“雙減”政策，某縣推出名師公益大課堂，為學(xué)生提供線上線下免費(fèi)輔導(dǎo)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一批公益課受益學(xué)生2萬(wàn)人次，第三批公益課受益學(xué)生2.42萬(wàn)人次，設(shè)從第一批到第三批公益課受益學(xué)生人次的平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用．設(shè)受益學(xué)生人次的平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)“第一批公益課受益學(xué)生2萬(wàn)人次，第三批公益課受益學(xué)生2.42萬(wàn)人次”列出方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)受益學(xué)生人次的平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得：．故答案為：．15．（2023下·浙江麗水·八年級(jí)期末）已知關(guān)于的一元二次方程，若等腰三角形的一邊長(zhǎng)為，另兩邊長(zhǎng)恰好是該方程的兩個(gè)根，則的值是．【答案】或【分析】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用、根的判別式及三角形三邊關(guān)系定理，注意求出三角形的三邊后，要用三邊關(guān)系定理檢驗(yàn)．已知可能是底，也可能是腰，分兩種情況求得，的值后，可得結(jié)論．【詳解】解：若為底邊，設(shè)，為腰長(zhǎng)，則，則，，解得：，此時(shí)原方程化為，，即，此時(shí)三邊為，，能構(gòu)成三角形，；若，則或，即方程有一根為，把代入方程，得，解得：，此時(shí)方程為，解得：，，方程另一根為，、、能構(gòu)成三角形，，綜上，的值為或，故答案為：或．16．（2023下·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┮阎?，是非零實(shí)數(shù)，關(guān)于的一元二次方程，，，有公共解，則代數(shù)式的值為．【答案】或【分析】設(shè)公共解為，根據(jù)一元二次方程根的定義得到，，，三式相加可得：或，分別代入所求式可解答．【詳解】解：設(shè)公共解為，則，，，三式相加得，即，因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，，原式；當(dāng)時(shí)，，，，，原式，綜上，代數(shù)式的值為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解，理解方程解的定義是解題的關(guān)鍵．三、解答題(本大題共7小題,共66分)17．（2023上·浙江臺(tái)州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握根據(jù)方程特征，選擇恰當(dāng)解法是解題的關(guān)鍵．（1）利用直接開平方法解題即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可解題．【詳解】（1）解：∴或，解得：，；（2）解：，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得，．18．（2023上·浙江溫州·九年級(jí)校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)一元二次方程．在下面的四組條件中選擇其中一組b，c的值，使這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，并解這個(gè)方程．①，；②，；③，；④，．注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】選②或③，②，；③，【分析】當(dāng)，，時(shí)，，有兩個(gè)相等的實(shí)根；當(dāng)，時(shí)，，沒有實(shí)根，②組或③方程有實(shí)數(shù)根，代入，再解方程即可．【詳解】解：可以選②組或③組．當(dāng)，，時(shí)，，有兩個(gè)相等的實(shí)根，故①不能選；當(dāng)，，時(shí)，，有兩個(gè)不相等的實(shí)根，故②可以；，，，；當(dāng)，，時(shí)，，有兩個(gè)不相等的實(shí)根，故③可以；，，，．當(dāng)，時(shí)，，沒有實(shí)根，故④不能選．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，掌握根的判別式的意義是解題的關(guān)鍵．19．（2023上·浙江臺(tái)州·九年級(jí)?？计谥校┮阎P(guān)于的方程（為常數(shù)）．(1)求證：不論為何值，該方程總有實(shí)數(shù)根．(2)若該方程有一個(gè)根是4，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）證明方程的根的判別式即可．（2）把代入，轉(zhuǎn)化為m的方程求解即可．本題考查了方程根的定義即使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，轉(zhuǎn)化求解是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，方程，，∴，∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；∴無(wú)論m取何值，方程總有實(shí)數(shù)根．（2）把代入，得，解得．20．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知三個(gè)關(guān)于的方程和．若其中至少有兩個(gè)方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】或【分析】分類討論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)，時(shí)，分別求出m的取值范圍即可．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，方程和有解；②當(dāng)時(shí)，方程和有解；③當(dāng)，時(shí)，第一個(gè)方程有根則：，解得：；第二個(gè)方程有根則：，解得：，第三個(gè)方程有根則：，解得：，當(dāng)每?jī)蓚€(gè)方程都有解時(shí)，有或或，解得：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．21．（2024上·浙江寧波·八年級(jí)期末）某種商品的標(biāo)價(jià)為400元/件，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的價(jià)格為324元/件，并且兩次降價(jià)的百分率相同(1)求該種商品每次降價(jià)的百分率；(2)若該種商品進(jìn)價(jià)為300元/件，兩次降價(jià)共售出此種商品100件，為使兩次降價(jià)銷售的總利潤(rùn)不少于3120元．問第一次降價(jià)后至少要售出該種商品多少件?【答案】(1)該種商品每次降價(jià)的百分率為(2)第一次降價(jià)后至少要售出該種商品20件【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程或不等式是解決問題得關(guān)鍵．（1）設(shè)該種商品每次降價(jià)的百分率為，根據(jù)“兩次降價(jià)后的售價(jià)原價(jià)”，列出方程，解方程即可得出結(jié)論；（2）設(shè)第一次降價(jià)后售出該種商品件，則第二次降價(jià)后售出該種商品件，根據(jù)“總利潤(rùn)第一次降價(jià)后的單件利潤(rùn)銷售數(shù)量第二次降價(jià)后的單件利潤(rùn)銷售數(shù)量”表示出總利潤(rùn)，再根據(jù)總利潤(rùn)不少于3210元，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解不等式即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)該種商品每次降價(jià)的百分率為，依題意得：，解得：，或（舍去）．答：該種商品每次降價(jià)的百分率為．（2）設(shè)第一次降價(jià)后售出該種商品件，則第二次降價(jià)后售出該種商品件，第一次降價(jià)后的單件利潤(rùn)為：（元/件）；第二次降價(jià)后的單件利潤(rùn)為：（元/件）．依題意得：，解得：，即：為使兩次降價(jià)銷售的總利潤(rùn)不少于3210元，第一次降價(jià)后至少要售出該種商品20件．22．（2023下·浙江湖州·八年級(jí)校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿y軸負(fù)方向以每秒2個(gè)單位的速度移動(dòng)，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)O，A同時(shí)出發(fā)，且當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C處時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)若點(diǎn)Q在y軸的正半軸上．①試用含t的代數(shù)式表示：__________，__________；②t為何值時(shí)，的面積是面積的？(2)是否存在這樣的t的值，使是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)①，；②t為1秒或2秒時(shí)，的面積是面積的；(2)當(dāng)秒或秒或6秒時(shí)，是等腰三角形．【分析】本題考查了勾股定理，解一元二次方程，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)．（1）①根據(jù)題意列出代數(shù)式即可；②利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可求解；（2）分情況討論，利用勾股定理列式計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，，①∵點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿y軸負(fù)方向以每秒2個(gè)單位的速度移動(dòng)，∴，，則；故答案為：，；②由題意得，解得或；∴t為1秒或2秒時(shí)，的面積是面積的；（2）解：由題意得，，，當(dāng)點(diǎn)Q在y軸的正半軸上時(shí)，此時(shí)，，，若，則，整理得，解得（舍去），；若，則，整理得，解得（舍去）；若，，整理得，解得（舍去），（舍去）；當(dāng)點(diǎn)Q在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，此時(shí)，，，若，則，整理得，解得（舍去），（舍去）；若，則，整理得，解得（舍去），；若，，整理得，解得（舍去），；綜上，當(dāng)秒或秒或6秒時(shí)，是等腰三角形．23．（2023下·浙江溫州·八年級(jí)校考期中）如何利用閑置紙板箱制作儲(chǔ)物盒如何利用閑置紙板箱制作儲(chǔ)物盒素材如圖，圖中是小琴家需要設(shè)置儲(chǔ)物盒的區(qū)域，該區(qū)域可以近似看成一個(gè)長(zhǎng)方體，底面尺寸如圖所示．

素材如圖是利用閑置紙板箱拆解出的①，②兩種均為長(zhǎng)方形紙板．長(zhǎng)方形紙板①長(zhǎng)方形紙板②

小琴分別將長(zhǎng)方形紙板①和②以不同的方式制作儲(chǔ)物盒．長(zhǎng)方形紙板①的制作方式長(zhǎng)方形紙板②制作方式裁去角上個(gè)相同的小正方形，折成一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體儲(chǔ)物盒．

將紙片四個(gè)角裁去個(gè)相同的小長(zhǎng)方形，折成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體儲(chǔ)物盒．

目標(biāo)熟悉材料熟悉按照長(zhǎng)方形紙板①的制作方式制成的儲(chǔ)物盒能夠無(wú)縫障的放入儲(chǔ)物區(qū)域，且恰好沒有延伸到過(guò)道，則長(zhǎng)方形紙板寬為______．目標(biāo)利用目標(biāo)計(jì)算所得的數(shù)據(jù)，進(jìn)行進(jìn)一步探究．初步應(yīng)用（1）按照長(zhǎng)方形紙板①的制作方式，為了更方便地放入或取出儲(chǔ)物盒，盒子四周需要留出一定的空間，當(dāng)儲(chǔ)物盒的底面積是，求儲(chǔ)物盒的容積．儲(chǔ)物收納（2）按照長(zhǎng)方形紙板②的制作方式制作儲(chǔ)物盒，若和兩邊恰好重合且無(wú)重疊部分，盒子的底面積為．如圖，是家里一個(gè)玩具機(jī)械狗的實(shí)物圖和尺寸大小，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算判斷玩具機(jī)械狗能否完全放入該儲(chǔ)物盒．

【答案】目標(biāo)1：，目標(biāo)2：（1）儲(chǔ)物盒的容積為立方厘米（2）玩具機(jī)械狗不能完全放入該儲(chǔ)物【分析】（1）由制作過(guò)程知小正方形的邊長(zhǎng)為，，再利用面積公式即可得出收納盒的高為，進(jìn)而即