廣東省六校（廣州二中深圳實驗珠海一中中山紀念東莞中學惠州一中）高三下學期第三次聯(lián)考數(shù)學（理）試題

2018屆廣東省六校第三次聯(lián)考理科數(shù)學一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合為實數(shù)，且，為實數(shù)，且，則的元素個數(shù)為A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】由題意得圓的圓心到直線的距離為，故直線和圓相切，即直線和圓有1個公共點，所以的元素個數(shù)為1．選B．2.設等差數(shù)列的前項和為，若，，則A.B.C.D.【答案】A【解析】設等差數(shù)列的公差為，由題意得，即，解得．∴．選A．3.若變量滿足約束條件，則的取值范圍是A.B.C.D.【答案】D【解析】畫出不等式組表示的可行域（如圖陰影部分所示）．由得，平移直線，結合圖形可得，當直線經(jīng)過可行域內的點A時，直線在y軸上的截距最大，此時z取得最大值，由題意得點A的坐標為（3,0），∴．當直線經(jīng)過可行域內的點B時，直線在y軸上的截距最小，此時z取得最小值，由，解得，故點B的坐標為，∴．綜上可得，故的取值范圍是．選D．4.函數(shù)的部分圖象大致為A.B.C.D.【答案】A【解析】設，由得，則函數(shù)的定義域為．∵，∴函數(shù)為奇函數(shù)，排除D．又，且，故可排除B．，且，故可排除C．選A．5.設函數(shù)，其中常數(shù)滿足．若函數(shù)（其中是函數(shù)的導數(shù)）是偶函數(shù)，則等于A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意得，∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴．又，∴．選A．6.執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的分別為1，2，3，輸出的,那么，判斷框中應填入的條件為()A.B.C.D.【答案】C【解析】依次執(zhí)行程序框圖中的程序，可得：①，滿足條件，繼續(xù)運行；②，滿足條件，繼續(xù)運行；③，不滿足條件，停止運行，輸出．故判斷框內應填，即．選C．7.已知（，為虛數(shù)單位），又數(shù)列滿足：當時，；當，為的虛部．若數(shù)列的前項和為，則A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意得，∴當時，，又，故當時，，∴當時，．∴．選C．8.如圖，在同一個平面內，三個單位向量滿足條件：與的夾角為，且，與與的夾角為45°.若，則的值為()A.3B.C.D.【答案】B【解析】建立如圖所示的平面直角坐標系，由知為銳角，且，故，．∴點B,C的坐標為，∴．又，∴，∴，解得，∴．選B．9.四面體中，三組對棱的長分別相等，依次為5，4，，則的取值范圍是A.B.C.D.【答案】C【解析】由于四面體的三組對棱分別相等，故可構造在長方體內的三棱錐(如圖所示)，其中．設長方體的三條棱長分別為，則有．（1）由②③得，又，∴，解得．（2）由②③得，又，∴，解得．綜上可得．故的取值范圍是．選C．點睛：由于長方體的特殊性，因此解題時構造長方體中的四面體是解答本題的關鍵，借助幾何模型使得解題過程順利完成，這也是解答立體幾何問題的常用方法．10.從2個不同的紅球、2個不同的黃球、2個不同的藍球共六個球中任取2個，放入紅、黃、藍色的三個袋子中，每個袋子至多放入一個球，且球色與袋色不同，那么不同的放法有()A.42種B.36種C.72種D.46種【答案】A【解析】分以下幾種情況：①取出的兩球同色，有3種可能，取出球后則只能將兩球放在不同色的袋子中，則共有種不同的方法，故不同的放法有種．②取出的兩球不同色時，有一紅一黃、一紅一藍、一黃一藍3種取法，由于球不同，所以取球的方法數(shù)為種；取球后將兩球放在袋子中的方法數(shù)有種，所以不同的放法有種．綜上可得不同的放法有42種．選A．11.已知點為雙曲線的右焦點，直線與交于，兩點，若，設，且，則該雙曲線的離心率的取值范圍是A.B.C.D.【答案】D【解析】如圖，設雙曲線的左焦點為，連．由于四邊形為矩形，故．在中，，由雙曲線的定義可得，∴．∵，∴，∴，∴．即雙曲線的離心率的取值范圍是．選D．點睛：求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關系轉化為關于雙曲線基本量的方程或不等式，利用和轉化為關于e的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍．12.已知是函數(shù)與圖象的兩個不同的交點，則的取值范圍是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由得，設，則，∴當時函數(shù)單調遞減，當時函數(shù)單調遞增，故．設，則，∴在上單調遞增，∴，∴．∴，∴∵，故，且在上單調遞減，∴，即．由，得，故在上單調遞增．∴．設，可得函數(shù)在上單調遞減，∴，即，又，∴，∴，即，∴，∴．綜上可得，即所求范圍為．選D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則__________．【答案】,【解析】由定積分的運算性質可得．∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，∴．又．∴．答案：14.已知函數(shù)，若，則函數(shù)的圖象恒過定點___．【答案】【解析】∵，∴函數(shù)圖象的對稱軸為，∴，即，∴．在中，令，則．∴函數(shù)的圖象恒過定點．答案：15.已知幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為一正方形，則該幾何體的表面積為__________．【答案】【解析】由三四圖可得，該幾何體為如圖所示的三棱錐．∵正方體的棱長為2，∴,∴，∴該幾何體的表面積為．答案：16.若函數(shù)的圖象上存在不同的兩點，，其中使得的最大值為0，則稱函數(shù)是“柯西函數(shù)”．給出下列函數(shù)：①；②；③；④.其中是“柯西函數(shù)”的為___．（填上所有正確答案的序號）【答案】①④【解析】設，由向量的數(shù)量積的可得，當且僅當向量共線（三點共線）時等號成立．故的最大值為0時，當且僅當三點共線時成立．所以函數(shù)是“柯西函數(shù)”等價于函數(shù)的圖象上存在不同的兩點，使得三點共線．對于①，函數(shù)圖象上不存在滿足題意的點；對于②，函數(shù)圖象上存在滿足題意的點；對于③，函數(shù)圖象上存在滿足題意的點；對于④，函數(shù)圖象不存在滿足題意的點．圖①圖②圖③圖④故函數(shù)①④是“柯西函數(shù)”．答案：①④點睛：（1）本題屬于新定義問題，讀懂題意是解題的關鍵，因此在解題時得到“柯西函數(shù)”即為圖象上存在兩點A,B，使得O,A,B三點共線是至關重要的，也是解題的突破口．（2）數(shù)形結合是解答本題的工具，借助于圖形可使得解答過程變得直觀形象．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分.17.設數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，滿足.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求數(shù)列的通項公式.【答案】(Ⅰ)，，；(Ⅱ).【解析】試題分析：(Ⅰ)在中，分別令可得到，然后可得到的值．(Ⅱ)先由得到，再由可得，故可得，因此得到數(shù)列為等比數(shù)列，由此可求得數(shù)列的通項公式．試題解析：（Ⅰ）∵，，∴；∵，∴；∵，∴．（Ⅱ）∵…①，∴…②，∴①②得，，又也滿足上式，∴…③，∴…④，③④得，∴．又，∴數(shù)列是首項為3，公比為的等比數(shù)列．∴，∴．點睛：數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關系是．在應用此結論解題時要注意：若當n＝1時，a1若適合，則n＝1的情況可并入n≥2時的通項an；當n＝1時，a1若不適合，則用分段函數(shù)的形式表示．18.某小店每天以每份5元的價格從食品廠購進若干份食品，然后以每份10元的價格出售.如果當天賣不完，剩下的食品還可以每份1元的價格退回食品廠處理.(Ⅰ)若小店一天購進16份，求當天的利潤（單位：元）關于當天需求量（單位：份，）的函數(shù)解析式；(Ⅱ)小店記錄了100天這種食品的日需求量（單位：份），整理得下表：日需求量14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.(i)小店一天購進16份這種食品，表示當天的利潤（單位：元），求的分布列及數(shù)學期望；(ii)以小店當天利潤的期望值為決策依據(jù)，你認為一天應購進食品16份還是17份？【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)(i)答案見解析；(ii)17份.【解析】試題分析：(Ⅰ)分和兩種情況分別求得利潤，寫成分段的形式即可得到所求．(Ⅱ)(i)由題意知的所有可能的取值為62，71，80，分別求出相應的概率可得分布列和期望；(ii)由題意得小店一天購進17份食品時，利潤的所有可能取值為58，67,76,85，分別求得概率后可得的分布列和期望，比較的大小可得選擇的結論．試題解析：（Ⅰ）當日需求量時，利潤，當日需求量時，利潤，所以關于的函數(shù)解析式為．（Ⅱ）（i）由題意知的所有可能的取值為62，71，80，并且，，．∴的分布列為：X627180P0．10．20．7∴元．（ii）若小店一天購進17份食品，表示當天的利潤(單位：元)，那么的分布列為Y58677685P0．10．20．160．54∴的數(shù)學期望為元．由以上的計算結果可以看出，即購進17份食品時的平均利潤大于購進16份時的平均利潤．∴所以小店應選擇一天購進17份．19.如圖，在四棱錐中，是平行四邊形，，，，，，分別是，的中點．（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【答案】（1）見解析（2）【解析】試題分析：（Ⅰ）運用幾何法和坐標法兩種方法進行證明可得結論．（Ⅱ）運用幾何法和坐標法兩種方法求解，利用坐標法求解時，在得到兩平面法向量夾角余弦值的基礎上，通過圖形判斷出二面角的大小，最后才能得到結論．試題解析：解法一：（Ⅰ）取中點，連，∵，∴，∵是平行四邊形，，，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴平面，∴.∵分別是的中點，∴∥，∥，∴，，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴是二面角的平面角.,，，在中，根據(jù)余弦定理得，∴二面角的余弦值為．解法二：（Ⅰ）∵是平行四邊形，，，∴，∴是等邊三角形，∵是的中點，∴，∵∥，∴.以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，，，，設，由，，可得，，，∴，∵是的中點，∴，∵，∴，∵，，∴平面，∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．設是平面的法向量，由，得，令，則．又是平面的法向量，∴，由圖形知二面角為鈍角，∴二面角的余弦值為.20.已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右頂點，點滿足．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設直線經(jīng)過點且與交于不同的兩點、，試問：在軸上是否存在點，使得直線與直線的斜率的和為定值？若存在，請求出點的坐標及定值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2），定值為1.【解析】試題分析：.......................................，根據(jù)此式的特點可得當時，為定值．試題解析：（Ⅰ）依題意得、，，∴，解得．∵，∴，∴，故橢圓的方程為．（Ⅱ）假設存在滿足條件的點.當直線與軸垂直時，它與橢圓只有一個交點，不滿足題意.因此直線的斜率存在，設直線的方程為，由消去整理得，設、，則，，∵，∴要使對任意實數(shù)，為定值，則只有，此時．故在軸上存在點，使得直線與直線的斜率的和為定值．點睛：解決解析幾何中定值問題的常用方法（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．（2）直接對所給要證明為定值的解析式進行推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量得到常數(shù)，從而證明得到定值，這是解答類似問題的常用方法．21.已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）函數(shù)的圖象能否與軸相切？若能，求出實數(shù)a，若不能，請說明理由；（Ⅱ）求最大的整數(shù)，使得對任意，不等式恒成立．【答案】（1）不能（2）【解析】試題分析：（Ⅰ）假設函數(shù)的圖象能與軸相切．設切點為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義得到關于的方程，然后判斷此方程是否有解即可得到結論．（Ⅱ）將不等式變形為,設，則問題等價于對任意恒成立，故只需函數(shù)在R上單調遞增，因此在R上恒成立即可，由可得，即為成立的必要條件，然后再證時，即可得到結論．試題解析：（Ⅰ）∵，∴．假設函數(shù)的圖象與軸相切于點，則有，即．顯然，將代入方程中可得．∵，∴方程無解．故無論a取何值，函數(shù)的圖象都不能與軸相切．（Ⅱ）由題意可得原不等式可化為，故不等式在R上恒成立．設，則上式等價于，要使對任意恒成立，只需函數(shù)在上單調遞增，∴在上恒成立．則，解得，∴在上恒成立的必要條件是：．下面證明：當時，恒成立．設，則，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．∴，即．則當時，，；當時，，．∴恒成立．所以實數(shù)的最大整數(shù)值為3．點睛：（1）解決探索性問題時，可先假設結論成立，然后在此基礎上進行推理，若得到矛盾，則假設不成立；若得不到矛盾，則假設成立．（2）解答本題的關鍵是構造函數(shù)，將問題轉化為函數(shù)單調遞增的問題處理，然后轉化為恒成立，可求得實數(shù)a的值．（二）選考題：共10分.請考生在第2