第02講平行線及其判定

第02講平行線及其判定知識點1：平行線的定義及畫法1．定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，如果直線a與b平行，記作a∥b．注意：(1)平行線的定義有三個特征：一是在同一個平面內(nèi)；二是兩條直線；三是不相交，三者缺一不可；(2)有時說兩條射線平行或線段平行，實際是指它們所在的直線平行，兩條線段不相交并不意味著它們就平行．(3)在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有相交和平行兩種．特別地，重合的直線視為一條直線，不屬于上述任何一種位置關(guān)系．2.平行線的畫法：用直尺和三角板作平行線的步驟：①落：用三角板的一條斜邊與已知直線重合.②靠：用直尺緊靠三角板一條直角邊.③推：沿著直尺平移三角板,使與已知直線重合的斜邊通過已知點.④畫：沿著這條斜邊畫一條直線,所畫直線與已知直線平行.知識點2：平行公理及推論1．平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．2．推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．記作：如果a∥b，b∥c，那么a∥c．注意：(1)平行公理特別強(qiáng)調(diào)“經(jīng)過直線外一點”，而非直線上的點，要區(qū)別于垂線的第一性質(zhì)．（2）“平行公理的推論”也叫平行線的傳遞性．知識點3：平行線的判定判定方法（1）：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：同位角相等，兩直線平行．幾何語言：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）．判定方法（2）：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．∵∠2＝∠3，∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．判定方法（3）：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行．簡單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．∵∠4＋∠2＝180°，∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．考點剖析考點一：平行線的定義【典例1】在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系可能是（

）A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或重合【答案】C【解析】在同一平面內(nèi)，兩條直線有一個交點，兩條直線相交；在同一平面內(nèi)，兩條直線沒有交點，兩條直線平行，故C正確．故選：C．【變式11】下列說法正確的是（

）A．在同一平面內(nèi)，兩條線段不相交就平行 B．過一點有且只有一條直線與已知直線平行C．兩條射線或線段平行是指它們所在的直線平行 D．兩條不相交的直線是平行線【答案】C【解析】A、在同一平面內(nèi)，兩條線段不相交，也不一定平行，故錯誤，不合題意；B、過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故錯誤，不合題意；C、兩條射線或線段平行是指它們所在的直線平行，故正確，符合題意；D、在同一平面內(nèi)，兩條不相交的直線是平行線，故錯誤，不合題意．故選：C．【變式12】如圖，工人師傅在貼長方形的瓷磚時，為了保證所貼瓷磚的外緣邊與上一塊瓷磚的兩邊互相平行，一般將兩塊瓷磚的一邊重合，然后貼下去．這樣做的數(shù)學(xué)依據(jù)是．【答案】平行于同一條直線的兩條直線平行【解析】這樣做的數(shù)學(xué)依據(jù)是平行于同一條直線的兩條直線平行，故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行．【變式13】如圖，在同一平面內(nèi)，經(jīng)過直線外一點的4條直線中，與直線相交的直線至少有條．

【答案】3【解析】在同一平面內(nèi)，有且只有一條直線與已知直線平行，則可得與直線相交的直線至少有3條，故答案為：3．考點二：平行線公理及推論【典例2】是直線，下列說法正確的是()A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】A、在同一平面內(nèi)，若，則，原說法錯誤，不符合題意；B、在同一平面內(nèi)，若，則，原說法錯誤，不符合題意；C、在同一平面內(nèi)，若，則，原說法錯誤，不符合題意；D、若，則，正確，符合題意．故選：D【變式21】如果，那么．【答案】/【解析】如果，那么（平行于同一直線的兩直線平行），故答案為：．考點三：平行線判定同位角相等，兩直線平行【典例3】如圖，點A在射線上，點C在射線上，，．求證：．請將下面的證明過程補(bǔ)充完整．證明：∵（已知），，∴______，∵（已知），∴______（______），∴（______）．【答案】；；等量代換；同位角相等，兩直線平行【解析】∵（已知），，∴，∵（已知），∴（等量代換），∴（同位角相等，兩直線平行）．【變式31】下面是李強(qiáng)想出畫一條直線的平行線的方法，這種畫法的依據(jù)是（

）（1）

（2）過點作直線

（3）作，則A．兩直線平行，同位角相等 B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行C．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 D．同位角相等，兩直線平行【答案】D【解析】∵，∴（同位角相等，兩直線平行）．故選：D．【變式32】已知：如圖，直線與被所截，．求證：．

【解析】∵（對頂角相等），又∵（已知），∴，∴（同位角相等，兩直線平行）．【變式33】如圖所示，直線，相交于點C，過點C作射線，使得平分，若，試說明．

【解析】因為平分，所以．因為，，所以，所以．考點四：平行線判定內(nèi)錯角相等，兩直線平行【典例4】如圖，已知于點于點．試說明：．

解：（已知），（__________）．同理，．（__________），即．（已知）_______（___________）．∴__________（____________）．【答案】垂直的定義，等量代換，，等量代換，，，內(nèi)錯角相等，兩直線平行【解析】（已知），（垂直的定義）．同理，．（等量代換），即．（已知）（等量代換）．∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【變式41】如圖所示，已知，平分，試說明．

【解析】∵平分，∴，又∵，∴，∴．【變式42】如圖，，，分別是，的平分線，，試探究與的位置關(guān)系并說明理由．

請完善下列解題過程．解：與的位置關(guān)系是___________．，分別是，的平分線（已知），___________，___________（

）．（已知），___________．又（已知），（

），（

）．【答案】；；；角平分線的定義；；等量代換；；內(nèi)錯角相等，兩直線平行【解析】與的位置關(guān)系是．，分別是，的平分線（已知），，（角平分線的定義）．（已知），．又（已知），（等量代換），（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【變式43】如圖，點在上，，且平分．

(1)平分嗎？試說明理由．(2)若，，求證：．【解析】（1）∵，∴，∴，∴．又∵平分，∴，∴，∴平分．（2）∵，，，，∴，，∴，，∴．考點五：平行線判定同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行【典例5】如圖，已知平分平分，且與互余．試說明：．

【解析】與互余，．平分平分，．．∴．【變式51】如圖，已知，求證：∥．

【解析】∵（已知），∴（垂直的定義），∵（已知），∴，即．∴（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．過關(guān)檢測一、選擇題1．如圖，已知，要使，則需具備的另一個條件是（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，當(dāng)時，，可得，故選：D．2．下列命題正確的是（

）①在同一平面內(nèi)，兩條直線不平行就相交；②如果線段與線段不相交，那么直線和平行；③如果，，那么；④同旁內(nèi)角相等，兩直線平行．（

）A．③ B．②③ C．①③ D．①②③【答案】C【解析】①在同一平面內(nèi)，不平行的兩條直線就相交，描述正確；②如果線段和線段不相交，那么直線和直線不一定平行，故原描述錯誤；③如果，，那么，描述正確；④同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，原描述錯誤．故選：C．3．如圖，能判定的條件是（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】∵只有同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)才能判斷兩直線平行，選項D中是內(nèi)錯角相等，故能判定兩直線平行，其他選項不符合判定定理，無法判斷．故選：D．4．如圖，能判定的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】、∵，∴，故此選項不符合題意；、，不能判定直線平行，故此選項不符合題意；、∵，∴，故此選項符合題意；、∵，∴∥，故此選項不符合題意．故選：．5．如圖，已知直線外一點，過點畫直線，使，借助三角板有如下操作：①固定直尺，并沿方向移動三角板，使斜邊經(jīng)過點；②用三角板的斜邊靠上直線；③沿三角板斜邊畫直線；④用直尺緊靠三角板的一條直角邊．正確的操作順序是（

）A．①②③④ B．②④③① C．②④①③ D．④③②①【答案】C【解析】②用三角板的斜邊靠上直線；④用直尺緊靠三角板的一條直角邊；①固定直尺，并沿方向移動三角板，使斜邊經(jīng)過點；③沿三角板斜邊畫直線．故選：C．6．如圖，已知，是上一點，直線與的夾角，要使，直線繞點按逆時針方向至少旋轉(zhuǎn)（

）度

A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，∴．故選：A．7．如圖，將一副三角尺如圖放置，、交于點，，，則下列結(jié)論不正確的是(

)

A． B．C．若，則 D．若，則【答案】C【解析】＋＋，，故A正確；，，故B正確；，，，，和不平行，故C錯誤；，，，，，故D正確．故選：C．8．一學(xué)員練習(xí)駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是（

）A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐C．第一次向右拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐【答案】A【解析】對于選項A，轉(zhuǎn)完兩次后相當(dāng)于在原方向上轉(zhuǎn)過了0°，和原來方向相同，故A正確；對于選項B，轉(zhuǎn)完兩次后相當(dāng)于在原方向上左拐80°，故B錯誤；對于選項C，轉(zhuǎn)完兩次后相當(dāng)于在原方向上右拐180°，故C錯誤；對于選項D，轉(zhuǎn)完兩次后相當(dāng)于在原方向上左拐180°，故D錯誤．故選A．9．如圖，給出了過直線外一點作已知直線的平行線的方法，其依據(jù)是（

）

A．同位角相等，兩直線平行 B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行C．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 D．兩直線平行，同位角相等【答案】A【解析】依據(jù)平行線的判定定理：同位角相等，兩直線平行．故選：A．10．下列語句中正確的個數(shù)有（

）①過一點有且只有一條直線與已知直線平行②在同一平面內(nèi)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直③如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行④從直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這點到這條直線的距離⑤如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故本說法錯誤；②在同一平面內(nèi)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故本說法正確；③如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行，故本說法正確；④從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這點到這條直線的距離，故本說法錯誤；⑤在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行，故本說法錯誤．故選：B．11．工人師傅對如圖所示的零件進(jìn)行加工，把材料彎成了一個40°的銳角，然后準(zhǔn)備在A處第二次加工拐彎，要保證彎過來的部分與BC保持平行，彎的角度是()A．40° B．140° C．40°或140° D．50°【答案】C【解析】如圖1，作AE∥BC，則∠CBA+∠EAB=180°，∵∠CBA=40°，∴∠EAB=140°，如圖2，作AE∥BC，則∠CBA=∠EAB=40°．綜上所述，彎的角度是40°或140°．故選C．二、填空題12．如圖，兩塊三角板形狀大小完全相同，則邊的依據(jù)是．（寫一個即可）【答案】同位角相等，兩直線平行（答案不唯一）【解析】依題意，，∴（同位角相等，兩直線平行），故答案為：同位角相等，兩直線平行（答案不唯一）．13．如圖所示，一個彎形管道的拐角，，管道，的關(guān)系是，依據(jù)是．

【答案】；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行【解析】∵，，∴，∴（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．故答案為：；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．三、解答題14．如圖，已知E，B，C三點共線，平分，，試說明：．因為平分（），所以=（），又因為（