浙江省2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月學(xué)業(yè)水平第二次適應(yīng)性聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2024年6月浙江省學(xué)業(yè)水平第二次適應(yīng)性聯(lián)考高二數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本試題卷共4頁，滿分100分，考試時間80分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號.3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分一、單項選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由交集定義運(yùn)算即可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)交集運(yùn)算可求得.故選：C2.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部是（）A1 B. C.2024 D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的概念及虛部的定義可得結(jié)果.【詳解】由復(fù)數(shù)的概念可得的虛部是.故選：B3.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)開偶次方被開方數(shù)非負(fù)以及分母不能為零結(jié)合一元二次不等式以及三角不等式即可求解.【詳解】由題得，，或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.4.樣本數(shù)據(jù)1，3，5，6，7，10的中位數(shù)為（）A.5 B.5.5 C.6 D.5或6【答案】B【解析】分析】根據(jù)中位數(shù)定義計算即可.【詳解】把數(shù)據(jù)從小到大排列為1，3，5，6，7，10，可得中位數(shù)為.故選：B.5.下列函數(shù)在定義域上為減函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分別判斷各個選項即可.【詳解】在上是單調(diào)增函數(shù)，A選項錯誤；,,不是單調(diào)減函數(shù)，B選項錯誤；,不是單調(diào)減函數(shù)，C選項錯誤；在上單調(diào)遞減，D選項正確.故選：D.6.已知，則的值（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系將弦化切代入可得結(jié)果.【詳解】由可得，將分式的分子和分母同時除以可得，.故選：A7.已知，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用分段函數(shù)性質(zhì)可求得當(dāng)時，函數(shù)為單調(diào)遞增，即可得出結(jié)論.【詳解】由可得，易知，易知，由為單調(diào)遞增函數(shù)可得，即；故選：B8.在一次數(shù)學(xué)考試中，超過85分（含85分）為優(yōu)秀，現(xiàn)有5位學(xué)生成績?nèi)缦拢?9，83，87，90，95.從這5位學(xué)生中隨機(jī)抽取2位，則抽到的2位同學(xué)考試成績都為優(yōu)秀的概率（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依題意，由古典概型概率計算公式可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，抽到的2位同學(xué)考試成績組成的樣本空間共有10個樣本點(diǎn)；即；其中2位同學(xué)考試成績都為優(yōu)秀樣本點(diǎn)為，共3個；所以抽到的2位同學(xué)考試成績都為優(yōu)秀的概率為.故選：C9.已知實(shí)數(shù)，是奇函數(shù)，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)得到方程，化簡得到，得到答案.【詳解】由題意得，即，故，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.故選：A10.近年來純電動汽車越來越受消費(fèi)者的青睞，新型動力電池迎來了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口，于1898年提出蓄電池的容量（單位：），放電時間（單位：）與放電電流（單位：）之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：，其中為常數(shù).為測算某蓄電池的常數(shù)，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流時，放電時間；當(dāng)放電電流時，放電時間.若計算時取，，則該蓄電池的常數(shù)大約為（）A.1.25 B.1.75 C.2.25 D.2.55【答案】C【解析】【分析】利用經(jīng)驗(yàn)公式將數(shù)據(jù)代入構(gòu)造方程組，再由對數(shù)運(yùn)算法則可解得常數(shù).【詳解】根據(jù)題意由可得，兩式相除可得，即可得，兩邊同時取對數(shù)可得，即可得；即.故選：C11.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)為圖象對稱中心，為奇函數(shù)，利用為奇函數(shù)，則，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)圖象的對稱中心為，則，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，所以得，解得，.故選：B12.已知關(guān)于的不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化成判斷函數(shù)與的符號問題，再利用二次函數(shù)和三角函數(shù)性質(zhì)即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意可得對于函數(shù)，當(dāng)時，即時，，此時滿足恒成立，因此，只需恒成立即可，因此恒成立；又易知，所以可得，因此可得；當(dāng)時，即或時，此時，若，可得恒成立，因此只需滿足在上恒成立，顯然不合題意；若，可得恒成立，因此只需滿足在上恒成立，不妨取，可得，顯然不合題意；綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決三角不等式往往利用三角函數(shù)有界性，并根據(jù)恒成立條件限定出含參數(shù)不等式范圍，即可求得結(jié)論.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題4分，共16分.每小題列出的四個備選項中有多個是符合題目要求的，全部選對得4分，部分選對且沒錯選得2分，不選、錯選得0分.）13.已知向量，，下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)兩向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算判斷A；根據(jù)兩向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算判斷B；根據(jù)向量模長的坐表示判斷C；根據(jù)兩向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算判斷D.【詳解】因?yàn)?，，A選項，若，則有，A正確；B選項，若，則有，解得，B正確；C選項，若，則，即，解得，C錯誤；D選項，，若，則，即，解得，D正確.故選：ABD14.已知，，是三條不重合的直線，，，是三個兩兩不重合的平面，則下列命題中真命題是（）A.若，，則 B.若，，，，則C.若，，，則 D.若，，，則【答案】ACD【解析】【分析】由線面垂直性質(zhì)可判斷A正確；利用線面垂直判定定理可判斷B錯誤；根據(jù)面面垂直的判定定理可得C正確；由面面垂直的性質(zhì)可判斷D正確.【詳解】對于A，若，，由線面垂直性質(zhì)可得，即A正確；對于B，若，，，，當(dāng)平行時，可能，所以B錯誤；對于C，若，，，則在平面內(nèi)存在一條直線滿足，則可得，即C正確；對于D，如下圖所示：設(shè)，，在平面內(nèi)取一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，過點(diǎn)作直線，由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，平面；又，即，所以可得；又，且平面，可得，則D正確.故選：ACD15.已知函數(shù)，則下列正確的是（）A.函數(shù)的值域?yàn)锽.函數(shù)最小正周期為C.當(dāng)時，方程有且僅有1個實(shí)根D.在區(qū)間上單調(diào)遞增，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)振幅判斷A選項；根據(jù)函數(shù)周期判斷B選項；利用數(shù)形結(jié)合分別畫出與的圖象，根據(jù)交點(diǎn)個數(shù)判斷C選項；利用換元法，將函數(shù)，化為，，通過，再結(jié)合已知條件確定的取值范圍即可判斷D.【詳解】A選項，因?yàn)?，函?shù)振幅為，所以函數(shù)的值域?yàn)?，A正確；B選項，函數(shù)的周期為，所以B錯誤；C選項，時，，求方程的根，可轉(zhuǎn)化為求與的圖象的交點(diǎn)個數(shù)，分別畫出與的圖象，因?yàn)闉橹芷诤瘮?shù)最大值為，在定義域上單調(diào)遞增且，所以兩函數(shù)圖像在之后不會再有交點(diǎn)，所以如圖方程有個實(shí)根，C錯誤；D選項，因?yàn)?，所以，令，則函數(shù)化為，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，結(jié)合在上單調(diào)遞增，則有，解得，又因?yàn)?，則.故選：AD16.如圖，直三棱柱中，，，點(diǎn)在棱上運(yùn)動（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與直線所成角的范圍是B.存在點(diǎn)，使得平面C.若為棱的中點(diǎn)，則平面截三棱柱所得截面積為D.若為棱上的動點(diǎn)，則三棱錐體積的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，由直三棱柱性質(zhì)，從而可將直線與直線所成角等價轉(zhuǎn)化為為直線與直線所成角即可較易求解；對于B，證明與不垂直即可判斷；對于C，先明確平面截三棱柱所得截面，再根據(jù)已有數(shù)據(jù)求解即可；對于D，利用等體積法即可求解.【詳解】對于A，由直三棱柱性質(zhì)，，所以直線與直線所成角即為直線與直線所成角，所以直線與直線所成角為，又點(diǎn)在棱上運(yùn)動（含端點(diǎn)），且，故，故，故A對；對于B，如圖，分別取、、中點(diǎn)為、、，設(shè)此時為中點(diǎn)，連接、、、、，則且，且，且，且，，所以，故與不垂直，故與不垂直，故根據(jù)垂直定義可知，不存在點(diǎn)，使得平面，故B錯；對于C，若為棱的中點(diǎn)，設(shè)此時為中點(diǎn)，連接、，則且，故由、可唯一確定一個平面，所以平面截三棱柱所得截面為面，又，，所以四邊形為等腰梯形，故梯形的高為，平面截三棱柱所得截面積為，故C正確；對于D，因?yàn)?，為Q到直線的距離，所以當(dāng)取得最大值時三棱錐體積最大，而最大值為，所以三棱錐體積最大為，故D對.故選：ACD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于不能直接求出三棱錐體積的三棱錐體積問題通常將三棱錐換底，利用等體積法研究求解.非選擇題部分三、填空題（本大題共4小題，每空3分，共15分.）17.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，已知，，，則_________.【答案】##【解析】【分析】由正弦定理代入即可得結(jié)果.【詳解】利用正弦定理可得，即；可得.故答案為：18.若，且，則的最小值為_________；的最小值為_________.【答案】①.3②.##【解析】【分析】利用基本不等式可得，再由對數(shù)運(yùn)算法則及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得的最小值為3，根據(jù)基本不等式中“1”的妙用即可求得出的最小值.【詳解】由，且可得，即可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；因此，即當(dāng)時，的最小值為3；易知，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立；所以當(dāng)時，的最小值為.故答案為：3，；19.若函數(shù)，存在使得，則實(shí)數(shù)的值為_________.【答案】【解析】【分析】先求得的值域?yàn)?，得到，根?jù)題意，得到，即可求解.【詳解】由余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以的值域?yàn)?，則，所以，存在使得，則滿足，即，所以，所以實(shí)數(shù)的值為.故答案為：.20.在棱長為2的正方體中，已知，分別為線段，的中點(diǎn)，點(diǎn)在矩形及其內(nèi)部運(yùn)動，則周長的最小值為_________.【答案】##【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，再取的中點(diǎn)，連接，證得平面，且，得到關(guān)于平面對稱，得到，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時，此時的最小值為，進(jìn)而求得周長的最小值.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，再取的中點(diǎn)，連接，在正方體中，可得，又由平面，且平面，，因?yàn)椋移矫?，所以平面，又因?yàn)?，所以平面，且，可得關(guān)于平面對稱，所以，則，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時，此時的最小值為，在直角中，可得，在直角中，可得，所以周長的最小值為.故答案為：.四、解答題（本大題共3小題，共33分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）21.已知平面向量，，且函數(shù).（1）求的值；（2）求函數(shù)的最小正周期；（3）求函數(shù)在上的最大值，并求出取得最大值時的值.【答案】（1）（2）（3），【解析】【分析】（1）解法1：將代入可得向量，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得結(jié)果；解法2：由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出函數(shù)的表達(dá)式，再代入可得結(jié)果；（2）根據(jù)解析式即可得最小正周期；（3）利用正弦函數(shù)單調(diào)性求得在上的單調(diào)性，再由其值域即可得出結(jié)果.【小問1詳解】解法1：因?yàn)楫?dāng)時，，，解法2：由誘導(dǎo)公式可得，，所以所以【小問2詳解】由解法2得，故函數(shù)的最小正周期為【小問3詳解】當(dāng)時，，當(dāng)，即時，函數(shù)取最大值1，此時22.如圖，已知四棱錐，底面是邊長為4的正方形，，分別為棱，的中點(diǎn)，，，.（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）作出輔助線證明為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）利用線面垂直判定定理作出二面角的平面角，再由余弦定理可得結(jié)果.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，，如下圖所示：，分別是，的中點(diǎn)，，，，，，，可得四邊形為平行四邊形，，面，面，所以平面【小問2詳解】取，的中點(diǎn)，，連接，，，作交于，，且，底面是邊長為4的正方形，，，，平面，平面，平面，，又且平面；即平面.過點(diǎn)作，連接，如下圖所示：易知知，則為二面角的平面角.在中，，在中，，設(shè)，則，則，解得，可得，，所以在中，.即二面角的平面角的余弦值為.23.已知函數(shù)，函數(shù).（1）若，且，求，的值；（2）當(dāng)時，若函數(shù)的值域和函數(shù)的值域相同，求的取值范圍；（3）當(dāng)時，記為在上的