專題九 解三角形及其應(yīng)用（解析版）-2021屆高三《新題速遞數(shù)學(xué)》5月刊（江蘇專用 適用于高考復(fù)習(xí)）

專題九解三角形及其應(yīng)用

一、單選題

3

1.（2021?四川高三三模（文））設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，。，J若。=3〃，sinA=-（

則sin8的值為（）

11r5

A.-B.—C.-D.一

51539

【答案】A

【分析】

直接運用正弦定理進行求解即可.

【詳解】

a_b3b_b=sin5-1

由正弦定理可知：sinAsinB3sinB5，

5

故選：A

71

2.（2021?北京高三二模）在△ABC中，BC=6,A=—,sin8=2sinC.則A/LBC的面積為（）

3

A.6下＞B.6C.9-73D.4及

【答案】A

【分析】

由余弦定理可得36=。2+尸_灰＞,由正弦定理可得b=2c,解得b和c的值，再由S=；入csinA即可得

解.

【詳解】

a2=b2+c2-2Z?ccosA，

36—c，2+b"—be?

vsinB=2sinC＞

.\b=2c.

解得：C=26,Z?=46，

???^ABC的面積為S=』besinA=1x2有x4宕x且=.

222

故選：A.

3.（2021?吉林長春市?東北師大附中高三其他模擬（理））已知AABC的面積是5=；（/+。2）（其中6c

為AA》。的邊長），則A/WC的形狀為（）

A.等邊三角形B.是直角三角形但不是等腰三角形

C.是等腰三角形但不是直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

【分析】

利用三角形的面積公式化簡已知條件，結(jié)合基本不等式判斷出三角形的形狀.

【詳解】

依題意△ABC的面積是S=（伍2+）,則;歷sinA=；（h1+c2）,

2bcsinA=b2+c2>由于。<A<〃,0<sinAW1,所以0<20csinAW2Z?c,

由基本不等式可知從+c2i2/?c，當(dāng)且僅當(dāng)匕=c時等號成立，

IT

所以sinA=l,A=一,一角形ABC是等腰直角三角形.

2

故選：D

4.（2021?甘肅高三二模（理））在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為“，b,。，若

sinA:sinB:sinC=5:7:9，貝！lcosC=（）

3111

A.---B.---C.—D.---

3514510

【答案】D

【分析】

根據(jù)條件sinA:sinB:sinC=5:7:9,由正弦定理得a:A:c=5:7:9,可令。=5f/=7t,c=9rQ>0）,

再利用余弦定理求解.

【詳解】

ahc

由正弦定理：^―=——=——=2R

sinAsinBsinC

得。=27?sinA,b=27?sinB,c=27?sinC

乂因為sinA:sin3:sinC=5:7:9，所以a:b:c=5:7:9

令a=5t,b=1t,c=9t(t>0)

所以cosC=/+，「一25產(chǎn)+49產(chǎn)-8If2=1

2ab2x5rx7r10

故選：D.

5.（2021?江西高三二模（理））如圖是公元前約400年古希臘數(shù)學(xué)家泰特托斯用來構(gòu)造無理數(shù)行，…

的圖形之一，此圖形中的余弦值是（）

【答案】C

【分析】

在A8C7）中，利川余弦定理求出BO?，再在A區(qū)4。中，利川余弦定理求出/胡。的余弦值.

【詳解】

在△ABC中，NACB=45'，

在ABCD中,/。。5=90,+45°=135°,，BO?=l+l+2xlxlx也=2+忘，

2

,.,XnAr\3+1-2—>/22,^5—

在ABAD中，cosNBAD-------產(chǎn)----=----------.

2V36

故選：C

【點睛】

方法點睛：解三角形需要三個條件，且至少有一個為邊，對于未知的元素可以放到其它三角形中去求解.

TT

6.（2021?河南開封市?高三三模（理））如圖，A,B,C是半徑為1的圓周上的點，且N8AC=i，

A6+AC=J匕，則圖中陰影區(qū)域的面積為（

c

a

-------

A-B.4C.工+且D.互+E

363464

【答案】A

【分析】

設(shè)圓心為0,連接。4,OB,0C,BC,易得N3OC=2衛(wèi)，^OBC=ZOCB=-,在AOBC中，求得

36

BC=2BOc4=6然后在AABC中，利用余弦定理結(jié)合AB+AC=J7,求得AC-A8=1,然后由圖

6

中陰影區(qū)域的面積為S=SAABC+S扇形05c-SQBC求解.

【詳解】

如圖所示：

__71

ZOBC=ZOCB=-

6

BC=2fiOcos-=73,

6

在z^A6c中，

由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC-AB-cos^,

=(AC+AB)2-3ACAB,

因為A8+AC=?，

所以3=(扃-3ACAB,

解得AC-AB=1,

所以S,v=」AC，A8sin匹=3,SnRC=-OB-OCs\n—^―,

△Abe234A(厄c234

1277-7T

扇形08c的面積為：S=4x^xl2=^

233

所以圖中陰影區(qū)域的面積為S=S,^+SMMC—5℃=/+專一曰=0，

故選：A

【點睛】

rr2九"TT

關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是由NBAC=g,分別求得NB0C=——，N。BC=9進而求得S“Bc，S扇般畋.，S&1c

336

而得解.

7.(2021?河南洛陽市?高三三模(理))在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,。，且

(a-揚卜in4=(c+b)(sinC-sin8),設(shè)。是AB的中點，若CD=1，則△ABC面積的最大值是()

A.V2-1B.72+1c.3-2立D.3+2夜

【答案】A

【分析】

根據(jù)正弦定理、余弦定理、平面向量的加法的幾何意義，結(jié)合三角形的面積公式、重要不等式進行求解即

可.

【詳解】

(a—0Z?卜inA=(c+b)(sinC-sinB)=>(a-0Z?)a=(c+Z?)(c-/?)=>a2—yflab-c2—b2,

所以C?=/+/—，由余弦定理可知：c2=a2+b2-2ab-cosC-

因此有cosC=Ce（0,4）,C=工，

24

因為。是AB的中點，所以有國=（（（%+而），平方得：

CD=-（CA+CB2+2CA-CB）=>4=b2+a2+2ba—=>b2+a2+y/2ba=4，

42

因為Y+b?22a。，所以4一缶822。8=>9?42（2-五），

SsBc~耳sinC———cibV-^―x2x（2—=,^2—1>

故選：A.

【點睛】

關(guān)鍵點睛：由。是AB的中點得到①=g（E+而）是解題的關(guān)鍵.

8.（202卜山西高三二模（理））在445。中，己知而./=3,△ABC的面積為2,則邊8c的長有（）

A.最大值2逐B(yǎng).最小值2番

C.最大值2D.最小值2

【答案】D

【分析】

QinA4

設(shè)A3=c,AC="5C=a,則由已知條件可得力ccosA=3,0csinA=4,從而可得-----=—,再結(jié)合

cosA3

43

si^A+cos2A=1求得sinA=《,cosA=g,be=5,由余弦定理可得"=從+,2一6,再結(jié)合基本不等

式可得答案

【詳解】

解：設(shè)AB=c,AC=）,BC=a,

因為A從而=3，所以匕ccosA=3，

因為△ABC的面積為2,所以，歷sinA=2,即從*sinA=4,

2

,besinA4,口sinA4r.4八

所以-------=-，得------=一，且sinA>0,cosA4>0A,

becosA3cosA3

因為sin?z4+cos2A=1，

43

解得sinA=《,cosA='，所以人c=5,

所以由余弦定理得cosA="+c2—礦="+廠—、2=。，

2bc105

所以a?=r2+12—6,

因為b2+c2i2Z?c=l(),當(dāng)且僅當(dāng)6=c=有時，取等號，

所以。2=/+。2-6210—6=4，

所以。的最小值為2,無最大值，即的最小值為2,無最大值，

故選：D

9.(2021.山西晉城市.高三二模(文))在AABC中，角A、B、C的對邊分別為。、b、。，若c=2b,

sin2A-3sin2B=—sinAsinC,則角C=()

2

【答案】B

【分析】

由正弦定理結(jié)合已知條件可得出再利用余弦定理求得cosC的值，結(jié)合角。的取值范圍可

求得角C的值.

【詳解】

因為sin?A-3sin?i3=—sinAsinC,由正弦定理可得"-3b2-—ac

22

,;c=2b,所以,a2-3b2-—a-2b=ab,

2

由余弦定理可得cosC=g￡t=Wab_1

2ah~2

TT

因此，c=一.

3

故選：B.

【點睛】

方法點睛：在解三角形的問題中，若己知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到

答案，要選擇“邊化角”或"角化邊”，變換原則如下：

（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理"角化邊”；

（2）若式子中含有。、b、。的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；

（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；

（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；

（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；

（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內(nèi)角和定理.

10.（2021?吉林長春市?東北師大附中高一期中）己知AABC內(nèi)角A，B,C所對邊的長分別為a,A,c,

a=bcosC,則AABC形狀一定是（）

A.等腰直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.直角三角形

【答案】D

【分析】

由余弦定理化簡可得/+M，即可判斷.

【詳解】

2,22

a=hcosC,余弦定理可得a=b?0+"一。，則2a2=1十〃一,

lab

則/+02=62,所以△ABC為直角三角形.

故選：D.

11.（2021?浙江高一期末）“LBC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,h,c若4=105°,3=45°,。=2近,

則c等于（）

A.1B.^2C.6D.2

【答案】D

【分析】

計算C=30。，再利用正弦定理計算得到答案.

【詳解】

由已知得C=180°-8-A=30°,根據(jù)正弦定理：=,故c=2.

sin45°sin30°

故選：D.

12.（2021?安徽馬鞍山市?高三二模（文））在448C中，角A,5,C所對的邊分別是mb,c,若ccosA+〃cosC=2,

AC邊上的高為遂，則NA8C的最大值為（)

7C7171_27r

A.一B.一C.一D.——

6323

【答案】B

【分析】

由余弦定理可求得Z;=2，再山等面積關(guān)系可得ac=2^，利用余弦定理結(jié)合基本不等式得出

sinB

cosfi>l--,即可求得sin(B+工71]2

—,再結(jié)合3的范圍即可得出結(jié)論.

ac32

【詳解】

,/ccosA+acosC=2,

人242_2〃2扇_2

由余弦定理可得—匕+。?幺二一—=2,整理可得6=2,

2bclab

又AC邊上的向為,所以一x2xy/3=—tzcsinB,即ac=2y

22sinB

2

?…=上士。到衛(wèi)=1--,當(dāng)且僅當(dāng)〃二。取等號,

2aclacac

cosB>1--sinB?即Gsin8+3cosB23，即sin]3+g)之

32

714萬也力717711172萬1

,則5+彳￡二丁

31333

式

0,y,故/ABC的最大值為一.

3

故選：B.

【點睛】

旭，由基本不等式得

關(guān)鍵點睛：本題考查余弦定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是等面積關(guān)系得比

sinB

cosB>\---.

ac

二、多選題

13.（2021?吉林長春市?東北師大附中高一期中）己知AABC的內(nèi)角A,3，C所對邊的長分別為

7T

A=_,a=m,。=4,若滿足條件的△ABC有兩個，則機的值可以是（）

4

A.2&B.2-^3C.3D.4

【答案】BC

【分析】

在AABC中，由余弦定理建立起關(guān)于C的一元二次方程，利用這個方程有二不等的正根求鋁，/Z的范圍即可

得解.

【詳解】

在△ABC中，由余弦定理/=匕2+c，2一2匕ccosA得：/H2=42+c2-2-4ccos—,

4

即。2一4岳+16-m2=0，依題意，關(guān)于。的一元二次方程有兩個不等的正根，

所以△=（4—4"（16—m2）=4〃廠—32>0=>irr>8,并且16—>>0=病<16>

而，">0,貝“2&<加<4，取加=26或m=3,選項B,C符合條件.

故選：BC

14.（2021.浙江高一期末）在AABC中，角4B,C所對的邊分別為訪b,c,給出下列命題，其中正確

的命題為（）

A.若A>B>C,則sinA>sin3>sinC；

B.若。=4（）,b=20,8=25。，則滿足條件的AABC有兩個；

C.若0<tanAtan8<l,則AABC是鈍角三角形；

D.存在角A,B,C,使得1@11431131311。<131171+13113+1311。成立；

【答案】ABC

【分析】

A.利用正弦定理判斷該選項正確；

B.由于40sin25o<40sin3（T=20,因此滿足條件的有兩個，所以該選項正確；

C.可以證明tanC<0，A/WC是鈍角三角形，所以該選項正確；

D.可以證明tanAtan8tanC=tanA+tanB+tanC,所以該選項不正確.

【詳解】

A.若A>8>C，.:。〉力〉c,由正弦定理可得：」一=上=二，則sinA>sin6>sinC,所以該

sinAsinBsinC

選項正確：

B.若a=40,〃=20，8=25°,則40sin250<40sin300=20,因此滿足條件的△ABC有兩個，所以該

選項正確；

C.若OvtanAtanBcl,則-tanC=tan(A+B)=單〕A+"n>>。?.tanC<0,Ce(0,CG(—,^))

1-tanAtanB2

△ABC是鈍角三角形，所以該選項正確；

D.由于當(dāng)C/工時，-tanC=tan(A+3)~+tan—,tanAtanBtanC=tan>4+tanZ?+tanC,所以

21-tanAtanB

該選項不正確.

故選：ABC

【點睛】

tanyl-LtqnR

關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是靈活利用和角的正切公式tan(A+B)=------------------，只有靈活運用該公式

1-tanAtanJB

才能簡潔高效地判斷后面兩個選項的真假.

第II卷(非選擇題)

三、解答題

15.(2021?寧夏高三二模(文))從①a+c=4,8=2②tanA=%巨，a=5③b=6a，c=2,這三

11

個條件中，任選一個，補充在下面問題中并解答.

△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為mb,c,bsinA->j3acosB=0>，求△A6C的面

積.(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)

【答案】答案見解析.

【分析】

乃1

先化簡已知條件得5=1，若選擇①，結(jié)合余弦定理解出4=4,利用面積公式S*BC=/"sin8計算即

可；若選擇②，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解出sinA=士叵，結(jié)合正弦定理解出b邊，再利用余弦定理

14

解出c邊，利用面積公式計算即可；若選擇③，先利用余弦定理解出c邊，再利用面積公式計算即可.

【詳解】

解：QZ?sinA—百acos8=0

由正弦定理得sinBsinA--73sinAcosB=0.

sinB（sinA-+cosB）=0.

?.?3c（0,左），sinB^O.

/.sinA-代cosB=0

兀

sinB=yJ3cosB即tan3=>/5，B￡（0,九）,故8=§.

若選擇①：

由余弦定理得。2=a2+c2-2accosB，

整理得4=a2+c2-2accosB4=a2+c2-ac?

4=（〃+c）2—3ac,解得QC=4,

q一acsinB=—x4x^—=>/3；

LABC222

若選擇②:

tanA=Ae（0,￡）

112

sinA5>j3

，解得sinA=%^

根據(jù)題意得《cosA11

14

sin2A+cos2A=1

5b

在△ABC中，由正弦定理得，一=——，即不萬=耳，解得。=7,

sinAsinB-——

142

由余弦定理得b2=a2+c2—2accosB，

整理得49=25+/一50即c2—5c—24=0,解得c=8（c=—3舍去）,

q=LesinB=—x5x8x-10^:

“△ABC222

若選擇③：

在△ABUT,由余弦定理得匕2=a2+c2_2accosB，Bp3a2=a2+4-2ax2x-,

2

化簡為/+a—2=0，解得a=1（a=—2舍去）,

=—acsinB=—xlx2x——=2G.

222

【點睛】

思路點睛：

一般地，解有關(guān)三角形的題目時，要有意識地根據(jù)已知條件判斷用哪個定理更合適.如果式子中含有角的余

弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理.

16.（2021黑龍江哈爾濱市?哈爾濱三中高三三模（文））已知銳角AABC中，角A,B，C的對邊分別為

a,b,c,且滿足（給一c）cosA-acosC=0.

（1）求角A的大小；

（2）求CQSB+CQSC的取值范圍.

【答案】（1）y;（2）（日，J

【分析】

（1）由（2匕一c）cosA—acosC=0,根據(jù)正弦定理化簡得2s比反osA—s沅8=0,進而求得cosA=；,即

可求解；

（2）由⑴得到。=1一8,根據(jù)三角恒等變換的公式，化筒cos8+cosC=si〃（5+，進而得到

rrrr27r\711

-<B+-<—,得到s山8+7的范圍，即可求解.

363I6；

【詳解】

(1)在AABC中，由(如一c)cosA-acosC=0,

利用正弦定理得(2sinB-sinC)cosA-sinAcosC=0.

所以2sinBcosA-(A+C)=0,即IsinBcosA-sinB-0,

因為0<B〈不，可得s%B，0,所以cosA='，

2

71

又因為0<A<%,所以A=一.

3

7t2萬2萬

(2)由(1)知4=—,可得B+C=——，可得C=——B,

333

2乃)(2冗2兀

所以cosB+cosC=cosB+cosB=cosB+cosBcos-----FsinBsin——

)I33

\

71

sinB+—cosB=sinI+—，

226y

7TTT7T

因為AA3c為銳角三角形，所以0<C<-,且4=生

223

?、71八7T71―712萬~1?

所以一<B<一，—<.B—<—,所以<s"8+看卜1

623632

故cosB+cosC的取值范圍為，1?

17.(2021?江西高三三模(理))已知在△ABC中，角A,B,C所對邊分別為〃，h,c

(sinA-sinB)2=sin2C-3sinAsinB.

(1)求角C的大小;

(2)若a=2b,求COS[B+5)的值.

【答案】(1)—:(2)

314

【分析】

(1)由正弦定理將(sinA-sin3)2=sin2C-3sinAsinB轉(zhuǎn)化為(a-bf=c?-3出?，化簡后結(jié)合余弦定

理可得cosC=—L,從而可求出角C的大小;

2

(2)由正弦定理將a=2A轉(zhuǎn)化為sinA=2sin8.再由C=2工可得tanB=正，從而可求出sin民cosB的

35

值，進而可求得COS[B+￡

=cosfB+y的值

【詳解】

(1)v(sinA-sinB)2=sin2C-3sinAsinB

2

:,由正弦定理得(a-少=c-3ab,即4+廿一=_而

cosC=—

2

ZQCe(0,7i)/.C=；

(2)?.,a=2Z?,.,.由正弦定理得sinA=2sin3,

IT(TTA

,/A+B=—sin----B=2sinB,

3(3)

式冗J3j

:.sin—cosB-cos—sin5=2sinB,即^■cos8-士sin3=2sin3,

3322

..tanB——，

5

Befo,—sinB=也^~,cosB=,

I2)1414

C}J始口冗,D,九5幣1舊幣幣

cosB-\——=cosB+—=cosBcos----sinBsin—=-----------------------------

3)3314214214

18.(2021?天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)高三三模)函數(shù)/(x)=(sinx+cosx)-+J5cos(2尤+》)?

⑴求函數(shù)〃尤)的最小正周期并求當(dāng)工￡0,1時，函數(shù)”X)的最大值和最小值；

(2)已知AABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為。，b,c,若/3=1,sinC=2sinB,且〃=2,

求AABC的面積.

【答案】(1)T=7r,最大值為1,最小值為6-1；(2)寺.

【分析】

(1)根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式、正弦的二倍角公式、余弦誘導(dǎo)公式，結(jié)合輔助角公式、正弦型函數(shù)的最小

正周期公式、單調(diào)性進行求解即可；

(2)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合正弦定理、余弦定理、三角形面積公式進行求解即可.

【詳解】

(1)/(x)=(sinx+cosx)2+6COS(2I+?)

=l+sin2x-5/3cos2x=2sin2x--+1,

二函數(shù)f（X）的最小正周期T=于="；

因為xe[O,g]所以一工42彳一軍《女,

L2J333

'冗Sjrjr

因為函數(shù)/'（X）在xe0,—單調(diào)遞增，在XG—上單調(diào)遞減

所以/（0）=2'-*_1=_石_1，

傭=2x#—lM一1

、乙）乙

所以函數(shù)的最大值為1,最小值為6-1;

⑵卜2sin（A—?）+1=1,sin（A一?）=（）

n…715n7171

——<2A——<———=0,即4=一

33333

由正弦定理以及sinC=2sinB,可得c=2Z>,

由余弦定理可得/=b2+c2-2bccosA^4=b2+4b2-2-b-2b--,

2

可得b

4x/3S-ABC=g8csinA=鏟?岑=（竽）2X孝=苧.

丁

19.（2021?浙江高三月考）設(shè)常數(shù)ZwR,已知f（x）=Zcos2x+2gsinxcosx.

（I）若/（X）是奇函數(shù)，求上的值及/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（II）設(shè)左=1,△ABC中，內(nèi)角A，8,C的對邊分別為若/（A）=l,且△ABC的面積S=c加c,

求AA》。周長的取值范圍.

,「,7t,7T~I（邪3石

【答案】（I）Z=0，kn——,kn+—,k^Z；（II）,一■—.

4424

1-」\J

【分析】

（I）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可;

(II)根據(jù)輔助角公式，結(jié)合特殊角的正弦函數(shù)值、三角形面積公式、正弦定理、正弦型函數(shù)的性質(zhì)進行

求解即可.

【詳解】

(I)由題意知，/(0)=后=0,得％=0，

下面對后=0進行檢驗：

若左=0,則，f(x)=2^sinxcosx=^3sin2x，

對任意xwR都有于(一x)=y/3sin(-2x)=-A/3sin2x=-f(x),

「.7(x)是奇函數(shù)，.??2=().

乂因為f(x)=5/3sin2x,由2Z)—耳<2x<2攵7+5,keZ、

7TTT

所以得Qr——<x<k/r+—，keZ

44

jrTT

:./(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k7T--,k7r+-,ZeZ.

44

(II)當(dāng)氏=1時/(x)=cos2x+石sin2x=2sin12x+.卜

.-./(A)=2sinf2A+^j=l:得sin(2A+^■卜g

A/八、、人冗(冗13萬1%JC

*.*AG(0,71),2Ad---G—,-----,A=一

6166J3

由S=ahc=—Z?csinA=>2a-sinA/.2b-sinB,2c=sinC,

2

「.△ABC的周長為：

a+。+c=g(sinA+sin8+sinC)=[sinB+sin(^--B)]+

=-(sinB+—cosB+-sinB)+—

2224

1(自。SB+-B)+走

2224

4")+走

264

5G(0,爭nB+q嗚卷nsin(B+q)G(g，l]

(W3行

「.△ABC的周長的取值范圍為三,*.

I24」

20.(2021?河南高三一模(文))在AA3c中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

Z?sinC+?sinA=Z7sinB+csinC.

(I)求4

(H)設(shè)。是線段BC的中點，若c=2,AO=Ji5,求a.

【答案】(I)—；(11)2a

【分析】

(I)先由正弦定理，將所給條件化為匕c=^+c2-〃，再由余弦定理，即可得出結(jié)果；

(H)根據(jù)題中條件，得到cosNA￡>8+cosNA￡)C=0,推出/=?/_44,再由余弦定理得到

/=〃+4一2。，兩式聯(lián)立求出匕，進而可求出。.

【詳解】

(I)根據(jù)正弦定理，由力sinC+asin4=人$由8+。5出?？傻谩?:+〃2=/?2+c2?

即bc=b2-he2-a2，

由余弦定理可得，cosA=0r'='「=L

2bc2

n

因為A為三角形內(nèi)角，所以A=一；

3

(II)因為。是線段8C的中點，c=2，AD=^3-

所以NA￡)8+NA￡>C=4,PJi]cosZADB+cosZADC=0,

AD2+BD2-AB2AD2+DC2-AC2

所以1=0，

2ADBD-----2ADDC

22

13+--22l3+~~b2

即————+————=0,整理得a2=2b2-44；

2巫世2巫

22

y-a2-b2+c2-2/?ccosA=戶+4-2。，

所以/+4一28=2〃一44,解得。=6或。=一8(舍)，

因此/=2/-44=28，所以a=26

【點睛】

思路點睛：

求解三角形中的邊長或面積等問題時，一般需要根據(jù)正弦定理，或余弦定理，將題中條件進行轉(zhuǎn)化，得出

對應(yīng)的方程求解即可.

21.（2021?浙江高三三模）在△A3C中，角A5,C所對的邊分別為a,"c,已知

cosA='，sinC=近cosB.

3

（1）求sin8的值；

（2）若c=2,求。的值.

【答案】（1）如；（2）勺叵.

33

【分析】

（1）首先求出sinA,然后由sinC=sin（A+8）=sinAcos5+cosAsin5=J^cos6得到

sinB=V2cosB，然后結(jié)合平方關(guān)系可得答案；

（2）首先求出sinC，然后利用正弦定理求解即可.

【詳解】

（1）因為cosA=§,所以Aw（。,,），sinA=~~~

因為sinC=sin（A+3）=sinAcosB+cosAsinB=丘cosB

所以2"cosB+—sinB=忘cosB，即■sin3=cosB,即sin3=V2cosB

3333

因為sin25+cos23=1，所以可解得sinB=&OSB=B

33

（2）因為sinC=5/^cosB=—,c=2,

3sinAsinC

272

csinA4G

所以"=而亍

3

22.（2021?四川高三二模（文））△A6C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知

/?sinA=QCOSB-—\.

I6）

（1）求5；

（2）設(shè)。=2,b=幣,延長AC到點。使AC=2CD，求△BCD的面積.

【答案】（1）—；（2）空.

34

【分析】

（1）根據(jù)正弦定理可得sinB=cos（Bq）,進而得tan8=G從而得解：

（2）根據(jù)正弦定理解褥sinA,再根據(jù)同角關(guān)系和sinC=sin（A+B）,得sinC,再由5?垢可

得解.

【詳解】

(1)‘."sinA=acos|B-7|.由正弦定理-----=----,可得Z?sinA=asin3,

k67sin/1sin5

.?.口丁得：asinB=QCOS(),

可得：sinB=cosfB-^-\=^-cosB+—sinB

,化簡可得：tanB=5/3，

<6j22

???B￡(0/),???8=。.

(2)由一°=-----,可得..a-sinB

sinAsin8sinA==

a-7

可得cosA=2互，

7

3向

sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=:------?

14

343。36

所以S=2S=—ahsinC=—x2xA/7X==三’可‘巴"=丁?

ArAi/RJvr^tRSlr^Un22▼

23.(2021?遼寧高三一模)在△ABC中，角4,B,C的對邊分別為小b,c

cos2B+cos2C—cos2A=l—sinBsinC

(1)求A；

（2）若a=A求AABC的面積的最大值.

【答案】（1）A=-；（2）也

【分析】

（1）根據(jù)題中條件cos25+cos2C-cos2A=1-sinBsinC的特點，將余弦轉(zhuǎn)化為正弦，利用正弦定理轉(zhuǎn)

化為關(guān)于。，4c?的式子，用余弦定理求解即可.

（2）結(jié)合A=工以及石，題目求的是面積的最大值，想到求A的最大值，利用余弦定理及基本不等

式求解.

【詳解】

（1）由已知得:sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC

由余弦定理得：cosA=-

2

71

???A￡（（）,））,.?.A=—

3

（2）由余弦定理得：3=Z?2+c2-hc>hcy即，be<3

當(dāng)且僅當(dāng)Z?=c時，等號成立

...AABC而積最大值為史.

4

【點睛】

（1）觀察式子的特點，對正弦、余弦定理的特點要比較熟練.

（2）注意題目的問題是面積的最大值，故聯(lián)想基本不等式，余弦定理等知識點.

24.（2021.安徽高三三模（文））在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為c,且a=b（sinC+cosC）.

(1)求3：

(2)若b=l,求△ABC面積的最大值.

【答案】(1)B=-；(2)史上!

44

【分析】

(1)根據(jù)題設(shè)條件和利用正弦定理，化簡得到cos8=sin8,進而求得3的大小.

(2)由余弦定理得到缶c="+c2—1,結(jié)合基本不等式，求得ac〈檸色，利用面積公式，即可求解.

【詳解】

(1)由題意，在△A6C中，滿足a=Z?(sinC+cosC),

利用正弦定理得sinA=sinB(sinC+cosC),

即sin(jB+C)=sinB(sinC+cosC),

即sinBcosC+cos3sinC=sin3sinC+sinBcosC),

可得cosBsinC=sinBsinC,

因為?！?0,萬)，可得sinC>0,所以cos3=sin5,即tanB=l，

乂因為5G(0,〃)，所以B=

(2)在△ABC中，由余弦定理cos8="一+'—"，可得也=且+。=1

2ac22ac

所以=cJ+c2—122〃c—1，即"二—=—,當(dāng)?shù)﹥H當(dāng)I。=。時取等號,

所以AABC的面積S=LacsinB?L-21也.也=也±1

22224

所以AABC面積的最大值為立土.

4

【點睛】

對于解三角形問題的常見解題策略：

對于解三角形問題，通常利用正弦定理進行“邊轉(zhuǎn)角''尋求角的關(guān)系，利用"角轉(zhuǎn)邊''尋求邊的關(guān)系，利用正、

余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，同時注意三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式在解題中的應(yīng)用.

25.(2021?江西贛州市?高三二模(理))在中，角A,B,C所對的邊分別為a,h,c,且滿足

(2h-V3c)cosA-y/3acosC=0.

（1）求角A的大小;

2122

(2)求2sinB+"+〃的取值范圍.

ab

【答案】(D4=9；(2)(-73,2^].

【分析】

（1）利用正弦定理求出cosA=立，又Ae（o,?），即可求出A；

2

（2）由余弦定理及三角形內(nèi)角和定理把原文太轉(zhuǎn)化為求2j^sin（B-在0<B<菅上的范圍，利用三

角函數(shù)即可求解.

【詳解】

（1）由（2〃一V^c）cosA-6acosC=0,

結(jié)合正弦定理可得：2sin8cosA-^sinCcosA-cosCsinA=0

整理得：2sinBcosA->/3sin(A+C)=0,即2sin8cosA-6sinB=0

又sinB>0,所以cosA=@，乂Ae((),))，故4='.