山東專用2025屆高考數(shù)學二輪專題闖關導練一客觀題專練立體幾何11含解析

PAGE立體幾何(11)一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是()A．α內有多數(shù)條直線與β平行B．α內有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同始終線D．α，β垂直于同一個平面2．[2024·山東臨沂模擬]已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，a?α，b?β，則“a⊥l”是“a⊥b”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．設a，b是空間中不同的直線，α，β是不同的平面，則下列說法正確的是()A．a∥b，b?α，則a∥αB．a?α，b?β，α∥β，則a∥bC．a?α，b?α，a∥β，b∥β，則α∥βD．α∥β，a?α，則a∥β4．已知矩形ABCD，AB＝2BC，把這個矩形分別以AB，BC所在直線為軸旋轉一周，所成幾何體的側面積分別記為S1，S2，則S1與S2的比值等于()A.eq\f(1,2)B．1C．2D．45．已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．12eq\r(2)πB．12πC．8eq\r(2)πD．10π6．已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為()A.eq\f(3\r(3),4)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(3\r(2),4)D.eq\f(\r(3),2)7．[2024·山東濟南質量針對性檢測]如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝eq\r(2)，BC＝2，點D為BC的中點，則異面直線AD與A1C所成的角為()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)8．[2024·全國卷Ⅰ]已知A，B，C為球O的球面上的三個點，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為()A．64πB．48πC．36πD．32π二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)9．[2024·山東試驗中學、淄博試驗中學、煙臺一中、萊蕪一中四校聯(lián)考]已知a，b，c為不同的直線，α，β，γ為不同的平面，則下列說法正確的是()A．a⊥α，b⊥α，則a∥bB．α⊥γ，β⊥γ，則α⊥βC．a∥α，b∥α，則a∥bD．α∥γ，β∥γ，則α∥β10．[2024·山東濟南模擬]已知v為直線l的方向向量，n1，n2分別為平面α，β的法向量(α，β不重合)，那么下列說法中正確的為()A．n1∥n2?α∥βB．n1⊥n2?α⊥βC．v∥n1?l∥αD．v⊥n1?l⊥α11．[2024·山東臨沂模擬]已知A，B，C三點均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距離等于球半徑的eq\f(1,3)，則下列結論正確的是()A．球O的表面積為6πB．球O的內接正方體的棱長為1C．球O的外切正方體的棱長為eq\f(4,3)D．球O的內接正四面體的棱長為212．[2024·山東名校聯(lián)考]在長方體A1B1C1D1-A2B2C2D2中，A1A2＝2A1B1＝2B1C1＝2，如圖，AA．異面直線D2C與AD1B．平面A2BCD2與平面ABC1D1所成二面角的大小為120°C．點A1與點C到平面ABC1D1的距離相等D．平面A2BC1截長方體所得的截面面積為eq\f(\r(3),2)三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13.如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120，E為CC1的中點，則三棱錐E-BCD14．已知長方體ABCD-A1B1C1D1內接于球O，底面ABCD是邊長為2的正方形，E為AA1的中點，OA⊥平面BDE，則球O15．[2024·浙江卷]已知圓錐的側面積(單位：cm2)為2π，且它的側面綻開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑(單位：cm)是________．16.[2024·山東名校聯(lián)考]如圖，在四棱錐C-ABDE中，四邊形ABDE為矩形，EA＝CA＝CB＝2，AC⊥CB，F(xiàn)，G分別為AB，AE的中點，平面ABDE⊥平面ABC，則四面體CFDG的體積為________，若四面體CFDG的各個頂點均在球O的表面上，則球O的體積為________．(本題第一空2分，其次空3分)立體幾何(11)1．答案：B解析：A中，α∩β或α∥β；B中，α∥β；C中，α∩β或α∥β；D中，α∩β或α∥β.故選B.2．答案：A解析：因為平面α⊥平面β，α∩β＝l，a?α，b?β，所以當a⊥l時，由面面垂直的性質定理，可得a⊥b；反之，當a⊥b時，a與l不肯定是垂直的，所以“a⊥l”是“a⊥b”的充分不必要條件．故選A.3．答案：D解析：由a，b是空間中不同的直線，α，β是不同的平面，知：在A中，a∥b，b?α，則a∥α或a?α，故A錯誤；在B中，a?α，b?β，α∥β則a與b平行或異面，故B錯誤；在C中，a?α，b?α，a∥β，b∥β，則α與β相交或平行，故C錯誤；在D中，α∥β，a?α，則由面面平行的性質定理得，a∥β，故D正確．4．答案：B解析：設BC＝a，AB＝2所以S1＝2π×2a×a，S2＝2π×a×∴S1︰S2＝1，故選B.5．答案：B解析：因為過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2eq\r(2)，底面圓的直徑為2eq\r(2)，所以該圓柱的表面積為2×π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π，故選B.6．答案：A解析：如圖，依題意，平面α與棱BA，BC，BB1所在直線所成角都相等，簡單得到平面AB1C符合題意，進而全部平行于平面AB1由對稱性，知過正方體ABCD-A1B1C1D1中心的平面面積應取最大值，此時截面為正六邊形EFGHIJ.正六邊形EFGHIJ的邊長為eq\f(\r(2),2)，將該正六邊形分成6個邊長為eq\f(\r(2),2)的正三角形．故其面積為6×eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＝eq\f(3\r(3),4).7．答案：B解析：解法一取B1C1的中點D1，連接A1D1，D1C，易證A1D1∥AD，A1D1，A1C所成的角就是AD，A1C所成的角，∵AB＝AC＝eq\r(2)，D為BC的中點，∴AD⊥BC，∴AD＝eq\r(AB2－BD2)＝eq\r(\r(2)2－1)＝1，∴A1D1＝AD＝1，又A1C＝eq\r(AA\o\al(2,1)＋AC2)＝eq\r(\r(2)2＋\r(2)2)＝2，D1C2＝eq\r(D1C\o\al(2,1)＋C1C2)＝eq\r(12＋\r(2)2)＝eq\r(3)，∴A1Deq\o\al(2,1)＋D1C2＝A1C2，∴△D1A1C為直角三角形，cos∠D1A1C＝eq\f(1,2)，∴∠D1A1C＝eq\f(π,3)，故選B.解法二以A為原點，AB，AC，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0)，A1(0,0，eq\r(2))，B(eq\r(2)，0,0)，C(0，eq\r(2)，0)，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(0，eq\r(2)，－eq\r(2))，∴cos〈eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(A1C,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AD,\s\up6(→))·\o(A1C,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))|·|\o(A1C,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，∴〈eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(A1C,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,3)，故選B.8．答案：A解析：如圖，由題知△ABC為等邊三角形，圓O1的半徑r＝2，即O1B＝2，∴BC＝2eq\r(3)＝OO1，在Rt△OO1B中，OB2＝OOeq\o\al(2,1)＋O1B2＝16，∴球O的半徑R＝OB＝4，則S球O＝4πR2＝64π.故選A.9．答案：AD解析：A中，由a⊥α，b⊥α，利用線面垂直的性質定理可推出a∥b，故A正確；B中，若α⊥γ，β⊥γ，則α與β平行或相交，故B不正確；C中，若a∥α，b∥α，則a與b平行，或相交，或異面，故C不正確；D中，若α∥γ，β∥γ，由面面平行的傳遞性可推出α∥β，故D正確．綜上所述，AD正確．10．答案：AB解析：n1∥n2?α∥β；n1⊥n2?α⊥β；v∥n1?l⊥α；v⊥n1?l∥α或l?α，則正確的是AB，故選AB.11．答案：AD解析：設球O的半徑為r，△ABC的外接圓圓心為O′，半徑為R.易得R＝eq\f(2\r(3),3).因為球心O到平面ABC的距離等于球O半徑的eq\f(1,3)，所以r2－eq\f(1,9)r2＝eq\f(4,3)，得r2＝eq\f(3,2).所以球O的表面積S＝4πr2＝4π×eq\f(3,2)＝6π，選項A正確；球O的內接正方體的棱長a滿意eq\r(3)a＝2r，明顯選項B不正確；球O的外切正方體的棱長b滿意b＝2r，明顯選項C不正確；球O的內接正四面體的棱長c滿意c＝eq\f(2\r(6),3)r＝eq\f(2\r(6),3)×eq\f(\r(6),2)＝2，選項D正確．故選AD.12．答案：AC解析：連接B2C和D2B2.易知AD1∥BC1∥B2C，則∠D2CB2為異面直線D2C與AD1所成的角．連接AB2，易知AB2⊥A2B，AB2⊥BC，A2B∩BC＝B，所以AB2⊥平面A2BCD2.連接B1C，同理可證B1C⊥平面ABC1D1，所以平面A2BCD2與平面ABC1D1所成二面角即異面直線AB2與B1C所成的角或其補角．連接AD2，易知B1C∥AD2，所以異面直線AB2與B1C所成的角即∠D2AB2或其補角．又A1A2＝2A1B1＝2B1C1＝2，所以△B2D2C與△B2D2A均為正三角形，所以∠D2CB2＝60°，∠D2AB2＝60°，即異面直線D2C與AD1所成的角為60°，平面A2BCD2與平面ABC1D1所成的角為60°或120°，故A正確，B錯誤；因為B1C⊥平面ABC1D1，且B1C與BC1垂直平分，所以點B1與點C到平面ABC1D1的距離相等，又A1B1∥平面ABC1D1，所以點A1與點B1到平面ABC1D1的距離相等，即點A1與點C到平面ABC1D1的距離相等，故C正確；取D1D2的中點E，連接A2E，EC1，易知A2E∥BC1，EC1∥A2B，故平面A2BC1E為平面A2BC1截長方體所得的截面，在△A2BC1中，A2B＝BC1＝eq\r(2)，A2C1＝eq\r(6)，所以S△A2BC1＝eq\f(\r(3),13．答案：10解析：設長方體中BC＝a，CD＝b，CC1＝c，則abc＝120，∴VE-BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)ab×eq\f(1,2)c＝eq\f(1,12)abc＝10.14．答案：16π解析：取BD的中點為O1，連接OO1，OE，O1E，O1A，則四邊形OO1AE為矩形，∵OA⊥平面BDE，∴OA⊥EO1，即四邊形OO1AE為正方形，則球O的半徑R＝OA＝2，∴球O的表面積S＝4π×2215．答案：1解析：解法一：設該圓錐的母線長為l，因為圓錐的側面綻開圖是一個半圓，其面積為2π，所以eq\f(1,2)πl(wèi)2＝2π，解得l＝2，所以該半圓的弧長為2π.設該圓錐的底面半徑為R，則2πR＝2π，解得R＝1.解法二：設該圓錐的底面半徑為R，則該圓錐側面綻開圖中的圓弧的弧長為2πR.因為側面綻開圖是一個半圓，設該半圓的半徑為r，則πr＝2πR，即r＝2R，所以側面綻開圖的面積為eq\f(1,2)·2R·2πR＝2πR2＝2π，解得R＝1.16．答案：1eq\f(11\r(11),6)π解析：因為F為AB的中點，CA＝CB，所以CF⊥AB.因為平面ABDE⊥平面ABC，所以CF⊥平面ABDE，則CF⊥FD，CF⊥FG.易知在矩形ABDE中，F(xiàn)G2＝AF2＋AG2＝3，F(xiàn)D2＝FB2＋BD2＝6，DG2＝GE2＋ED2＝9，所以DG2＝GF2＋FD2，則GF⊥FD，所以四面體CFDG的體積V＝eq\f(1,3)CF·S△G