2024高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)備考訓(xùn)練3計(jì)數(shù)原理二項(xiàng)式定理含解析

PAGE備考訓(xùn)練3計(jì)數(shù)原理、二項(xiàng)式定理一、單項(xiàng)選擇題1．山城農(nóng)業(yè)科學(xué)探討所將5種不同型號(hào)的種子分別試種在5塊并成一排的試驗(yàn)田里，其中A，B兩型號(hào)的種子要求試種在相鄰的兩塊試驗(yàn)田里，且均不能試種在兩端的試驗(yàn)田里，則不同的試種方法數(shù)為()A．12B．24C．36D．482.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))6的綻開式中，有理項(xiàng)共有()A．1項(xiàng)B．2項(xiàng)C．3項(xiàng)D．4項(xiàng)3．高三年級(jí)的三個(gè)班去甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠參與社會(huì)實(shí)踐，但去何工廠可自由選擇，甲工廠必需有班級(jí)要去，則不同的安排方案有()A．16種B．18種C．37種D．48種4．在某班進(jìn)行的演講競(jìng)賽中，共有5位選手參與，其中3位男生，2位女生，假如2位女生不能連著出場(chǎng)，且男生甲不能排在第一個(gè)出場(chǎng)，那么不同出場(chǎng)依次的排法種數(shù)為()A．12B．24C．36D．605．在二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x2)－\f(1,2)x))n的綻開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則綻開式的第4項(xiàng)為()A．7x6B．－7xC.eq\f(35,8)xD．－eq\f(7,4)x76．《紅海行動(dòng)》是一部現(xiàn)代化海軍題材影片，該片講解并描述了中國(guó)海軍“蛟龍突擊隊(duì)”奉命執(zhí)行撤僑任務(wù)的故事．撤僑過程中，海軍艦長(zhǎng)要求隊(duì)員們依次完成A，B，C，D，E，F(xiàn)六項(xiàng)任務(wù)，并對(duì)任務(wù)的依次提出了如下要求，重點(diǎn)任務(wù)A必需排在前三位，且任務(wù)E，F(xiàn)必需排在一起，則這六項(xiàng)任務(wù)完成依次的不同支配方案共有()A．240種B．188種C．156種D．120種7.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的綻開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該綻開式中常數(shù)項(xiàng)為()A．－40B．－20C．20D．408．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))24的綻開式中，x的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)數(shù)是()A．2B．3C．4D．5二、多項(xiàng)選擇題9．在二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2－\f(2,x)))5的綻開式中，有()A．含x的項(xiàng)B．含eq\f(1,x2)的項(xiàng)C．含x4的項(xiàng)D．含eq\f(1,x4)的項(xiàng)10．某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法錯(cuò)誤的是()A．若隨意選擇三門課程，選法總數(shù)為Aeq\o\al(3,7)B．若物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,6)C．若物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(1,5)D．若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不同時(shí)選，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)－Ceq\o\al(1,5)11．[2024·山東日照質(zhì)量檢測(cè)]把四個(gè)不同的小球放入三個(gè)分別標(biāo)有1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)的盒子中，不允許有空盒子的放法有()A．Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,3)種B．Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)種C．Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)種D．18種12．[2024·山東聊城質(zhì)量檢測(cè)]已知(1＋3x)n的綻開式中，后三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于121，則綻開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為()A．Ceq\o\al(8,16)(3x)8B．Ceq\o\al(7,16)(3x)7C．Ceq\o\al(8,15)(3x)8D．Ceq\o\al(7,15)(3x)7三、填空題13．[2024·山東濟(jì)南質(zhì)量評(píng)估]在(2x－y)5的綻開式中，含x3y2項(xiàng)的系數(shù)為________．(用數(shù)字作答)．14．[2024·山東濟(jì)寧質(zhì)量檢測(cè)]在(x－eq\r(2)y)8的綻開式中，含x4y4項(xiàng)的系數(shù)是________．15．為了迎接植樹節(jié)的到來，某班現(xiàn)從6名男班委和4名女班委中選取3人，參與義務(wù)植樹活動(dòng)，若男、女班委至少各有一人，則不同選法的種數(shù)為________．16．已知(2－x2)(1＋ax)3的綻開式的全部項(xiàng)系數(shù)之和為27，則實(shí)數(shù)a＝________，綻開式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)是________．備考訓(xùn)練3計(jì)數(shù)原理、二項(xiàng)式定理1．解析：因?yàn)锳，B兩型號(hào)的種子試種方法數(shù)為2×2＝4，所以一共有4Aeq\o\al(3,3)＝24(種)試種方法．答案：B2．解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))6的綻開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)·(－1)r·36－r·x，令6－eq\f(3,2)r為整數(shù)，求得r＝0,2,4,6，共計(jì)4項(xiàng)．故選D.答案：D3．解析：滿意題意的不同的安排方案有以下三類：①三個(gè)班中只有一個(gè)班去甲工廠有Ceq\o\al(1,3)×32＝27(種)方案；②三個(gè)班中只有兩個(gè)班去甲工廠有Ceq\o\al(2,3)×3＝9(種)方案；③三個(gè)班都去甲工廠有1種方案．綜上可知，共有27＋9＋1＝37(種)不同方案．故選C.答案：C4．解析：依據(jù)題意，分兩種狀況探討：①第一個(gè)出場(chǎng)的是女生，則其次個(gè)出場(chǎng)的是男生，以后的出場(chǎng)依次隨意排，排法有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(3,3)＝36(種)；②第一個(gè)出場(chǎng)的是除甲之外的剩余2位男生中的1位，將剩下2位男生排好，有Ceq\o\al(1,2)×Aeq\o\al(2,2)種狀況，排好后，有3個(gè)空位可選，在其中任選2個(gè)支配2位女生，有Aeq\o\al(2,3)種狀況，則此時(shí)的排法有Ceq\o\al(1,2)×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,3)＝24(種)，則不同出場(chǎng)依次的排法種數(shù)為36＋24＝60.故選D.答案：D5．解析：由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，知n＝8，則Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(eq\r(3,x2))8－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x))r＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))rCeq\o\al(r,8)x，∴綻開式中第4項(xiàng)T4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))3Ceq\o\al(3,8)x＝－7x.答案：B6．解析：因?yàn)槿蝿?wù)A必需排在前三位，任務(wù)E，F(xiàn)必需排在一起，所以可把A的位置固定，E，F(xiàn)捆綁后分類探討．當(dāng)A在第一位時(shí)，將E，F(xiàn)捆綁與B，C，D全排，排法有Aeq\o\al(4,4)，而E，F(xiàn)排法有Aeq\o\al(2,2)，故有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＝48種；當(dāng)A在其次位時(shí)，第一位只能是B，C，D中的一個(gè)，E，F(xiàn)只能在A的后面，故有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝36種；當(dāng)A在第三位時(shí)，分兩種狀況：①E，F(xiàn)在A之前，此時(shí)應(yīng)有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)種，②E，F(xiàn)在A之后，此時(shí)應(yīng)有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)種，故A在第三位時(shí)有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝36種．綜上，共有48＋36＋36＝120種不同的支配方案．故選D.答案：D7．解析：令x＝1，則(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1.∴原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5.又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5綻開式的通項(xiàng)Tr＋1＝(－1)rCeq\o\al(r,5)·25－rx5－2r，令5－2r＝1，得r＝2，對(duì)應(yīng)的常數(shù)(－1)2Ceq\o\al(2,5)·23x·eq\f(1,x)＝80，令5－2r＝－1，得r＝3，對(duì)應(yīng)的常數(shù)(－1)3Ceq\o\al(3,5)·22eq\f(1,x)·x＝－40，故所求綻開式中常數(shù)項(xiàng)為80－40＝40.答案：D8．解析：∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))24的綻開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,24)(eq\r(x))24－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))r＝Ceq\o\al(r,24)x，∴當(dāng)r＝0,6,12,18,24時(shí)，x的指數(shù)是整數(shù)，故x的指數(shù)是整數(shù)的有5項(xiàng)，故選D.答案：D9．解析：二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2－\f(2,x)))5的綻開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)·35－r·(－2)r·x10－3r，r＝0,1,2,3,4,5，故綻開式中含x的項(xiàng)為x10－3r，結(jié)合所給的選項(xiàng)，知A、B、C的項(xiàng)都含有，故選ABC.答案：ABC10．解析：對(duì)于A，若隨意選擇三門課程，選法總數(shù)為Ceq\o\al(3,7)，錯(cuò)誤；對(duì)于B，若物理和化學(xué)選一門，有Ceq\o\al(1,2)種方法，其余兩門從剩余的5門中選，有Ceq\o\al(2,5)種選法；若物理和化學(xué)選兩門，有Ceq\o\al(2,2)種選法，剩下一門從剩余的5門中選，有Ceq\o\al(1,5)種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,5)，錯(cuò)誤；對(duì)于C，若物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,5)＝Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(1,5)(種)，正確；對(duì)于D，有3種狀況：①只選物理且物理和歷史不同時(shí)選，有Ceq\o\al(1,1)·Ceq\o\al(2,4)種選法；②選化學(xué)，不選物理，有Ceq\o\al(1,1)·Ceq\o\al(2,5)種選法；③物理與化學(xué)都選，有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,4)種選法，故總數(shù)為Ceq\o\al(1,1)·Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(1,1)·Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,4)＝6＋10＋4＝20(種)，錯(cuò)誤．故選ABD.答案：ABD11．解析：依據(jù)題意，四個(gè)不同的小球放入三個(gè)分別標(biāo)有1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)的盒子中，且沒有空盒，三個(gè)盒子中有1個(gè)盒子中放2個(gè)球，剩下的2個(gè)盒子中各放1個(gè)球，則分兩步進(jìn)行分析：解法一①先將四個(gè)不同的小球分成3組，有Ceq\o\al(2,4)種分組方法；②將分好的3組全排列，對(duì)應(yīng)放到3個(gè)盒子中，有Aeq\o\al(3,3)種放法．則不允許有空盒子的放法有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36種．解法二①在4個(gè)小球中任選2個(gè)，在3個(gè)盒子中任選1個(gè)，將選出的2個(gè)小球放入選出的盒子中，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)種狀況；②將剩下的2個(gè)小球全排列，放入剩下的2個(gè)盒子中，有Aeq\o\al(2,2)種放法，則不允許有空盒的放法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝36種，故選B、C.答案：BC12．解析：由已知得Ceq\o\al(n－2,n)＋Ceq\o\al(n－1,n)＋Ceq\o\al(n,n)＝121，則eq\f(1,2)n·(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15(舍去負(fù)值)，所以綻開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T8＝Ceq\o\al(7,15)(3x)7和T9＝Ceq\o\al(8,15)(3x)8.答案：CD13．解析：(2x－y)5的綻開式的通項(xiàng)公式：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(2x)5－r(－y)r，要求含x3y2項(xiàng)的系數(shù)，令5－r＝3，解得r＝2.(2x－y)5的綻開式中x3y2項(xiàng)的系數(shù)為：Ceq\o\al(2,5)23(－1)2＝10×8＝80.答案：8014．解析：(x－eq\r(2)y)8的綻開式中：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)x