2025版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)解三角形4.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案新人教A版

4.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)必備學(xué)問預(yù)案自診學(xué)問梳理1.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖(1)正弦函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]的圖象中,五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):(0,0),π2,1,(π,0),3π2,-1,(2π,0).(2)余弦函數(shù)y=cosx,x∈[0,2π]的圖象中,五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):(0,1),π2,0,(π,-1),3π2,0,(2π,1).2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx圖象續(xù)表函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx定義域RR

值域

R周期性2π

奇偶性

奇函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間22kπ+π2

kkπ+π2(續(xù)表函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx單調(diào)遞減區(qū)間2k2kπ+3π2

對(duì)稱中心(kπ,0)(k∈Z)k(k∈Z)kπ2,0(對(duì)稱軸x=kπ(k∈Z)(x=kπ)3.三角函數(shù)的周期函數(shù)y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(x∈R,其中A,ω,φ為常數(shù),且A≠0,ω>0)的周期均為T=2πω;函數(shù)y=Atan(ωx+φ)x∈R,且ωx+φ≠π2+kπ,k∈Z,其中A,ω,φ為常數(shù),且A≠0,ω>0的周期為T=π1.對(duì)稱與周期:正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是半周期,相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是14周期;正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是半周期2.協(xié)助角公式:asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ),其中tan考點(diǎn)自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)y=cosx在第一、其次象限內(nèi)是單調(diào)遞減的.()(2)若y=ksinx+1,x∈R,則y的最大值是k+1.()(3)若非零實(shí)數(shù)T是函數(shù)f(x)的周期,則kT(k是非零整數(shù))也是函數(shù)f(x)的周期.()(4)函數(shù)y=sinx圖象的對(duì)稱軸方程為x=2kπ+π2(k∈Z).((5)函數(shù)y=tanx在整個(gè)定義域上是增函數(shù).()2.(2024北京房山二模,3)函數(shù)f(x)=sinπxcosπx的最小正周期為()A.1 B.2 C.π D.2π3.(2024山東淄博一模,5)函數(shù)f(x)=sin(x+θ)在[0,π]上單調(diào)遞增,則θ的值可以是()A.0 B.π2 C.π D.4.函數(shù)f(x)=sin2x-π4在區(qū)間0,π2上的最小值為()A.-1 B.-22 C.22 D5.函數(shù)y=tanx2+π3的單調(diào)遞增區(qū)間是,最小正周期是關(guān)鍵實(shí)力學(xué)案突破考點(diǎn)三角函數(shù)的定義域【例1】(1)函數(shù)y=1tanx-1(2)函數(shù)y=lg(sinx)+cosx-12解題心得三角函數(shù)與基本初等函數(shù)的組合或復(fù)合,其定義域是使各部分式子有意義的實(shí)數(shù)的集合的交集.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1函數(shù)y=lg(sin2x)+9-x2的定義域?yàn)榭键c(diǎn)三角函數(shù)的值域、最大(小)值【例2】(1)函數(shù)f(x)=3sin2x-π6在區(qū)間0,π2上的值域?yàn)?)A.-32,32 B.-32C.-332,332 D.-(2)函數(shù)f(x)=sin2x+3cosx-34x∈0,π2的最大值是.

解題心得求三角函數(shù)值域、最大(小)值的方法:(1)利用sinx和cosx的值域干脆求.(2)形如y=asinx+bcosx的三角函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)的形式求值域;形如y=asin2x+bsinx+c的三角函數(shù),可先設(shè)sinx=t,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最大(小)值).(3)利用sinx±cosx和sinxcosx的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)(2024河北衡水調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=sinx+π6,其中x∈-π3,a,若f(x)的值域是-12,1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

(2)函數(shù)y=sinx-cosx+sinxcosx的值域?yàn)?

考點(diǎn)三角函數(shù)的性質(zhì)(多考向探究)考向1三角函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用【例3】(1)已知函數(shù)f(x)=3sinωx+cosωx(ω>0),y=f(x)的圖象與直線y=2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于π,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.kπ-π12,kπ+5π12,k∈B.kπ+5π12,kπ+11π12,kC.kπ-π3,kπ+π6,k∈ZD.kπ+π6,kπ+2π3,k∈(2)(2024湖南湘潭三模,文10)已知函數(shù)f(x)=2sinωx(ω>0)在x∈[a,2](a<0)上的最大值為1,且單調(diào)遞增,則2-a的最大值為()A.6 B.7 C.9 D.8解題心得1.求較為困難的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),首先把三角函數(shù)式化簡(jiǎn)成y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,然后求y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間,只需把(ωx+φ)看作一個(gè)整體代入y=sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可,留意要把ω化為正數(shù).2.已知函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)求參數(shù)ω的范圍的解法:先確定出已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再利用已知的單調(diào)區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集的關(guān)系求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)若函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0)在區(qū)間0,π3上單調(diào)遞增,在區(qū)間π3,π2上單調(diào)遞減,則ω等于()A.23 B.32 C.2 D(2)函數(shù)f(x)=sin-2x+π3的單調(diào)遞減區(qū)間為.

考向2三角函數(shù)的周期及其應(yīng)用【例4】(1)(2024全國1,理7,文7)設(shè)函數(shù)f(x)=cosωx+π6在[-π,π]的圖象大致如右圖,則f(x)的最小正周期為()A.10π9 B.7π6 C.(2)若函數(shù)f(x)=2tankx+π3的最小正周期T滿意1<T<2,則自然數(shù)k的值為解題心得若求最小正周期,可把所給三角函數(shù)式化為y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,則最小正周期為T=2π|ω|;奇偶性的推斷關(guān)鍵是解析式是否為y=Asinωx或y=Acos對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2024河南試驗(yàn)中學(xué)4月模擬,4)在函數(shù):①y=cos|2x|;②y=|cosx|;③y=cos2x+π6;④y=tan2x-π4中,最小正周期為π的全部函數(shù)為A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③考向3三角函數(shù)的對(duì)稱性及其應(yīng)用【例5】(1)已知函數(shù)f(x)=asinx+cosx(a為常數(shù),x∈R)的圖象關(guān)于直線x=π6對(duì)稱,則函數(shù)g(x)=sinx+acosx的圖象(A.關(guān)于點(diǎn)π3,0對(duì)稱B.關(guān)于點(diǎn)2π3,0對(duì)稱C.關(guān)于直線x=π3D.關(guān)于直線x=π6(2)若函數(shù)f(x)=sinωx-3cosωx(ω>0)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為Mπ9,0,距離點(diǎn)M最近的一條對(duì)稱軸為直線x=5π18,則ω=.解題心得三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性包括軸對(duì)稱和中心對(duì)稱,求三角函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)圖象的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心,要把(ωx+φ)看作一個(gè)整體,若求f(x)的對(duì)稱軸,只需令ωx+φ=π2+kπ(k∈Z),求x;若求f(x)的對(duì)稱中心,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x;對(duì)于f(x)=Acos(ωx+φ),若求f(x)的對(duì)稱軸,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x;若求f(x)的對(duì)稱中心,只需令ωx+φ=π2+kπ(k∈Z),求對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(1)(2024湖北武漢調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)=sin12x+θ-3cos12x+θ|θ|<π2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則θ=()A.-π6 B.π6 C.-π3(2)(2024河北衡水中學(xué)三模,理15)已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)3π8,0對(duì)稱,且fπ4<0,則fπ8=.

考向4三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例6】(1)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的最小正周期為π,且f(-x)=fA.f(x)在0,B.f(x)在π4C.f(x)在0,D.f(x)在π4(2)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于點(diǎn)M3π4,0對(duì)稱,且在區(qū)間0,π2上是單調(diào)函數(shù),則ω=,φ=.

解題心得1.已知三角函數(shù)的周期性、奇偶性推斷其單調(diào)性的基本思路:依據(jù)給出的三角函數(shù)的周期性、奇偶性求出三角函數(shù)式中的參數(shù),然后把三角函數(shù)式化成y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式再推斷其單調(diào)性.2.有關(guān)三角函數(shù)性質(zhì)的綜合性問題,要留意結(jié)合函數(shù)圖象,通過數(shù)形結(jié)合求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6(1)(2024河北武邑中學(xué)三模,10)已知x0=π6是函數(shù)f(x)=cosπ2-3xcosφ+cos3xsinφ的一個(gè)微小值點(diǎn),則f(xA.π6,πC.π2,5(2)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的最小正周期為4π,且?x∈R,有f(x)≤fπ3成立,則f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心坐標(biāo)是()A.-2π3,C.2π3,4.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)必備學(xué)問·預(yù)案自診學(xué)問梳理2.xx∈R,且x≠kπ+π2,k∈Z[-1,1][-1,1]2ππ奇函數(shù)偶函數(shù)[2kπ-π,2kπ](k∈Z)[2kπ,2kπ+π](k∈Z)考點(diǎn)自診1.(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2.Af(x)=sinπxcosπx=12sin2πx,故周期T=2π2π=13.D當(dāng)θ=0時(shí),f(x)=sinx在[0,π]上不單調(diào),故A不正確;當(dāng)θ=π2時(shí),f(x)=cosx在[0,π]上單調(diào)遞減,故B不正確;當(dāng)θ=π時(shí),f(x)=-sinx在[0,π]上不單調(diào),故C不正確;當(dāng)θ=3π2時(shí),f(x)=-cosx在[0,π]上單調(diào)遞增,故D正確.4.B由已知x∈0,π2,得2x-π4∈-π4,3π4,所以sin2x-π4∈-22,1,故函數(shù)f(x)=sin2x-π4在區(qū)間0,π2上的最小值為-22.5.2kπ-5π3,2kπ+π3(k∈Z)2π由kπ-π2<x2+π3<kπ+π2,k∈Z,得2kπ-5π3<x<2kπ+π3關(guān)鍵實(shí)力·學(xué)案突破例1(1)xx≠π4+kπ,且x≠π2+kπ,k∈Z(2)x2kπ<x≤π3+2kπ,k∈Z(1)要使函數(shù)有意義,則tanx-1即x故函數(shù)的定義域?yàn)閤x≠π4+kπ,且x≠π2+kπ,k∈Z.(2)函數(shù)有意義,則sin即sin解得2所以2kπ<x≤π3+2kπ(k∈Z所以函數(shù)的定義域?yàn)閤2kπ<x≤π3+2kπ,k∈Z.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1-3,-π2∪0,π2由題意可知sin2x>得k解得-3≤x<-π2或0<x<π故函數(shù)y=lg(sin2x)+9-x2的定義域?yàn)?3,-π2∪0,π2例2(1)B(2)1(1)當(dāng)x∈0,π2時(shí),2x-π6∈-π6,5π6,sin2x-π6∈-12,1故3sin2x-π6∈-32,3,即此時(shí)函數(shù)f(x)的值域是-32,3.(2)由題意可得f(x)=-cos2x+3cosx+14=-cosx-322+1.∵x∈0,π2,∴cosx∈[0,1].∴當(dāng)cosx=32,即x=π6時(shí),f(x)取最大值為對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)π3,π(2)-12-2,1(1)由x∈-π3,a,知x+π6∈-π6,a+π6,∵當(dāng)x+π6∈-π6,π2時(shí),f(x)的值域?yàn)?12∴由函數(shù)的圖象知π2≤a+π∴π3≤a≤π故實(shí)數(shù)a的取值范圍為π3,π.(2)設(shè)t=sinx-cosx,則t2=sin2x+cos2x-2sinxcosx,sinxcosx=1-t22,且-2≤∴y=-t22+t+12=-12(t-1)當(dāng)t=1時(shí),ymax=1;當(dāng)t=-2時(shí),ymin=-12∴函數(shù)的值域?yàn)?12-2,1例3(1)C(2)D(1)f(x)=3sinωx+cosωx=2sinωx+π6.由函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離為π,知函數(shù)y=f(x)的最小正周期T=π,所以T=2πω=π,解得ω=2,即f(x)=2sin2x+π6令2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π3≤x≤kπ+π6((2)由題意可知,[a,2]?-π2ω,π2ω,f(2)=2sin2ω=1,2ω=π6則amin=-6,故2-a的最大值為8.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)B(2)kπ-π12,kπ+5π12(k∈Z)(1)∵f(x)=sinωx(ω>0)過原點(diǎn),∴當(dāng)0≤ωx≤π即0≤x≤π2ω時(shí),y=sinωx當(dāng)π2≤ωx≤3π2,即π2ω≤x≤3π2ω由f(x)=sinωx(ω>0)在區(qū)間0,π3上單調(diào)遞增,在區(qū)間π3,π2上單調(diào)遞減知,π2ω=π(2)求函數(shù)f(x)=sin-2x+π3的單調(diào)遞減區(qū)間,只需求f(x)=sin2x-π3的單調(diào)遞增區(qū)間.由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-π12≤x≤kπ+5π故所給函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為kπ-π12,kπ+5π12(k∈Z)例4(1)C(2)2或3(1)由題圖知f-4π9=cos所以-4π9ω+π6=π2+k化簡(jiǎn)得ω=-3+9k4(k∈Z因?yàn)門<2π<2T,即2π|ω|<2所以1<|ω|<2,解得-119<k<-79或19<k<59當(dāng)且僅當(dāng)k=-1時(shí),1<|ω|<2.所以ω=32,最小正周期T=2(2)由題意知1<πk<2,即k<π<2k解得π2<k<π又k∈N,所以k=2或k=3.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4Ay=cos|2x|=cos2x,該函數(shù)為偶函數(shù),最小正周期T=2π2=π;將函數(shù)y=cosx在x軸下方的圖象向上翻折即可得到y(tǒng)=|cosx|的圖象,該函數(shù)的最小正周期為12×2π=π;函數(shù)y=cos2x+π6的最小正周期為T=2π2=π;函數(shù)y=tan2x-π4的最小正周期為例5(1)C(2)3(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=asinx+cosx(a為常數(shù),x∈R)的圖象關(guān)于直線x=π6對(duì)稱,所以f(0)=fπ3,所以1=32a+12,a=33,所以g(x)=sinx+33cosx=233sinx+π6,函數(shù)g(x)的對(duì)稱軸方程為x+π6=kπ+π2(k∈Z),即x=kπ+π3(k∈Z).當(dāng)k=0時(shí),對(duì)稱軸為直線x=π3,所以g(x)=(2)函數(shù)f(x)=sinωx-3cosωx=2sinωx-π3,因?yàn)閳D象的一個(gè)對(duì)稱中心為Mπ9,0,距離點(diǎn)M最近的一條對(duì)稱軸為x=5π18所以5π18-π9故ω=2πT=對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(1)A(2)-2(1)f(x)=sin12x+θ-3cos12x+θ=2sin12x+θ-π3,由題意可得f(0)=2sinθ-π3=±2,即sinθ-π3=±1,∴θ-π3=π2+kπ(∴θ=5π6+kπ(k∈Z∵|θ|<π2,∴當(dāng)k=-1時(shí),θ=-π(2)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)3π8,0對(duì)稱,且函數(shù)f(x)周期為π,而x=π8距離x=3π8的長(zhǎng)度為π4=T4,所以直線x=π又π8<π4<3π8,且fπ4<0,所以例6(1)A(2)23或2π2(1)題意知f(=2sinω