2023-2024學(xué)年（上）期中學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合調(diào)研抽測高二數(shù)學(xué)試題含答案

2023-2024學(xué)年（上）期中學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合調(diào)研抽測高二數(shù)學(xué)試題（分?jǐn)?shù)：150分，時(shí)間：120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.無論實(shí)數(shù)t取何值，直線與圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線系方程知直線過定點(diǎn)，直線與圓恒有公共點(diǎn)得到定點(diǎn)在圓內(nèi)或圓上，由點(diǎn)和圓位置關(guān)系列不等式求解即可.【詳解】解：因?yàn)橹本€就是，所以直線過定點(diǎn)，由于直線與圓恒有公共點(diǎn)，所以點(diǎn)在圓內(nèi)或圓上，所以，解得或，故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，涉及直線系方程屬于基礎(chǔ)題.2.已知直線：，和直線：垂直，則（）．A. B. C.或 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直，得到方程，求出得或1.【詳解】因?yàn)橹本€和直線垂直，故，解得或1，經(jīng)檢驗(yàn)，符合要求.故選：C3.已知為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合面面平行、垂直的判定定理逐一判斷即可．【詳解】對于A，若，則或，故A錯(cuò)誤；對于B，若，則或，若，因?yàn)?，則，若，如圖所示，則在平面一定存在一條直線，因?yàn)?，所以，又，所以，綜上若，則，故B正確；對于C，若，則直線相交或平行或異面，故C錯(cuò)誤；對于D，若，則直線相交或平行或異面，故D錯(cuò)誤.故選：B.4.設(shè)，，，且是空間的一個(gè)基底，給出下列向量組：①；②；③；④，則其中可以作為空間的基底的向量組有（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】以為頂點(diǎn)作，，，作出平行六面體，根據(jù)空間向量的加法法則作出，，然后判斷各組向量是否共面可得結(jié)論．【詳解】如圖，作平行六面體，，，，則，，，，由平行六面體知，共面，不共面，不共面，不共面，因此可以作為空間的基底的有3組．故選：C．5.已知點(diǎn)在拋物線上且位于軸的兩側(cè)，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則直線一定過點(diǎn)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去后得的方程，由韋達(dá)定理可求得，得到直線方程，根據(jù)方程特點(diǎn)可得答案.【詳解】當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，所以直線的斜率不為0，設(shè)其方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以設(shè)，所以，解得或．又因?yàn)閮牲c(diǎn)位于軸的兩側(cè)，所以．聯(lián)立得，所以，即，所以直線的方程為，所以直線一定過點(diǎn)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線相交問題，考查拋物線中的定值，方法是設(shè)而不求法，在直線與圓錐曲線相交問題常常采用此法，注意體會．6.已知橢圓的上頂點(diǎn)為A，離心率為e，若在C上存在點(diǎn)P，使得，則的最小值是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】易知，設(shè)，根據(jù)，可得方程在區(qū)間上有解，，由，，可得，求解即可.【詳解】易知，設(shè)，則.所以，即，即方程在區(qū)間上有解.令，因?yàn)?，，所以只需，即，解得，故的最小值?故選:C.7.雙曲線右焦點(diǎn)為，離心率為，，以為圓心，長為半徑的圓與雙曲線有公共點(diǎn)，則最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出圓的方程，聯(lián)立方程組，由得出的范圍，從而得解.【詳解】由題意，右焦點(diǎn)，又，則，，以為圓心，為半徑的圓的方程為，，聯(lián)立方程組，得，由圓與雙曲線有公共點(diǎn)，所以，即，結(jié)合，化簡為，由方程兩根為：，，所以不等式的解為，或，由已知，得所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：A【點(diǎn)睛】解決本題關(guān)鍵是曲線與曲線的位置關(guān)系，用聯(lián)立方程組的方法，其中化簡是個(gè)難點(diǎn).8.伯努利雙紐線最早于年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.年卡塔爾世界杯會徽（如圖）基于“大力神杯”的原型設(shè)計(jì)完成，正視圖近似伯努利雙紐線.在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)、距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線.已知點(diǎn)是雙紐線上一點(diǎn)，下列說法正確的有（）A.雙紐線既關(guān)于軸對稱，也關(guān)于軸對稱B.面積的最大值為C.雙紐線上滿足的點(diǎn)有兩個(gè)D.最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)雙紐線的定義求出曲線方程，利用曲線對稱性的定義可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)三角形的面積公式可判斷B選項(xiàng)；由題意得，從而可得點(diǎn)在軸上，可判斷C選項(xiàng)；由向量的性質(zhì)結(jié)合余弦定理分析判斷D選項(xiàng).【詳解】在雙紐線上任取一點(diǎn)，由題意可得，即，化簡可得，對于A選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)為雙紐線上一點(diǎn)，則，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，則，所以，點(diǎn)在雙紐線上，故雙紐線關(guān)于軸對稱，同理可知，雙紐線關(guān)于軸對稱，A對；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，即當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)，的面積取得最大值，即，B對；對于C選項(xiàng)，若雙紐線上的點(diǎn)滿足，則點(diǎn)在軸上，即，所以，得，所以這樣的點(diǎn)只有一個(gè)，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，由余弦定理得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的最大值為，D對，故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求動點(diǎn)的軌跡方程有如下幾種方法：（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點(diǎn)的軌跡方程；（2）定義法：如果能確定動點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；（3）相關(guān)點(diǎn)法：用動點(diǎn)的坐標(biāo)、表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動點(diǎn)的軌跡方程；（4）參數(shù)法：當(dāng)動點(diǎn)坐標(biāo)、之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動點(diǎn)的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點(diǎn)的軌跡方程.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得2分.9.直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出圓心到直線距離的取值范圍，即可判斷得解.【詳解】圓的圓心，半徑，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離，因此直線與圓相切或相交，所以直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為1或2.故選：BC10.下列命題正確的是（）A.經(jīng)過定點(diǎn)的直線都可以用方程表示B.經(jīng)過兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線都可以用方程表示C.過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線有2條D.方程不一定表示圓【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)直線方程的性質(zhì)和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷.【詳解】對于A：經(jīng)過定點(diǎn)且斜率存在的直線才可以用方程表示，斜率不存在時(shí)，用方程來表示，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B：經(jīng)過兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線有兩種情況：當(dāng)時(shí)，直線方程為，整理得；當(dāng)時(shí)，直線方程為，即方程成立.綜上所述，經(jīng)過兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線都可以用方程表示，故B選項(xiàng)正確；對于C：當(dāng)直線在x軸和y軸上截距為0時(shí)，可設(shè)直線方程為，直線過，則所求直線方程為；當(dāng)直線在x軸和y軸上截距不為0時(shí)，可設(shè)直線方程為，即，直線過，則所求直線方程為.綜上所述，過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線有2條，故C選項(xiàng)正確；對于D：化為，所以該方程時(shí)才表示圓，故D選項(xiàng)正確.故選：BCD.11.以下四個(gè)命題表述正確的是（）A.直線恒過點(diǎn)（-3，-3）B.圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1C.圓與圓恰有三條公切線，則m=4D.已知圓，過點(diǎn)P（3，4）向圓C引兩條切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，則直線AB方程為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)、點(diǎn)到直線距離、圓與圓的位置關(guān)系，相交弦所在直線方程等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，，，所以定點(diǎn)為，A錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，圓心到直線的距離為，所以圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線距離都等于1，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，圓的圓心為，半徑為.圓的圓心為，半徑為，由于、有三條公切線，所以兩個(gè)圓外切，所以，，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為.，以為直徑的圓的方程為，即，則所在直線方程為，.D選項(xiàng)正確.故選：BCD12.已知平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值的點(diǎn)P的軌跡是圓．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，若，則下列關(guān)于動點(diǎn)P的結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于B.當(dāng)P、A、B不共線時(shí)，△PAB面積的最大值是6C.當(dāng)A、B、P三點(diǎn)不共線時(shí)，射線PO是∠APB的平分線D.若點(diǎn)，則的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】應(yīng)用兩點(diǎn)式求P的軌跡方程為，即可判斷A，再由圓的性質(zhì)求定弦與圓上點(diǎn)所成三角形的最大值判斷B，根據(jù)，結(jié)合角平分線的性質(zhì)判斷C，由已知有，利用三點(diǎn)共線求最小值判斷D.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，整理得，即．A：點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓，所求圖形的面積為16，正確；B：圓的半徑為4且，當(dāng)△PAB的底邊AB上的高最大時(shí)，面積最大，所以△PAB面積的最大值是，錯(cuò)誤；C：當(dāng)A，B，P不共線時(shí)，由，2，，即，故．由角平分線定理的逆定理知：射線PO是∠APB的平分線，正確；D：因?yàn)?，?PB|，則，又P在圓上，如圖所示，所以當(dāng)P，Q，B三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，此時(shí)，正確.故選：ACD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用兩點(diǎn)距離公式及比例關(guān)系求動點(diǎn)軌跡，再利用圓的性質(zhì)求面積，應(yīng)用等比轉(zhuǎn)化求線段和最值.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量為平面的法向量，點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)在外，則點(diǎn)P到平面的距離為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)到平面距離的向量求法計(jì)算作答.【詳解】依題意，，而平面的法向量為，所以點(diǎn)P到平面的距離.故答案為：14.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則___________.【答案】【解析】【分析】由橢圓的定義得，再由得到點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求出的值.【詳解】由，可得，如圖過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，所以，因?yàn)?，所以，所以，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入橢圓方程可得，有，解得.故答案為：15.如圖，已知斜率為—3的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱的點(diǎn)為C且，則該雙曲線的離心率為___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，即可得到，，從而求出直線的斜率，設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，再根據(jù)離心率公式計(jì)算可得.【詳解】解：如圖，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，由雙曲線的對稱性可知為線段的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，由直線的斜率，得，則直線的斜率，設(shè)，，則，兩式相減得，化簡得，，所以該雙曲線的離心率.故答案為：.16.已知、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為該橢圓上一點(diǎn)，且滿足，若的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的64倍，則該橢圓的離心率為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義并利用余弦定理可得，再根據(jù)正弦定理可知外接圓半徑，由等面積法可知內(nèi)切圓半徑，再根據(jù)面積比即可計(jì)算出離心率.【詳解】根據(jù)題意畫出圖象如下圖所示：利用橢圓定義可知，且；又，利用余弦定理可知：，化簡可得；所以的面積為；設(shè)的外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為；由正弦定理可得，可得；易知的周長為，利用等面積法可知，解得；又的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的64倍，即，所以，即可得，所以；離心率.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓焦點(diǎn)三角形外接圓與內(nèi)切圓半徑問題，通常利用正弦定理計(jì)算外接圓半徑，由等面積法公式可計(jì)算出內(nèi)切圓半徑，即可實(shí)現(xiàn)問題求解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn).（1）求直線的方程；（2）若直線m與平行，且m與間的距離為3，求直線m的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先由兩點(diǎn)求出直線的斜率，然后結(jié)合點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解；（2）先根據(jù)平行關(guān)系設(shè)出直線m的方程，然后結(jié)合兩平行線間距離公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】解：由題意得直線的斜率，故直線的方程為，即；【小問2詳解】解：可設(shè)直線m的方程為，由題意得，解得或，故直線m的方程為或.18.如圖，正三棱柱中，D是的中點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明過程見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.小問1詳解】連接交于，連接，因?yàn)檎庵膫?cè)面是平行四邊形，所以是的中點(diǎn)，而D是的中點(diǎn)，所以，而平面，平面．所以平面；【小問2詳解】因?yàn)镈是的中點(diǎn)，三角形是正三角形，所以，設(shè)F是的中點(diǎn)，顯然平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)平面與平面的法向量分別為，，，，則有，，平面與平面夾角的余弦值為.19.在如圖所示的空間幾何體中，平面平面，與均是等邊三角形，，和平面所成的角為，且點(diǎn)在平面上的射影落在的平分線上.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn),連接，點(diǎn)是點(diǎn)在平面上的射影，點(diǎn)在上，由線面角可求得，證得是平行四邊形，由面面垂直得線面垂直，從而可證結(jié)論成立；（2）以方向?yàn)檩S,軸,軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求得線面角的正弦值．【詳解】（1）取中點(diǎn),連接.由題意知,為的平分線,且.設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)在平面上的射影，由已知得,點(diǎn)上,連接,則平面.平面平面,平面平面,平面,平面.同理可得平面.又平面,.和平面所成的角為,即,，又，四邊形為平行四邊形..平面.（2）以方向?yàn)檩S,軸,軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則..設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則取,得.設(shè)與平面所成的線面角為,則.與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查空間向量法求異面直線所成的角，求二面角．求空間角的方法：（1）幾何法（定義法）：根據(jù)定義作出空間的平面角（異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角的平面角）并證明，然后解三角形得出結(jié)論；（2）空間向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)為坐標(biāo)，求出直線方向向量，平面的法向量，利用直線方向向量的夾角得異面直線所成角（相等或互補(bǔ)），直線方向向量與平面的法向量夾角的余弦值的絕對值得直線與平面所成角的正弦值，兩個(gè)平面法向量的夾角得二面角（它們相等或互補(bǔ)）．20.如圖，多面體中，四邊形是邊長為4的菱形，，平面平面平面．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見詳解；（2）【解析】【分析】（1）：取中點(diǎn)，證平面，所以，即可證明平面；（2）：連接交于，先證兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)二面角的向量求解公式即可求解．【小問1詳解】取中點(diǎn)，連接．因?yàn)槭堑妊切危裕驗(yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．【小?詳解】連接交于，取中點(diǎn)，連接，所以．因?yàn)槠矫妫云矫?，因?yàn)槠矫妫?，，又因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，所以兩兩垂直．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則令，得，又平面的法向量為．設(shè)二面角的大小為，則，．所以二面角的正弦值為．21.（1）已知點(diǎn)和點(diǎn)，求過直線的中點(diǎn)且與垂直的直線的方程；（2）求過直線和的交點(diǎn)，且平行于直線的直線的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出的中點(diǎn)，利用斜率公式求出斜率，結(jié)合直線垂直斜率之間的關(guān)系與點(diǎn)斜式進(jìn)行求解即可；（2）求出直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合直線平行的條件求出直線斜率，利用