2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第一章勾股定理專項(xiàng)突破1利用勾股定理解題的常見題型習(xí)題課件新版北師大版

第一章勾股定理專項(xiàng)突破1利用勾股定理解題的常見題型題型1利用勾股定理解決網(wǎng)格問題1.

如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，

A

，

B

，

C

均在格點(diǎn)

上，則

CB2＋

AC2等于(

D

)A.12B.14C.16D.18D234567891題型2利用勾股定理解決折疊問題2.

[2024濟(jì)寧月考]如圖，三角形紙片

ABC

中，∠

BAC

＝

90°，

AB

＝2，

AC

＝3.沿過點(diǎn)

A

的直線將紙片折疊，使

點(diǎn)

B

落在邊

BC

上的點(diǎn)

D

處；再折疊紙片，使點(diǎn)

C

與點(diǎn)

D

重合，若第二次的折痕與

AC

的交點(diǎn)為

E

，則

AE

的長(zhǎng)是

(

A

)A234567891題型3利用勾股定理解決三角形的有關(guān)問題3.

【新視角·新定義型題】[2024·蘇州期末]定義：如果一個(gè)

三角形存在兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足2α＋β＝90°，那么稱這個(gè)

三角形為“準(zhǔn)互余三角形”.如圖，已知△

ABC

為“準(zhǔn)互

余三角形”，并且∠

A

＞∠

B

＞∠

C

.

若∠

B

＝45°，求

∠

A

的度數(shù).234567891解：當(dāng)∠

B

＝45°為α?xí)r，2α＋β＝90°＋β＞90°，故不成立；當(dāng)∠

A

為α?xí)r，因?yàn)椤?/p>

A

＞∠

B

＞∠

C

，所以2∠

A

＞2∠

B

＝90°，故不成立；當(dāng)∠

C

為α?xí)r，因?yàn)椤?/p>

B

＝45°，所以∠

A

＋∠

C

＝

135°，所以∠

A

＋2∠

C

＞135°，故不成立；所以只能是∠

B

＋2∠

C

＝90°，解得∠

C

＝22.5°，所以∠

A

＝180°－45°－22.5°＝112.5°.234567891題型4利用勾股定理說明線段之間的平方關(guān)系4.

如圖，∠

C

＝90°，

AM

＝

CM

，

MP

⊥

AB

于點(diǎn)

P

.

試說

明：

BP2＝

BC2＋

AP2.234567891解：連接

BM

.

因?yàn)?/p>

MP

⊥

AB

，所以△

BMP

和△

AMP

均

為直角三角形，所以

BP2＋

PM2＝

BM2，

AP2＋

PM2＝

AM2.同理可得

BC2＋

CM2＝

BM2，所以

BP2＋

PM2＝

BC2＋

CM2.因?yàn)?/p>

CM

＝

AM

，所以

CM2＝

AM2＝

AP2＋

PM2.所以

BP2

＋

PM2＝

BC2＋

AP2＋

PM2.所以

BP2＝

BC2＋

AP2.234567891題型5利用勾股定理求實(shí)際中的距離5.

如圖，某學(xué)校(

A

點(diǎn))到公路(直線

l

)的距離為300

m，到車

站(

D

點(diǎn))的距離為500

m.現(xiàn)要在公路邊上建一個(gè)商店(

C

點(diǎn))，使之到學(xué)校(

A

點(diǎn))及到車站(

D

點(diǎn))的距離相等，求商

店(

C

點(diǎn))與車站(

D

點(diǎn))之間的距離.234567891解：設(shè)

CD

＝

x

m，則

AC

＝

x

m.如圖，作

AB

⊥

l

于點(diǎn)

B

，則

AB

＝300

m.在Rt△

ABD

中，

AD2＝

AB2＋

BD2，

AB

＝300

m，

AD

＝500

m，所以

BD

＝400

m.所以

BC

＝(400－

x

)m.在Rt△

ABC

中，

AC2＝

AB2＋

BC2，所以

x2＝3002＋(400－

x

)2，解得

x

＝312.5.所以商店(

C

點(diǎn))與車站(

D

點(diǎn))之間的距離為312.5

m.234567891題型6利用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題6.

[2024北師大附中期中]在如圖所示的5×5的方格圖中，點(diǎn)

A

和點(diǎn)

B

均在格點(diǎn)上，點(diǎn)

C

也在格點(diǎn)上，滿足△

ABC

為以

AB

為斜邊的直角三角形.這樣的點(diǎn)

C

有(

D

)A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)D234567891題型7利用勾股定理求動(dòng)點(diǎn)中線段的長(zhǎng)7.

【新考法·分類討論法】如圖，在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，

AB

＝5

cm，

AC

＝3

cm，動(dòng)點(diǎn)

P

從點(diǎn)

B

出發(fā)沿

射線

BC

以1

cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

t

s.(1)求

BC

邊的長(zhǎng)；解：(1)

BC

＝4

cm.2345678917.

【新考法·分類討論法】如圖，在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，

AB

＝5

cm，

AC

＝3

cm，動(dòng)點(diǎn)

P

從點(diǎn)

B

出發(fā)沿

射線

BC

以1

cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

t

s.(2)當(dāng)△

ABP

為直角三角形時(shí)，借助圖①求

t

的值；234567891解：(2)由題意知

BP

＝

t

cm，當(dāng)△

ABP

為直角三角形時(shí)，有兩種情況：Ⅰ.如圖①，當(dāng)∠

APB

為直角時(shí)，點(diǎn)

P

與點(diǎn)

C

重合，

BP

＝

BC

＝4

cm，即

t

＝4.234567891Ⅱ.如圖②，當(dāng)∠

BAP

為直角時(shí)，

BP

＝

t

cm，

CP

＝(

t

－4)cm，

AC

＝3

cm.在Rt△

ACP

中，

AP2＝32＋(

t

－4)2；在Rt△

BAP

中，

AB2＋

AP2＝

BP2，

234567891(3)當(dāng)△

ABP

為等腰三角形時(shí)，借助圖②求

t

的值.7.

【新考法·分類討論法】如圖，在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，

AB

＝5

cm，

AC

＝3

cm，動(dòng)點(diǎn)

P

從點(diǎn)

B

出發(fā)沿

射線

BC

以1

cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

t

s.234567891Ⅰ.如圖①，當(dāng)

BP

＝

AB

時(shí)，

t

＝5.解：(3)當(dāng)△

ABP

為等腰三角形時(shí)，有三種情況：Ⅱ.如圖②，當(dāng)

AB

＝

AP

時(shí)，

BP

＝2

BC

＝8

cm，則

t

＝8.Ⅲ.如圖③，當(dāng)

BP

＝

AP

時(shí)，

AP

＝

BP

＝

t

cm，

CP

＝｜

t

－

4｜c(diǎn)m，

AC

＝3

cm.234567891在Rt△

ACP

中，

AP2＝

AC2＋

CP2，

234567891題型8利用勾股定理求最短距離8.

如圖，有一圓柱形油罐，要從

A

點(diǎn)環(huán)繞油罐建梯子，正好

到

A

點(diǎn)的正上方

B

點(diǎn).已知油罐的底面周長(zhǎng)是12

m，高

AB

是5

m，問：梯子最短需要多長(zhǎng)？234567891解：圓柱的側(cè)面展開圖如圖所示.由題意知AA'＝12

m，A'B'＝5

m，連接AB'.在Rt△AB'A'中，AB'2＝AA'2＋B'A'2＝122＋52＝169＝132，所以AB'＝13

m.所以梯子最短需要13

m長(zhǎng).234567891題型9利用勾股定理分類求最短距離9.

[教材P19復(fù)習(xí)題T12變式]如圖，已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2

cm、寬為1

cm、高為4

cm.一只螞蟻如果沿長(zhǎng)方體的表面從

A

點(diǎn)爬到B'點(diǎn)，那么螞蟻爬行的最短路程是多少？234567891解：分三種情況：如圖①，連接AB'，在Rt△ABB'中，由勾股定理得AB'2＝

AB2＋BB'2＝(2＋1)2＋42＝25；234567891如圖②，連接AB'，在Rt△ACB'中，由勾股定理得AB'2＝

AC2＋