第五節(jié)景別造型功能和作用

集合相等：，記為交集：A，B中的公共元素，記為并集：屬于A或者屬于B，記為全集：所考察對(duì)象的全體，記為I補(bǔ)集：全集中除A外剩余的元素，記為2．絕對(duì)值定義：性質(zhì)：1）2）若，則3）若，則3．區(qū)間開(kāi)區(qū)間：閉區(qū)間：半開(kāi)半閉區(qū)間：，半無(wú)窮區(qū)間：，無(wú)窮區(qū)間：集合為點(diǎn)，由得到把寫成區(qū)間解：§2映射與函數(shù)反函數(shù)映射概念：函數(shù)概念：，則稱為定義在集合D上的函數(shù)。記為其中D為定義域，B為值域，稱為自變量，稱為因變量。例4．設(shè)，求解：（直接代入即可）例5．若，求解：令于是定義域的求法①分母②被開(kāi)方數(shù)③對(duì)數(shù)真數(shù)例6．求下列函數(shù)的定義域①②③函數(shù)的表示方法①解析法：②描述法：如是的2倍③圖象法：用圖形描述與的關(guān)系反函數(shù)：由得：是的反函數(shù)例6．求的反函數(shù)解：是的反函數(shù)練習(xí)：P42、8p910、13、14作業(yè)：P41、4p99、11對(duì)數(shù)函數(shù)：三角函數(shù)：反三角函數(shù)：二、復(fù)合函數(shù)即型例1．下列函數(shù)是怎樣復(fù)合而成的？①②解：①②三、初等函數(shù)概念：基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)加、減、乘、除和復(fù)合進(jìn)行有限次運(yùn)算所得到的函數(shù)稱為初等函數(shù)。例如：§4函數(shù)的簡(jiǎn)單形態(tài)1．有界性若，2．單調(diào)性①增函數(shù)②減函數(shù)3．奇偶性①為奇函數(shù)②為偶函數(shù)以上兩條不符合，為非奇非偶函數(shù)。例2判斷下列函數(shù)的奇偶性①②③解：（略）4．周期性為周期，周期中最小的成為最小正周期。如：，為周期，為最小正周期?！?函數(shù)作圖主要有描點(diǎn)法、疊加法等（略）。練習(xí)：P1224P1427、29作業(yè)：P1221、22P1426、28則稱該數(shù)列的極限為。記作或此時(shí)也稱數(shù)列收斂,否則稱數(shù)列發(fā)散.幾何解釋為：（）存在一個(gè)充分大的正整數(shù)N,使得時(shí)，都落在點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)。從定義可以看出，上例中1，2，5是收斂的。3，4是發(fā)散的。練：1.2.3.4.二、函數(shù)極限對(duì)于自變量變化有六種形式先來(lái)研究在一點(diǎn)處的極限定義：如果當(dāng)無(wú)限接近于時(shí)，恒有，則稱當(dāng)自變量趨向于時(shí)，函數(shù)趨向于A。記作：左極限與右極限左極限：（從左邊趨向）右極限：（從右邊趨向）定理：例1.給定函數(shù)討論時(shí)，的極限是否存在解：=-1=1顯然所以不存在注：函數(shù)極限的存在與否與在這點(diǎn)處是否有定義無(wú)關(guān)練：1.設(shè)，判斷在處是否存在極限2.設(shè)，判斷在處的極限3.設(shè)，求4.設(shè)，討論時(shí)，的左右極限，且是否存在？5.求第二節(jié)無(wú)窮小量與無(wú)窮大量一、無(wú)窮小量及其運(yùn)算定義：若，函數(shù)，則稱函數(shù)為時(shí)的無(wú)窮小。注：（1）強(qiáng)調(diào)一個(gè)過(guò)程中（2）極限值為0也可通俗地描述為：極限值為0的量為無(wú)窮小量。因此不能說(shuō)一個(gè)函數(shù)是無(wú)窮??；除0以外的任意小的數(shù)也不是無(wú)窮小。無(wú)窮小是一個(gè)極限的過(guò)程。練：判斷在過(guò)程中，以下哪些是無(wú)窮小。，0，0.0001性質(zhì)：1、有限個(gè)無(wú)窮小量的和為無(wú)窮小量2、有限個(gè)無(wú)窮小量的積為無(wú)窮小量3、常數(shù)與無(wú)窮小量的積為無(wú)窮小量4、有界函數(shù)與無(wú)窮小量的積為無(wú)窮小量例：二、無(wú)窮大量定義：若函數(shù)的絕對(duì)值在的某種趨向下無(wú)限增大，則稱為在的這種趨向下的無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱為無(wú)窮大例：注：1、切不可把無(wú)窮大量理解為很大的一個(gè)數(shù)。它是描述函數(shù)的一種狀態(tài)2、函數(shù)為無(wú)窮大,必定無(wú)界.但反之不真定理：在自變量的同一個(gè)過(guò)程中，若為無(wú)窮大，則為無(wú)窮小小結(jié)：1.了解數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系2.重點(diǎn)掌握利用左右極限來(lái)判斷在一點(diǎn)處函數(shù)極限的存在性思考題：若存在，是否有？練習(xí)P241、2、3、4、5、8、9、10作業(yè)：P246、7練習(xí)與講解：求下列極限1．2.3.4.5.67.例3、求極限解：時(shí)，分子，分母（抓大頭）（同時(shí)除以原式=一般有如下結(jié)論：練習(xí)與講解：1、2、3、4、已知，求K值5、6、求值小結(jié)：1．極限的運(yùn)算法則2．練習(xí)題：P3020、22、24、26作業(yè)題：P3019、21、23、25例3、求極限解：原式===例4、求極限解：原式=1練習(xí)與講解：1、2、3、小結(jié)：第一重要極限的應(yīng)用即：然后熟練應(yīng)用此公式進(jìn)行計(jì)算。練習(xí)：P3634、35、37、38作業(yè)：P3632、33、36、39例2、計(jì)算解：原式===例3、計(jì)算解：原式===例4、計(jì)算解：原式===同理：=練習(xí)與講解:求下列極限的值1、2、3、4、例5、計(jì)算解：原式===由例3知：例6、計(jì)算解：原式==例7、計(jì)算解：原式==練習(xí)：P3646、48作業(yè)：P3640、45、47定義：設(shè)是自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小,若，則稱是比的高階無(wú)窮小。記作若，則稱是比的低階無(wú)窮小若，則稱是比的同階無(wú)窮小若，則稱是比的等價(jià)無(wú)窮小、記作常用的無(wú)窮小量的替換當(dāng)時(shí)，～，～，～，～，～例4、計(jì)算解：原式==因?yàn)楫?dāng)時(shí)，～，～例5、計(jì)算解：原式==練習(xí)題：7、8、9、討論時(shí)，函數(shù)極限存在情況10、討論時(shí)，函數(shù)極限存在情況11、討論，時(shí)，函數(shù)極限存在情況12.13、14、15、16、證明：當(dāng)時(shí)，與同階無(wú)窮小小結(jié)：掌握第二重要極限的計(jì)算方法和無(wú)窮小量的應(yīng)用替換作業(yè)：P3952-55==因?yàn)樗院瘮?shù)在處不連續(xù)若在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù),則稱稱它在該區(qū)間上連續(xù)，或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).練：1、設(shè)討論其在的連續(xù)性2、設(shè)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，求值3、設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，求A值4、設(shè)討論其在的連續(xù)性。定義2.設(shè)函數(shù)在的一個(gè)領(lǐng)域有定義，如果或即，則稱函數(shù)在處連續(xù)。注：此定義用來(lái)證明連續(xù)性較多練：1、證明函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)?？梢?jiàn)，判斷在處連續(xù)，必須具備下列條件：1.在處有定義，即存在2.存在3.=左連續(xù)與右連續(xù)若函數(shù)在處有=（=）則分別稱函數(shù)在處是右連續(xù)（左連續(xù)）函數(shù)在處連續(xù)函數(shù)在處既左連續(xù)又右連續(xù)==二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算定理1.若函數(shù)和在處連續(xù)，則和、差、積在該點(diǎn)亦連續(xù)。又若，則商也在處連續(xù)。定理2.函數(shù)在處連續(xù)，函數(shù)在處連續(xù)，且，則復(fù)合函數(shù)在處連續(xù)。定理3.連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)也連續(xù)單調(diào)遞增（初等函數(shù)的連續(xù)性）定理4.基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)例2、求（解：原式=說(shuō)明:分段函數(shù)在界點(diǎn)處是否連續(xù)需討論其左、右連續(xù)性.練：1、設(shè)函數(shù)，已知處處連續(xù)，求2、設(shè)=，問(wèn)為何值時(shí)，為連續(xù)函數(shù)3、根據(jù)連續(xù)性求三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1、（最值性）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。注意:若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上連續(xù),或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)，結(jié)論不一定成立。推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界2、（介值性）（零點(diǎn)定理）若在上連續(xù)，且，則至少存在一個(gè)，使。例3、證明方程在（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根證明：設(shè)顯然在的閉區(qū)間連續(xù)根據(jù)零點(diǎn)定理得，至少存在一點(diǎn)，使。這也說(shuō)明了所給方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。四．函數(shù)間斷點(diǎn)及其分類定義：函數(shù)在處不連續(xù)，則稱是函數(shù)的間斷點(diǎn)。分類：第一類間斷點(diǎn)：和均存在，若=，則稱為可去間斷點(diǎn)若，則稱為跳躍間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)：及至少有一個(gè)不存在，若其中有一個(gè)為，則稱為無(wú)窮間斷點(diǎn)例是可去間斷點(diǎn)是無(wú)窮間斷點(diǎn)練：1、設(shè)函數(shù)求（1）指出定義域（2）求的連續(xù)區(qū)間2、設(shè)（求（1）當(dāng)為何值時(shí)，是連續(xù)點(diǎn)（2）當(dāng)為何值時(shí)，是間斷點(diǎn)（3）時(shí)，求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間小結(jié)：1.函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)性的判定2.零點(diǎn)定理的應(yīng)用3、間斷點(diǎn)的分類作業(yè)：P4760、61、64、70說(shuō)明：這兩個(gè)共性問(wèn)題是：所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類似的問(wèn)題：加速度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限角速度是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限線密度是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限等等，這些都是變化率問(wèn)題。二、導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義定義：設(shè)函數(shù)在的一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義，（見(jiàn)上頁(yè)圖）若存在，則稱此極限值為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)。記作或，。即：=若極限不存在，則函數(shù)在處不可導(dǎo)?？芍阂?，在的瞬時(shí)速度為引例2，在點(diǎn)處的切線斜率為（也就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義）可以寫出切線方程法線方程求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)（）解：練：求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在處的切線和法線方程解：例1中已經(jīng)求得切線方程為法線方程為三、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理：在處可導(dǎo)在處連續(xù)注：反之不成立證：略左右導(dǎo)數(shù)：若函數(shù)在的一個(gè)左（右）領(lǐng)域內(nèi)有定義，若極限存在，則稱此極限值為在處的左（右）導(dǎo)數(shù)。定理：函數(shù)在處可導(dǎo)討論函數(shù)在處的連續(xù)性和可導(dǎo)性解：連續(xù)性，所以在處連續(xù)可導(dǎo)性，所以處不可導(dǎo)。練：P554-6小結(jié)：1、導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)：增量比的極限2、可導(dǎo)的充要條件：（函數(shù)在處可導(dǎo)）3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切線的斜率4、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系5.、求導(dǎo)公式6、判斷可導(dǎo)性：（1）不連續(xù)一定不可導(dǎo)（2）直接應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義（3）看左右導(dǎo)數(shù)是否存在并相等。作業(yè)：P559、11解：==設(shè)，求解：=例2、求證：證：練：1、求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)（1）（2）（3）（4）2、已知，求3、設(shè)，求二、復(fù)合函數(shù)的微分法定理2.在處可導(dǎo)，在處可導(dǎo)復(fù)合函數(shù)在處可導(dǎo)，且（）證：略推廣：關(guān)鍵:搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).設(shè)，求解：（法一）設(shè)，（法二）設(shè)，求解：(法一)設(shè)（法二）練：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1、2、3、4、5、例4、設(shè)，求解：=注：當(dāng)有加、減、積、除和復(fù)合在一起時(shí)，要分清楚先后順序，再按對(duì)應(yīng)的法則進(jìn)行運(yùn)算。練：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1、2、3、4、5、小結(jié)：求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則注：積的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的積商的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的商搞清楚復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)求導(dǎo)作業(yè)：P6413、15、19、23、2634、36、39、40、45即設(shè)，求在處的微分解：（法一）定義法根據(jù)定義得（法二）定理法練：1、求在的微分2、求在的微分注：當(dāng)時(shí)，記為，所以以后的微分都寫成的形式。微分的幾何意義：切線縱坐標(biāo)的增量二、微分的運(yùn)算法則設(shè)可微，則有（）設(shè)，求解：（法一）微分法（法二）可導(dǎo)法練：求下列函數(shù)的微分1、2、三、復(fù)合函數(shù)的微分定理：設(shè)均可微，則也可微，且或（一階微分不變性）設(shè)，求解：設(shè)，求解：=練：求下列函數(shù)的微分1、2、3、4、四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)很小時(shí)，即使用原則：1、好算2、與靠近例5、計(jì)算的近似值解：練：計(jì)算的近似值小結(jié)：1、微分的定義和幾何意義2、可微與可導(dǎo)的關(guān)系3、微分運(yùn)算法則（一階微分不變性）作業(yè).P7573、74、76、87二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：研究對(duì)象：函數(shù)是由冪、指函數(shù)或連乘、連除或乘方、開(kāi)方表示的表達(dá)式設(shè)，求解：兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)（或微分）練：1、設(shè)求2、設(shè)，求三、高階導(dǎo)數(shù)如果可以對(duì)再求導(dǎo)，得到一個(gè)新函數(shù)，稱為函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。記作同理，可以定義三階導(dǎo)數(shù)（）所以階導(dǎo)數(shù)設(shè)求解：注：，有練：試求下列函數(shù)的N階導(dǎo)數(shù)1、2、求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：（法一）方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得解得（法二）方程兩邊同時(shí)微分解得求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得解得求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：（法一）方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得解得（法二）方程兩邊同時(shí)微分解得求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得解得練：求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1、2、3、4、求由方程所確定在處的導(dǎo)數(shù)5、求由曲線在處的切線和法線方程6、已知方程求練：求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1、2、3、4、求由方程所確定在處的導(dǎo)數(shù)5、求由曲線在處的切線和法線方程6、已知方程求四、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)微分法參數(shù)方程的一般形式為這個(gè)方程確定了是的函數(shù)所以有小結(jié)：隱函數(shù)的求導(dǎo)法則對(duì)數(shù)求導(dǎo)法的應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)的求法作業(yè)：p7992、95、98、103求的單調(diào)區(qū)間解：定義域?yàn)镽令，解得無(wú)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)劃分區(qū)間（-1，3）單調(diào)增區(qū)間有單調(diào)減區(qū)間有（-1，3）注：1）單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)2）如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào),則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例練：求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1、2、也可利用導(dǎo)數(shù)來(lái)證明不等式。例如：證明有不等式提示：設(shè)（證單調(diào)遞增）二、函數(shù)的極值及其求法：1.定義：設(shè)函數(shù)在的一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義，若當(dāng)時(shí)，有（1），則稱為的極大值，為的極大值點(diǎn)。（2），則稱為的極小值，為的極小值點(diǎn)。極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)例如：例1中，極大值，極小值注：1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).2)對(duì)常見(jiàn)函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(diǎn).定理1、設(shè)函數(shù)在的一個(gè)空心領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)，有（1）“左正右負(fù)”，為極大值（2）“左負(fù)右正”，為極小值注：就是判斷分界點(diǎn)兩邊的單調(diào)性練：求下列函數(shù)極值1、

2、定理2、設(shè)函數(shù)在處的二階導(dǎo)數(shù)存在，若，則為極小值若，則為極大值例如:例1也可以先求二階導(dǎo)數(shù)，所以有結(jié)論小結(jié)：1、函數(shù)單調(diào)區(qū)間的判定2、函數(shù)極值的求法練習(xí)：求下列函數(shù)極值1、2、3、作業(yè)：P911、2特別：當(dāng)在【a,b】只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí)，若在此點(diǎn)取極大（極?。┲?則也是最大（最小）值.當(dāng)在【a,b】上單調(diào)時(shí)，最值必在端點(diǎn)處到達(dá)對(duì)應(yīng)用問(wèn)題,有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).例1、求函數(shù)在【-3，4】上的最大值和最小值解：令解得所以最大值為142，最小值為7求函數(shù)在上的最值解：令，解得有唯一的可疑極值點(diǎn)是極小值點(diǎn)是最小值，無(wú)最大值練：P9361，63例3、鐵路上AB段的距離為100km,工廠C距A處20km,AC⊥AB,要在AB線上選定一點(diǎn)D向工廠修一條公路,已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)價(jià)之比為3:5,為使貨物從B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省,問(wèn)D點(diǎn)應(yīng)如何取?解：設(shè)AD=x(公里)令所以設(shè)在距A15公里處，最省練：有一邊長(zhǎng)為48CM的正方形鐵皮，四角各截去一個(gè)大小相同的正方形，然后將四邊折起做成一個(gè)方形無(wú)蓋容器，問(wèn)截去的小正方形邊長(zhǎng)多大時(shí)，所得容器的容積最大？最大容積多少？小結(jié)：1、連續(xù)函數(shù)的最值（1）最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找;（2）應(yīng)用題可根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義判別.作業(yè)：P911-4=例2、求解：原式=（=（=練：求下列函數(shù)極限1、2、3、4、5、6、小結(jié)：注意洛必達(dá)法則的應(yīng)用條件作業(yè)：P9816、17、19、23、27例2、求極限解：原式=（）=（）=練：求下列極限1、2、3、二、型極限的求法方法：通分（目地就是為了化為）例3、求極限解：原式=（）=（）=練：求下列極限1、2、3、求下列函數(shù)的極限1、2、3、4、5、6、7、8、9、小結(jié)：型極限的求法作業(yè)：P9818、20、22、26判斷的凹凸性解：當(dāng)時(shí)，所以是凹的練：討論的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)注：凹凸性與一階導(dǎo)數(shù)無(wú)關(guān)，與二階導(dǎo)數(shù)有關(guān)漸近線：垂直漸近線：若，則稱直線為的垂直漸近線水平漸近線：若，則稱直線為的水平漸近線例：為垂直漸近線為水平漸近線練習(xí)：求極限1、2、3、4、求極值1、2、3、小結(jié)：1、掌握曲線的凹凸性的判定注：拐點(diǎn)與一階導(dǎo)數(shù)無(wú)關(guān)2、了解垂直和水平漸近線作業(yè)：P10231,32問(wèn)題：在什么條件下，原函數(shù)存在？定理：若函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù)，則在區(qū)間I上存在原函數(shù)。我們現(xiàn)在研究的都是初等函數(shù)，所以都存在原函數(shù)一般地，F(xiàn)(x)為f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，則f(x)的所有原函數(shù)都在F(x)+C內(nèi)（C為任意常數(shù)）例，的一個(gè)原函數(shù)為二、不定積分1、定義：設(shè)F(x)為f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，則F(x)+C稱為f(x)的不定積分。記作為積分號(hào)f(x)為被積函數(shù)為積分變量C積分常數(shù)注：求不定積分問(wèn)題就是求原函數(shù)問(wèn)題2、幾何意義：f(x)的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線的圖形為——f(x)的所有積分曲線組成的平行曲線族.例1.設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2),且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線的方程.解：因?yàn)樗杂忠驗(yàn)檫^(guò)（1，2）點(diǎn)，所以所以曲線的方程為3、不定積分性質(zhì)(1)（2）（3）（4）4、基本積分表（略）注：冪函數(shù)先化為次方的形式，但例外求解：原式===練：求下列積分1、2、3、4、5、例2、求解：原式===例3、求解：原式===練：求下列積分1、2、3、4、5、6.小結(jié)：1.不定積分的概念（1）原函數(shù)與不定積分的定義（2）不定積分的性質(zhì)（3）基本積分表2.直接積分法:利用恒等變形,積分性質(zhì)及基本積分公式進(jìn)行積分。常用恒等變形方法（1）分項(xiàng)積分（2）加項(xiàng)減項(xiàng)（3）利用三角公式,代數(shù)公式等。作業(yè)：P1121、4、10、11例1、求解：原式==注：是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，例2、求解：原式==注：是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，練：求下列積分1、2、3、4、5、6、7、8、9、總結(jié)：（1）注：有復(fù)合函數(shù)，要找到那個(gè)中間變量求解：原式===例3、求解：原式===注：練：求下列積分1、2、3、4、5、6、總結(jié)：（2）例4、求解：原式===注：練：求下列積分1、2、3、總結(jié)：（3）例5、求解：原式==注：補(bǔ)充公式：小結(jié)：掌握三個(gè)類型的湊微分法作業(yè)：P12013、17、23、30解：原式===例2、求解：原式===例3、求解：原式===注：對(duì)于有理分式積分問(wèn)題，要因題而異，注意觀察其特點(diǎn)?？偨Y(jié)有以下方法（1）拼湊法。如例1（2）因式分解法。如例3（3）配方法。如例2（4）綜合法。練：求積分湊微分的公式：例4、求解:原式==總結(jié)：（4）練：求下列積分1、2、3、例5、求解：原式==總結(jié)：（5）練：求下列積分1、2、3、練：求下列積分1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、補(bǔ)充練習(xí)：求下列積分1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、,則13、14、15、16、小結(jié)：掌握湊微分法的積分原理以及各個(gè)類型的積分是如何湊出來(lái)的。作業(yè)：P12031、34、37、41練：求下列積分1、2、三角換元例2、求解：設(shè)==原式=注：利用三角形找關(guān)系練;求下列積分1、2、例3、求解：原式===根據(jù)結(jié)論可得原式=練：求下列積分1、2、3、4、小結(jié)：掌握第二換元積分法作業(yè)：P12470、72解：原式==例2、求解：原式==練：求例3、求解：設(shè)原式==練：求下列積分1、2、3、4、例4、求解：設(shè)原式==原式=注：當(dāng)有根號(hào)時(shí)，先用第二換元把根號(hào)去掉。練：求下列積分1、2、小結(jié)：分部積分公式使用原則：容易求得，易積分使用經(jīng)驗(yàn):“反對(duì)冪指三”,前u后補(bǔ)充作業(yè)：求下列積分1、2、3、4、習(xí)題：若的一個(gè)原函數(shù)為則若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，且過(guò)點(diǎn)（2，5），則該曲線方程為求設(shè)，則設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則下列各式正確的是ABCD6、求7、求8、求9、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則10、則11、（）12、求13、若則=14、求15、求16、求17、求18、若19.若則=20、則21、若是的一個(gè)原函數(shù)，則22、求下列積分（1）（2）（3）（4）此類問(wèn)題的共性：解決問(wèn)題的方法步驟相同：“大化小,常代變,近似和,取極限”所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:特殊乘積和式的極限定積分的概念1、定義：設(shè)函數(shù)在【a,b】上有定義，若對(duì)【a,b】上任意一種分法，任取，若存在，則稱此極限I為函數(shù)在【a,b】上的定積分，記作此時(shí)稱f(x)在[a,b]上可積.注：定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān),即==2、幾何意義：=A表示曲邊梯形的面積=-A曲邊梯形的面積的負(fù)值有正有負(fù)時(shí)，等于代數(shù)和3、可積的充分條件：函數(shù)在【a,b】上連續(xù)函數(shù)在【a,b】上可積函數(shù)在【a,b】上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)函數(shù)在【a,b】上可積定積分的性質(zhì)1、=-2、3、=4、5、=+6、如果有則有7、如果在[a,b]上有那么8、如果函數(shù)在【a,b】上連續(xù)，，使=例1、比較下列各對(duì)積分值的大小1、與大于2、與大于注：比較積分值大小時(shí)，需要注意:1、積分區(qū)間是否相同2、被積函數(shù)是否相同小結(jié)：定積分定義—乘積和式的極限定積分的性質(zhì)作業(yè)P14933、34、37、41例2、求極限解：原式==練：1、求2、求3、設(shè)在內(nèi)連續(xù)，且，證明：在內(nèi)單調(diào)增加二、牛頓–萊布尼茨公式定理：設(shè)是連續(xù)函數(shù)在【a,b】上的一個(gè)原函數(shù)，那么=計(jì)算下列函數(shù)的定積分1、解：原式==2、解：原式==練：求下列定積分1、2、3、設(shè)求4、5、6、小結(jié)：1、微積分基本公式（N-L）2、變限積分求導(dǎo)公式作業(yè)：P1409-13解：原式====求定積分解：原式===注：在定積分的計(jì)算中，也不一定要換元，也可以用求原函數(shù)的方法來(lái)解例3、求定積分解：設(shè)，x=5,t=2:x=1,t=0原式=練：求下列定積分1、2、二、定積分的分部積分法不定積分的分部積分公式為定積分的分部積分公式為例4、求定積分解：原式===練：求下列定積分1、2、3、補(bǔ)充練習(xí)：設(shè)，則的大小關(guān)系利用定積分的幾何意義可知=設(shè)可導(dǎo)，則=======下列式子中正確的是（）ABCD11、設(shè)，則12、13、14、15、16、17、18、19、20、設(shè)的一個(gè)原函數(shù)是求小結(jié)：掌握定積分的換元積分法和分部積分法的應(yīng)用基本積分方法換元必?fù)Q限，配元不換限，邊積邊代限作業(yè)：P14417-28若是的一個(gè)原函數(shù)，引入記號(hào)==計(jì)算反常積分解：原式==練：計(jì)算下列反常積分1、2、3、證明反常積分，當(dāng)p>1時(shí)，收斂;p時(shí)，發(fā)散二、無(wú)界函數(shù)的反常積分定義：設(shè)函數(shù)在(a,b】上連續(xù),且取，如果有極