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2022-2023學(xué)年天津市寶坻區(qū)等部分區(qū)高三下學(xué)期精英聯(lián)賽數(shù)學(xué)試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知雙曲線的右焦點為,若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為,且點到該漸近線的距離為,則雙曲線的實軸的長為A. B.C. D.2.若滿足約束條件則的最大值為()A.10 B.8 C.5 D.33.已知函數(shù),則函數(shù)的零點所在區(qū)間為()A. B. C. D.4.已知實數(shù)、滿足不等式組,則的最大值為()A. B. C. D.5.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,其中左視圖中三角形為等腰直角三角形,則該幾何體外接球的體積是()A. B.C. D.6.在正方體中,,分別為,的中點,則異面直線,所成角的余弦值為()A. B. C. D.7.直線x-3y+3=0經(jīng)過橢圓x2a2+y2bA.3-1 B.3-12 C.8.已知的部分圖象如圖所示,則的表達(dá)式是()A. B.C. D.9.網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1單位長度,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為()A.1 B. C.3 D.410.已知,,且是的充分不必要條件,則的取值范圍是()A. B. C. D.11.若的展開式中的常數(shù)項為-12,則實數(shù)的值為()A.-2 B.-3 C.2 D.312.設(shè)集合,,若集合中有且僅有2個元素,則實數(shù)的取值范圍為A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知(2x-1)7=ao+a1x+a2x2+…+a7x7,則a2=____.14.滿足線性的約束條件的目標(biāo)函數(shù)的最大值為________15.在正奇數(shù)非減數(shù)列中,每個正奇數(shù)出現(xiàn)次.已知存在整數(shù)、、,對所有的整數(shù)滿足,其中表示不超過的最大整數(shù).則等于______.16.已知向量,,滿足,,,則的取值范圍為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列是等差數(shù)列,前項和為,且,.(1)求.(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.18.(12分)如圖,在四棱錐中,,,,和均為邊長為的等邊三角形.(1)求證:平面平面;(2)求二面角的余弦值.19.(12分)已知的圖象在處的切線方程為.(1)求常數(shù)的值;(2)若方程在區(qū)間上有兩個不同的實根,求實數(shù)的值.20.(12分)在中,.(Ⅰ)求角的大??;(Ⅱ)若,,求的值.21.(12分)已知集合,.(1)若,則;(2)若,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).以直角坐標(biāo)系原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為,點P為曲線C上的動點,求點P到直線l距離的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
雙曲線的漸近線方程為,由題可知.設(shè)點,則點到直線的距離為,解得,所以,解得,所以雙曲線的實軸的長為,故選B.2.D【解析】
畫出可行域,將化為,通過平移即可判斷出最優(yōu)解,代入到目標(biāo)函數(shù),即可求出最值.【詳解】解:由約束條件作出可行域如圖,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,.由圖可知當(dāng)直線過時,直線在軸上的截距最大,有最大值為3.故選:D.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題.一般第一步畫出可行域,然后將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式,在可行域內(nèi)通過平移找到最優(yōu)解,將最優(yōu)解帶回到目標(biāo)函數(shù)即可求出最值.注意畫可行域時,邊界線的虛實問題.3.A【解析】
首先求得時,的取值范圍.然后求得時,的單調(diào)性和零點,令,根據(jù)“時,的取值范圍”得到,利用零點存在性定理,求得函數(shù)的零點所在區(qū)間.【詳解】當(dāng)時,.當(dāng)時,為增函數(shù),且,則是唯一零點.由于“當(dāng)時,.”,所以令,得,因為,,所以函數(shù)的零點所在區(qū)間為.故選:A【點睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì),考查符合函數(shù)零點,考查零點存在性定理,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.4.A【解析】
畫出不等式組所表示的平面區(qū)域,結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解,代入即可求解,得到答案.【詳解】畫出不等式組所表示平面區(qū)域,如圖所示,由目標(biāo)函數(shù),化為直線,當(dāng)直線過點A時,此時直線在y軸上的截距最大,目標(biāo)函數(shù)取得最大值,又由,解得,所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為,故選A.【點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題.其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域,利用“一畫、二移、三求”,確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,及推理與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.5.C【解析】
作出三視圖所表示幾何體的直觀圖,可得直觀圖為直三棱柱,并且底面為等腰直角三角形,即可求得外接球的半徑,即可得外接球的體積.【詳解】如圖為幾何體的直觀圖,上下底面為腰長為的等腰直角三角形,三棱柱的高為4,其外接球半徑為,所以體積為.故選:C【點睛】本題考查三視圖還原幾何體的直觀圖、球的體積公式,考查空間想象能力、運算求解能力,求解時注意球心的確定.6.D【解析】
連接,,因為,所以為異面直線與所成的角(或補角),不妨設(shè)正方體的棱長為2,取的中點為,連接,在等腰中,求出,在利用二倍角公式,求出,即可得出答案.【詳解】連接,,因為,所以為異面直線與所成的角(或補角),不妨設(shè)正方體的棱長為2,則,,在等腰中,取的中點為,連接,則,,所以,即:,所以異面直線,所成角的余弦值為.故選:D.【點睛】本題考查空間異面直線的夾角余弦值,利用了正方體的性質(zhì)和二倍角公式,還考查空間思維和計算能力.7.A【解析】
由直線x-3y+3=0過橢圓的左焦點F,得到左焦點為再由FC=2CA,求得A3【詳解】由題意,直線x-3y+3=0經(jīng)過橢圓的左焦點F,令所以c=3,即橢圓的左焦點為F(-3,0)直線交y軸于C(0,1),所以,OF=因為FC=2CA,所以FA=3又由點A在橢圓上,得3a由①②,可得4a2-24所以e2所以橢圓的離心率為e=3故選A.【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)——離心率的求解,其中求橢圓的離心率(或范圍),常見有兩種方法:①求出a,c,代入公式e=ca;②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式,轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程,即可得8.D【解析】
由圖象求出以及函數(shù)的最小正周期的值,利用周期公式可求得的值,然后將點的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式,結(jié)合的取值范圍求出的值,由此可得出函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象可得,函數(shù)的最小正周期為,.將點代入函數(shù)的解析式得,得,,,則,,因此,.故選:D.【點睛】本題考查利用圖象求三角函數(shù)解析式,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.9.A【解析】
采用數(shù)形結(jié)合,根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐,然后根據(jù)錐體體積公式,可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)三視圖可知:該幾何體為三棱錐如圖該幾何體為三棱錐,長度如上圖所以所以所以故選:A【點睛】本題考查根據(jù)三視圖求直觀圖的體積,熟悉常見圖形的三視圖:比如圓柱,圓錐,球,三棱錐等;對本題可以利用長方體,根據(jù)三視圖刪掉沒有的點與線,屬中檔題.10.D【解析】
“是的充分不必要條件”等價于“是的充分不必要條件”,即中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集.【詳解】由題意知:可化簡為,,所以中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集,所以.【點睛】利用原命題與其逆否命題的等價性,對是的充分不必要條件進(jìn)行命題轉(zhuǎn)換,使問題易于求解.11.C【解析】
先研究的展開式的通項,再分中,取和兩種情況求解.【詳解】因為的展開式的通項為,所以的展開式中的常數(shù)項為:,解得,故選:C.【點睛】本題主要考查二項式定理的通項公式,還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】
由題意知且,結(jié)合數(shù)軸即可求得的取值范圍.【詳解】由題意知,,則,故,又,則,所以,所以本題答案為B.【點睛】本題主要考查了集合的關(guān)系及運算,以及借助數(shù)軸解決有關(guān)問題,其中確定中的元素是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)二項展開式的通項公式即可得結(jié)果.【詳解】解:(2x-1)7的展開式通式為:當(dāng)時,,則.故答案為:【點睛】本題考查求二項展開式指定項的系數(shù),是基礎(chǔ)題.14.1【解析】
作出不等式組表示的平面區(qū)域,將直線進(jìn)行平移,利用的幾何意義,可求出目標(biāo)函數(shù)的最大值。【詳解】由,得,作出可行域,如圖所示:平移直線,由圖像知,當(dāng)直線經(jīng)過點時,截距最小,此時取得最大值。由,解得,代入直線,得?!军c睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題的解法——平移法。15.2【解析】
將已知數(shù)列分組為(1),,共個組.設(shè)在第組,,則有,即.注意到,解得.所以,.因此,.故.16.【解析】
設(shè),,,,由,,,根據(jù)平面向量模的幾何意義,可得A點軌跡為以O(shè)為圓心、1為半徑的圓,C點軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓,為的距離,利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】設(shè),,,,如圖所示:因為,,,所以A點軌跡為以O(shè)為圓心、1為半徑的圓,C點軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓,則即的距離,由圖可知,.故答案為:【點睛】本題主要考查平面向量的模及運算的幾何意義,還考查了數(shù)形結(jié)合的方法,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】
(1)由數(shù)列是等差數(shù)列,所以,解得,又由,解得,即可求得數(shù)列的通項公式;(2)由(1)得,利用乘公比錯位相減,即可求解數(shù)列的前n項和.【詳解】(1)由題意,數(shù)列是等差數(shù)列,所以,又,,由,得,所以,解得,所以數(shù)列的通項公式為.(2)由(1)得,,,兩式相減得,,即.【點睛】本題主要考查等差的通項公式、以及“錯位相減法”求和的應(yīng)用,此類題目是數(shù)列問題中的常見題型,解答中確定通項公式是基礎(chǔ),準(zhǔn)確計算求和是關(guān)鍵,易錯點是在“錯位”之后求和時,弄錯等比數(shù)列的項數(shù),能較好的考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力及基本計算能力等.18.(1)見證明;(2)【解析】
(1)取的中點,連接,要證平面平面,轉(zhuǎn)證平面,即證,即可;(2)以為坐標(biāo)原點,以為軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的法向量,代入公式,即可得到結(jié)果.【詳解】(1)取的中點,連接,因為均為邊長為的等邊三角形,所以,,且因為,所以,所以,又因為,平面,平面,所以平面.又因為平面,所以平面平面.(2)因為,為等邊三角形,所以,又因為,所以,,在中,由正弦定理,得:,所以.以為坐標(biāo)原點,以為軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則平面的一個法向量為,依題意,平面的一個法向量所以故二面角的余弦值為.【點睛】空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.19.(1);(2)或.【解析】
(1)求出,由,建立方程求解,即可求出結(jié)論;(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,極值,做出函數(shù)在的圖象,即可求解.【詳解】(1),由題意知,解得(舍去)或.(2)當(dāng)時,故方程有根,根為或,+0-0+極大值極小值由表可見,當(dāng)時,有極小值0.由上表可知的減函數(shù)區(qū)間為,遞增區(qū)間為,.因為,.由數(shù)形結(jié)合可得或.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,應(yīng)用函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵,意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計算能力,屬于中檔題.20.(1);(2).【解析】試題分析:(1)由正弦定理得到.消去公因式得到所以.進(jìn)而得到角A;(2)結(jié)合三角形的面積公式,和余弦定理得到,聯(lián)立兩式得到.解析:(I)因為,所以,由正弦定理,得.又因為,,所以.又因為,所以.(II)由,得,由余弦定理,得,即,因為,解得.因為,所以.21.(1);(2)【解析】
(1)將代入可得集合B,解對數(shù)不等式可得集合A,由并集運算即可得解.(2)由可知B為A的子集,即;當(dāng)符合題意,當(dāng)B不為空集時,由不等式關(guān)系即可求得的取值范圍.【詳解】(1)若,則,依題意,故;(2)因為,故;若,即時,,符合題意;若,即時,,解
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