河南省安陽(yáng)市林州市晉豫名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題 含解析

2025屆高三年級(jí)10月份聯(lián)考數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)，19題．全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算計(jì)算即可求得結(jié)果，再用區(qū)間表示可得答案.【詳解】由可知，又，故．故選：D．2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得復(fù)數(shù)，再平方，即可求解.【詳解】因?yàn)?，故，故故選：A.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用“分段法”確定正確答案.【詳解】由，故.故選：D4.已知數(shù)列是首項(xiàng)為5，公差為2的等差數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，寫出通項(xiàng)公式，結(jié)合題意，可得答案.【詳解】由題意得，即，則．故選：A．5.在中，為邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，為線段（含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合圖形，運(yùn)用平面向量的基本定理將用和線性表示，找到的數(shù)量關(guān)系即得.【詳解】如圖，當(dāng)不重合時(shí)，，即，當(dāng)重合時(shí)，此時(shí)，,,則必有成立，綜上，都有成立，即只有B始終成立．故選：B．6.現(xiàn)有12個(gè)螺母，它們的質(zhì)量從大到小依次構(gòu)成等差數(shù)列，質(zhì)量之和最大的3個(gè)螺母的質(zhì)量是質(zhì)量之和最小的3個(gè)螺母的質(zhì)量的4倍，且這12個(gè)螺母的總質(zhì)量為45克，要從這12個(gè)螺母中隨機(jī)挑選個(gè)螺母組成一套螺母，且這套螺母的質(zhì)量和不低于25克，則的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】由題可設(shè)12個(gè)螺母的質(zhì)量從大到小構(gòu)成的等差數(shù)列為，根據(jù)等差數(shù)列的基本量計(jì)算得的值，從而可得前項(xiàng)和，由列不等式求解即可得結(jié)論.【詳解】設(shè)12個(gè)螺母的質(zhì)量從大到小構(gòu)成的等差數(shù)列為，公差為，由題意可得，即，解得，則，令，又，解得．故選；C．7.已知數(shù)列滿足，則（）A.2025 B.2024 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)累加法可得數(shù)列an【詳解】由題意可得，累加可得，，所以，故.故選：D.8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)可得數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為9的等比數(shù)列，再根據(jù)相減法得數(shù)列an的通項(xiàng)公式，從而由等比數(shù)列求和得所求.【詳解】由題意可得，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為9的等比數(shù)列，即，時(shí)，即且時(shí)，不滿足上式，故，故．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，則（）A. B.C D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式計(jì)算可判斷A；根據(jù)余弦兩角和差的公式計(jì)算可判斷B，C；根據(jù)二倍角公式結(jié)合和差公式可判斷D.【詳解】因?yàn)?，故，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D錯(cuò)誤．故選：AC．10.下列遞推關(guān)系式或其通項(xiàng)公式可以使數(shù)列為周期數(shù)列的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的周期性對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】對(duì)于A：由選項(xiàng)知，又，計(jì)算得，因此為周期數(shù)列，且周期為4，故A正確；對(duì)于B：，，，，…，不是周期數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：；；；；；，…，，歸納可得數(shù)列構(gòu)成以4為周期的周期數(shù)列，故C正確；對(duì)于D：是單調(diào)遞增數(shù)列，不是周期數(shù)列，故D錯(cuò)誤．故選:AC11.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)均在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上，且，則（）A. B.與實(shí)部之和為C.為純虛數(shù) D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)虛數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算律，逐項(xiàng)計(jì)算，可得答案.【詳解】對(duì)于A、B，設(shè)，因?yàn)椋?，由題意可得①，②，所以，即，且，與①②聯(lián)立可得或；所以，故B錯(cuò)誤，故A正確；對(duì)C：，或，故C正確；對(duì)D：，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知正數(shù)滿足，則取得最小值時(shí)，________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)基本不等式，利用隱藏“1”的解題思路，可得答案.【詳解】由題意得，又，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”．故答案為：．13.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)積，且，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件，利用相除的方法求得，進(jìn)而求得.【詳解】由題意可得，所以當(dāng)時(shí)，有，故由題意兩式相除得，因?yàn)?，則，因此當(dāng)時(shí)，，即，則，也符合．所以.故答案為：14.已知公比為等比數(shù)列滿足，且，則的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】先判斷的符號(hào)和公比的關(guān)系，求得關(guān)于的表達(dá)式，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得的取值范圍.【詳解】由，得0時(shí)，時(shí)，，由，得，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，3；單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，又，故；，單調(diào)遞減，又，故，故，綜上，的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求解關(guān)于等比數(shù)列有關(guān)的取值范圍時(shí)，通過構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，找出函數(shù)的取值范圍．這種方法可以有效地處理涉及不等式與單調(diào)性的范圍問題.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知首項(xiàng)為3的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是公差為3的等差數(shù)列．（1）探究數(shù)列的單調(diào)性；（2）求．【答案】（1）單調(diào)遞增（2）【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列性質(zhì)可得數(shù)列通項(xiàng)公式，再計(jì)算即可得數(shù)列的單調(diào)性；（2）借助錯(cuò)位相減法求和即可得.【小問1詳解】由題得數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，則，所以，且，故數(shù)列單調(diào)遞增；【小問2詳解】由題意可得，則，故，故．16.已知中，角的對(duì)邊分別為，且．（1）求；（2）若，求面積最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等變換等知識(shí)求得.（2）利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，進(jìn)而求得三角形面積的最大值.【小問1詳解】由正弦定理及倍角公式得，得，即，故.【小問2詳解】由余弦定理可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的面積．故面積的最大值為．17.已知函數(shù)．（1）求的定義域；（2）若存在極大值，求的取值范圍【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和分式分母的性質(zhì)，建立不等式組，可得答案.（2）對(duì)函數(shù)解析式求導(dǎo)，選擇分子部分構(gòu)造函數(shù)，分情況討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，可得答案.【小問1詳解】由有意義可得，所以．所以函數(shù)fx的定義域?yàn)椋弧拘?詳解】由題意可得，令函數(shù)，則在上恒成立，所以上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則有：①當(dāng)，即時(shí)，0，即在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，無極大值，不合題意，故舍去；②當(dāng)，即時(shí)，存在，使得，此時(shí)，當(dāng)x∈0,x0當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以存在極大值，符合題意．綜上所述．18.已知函數(shù)．（1）若，求的最小值；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：對(duì)．【答案】（1）1（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由求得的一個(gè)范圍，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來確定這個(gè)范圍，從而求得的最小值.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用放縮法、累乘法等知識(shí)證得不等式成立.【小問1詳解】由題意可得，則為必要條件，證明：當(dāng)時(shí)，，即0，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，成立，．【小問2詳解】由（1）知時(shí)等號(hào)成立，而，，則，，，又因?yàn)?，，故原不等式得證．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求導(dǎo)并分析單調(diào)性：對(duì)于小問1，首先對(duì)構(gòu)造的函數(shù)求導(dǎo)，通過導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化來判斷函數(shù)的單調(diào)性，并找到函數(shù)的最小值．利用放縮法和累乘法證明：在小問2中，通過放縮法逐步構(gòu)造不等式，再結(jié)合累乘法進(jìn)行放大或縮小，最終得出目標(biāo)不等式．19.記共項(xiàng)的正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為．若正數(shù)滿足，則稱數(shù)列為“型求和數(shù)列”．（1）若為共5項(xiàng)的等差數(shù)列，且為“1型求和數(shù)列”，求；（2）設(shè)，已知正項(xiàng)數(shù)列為共項(xiàng)的“型求和數(shù)列”，且為共1項(xiàng)的“型求和數(shù)列”．設(shè)的前項(xiàng)和為．（?。┳C明：；（ⅱ）求的最小值的表達(dá)式（用含的代數(shù)式表示）．【答案】（1）（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）【解析】【分析】（1）由an為共5項(xiàng)的“1型求和數(shù)列”，可，根據(jù)an是等差數(shù)列，利用前n項(xiàng)和公式易求解得.（2）（?。┍绢}為數(shù)列的新定義問題，分和兩種情形對(duì)進(jìn)行放縮轉(zhuǎn)化為、的關(guān)系，使結(jié)論得以證明.（ⅱ）將變形轉(zhuǎn)化成、的關(guān)系，再利用（?。┑慕Y(jié)論即可求解.【小問1詳解】∵an為共5項(xiàng)的等差數(shù)列，且an為“1型求和數(shù)列”設(shè)等差數(shù)列an的公差為．則，即．【小問2詳解】（?。┯烧?xiàng)數(shù)列an為共項(xiàng)的