河南省開(kāi)封市金科新未來(lái)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

2025年普通高等學(xué)校全國(guó)統(tǒng)一模擬招生考試金科·新未來(lái)10月聯(lián)考數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則集合在集合A中的補(bǔ)集是（）A. B.C.x1<x≤3 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，分別求得和，結(jié)合集合交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由不等式，解得，即，又由不等式，解得，即，則，所以集合在集合A中的補(bǔ)集是x1<x≤3.故選：C.2.已知（i為虛數(shù)單位），那么復(fù)數(shù)z的虛部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，即可根據(jù)虛部定義求解.【詳解】由可得，所以,故虛部為12.故選：A3.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，采用中間值比大小.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是減函數(shù)，是增函數(shù)，所以，，，所以.故選：B.4.已知向量，向量與向量的夾角為，則的最小值為（）A.3 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】把平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)得最小值．【詳解】設(shè)，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，，故選：D．5.在有意義的前提下，下列各項(xiàng)與相等的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式和商數(shù)關(guān)系判斷．【詳解】故選：D．6.已知，，且，則的最小值為（）A. B. C. D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)基本不等式求最小值．【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，因此所求最小值為，故選：B．7.在等腰中，，，以點(diǎn)為圓心作半徑為的圓，點(diǎn)為此圓上的動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，得到以為圓心，半徑為的圓方程為，設(shè)，，根據(jù)，求得，進(jìn)而得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖所示，以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，可得，以為圓心作半徑為1圓，可得圓的方程為，由點(diǎn)在圓上，可得設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，可得，可得，所以，所以，其中，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故選：B.8.已知關(guān)于x的方程在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)a的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，方程轉(zhuǎn)化為，結(jié)合單調(diào)性得，然后分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得最大值．【詳解】令，則是上的單調(diào)增函數(shù)，原方程整理得，即，若，則，若，則都不成立，所以，所以在上有解，整理得，設(shè)，則，時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，所以，即的最大值是.故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)求最值，解題關(guān)鍵是引入函數(shù)，方程變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性方程化簡(jiǎn)為，這樣分離參數(shù)后利用導(dǎo)數(shù)求得最大值即可．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題為假命題的是（）A.若，，則B.若，則．C.“”的一個(gè)必要不充分條件是“”D.若，，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解AB，根據(jù)充分不必要條件的定義即可求解C，利用作差法，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求解D.詳解】對(duì)于A，由于，，則，故，A正確，對(duì)于B，由于，則，，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由于“”是“”的充分不必要條件，故“x>1”的一個(gè)充分不必要條件是“x>2”，C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，因?yàn)?，，所以，但無(wú)法判斷真假，所以大小無(wú)法確定，故D錯(cuò)誤．故選：BCD．10.設(shè)奇函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.的周期為4 D.【答案】ACD【解析】【分析】由奇函數(shù)得，求導(dǎo)后判斷A，用反證法說(shuō)明B錯(cuò)誤，利用成中心對(duì)稱，又是偶函數(shù)，確定函數(shù)的周期，判斷C，用賦值法求得，再由周期求得判斷D．【詳解】是R上的奇函數(shù)，因此，求導(dǎo)得，即，A正確；由f′x的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，得，B錯(cuò)；f′x的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，則，所以，又，所以，于是有，所以，所以是周期函數(shù)，4是它的一個(gè)周期，C正確；在中，令得，，又是周期為4周期函數(shù)，所以，D正確，故選：ACD．11.在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則下列說(shuō)法正確的是A. B.C. D.若，則【答案】AD【解析】【分析】延長(zhǎng)至，使得，利用相似三角形證明出，由此判斷A，同時(shí)利用它求得角的范圍判斷B，再代入選項(xiàng)C中三角式變形后求范圍判斷C，把與已知結(jié)合得，利用正弦定理轉(zhuǎn)化后代入求解判斷D．【詳解】選項(xiàng)A，如圖，延長(zhǎng)至，使得，由已知得，即，所以，又角公用，所以，所以，又，則，而，所以，即中，，A正確；選項(xiàng)B，，，又，則，，所以，B錯(cuò)；選項(xiàng)C,,由選項(xiàng)C知，，，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性得，所以，即，C錯(cuò)；選項(xiàng)D，若，又，則，所以，由正弦定理得，又，所以，所以，D正確，故選：AD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：中邊長(zhǎng)滿足關(guān)系時(shí)，通常如選項(xiàng)A中推理作輔助線，利用相似三角形證得，實(shí)際上這也是圓中切割線定理的應(yīng)用，是切割線定理的結(jié)論，由此反用可得相應(yīng)結(jié)論．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知α是第二象限角，且，則=______．【答案】##【解析】【分析】利用二倍角公式以及平方關(guān)系進(jìn)行求解．【詳解】是第二象限角，則，，又，所以，所以．故答案為：．13.已知函數(shù)，對(duì)任意的，且，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】將式子變形處理得函數(shù)的單調(diào)性，再由分段函數(shù)單調(diào)性建立的不等式，求解可得.【詳解】由得，，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以是R上的增函數(shù).由分段函數(shù)是增函數(shù)，則，解得.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.14.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)滿足：．當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為_(kāi)_____．【答案】或x>1，【解析】【分析】先構(gòu)造函數(shù)令，由題意判斷出的奇偶性和單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化成，由函數(shù)單調(diào)性可得到，解得即可．【詳解】令，由于，故．即，為偶函數(shù)．時(shí)，故，在,遞增，不等式的解集．或,故不等式的解集為或x>1，故答案為：或x>1四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．15.函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在上的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖像可知，，即可得，代入點(diǎn)可得，即可得函數(shù)解析式；（2）利用代入法可得值域【小問(wèn)1詳解】由函數(shù)圖像可知，，即，可知，又，則，所以，又函數(shù)過(guò)點(diǎn)，即，解得，，又，即，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，又，，所以，即.16.已知集合，集合，（1）若集合，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若集合，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由對(duì)數(shù)中二次三項(xiàng)式的判別式不小于0可得；（2）確定集合，由二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)確定集合，再根據(jù)子集的概念列不等式求解.【小問(wèn)1詳解】由題意的最小值不大于0，所以，解得；【小問(wèn)2詳解】或，即，，，時(shí)，，因?yàn)?，所以，解得?17.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求C的值；（2）若內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足，，求面積的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，得，再利用輔助角公式及誘導(dǎo)公式化成同名函數(shù)，即可求出結(jié)果；（2）法一：由余弦定理找到邊之間得關(guān)系，再利用勾股定理找到等量關(guān)系，然后構(gòu)造不等式求解，即可得出結(jié)果；法二：設(shè)，利用余弦定理和勾股定理并結(jié)合面積法、基本不等式即可求出答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，，所以，即，所以，即，又因?yàn)槭侨切蔚脙?nèi)角，顯然，所以，即，所以.【小問(wèn)2詳解】法一：由（1）得：，設(shè)，在中，由余弦定理得，，同理在中有：，，又因?yàn)槭侵苯侨切?，所以，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，，，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).的面積的最小值為．法二：在中，設(shè)，由余弦定理可得，.由勾股定理可得:，即.而.由基本不等式，所以，可解得(由上)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以面積最小值為.18.已知．（1）若在點(diǎn)處的切線方程為，求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合給定的切線方程求出.（2）把代入，分離參數(shù)得恒成立，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)探討最小值即可.【小問(wèn)1詳解】由及，得，即，由，求導(dǎo)得，又，于是，且，解得，所以實(shí)數(shù)a，b的值分別為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，，由恒成立，得，令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，因此，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，則，因此，，從而，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：①通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；②利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．③根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．19.已知數(shù)列（正整數(shù)且為常數(shù)）的各項(xiàng)均為正整數(shù)，設(shè)集合，記中的元素個(gè)數(shù)為.（1）若數(shù)列求集合及的值；（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，求的值；（3）求的最大值．【答案】（1）5（2）答案見(jiàn)解析.（3）【解析】【分析】（1）數(shù)列中后面的項(xiàng)減去前面的項(xiàng)，注意集合中重復(fù)元素只取一個(gè)，即可得出結(jié)果.（2）按照等差數(shù)列公差是否為0討論，求