北師大版必修二《空間圖形的基本關(guān)系與公理》教案

空間圖形的基本關(guān)系與公理一.教學(xué)內(nèi)容：空間圖形的基本關(guān)系與公理

二.學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、學(xué)會觀察長方體模型中點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，并能結(jié)合長方體模型，掌握空間圖形的有關(guān)概念和有關(guān)定理；掌握平面的基本性質(zhì)、公理4和等角定理；2、培養(yǎng)和發(fā)展自己的空間想象能力、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力、幾何直觀能力、通過典型例子的學(xué)習(xí)和自主探索活動(dòng)，理解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論，體會蘊(yùn)涵在其中的數(shù)學(xué)思想方法；3、培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣與嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度；體會推理論證中反映出的辯證思維的價(jià)值觀。

三、知識要點(diǎn)（一）空間位置關(guān)系：I、空間點(diǎn)與線的關(guān)系空間點(diǎn)與直線的位置關(guān)系有兩種：點(diǎn)P在直線上：；點(diǎn)P在直線外：；

II、空間點(diǎn)與平面的關(guān)系空間點(diǎn)與平面的位置關(guān)系有兩種：點(diǎn)P在平面上：點(diǎn)P在平面外：；

III、空間直線與直線的位置關(guān)系：

IV、空間直線與平面的位置關(guān)系：

V、空間平面與平面的位置關(guān)系：平行；相交說明：本模塊中所說的“兩個(gè)平面”“兩條直線”等均指不重合的情形。

（二）異面直線的判定1、定義法：采取反證法的思路，否定平行與相交兩種情形即可；2、判定定理：已知P點(diǎn)在平面上，則平面上不經(jīng)過該點(diǎn)的直線與平面外經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。

（三）平面的基本性質(zhì)公理1、公理1

如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（即直線在平面內(nèi)，或曰平面經(jīng)過這條直線）。2、公理2

經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（即確定一個(gè)平面）。3、公理3

如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過該點(diǎn)的公共直線。4、平面的基本性質(zhì)公理的三個(gè)推論經(jīng)過直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面思考：公理是公認(rèn)為正確而不需要證明的命題，那么推論呢？平面的基本性質(zhì)公理是如何刻畫平面的性質(zhì)的？

（四）平行公理（公理4）：平行于同一條直線的兩條直線平行。

（五）等角定理：空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。

（六）空間四邊形：順次連接不共面的四點(diǎn)構(gòu)成的圖形稱為空間四邊形。

【典型例題】考點(diǎn)一

空間點(diǎn)線面位置關(guān)系的判斷：主要判斷依據(jù)是平面的基本性質(zhì)公理及其推論，平行公理、等角定理等相關(guān)結(jié)論。例1.下列命題：空間不同的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面；有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面必定重合；空間中兩兩相交的三條直線可以確定一個(gè)平面；④平行四邊形、梯形等所有的四邊形都是平面圖形；⑤兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；⑥一條直線和兩平行線中的一條相交，必定和另一條也相交。其中正確的命題是

。解：⑥。

例2.空間中三條直線可以確定幾個(gè)平面？試畫出示意圖說明。解：0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)或3個(gè)。分別如圖（圖中所畫平面為輔助平面）：

考點(diǎn)二

異面直線的判斷：主要依據(jù)是異面直線的定義及判定定理。例3.如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么AB、CD、EF、GH這四條線段所在的直線是異面直線的有__________對，分別是____________________？解：3對，分別是AB、GH；AB、CD；GH、EF。

考點(diǎn)三

“有且只有一個(gè)”的證明：一般地，此類題型的證明需要分為兩個(gè)步驟，分別證明“有”即存在性和“只有一個(gè)”即唯一性。例4.求證：過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面。已知：直線a∥b。求證：過a，b有且只有一個(gè)平面。證明：存在性：由平行線的定義可知，過平行直線a，b有一個(gè)平面。唯一性（反證法）：假設(shè)過a，b有兩個(gè)平面。在直線上任取兩點(diǎn)A、B，在直線b上任取一點(diǎn)C，則A、B、C三點(diǎn)不共線。由于這兩個(gè)平面都過直線a，b，因此由公理1可知：都過點(diǎn)A、B、C。由平面的基本性質(zhì)公理2，過不共線三點(diǎn)的平面唯一存在，因此重合，與假設(shè)矛盾。矛盾表明：過平行直線a，b只有一個(gè)平面。綜上所述：過a，b有且只有一個(gè)平面。

考點(diǎn)四

共點(diǎn)的判斷與證明：此類題型主要有三線共點(diǎn)和三面共點(diǎn)。例5.三個(gè)平面兩兩相交有三條交線，求證：三條交線或平行，或交于一點(diǎn)。已知：平面，求證：a∥b∥c或者a，b，c交于一點(diǎn)P。證明：因?yàn)椋蔭，b共面。I、若a∥b：由于，故，因直線，故a，c無公共點(diǎn)。又a，c都在平面內(nèi)，故a∥b；故a∥b∥c。II、若，則，故知綜上所述：命題成立。說明：證明三點(diǎn)共線的問題的常用思路是先證兩條直線相交，然后再證該交點(diǎn)在第三條直線上；證明交點(diǎn)在第三條直線上常證明該點(diǎn)是兩個(gè)相交平面的公共點(diǎn)，從而在這兩個(gè)平面的交線上即在第三條直線上。

考點(diǎn)五

共線的判斷與證明：常見題型是三點(diǎn)共線。例6.如圖，O1是正方體ABCD-A1B1C1D1的面A1B1C1D1的中心，M是對角線A1C和截面B1D1A的交點(diǎn)，求證：O1、證明：連結(jié)AC.因?yàn)锳1C1∩B1D1＝O1，B1D1平面B1D1A，A1C1AA1C1C，所以O(shè)1∈平面B1D1A且O1∈AA1C1C。同理可知，M∈平面B1D1A且M∈AA1C1C；A∈平面B1D1A且A∈AA1C1C。所以，O1、M、A說明：證明三線共點(diǎn)問題的常見思路是證明第三點(diǎn)在前兩點(diǎn)所確定的直線上；或者證明三點(diǎn)是兩相交平面的公共點(diǎn)，從而在這兩個(gè)平面的交線上。

考點(diǎn)六

共面問題的判斷與證明：此類題型常見的是四點(diǎn)共面或三線共面，如證明某個(gè)圖形是平面圖形。例7.如圖，在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，G、H分別是BC、CD上的點(diǎn)，且CG＝BC/3，CH＝DC/3。求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；直線FH、EG、AC共點(diǎn)。證明：如圖，連結(jié)HG，EF。在△ABD中，E、F分別為AB、AD中點(diǎn)，故EF是△ABD的中位線，故EF∥BD。在△CBD中，CG＝BC/3，CH＝DC/3，故GH∥BD，故EF∥GH，從而GH、EF可確定一個(gè)平面，即G、H、E、F四點(diǎn)共面。由于E、F、G、H四點(diǎn)共面，且FH與EG不平行，故相交，記交點(diǎn)為M，則M∈FH，F(xiàn)H面ACD，故M∈面ACD；M∈EG，EG面ABC，故M∈面ABC。從而M是面ACD和面ABC的公共點(diǎn)，由公理3可知，M在這兩個(gè)平面的交線AC上，從而FH、EG、AC三線共點(diǎn)。說明：共面問題的常用的處理方法是利用平面的基本性質(zhì)公理2及三個(gè)推論，先證明部分元素確定一個(gè)平面，再證剩下的元素也在此平面上；有時(shí)也可先證部分元素共面，剩下的元素共面，然后證明這兩個(gè)平面重合（此時(shí)也可用反證法）。

［本講涉及的主要數(shù)學(xué)思想方法］1、數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)表述和數(shù)學(xué)思維不可缺少的重要工具，必須能將這三種語言即文字語言、符號語言和圖形語言進(jìn)行準(zhǔn)確的互譯和表達(dá)，這在空間關(guān)系的證明與判斷中顯得十分重要；2、空間觀念和空間想象能力：高考中立體幾何題的題型功能最重要的一點(diǎn)就是考查考生的空間觀念和空間想象能力，因?yàn)槲覀兪峭ㄟ^平面圖形（直觀圖）去研究空間關(guān)系，所以同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中一定要多觀察、多思考，動(dòng)手做一些空間模型或通過電腦動(dòng)畫模擬一些空間圖形，培養(yǎng)空間概念，提高空間想象能力。

【模擬試題】一、選擇題1、在空間內(nèi)，可以確定一個(gè)平面的條件是（

）A.兩兩相交的三條直線B.三條直線，其中的一條與另兩條分別相交C.三個(gè)點(diǎn)D.三條直線，它們兩兩相交，但不交于同一點(diǎn)2、在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為棱AA1、CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線（

）A.不存在

B.有且只有兩條

C.有且只有三條

D.有無數(shù)條*3、已知平面外一點(diǎn)P和平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)A、B、C。A＇、Ｂ＇、Ｃ＇分別在PA、PB、PC上，若延長A＇Ｂ＇、Ｂ＇Ｃ＇、A＇Ｃ＇與平面分別交于D、E、F三點(diǎn)，則D、E、F三點(diǎn)（

）A.成鈍角三角形

B.成銳角三角形

C.成直角三角形

D.在一條直線上4、空間中有三條線段AB、BC、CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是（

）A.平行

B.異面

C.相交

D.平行或異面或相交均有可能5、下列敘述中正確的是（

）A.因?yàn)镻∈α，Q∈α，所以PQ∈α。B.因?yàn)镻∈α，Q∈β，所以α∩β＝PQ。C.因?yàn)?，C∈AB，D∈AB，因此CD∈α。D.因?yàn)?，所以A∈（α∩β）且B∈（α∩β）。6、已知異面直線a，b分別在平面α，β內(nèi)且α∩β＝c，那么c（

）A.至少與a，b中的一條相交；B.至多與a，b中的一條相交；C.至少與a，b中的一條平行；D.與a，b中的一條平行，與另一條相交7、已知空間四邊形ABCD中，M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，則下列判斷正確的是（

）

二、填空題8、在空間四邊形ABCD中，M、N分別是BC、AD的中點(diǎn)，則2MN與AB+CD的大小關(guān)系是

。9、對于空間中的三條直線，有下列四個(gè)條件：三條直線兩兩相交且不共點(diǎn)；三條直線兩兩平行；三條直線共點(diǎn)；④有兩條直線平行，第三條直線和這兩條直線都相交。其中，能推出三條直線共面的有

。

三、解答題10、正方體A