2024年廣東省高考數(shù)學適應性聯(lián)考試卷附答案解析

2024年廣東省高考數(shù)學適應性聯(lián)考試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有1.(5分)已知集合M={x|x2-3x-4<0},N={xlv=In(x-1)},則MNN=()A.(1,4)B.[1,4]C.(-1,4)A.-3+3iB.-3-3iC.3+3iA.√6B.2√6C.2√2A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件A.6.(5分)如圖，將正四棱臺切割成九個部分，其中一個部分為長方體，四個部分為直三棱柱，四個部分為四棱錐.已知每個直三棱柱的體積為3,每個四棱錐的體積為1,則該正四棱臺的體積為()A.36B.327.(5分)在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為(x-3)2+y2=1,且圓C與x軸交于M,N兩點，設直線1的方程為y=kx(k>0),直線1與圓C相交于A,B兩點，直線AMA.ki+k?=2k?B.2k?+k?=k?C.ki+2k2=kD.ki+k2=k?8.(5分)已知直線BC垂直單位圓O所在的平面，且直線BC交單位圓于點A,AB=BC=1,P為單位圓上除A外的任意一點，l為過點P的單位圓O的切線，則()A.有且僅有一點P使二面角B-1-C取得最小值B.有且僅有兩點P使二面角B-1-C取得最小值C.有且僅有一點P使二面角B-1-C取得最大值D.有且僅有兩點P使二面角B-1-C取得最大值二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.(多選)9.(6分)一個盒子里裝有除顏色外完全相同的四個小球，其中黑球有兩個，編號為1,2;紅球有兩個，編號為3,4,從中不放回的依次取出兩個球，A表示事件“取出球”,D表示事件“取出的兩球同色”,則()C.B與D相互獨立D.A與C相互獨立(多選)10.(6分)已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若x=2是g(x)的對稱軸，且g(2)=4,則下列結A.f(x)是奇函數(shù)B.(3,6)是g(x)的對稱中心C.2是f(x)的周期(多選)11.(6分)在平面直角坐標系中，將函數(shù)f(x)的圖象繞坐標原點逆時針旋轉α(0A.存在90°旋轉函數(shù)B.80°旋轉函數(shù)一定是70°旋轉函數(shù)C.若為45°旋轉函數(shù)，則a=1D.若為45°旋轉函數(shù)，則-e2≤b≤0第2頁(共22頁)三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。把答案填在答題卡中的橫線上。12.(5分)13.(5分)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點，直線x=t與C交于A,B,AF與C的另一個交點為D,BF與C的另一個交點為E.若△ABF與△DEF的面積之比為4:1,則t14.(5分)設嚴格遞增的整數(shù)數(shù)列a1,a2,…,a20滿足a1=1,a20=40.設f為ai+a2,a2+a3,…,a19+a20這19個數(shù)中被3整除的項的個數(shù)，則f的最大值為,使得f取到最大 四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.(13分)如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD,平面ABC⊥平面ABD,AC=AD,AB=BD.(2)求二面角A-CD-B的余弦值.16.(15分)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知,a=2.17.(15分)設(1)若(2)證明：18.(17分)設離散型隨機變量X和Y有相同的可能取值，它們的分布列分別為P(X=ak)=xk,P(Y=ak)=yk,xk>0,yk>0,k=1,2,…,n,Zk=1xk=Zk=1yk=1.指第3頁(共22頁)B(n,p),0<p<1.(3)對任意與X有相同可能取值的隨機變量Y,證明：D(XIlY)≥0,并指出取等號的充要條件.19.(17分)已知橢圓C:的左焦點為F,P為曲線E:上的動點，且點P不在x軸上，直線FP交C于A,B(1)證明：曲線E為橢圓，并求其離心率；(2)證明：P為線段AB的中點；(3)設過點A,B且與AB垂直的直線與C的另一個交點分別為M,N,求△PMN面積的取值范圍.第4頁(共22頁)2024年廣東省高考數(shù)學適應性聯(lián)考試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有1.(5分)已知集合M={x|x2-3x-4<0},N={xly=In(x-1)},則MNN=()A.(1,4)B.[1,4]C.(-1,【解答】解：M={xix2-3x-4<0}={x-1<x<4},A.-3+3iB.-3-3iC.3+3i【解答】解：(1-2i)(z-3-2i)=2+i,故z=3+3i,距為()A.√6B.2√6A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件第5頁(共22頁)C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件當λ>0,且μ>0時，5.(5分)函的圖象不可能是()A.【解答】解：根據(jù)題意，函當a=0時，是反比例函數(shù)，其圖象與A符合；當a≠0時，設g(x)=In|x|,其圖象大致如圖：第6頁(共22頁)是反比例函數(shù)，其圖象與y=g(x)的圖象一定存在交點，的圖象.6.(5分)如圖，將正四棱臺切割成九個部分，其中一個部分為長方體，四個部分為直三棱柱，四個部分為四棱錐.已知每個直三棱柱的體積為3,每個四棱錐的體積為1,則該正四棱臺的體積為()A.36B.32C.28【解答】解：設每個四棱錐的底面邊長為a,中間正四棱柱的底面邊長為b,高為h,∴b2h=12,即中間正四棱柱的體積為12,∴該正四棱臺的體積為12+4(3+1)=28.M,N兩點，設直線1的方程為y=kx(k>0),直線1與圓C相交于A,B兩點，直線AM第7頁(共22頁)A.ki+k?=2k?B.2k?+k?=k?C.k1+2k2=k?D.ki+k2=k3【解答】解：根據(jù)題意，作出示意圖形，如圖所示，由題意得M(2,0),N(4,0),同理可得B(可知ki+2k?=0,即∴直線OP的斜A項的式子符合題意.8.(5分)已知直線BC垂直單位圓O所在的平面，且直線BC交單位圓于點A,AB=BC=1,P為單位圓上除A外的任意一點，1為過點P的單位圓O的切線，則()A.有且僅有一點P使二面角B-1-C取得最小值B.有且僅有兩點P使二面角B-1-C取得最小值C.有且僅有一點P使二面角B-l-C取得最大值D.有且僅有兩點P使二面角B-1-C取得最大值【解答】解：過A作AML1于M,連接MB、MC,因為直線BC垂直單位圓O所在的平面，且直線BC交單位圓于點A,第8頁(共22頁)所以AC⊥l,所以l1平面AMC,所以1⊥MC,l⊥MB,二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.(多選)9.(6分)一個盒子里裝有除顏色外完全相同的四個小球，其中黑球有兩個，編號為1,2;紅球有兩個，編號為3,4,從中不放回的依次取出兩個球，A表示事件“取出球”,D表示事件“取出的兩球同色”,則()A.A與D相互獨立B.A與B相互獨立C.B與D相互獨立D.A與C相互獨立第9頁(共22頁)2;紅球有兩個，編號為3,4,P(AD)=0,與C是相互獨立事件，故D正確.(多選)10.(6分)已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若x=2是g(x)的對稱軸，且g(2)=4B.(3,6)是g(x)的對稱中心所以g(x)的對稱中心為即(3,6),故B正確；即g(x)的周期為4,所以g(x)為偶函數(shù)，且關于(3,6)中心對稱，所以g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=g(-1)+[g(2)+g(4)所以2k=1g(k)=5[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(1)+g(2)=5×24+6+4=130,故D正確.第11頁(共22頁)A.存在90°旋轉函數(shù)B.80°旋轉函數(shù)一定是70°旋轉函數(shù)為45°旋轉函數(shù)，則a=1D.若45°旋轉函數(shù)，則-e2≤b≤0【解答】解：對于A,如y=x滿足條件，故A正確；對于B,如傾斜角為20°的直線是80°旋轉函數(shù)，不是70°旋轉函數(shù)，故B錯誤；則根據(jù)函數(shù)的性質可得，時針旋轉45°后，不存在與x軸垂直的直線，使得直線與函數(shù)有1個以上的交點.故不存在傾斜角為45°的直線與的函數(shù)圖象有兩個交點.即y=x+b(b∈R)至多1個交點.當a=1時，-bx+1=0最多1個解，滿足題意；對任意的a,都存在b使得判別式大于0,不滿足題意，故a=1.故C正確；對與D,同C,與y=x+a(aER)的交點個數(shù)小于等于1,即為非正或非負函數(shù).即y=e×圖象在y=-b(x-1)上方，故-b≥0,即b≤0.對y=e求導有y1=e,故解得xo=2,≤0.故D正確。第12頁(共22頁)三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。把答案填在答題卡中的橫線上。12.(5分)的展開式中x?y2的系數(shù)為-40.(用數(shù)字作答)故120-160=-40.故答案為：-40.所以直線AD的方程為,故答案為：2.第13頁(共22頁)個模3余2這樣的組合，這樣它們之和才會被3整除，而a?=1,a20=40,均為模3余1,如嚴格遞增數(shù)列1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,26,28,40,滿足題意，第二個空，因為1～40這40個數(shù)中，共有27個數(shù)符合模3余1或模3余2,則要從這27個數(shù)中選出滿足要求的20個數(shù).第一步，在a?到a20這20個數(shù)中刪去一個數(shù)(后面再加回來),使得剩下的19個數(shù)滿足任意相鄰數(shù)一個模3余1,一個模3余2,第二步，將這27個數(shù)從小到到大排列，需要刪去8個數(shù)得到目標中任意相鄰兩數(shù)一個模3余1,一個模3余2,有3種情況：第14頁(共22頁)在下一步加回來時也最多加回1或40中的一個，而1和40必定在數(shù)列中，因此不滿足；第四步，刪去的四組相鄰數(shù)中有一組中有一個數(shù)被加回來，即未被刪去，被刪去的是這一組中的另一個數(shù)，而對于刪去的數(shù)，假設為A,它旁邊兩個數(shù)分別為B,C,即排列為B,A,C,在第三步捆綁時，可能捆綁的組合為BA,然后刪去，再補回B;或者為AC,然后刪去，再補回C,這兩種刪去方式結果相同.綜上，共故答案為：18;25270.四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.(13分)如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD,平面ABC⊥平面ABD,AC=AD,AB=BD.(1)證明：BC⊥BD;(2)求二面角A-CD-B的余弦值.【解答】解：(1)證明：因為AB⊥平面BCD,且BDc平面BCD,因為平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩面平ABD=AB,BDC面BCD,所以BD⊥面ABC,第15頁(共22頁)因為BC=BD,所以BM⊥CD,所以∠AMB是二面角A-CD-B的一個平面角，且由圖可知∠AMB為銳角.所即二面角A-CD-B的余弦值解法二：由(1)可知，AB、BC、BD三者兩兩相互垂直，角坐標系.即二面角A-CD-B的余弦值第16頁(共22頁)16.(15分)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已,a=2.求b.【解答】解：(1)在△ABC中，sinB+sinC=2sinA,所以(b+c)2=b2+c2+2bc=16,故b2+c2=16-2bc(*),在△ABC中，由余弦定理可得：代入數(shù)據(jù)和(*)式可得：bc=4,所以三角形面積為：第17頁(共22頁)化簡可得：所以可得：],化簡可得：同理可得：又因為BE(0,π),故sin17.(15分)設(1)若(2)證明：(3)若tanx+2sinx-ax>0,求實數(shù)a的取值范圍.【解答】解：(1)因為(2)證明：先證當,x-sinx>0.令m(x)=x-sinx,則m′(x)=1-cos>0在時恒成立，所以)上單調(diào)遞增，所以m(x)>m(0)=0,即當,x-sinx>0.要證只需證明tanx-x>2(x-sinx),即證tanx+2sinx-3x>0,令φ(x)=tanx+2sinx-3x,因為0<cosx<1,所以φ′(x)>0,第18頁(共22頁)所以f(x)的值域為(3-a,+0),所以實數(shù)a的取值范圍為(-0,3).=xk,P(Y=ak)=yk,xk>0,yk>0,k=1,2,…,n,Zk=1xk=Zκ=1yk=1.指B(n,p),0<p<1.第19頁(共22頁)記f(p)=D(X|Y)=p2ln3p2