數(shù)字信號處理原理 習題答案匯 劉泉 第2-5章 離散時間信號時域分析-快速傅利葉變換

2.1給定離散信號(1)畫出序列的波形，并標出各序列值；(2)試用延遲的單位沖激序列及其加權和表示序列；(3)試分別畫出序列和序列的波形。解(1)的波形如圖2.1所示。(3)和的波形分別如圖2.2和圖2.3所示。 圖2.1圖2.2圖2.32.2判斷下列序列是否為周期序列。若是周期的，請確定其周期。(1)，式中為常數(shù) (2)解(1)為有理數(shù)，所以是以16為周期的周期序列。(2)因為,而為無理數(shù)，所以此序列是非周期序列。2.3已知線性非移變系統(tǒng)的輸入為，系統(tǒng)的單位采樣響應為，試求系統(tǒng)的輸出并作圖。(1)， (2)，(3)， (4)，解(1),輸出如圖2.4所示。，輸出如圖2.5所示。圖2.4 圖2.5(3)輸出如圖2.6所示。(4)當時，當時，，輸出如圖2.7所示。圖2.8 圖2.6 圖2.72.4已知一個線性非移變系統(tǒng)的單位采樣響應為試用直接計算卷積的方法，求系統(tǒng)的單位階躍響應。解(1)當時,得(2)當時,得故所求系統(tǒng)的單位階躍響應為2.5圖P2.8所示的是單位采樣響應分別為和的兩個線性非移變系統(tǒng)的級聯(lián)，已知,,,，試求系統(tǒng)的輸出。圖P2.8題2.5圖解因為2.6判斷下列系統(tǒng)是否為：(a)線性系統(tǒng)；(b)非移變系統(tǒng)；(c)穩(wěn)定系統(tǒng)；(d)因果系統(tǒng)。請予以證明。(1) (2) (3)(4) (5) (6)解(1)(a)所以是非線性系統(tǒng)(b)因為所以是非移變系統(tǒng)(c)設,則有，所以是穩(wěn)定系統(tǒng)(d)因為n時刻的輸出y(n)只取決于n時刻的輸入x(n)，所以是因果系統(tǒng)(2)(a)所以是非移變系統(tǒng)(b)因為所以是非移變系統(tǒng)(c)設有界，則有界，所以系統(tǒng)穩(wěn)定(d)因為時，時刻的輸出時刻以后的輸入有關，所以是非因果系統(tǒng)(3)(a)所以是線性系統(tǒng)(b)故為移變系統(tǒng)(c)設，則，所以是穩(wěn)定系統(tǒng)(d)因為n時刻的輸出y(n)只取決于n時刻輸入x(n),所以是因果系統(tǒng)(4)(a)所以是線性系統(tǒng)(b)因為所以是移變系統(tǒng)(c)設，令g(n)=n,則(d)時刻的輸出只取決于時刻的輸入，所以是因果系統(tǒng)(5)(a)因為(b)因為所以是非移變系統(tǒng)(c)設，則，當時，有，所以不是穩(wěn)定系統(tǒng)(d)n時刻的輸出只取決于時刻的輸入，所以是因果系統(tǒng)(6)(a)因為，所以是線性系統(tǒng)(b)因為所以是非移變系統(tǒng)(c)設，則，當時，有，所以不是穩(wěn)定系統(tǒng)(d)當時，時刻的輸出與時刻以后的輸入有關，所以是非因果系統(tǒng)2.7討論下列各非移變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。(1) (2) (3)(4) (5) (6)解(1)因為時，，所以該系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)由穩(wěn)定充要條件得,所以系統(tǒng)穩(wěn)定(2)因為時，，所以該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)由穩(wěn)定充要條件得，所以系統(tǒng)穩(wěn)定(3)因為時，，所以該系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)由穩(wěn)定充要條件得所以當時，系統(tǒng)穩(wěn)定；當時，系統(tǒng)不穩(wěn)定(4)因為時，，所以該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)由穩(wěn)定充要條件得，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定(5)因為時，，所以該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)由穩(wěn)定充要條件得(為有限值),則系統(tǒng)穩(wěn)定(6)因為時，，所以該系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)由穩(wěn)定充要條件得，所以系統(tǒng)穩(wěn)定2.8設系統(tǒng)的差分方程為其中為輸入，為輸出。當邊界條件分別為時，試判斷系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)或是否為非移變系統(tǒng)。解（1）當邊界條件為時①設，則 由差分方程得 遞推得 當時， 因而 遞推得 綜上可知 ②設 由差分方程得 遞推得 即 當時， 因而 遞推得 綜上可知 由①和②的結(jié)果可知，與是移1位的關系，但與不是移1位的關系，所以在的條件下，系統(tǒng)是移變系統(tǒng)。③設 當時， 遞推得 即 當時， 則 遞推得 綜上得 所以，該系統(tǒng)在條件下是線性系統(tǒng)。（2）當邊界條件為時①設 得 ②設 得 由①和②的結(jié)果可知，與是移位的關系，但與也是移位的關系，所以在的條件下，系統(tǒng)是非移變系統(tǒng)。③設 當時， 當時， 綜上得 所以該系統(tǒng)在的條件下是線性系統(tǒng)。2.9設系統(tǒng)的框圖如圖P2.9所示，試列出該系統(tǒng)的差分方程，并按初始條件，求輸入為時的輸出。圖P2.9題2.9圖解由圖可得方程組 聯(lián)立整理得到系統(tǒng)的差分方程為 由于時，，則通過迭代可得 歸納可得 整理化簡得2.10設一因果系統(tǒng)的輸入/輸出關系由下列差分方程確定：(1)求該系統(tǒng)的單位采樣響應；(2)利用(1)得到的結(jié)果，求輸入為時系統(tǒng)的響應。解(1) 因為 所以?可以推出 即 2.11設系統(tǒng)的單位采樣響應，系統(tǒng)的輸入是一些觀測數(shù)據(jù)。若假設系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零狀態(tài)，且，試利用遞推法求系統(tǒng)的輸出。解當n<0時，h(n)=0，此時系統(tǒng)輸出為0。當n>0時系統(tǒng)的輸出為系統(tǒng)輸入與系統(tǒng)單位采樣響應的線性卷積，即利用遞推法可求系統(tǒng)輸出如下：當n=0時，當n=1時，當n=2時，當n=3時，?依此類推，可得：則系統(tǒng)的輸出為：2.12有一連續(xù)時間信號，式中f=20Hz,φ=π/2。(1)試確定的周期；(2)若用采樣間隔T=0.02s對進行采樣，試寫出采樣信號的表達式；(3)畫出對應的時域離散序列的波形，并求出的周期。解(1)的周期為(2)采樣信號的表達式為(3)的數(shù)字頻率為,又因為,所以的周期為。離散序列可描述為,其波形如圖2.10所示。圖2.102.13試用MATLAB繪出題2.2中各信號的波形。(1)%參數(shù)設置A=1;%振幅An=0:50;%n的范圍，從0到50phi=pi/6;%相位偏移phi=π/6%計算cos函數(shù)y=A*cos(5*pi*n/8+phi);%繪圖stem(n,y);%使用stem函數(shù)繪制離散圖xlabel('n');%x軸標簽ylabel('Amplitude');%y軸標簽title('y=Acos(5\pin/8+\pi/6)');%圖標題gridon;%顯示網(wǎng)格(2)%定義n的范圍n=0:50;%計算序列x(n)x_n=exp(1j*(n/8-pi));%分別繪制實部和虛部figure;subplot(2,1,1);stem(n,real(x_n),'filled');title('實部');xlabel('n');ylabel('實部');subplot(2,1,2);stem(n,imag(x_n),'filled');title('虛部');xlabel('n');ylabel('虛部');2.14試用MATLAB實現(xiàn)題2.3中的卷積運算，并繪出相應的信號波形。(1)x=[1];%h=[11111];%y=conv(x,h);stem(y,'fill');(2)n=0:10;%可以自定義范圍u1=(n>=0);%第一個階躍函數(shù)u2=(n>=0);%第二個階躍函數(shù)result=conv(u1,u2);figure;stem(0:length(result)-1,result);axis([010020]);(3)n=0:10;u1=0.5.^n.*(n>=0&n<3);%u2=(n==2);%result=conv(u1,u2);figure;stem(0:length(result)-1,result);(4)n=-10:10;%可以自定義范圍u1=2.^n.*(n<0);%u2=0.5.^n.*(n>=0);%result=conv(u1,u2);figure;stem(-20:(length(result)-1)/2,result);%-20由自定義范圍得出2.15試用MATLAB實現(xiàn)題2.12的采樣過程，繪出相應的時域和頻域波形。(1)時域波形closeallclearall%定義采樣間隔Ta=2*pi/(40*pi);N=32;Ts=Ta/N;t=(0:N-1)*Ts;x=cos(40*pi*t+pi/2);%繪制采樣后的信號stem(t,x,"filled");xlabel('時間(s)');ylabel('x(t)');title('采樣后的信號');gridon;(2)頻域波形%計算采樣信號的FFTX=fft(x);X=fftshift(X);%計算頻率軸f=((0:N-1)-N/2)/Ta;figure%計算幅度譜magnitude=abs(X)/N;%繪制頻域波形stem(f,magnitude,'fill');xlabel('頻率(Hz)');ylabel('幅度');title('抽樣信號的頻域波形');gridon;3.1設Xeiω和Yeiω分別是xn1xn?n05x解2DTFTx?34所以DTFT5=n=?∞+∞xn=或者DTFT6dX所以DTFT(7)因（DTFT3.2已知X求Xejω的傅里葉反變換解:因為當ω0<ω<ω0時,所以x=3.3線性非移變系統(tǒng)的頻率響應Hejω=Hejωy證明:假設輸人信號xn=eiωy上式說明，當輸入信號為復指數(shù)序列時，輸出序列仍是復指數(shù)序列，且頻率相同，但幅度和相位決定系統(tǒng)的頻率響應，即有xy=上式中Heiω是ω的偶函數(shù)，相位函數(shù)是ω的奇函數(shù)，即Hejωy3.4試求以下序列的傅里葉變換。13xn=解2==343.5已知xn=解:序列xDTFT=DTFTx03.6若序列?n是實因果序列，其傅里葉變換的實部如下式求序列?n及其傅里葉變換H解：因為

H?H3.7若序列?n是實因果序列，?0=1，其傅里葉變換的虛部為H1ejω解而DTFT則?所以H3.8設系統(tǒng)的單位沖激響應?n=x完成下面各題：12分別求出解:(1)系統(tǒng)輸出為

y由2DTFTDTFTDTFT=3.9已知xat=2cos2πf0t，式中f0=1寫出2寫出3分別求出解:X=2πδω?2π=2πδ2xxn3===800而3.10求下列序列的Z變換，指出收斂域，并畫出零極點圖。1an41nn≥15解:1由Z變換的定義可知X=極點為z=a,z=a?1，零點為z=0,z=∞，因為az<1，且az?1<1，即得Z變換的收斂域為aMatlab實現(xiàn)程序如下：cleara=0.5;b=0c=1?zplaneb,c圖3.1零極點圖2極點為z=12，收斂域為z>圖3.2零極點圖3Z極點為z=12，零點為z=0，收斂域為z<1圖3.3零極點圖4由Z變換的定義可知X因為則X極點為z=1,z=0，零點為z=∞，而Xz的收斂域和dXzdz的收斂域相同，所以Xz收斂域為z圖3.4零極點圖5Y所以X極點為z=ejω0,z=圖3.5零極點圖6y=cosφ?cos則

Y=而

x則

X極點為z=reiω0,z=re?jω圖3.6零極點圖3.11求序列xn=n解令再令i=nX3.12用長除法、留數(shù)定理法和部分12X3解：1長除法：由于是右邊序列，所以按降冪級數(shù)排列，X所以x留數(shù)法:xn=12πjc11+當在c內(nèi)有z=?12一個極點，則有x由于xn為因果序列,故n<0時，xn部分分式法：由題得，因為zx2長除法：由于極點為z=14，收斂域為z<14，X所以x留數(shù)法：xn=12πjc1?2當nx當nx當nx綜上所述，有部分分式法：X則Xz=8?71?14z?1，x3長除法：因為極點為z=1a，由z>1a可知Xx留數(shù)法：xn=12πjcz?a1?azzx當n=0時，Xzzn?1在cx當n<0x部分分式法：X3.13已知一個線性非移變系統(tǒng)，用差分方程描述如下y求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)Hz，求系統(tǒng)的單位沖激響應?？梢钥闯鱿到y(tǒng)為一個不穩(wěn)定系統(tǒng)，求滿足上述差分方程的一個穩(wěn)定（但非因果）系統(tǒng)的沖激響應。解：(1)差分方程兩邊取Z變換得：Y系統(tǒng)函數(shù)為

H零點為z=0,極點為z1=1+52,圖3.7 零極點圖（2）H3H得到?此時系統(tǒng)穩(wěn)定，但非因果。3.14設一個線性非移變系統(tǒng)的因果系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為Hz23證明這個系統(tǒng)是一個全通系統(tǒng)。解：1由題意可得系統(tǒng)函數(shù)有一個極點z=a，若要求它是一個穩(wěn)定系統(tǒng)，該系統(tǒng)函數(shù)的極點應全部在單位圓內(nèi)，因此a<1，因為a為實數(shù)，所以一1<2系統(tǒng)函數(shù)的零點為z=a?1,極點為z=aa0a01/aRe(z)Im(z)圖3.83H因此，此系統(tǒng)是一個全通系統(tǒng)。3.15設線性非移變系統(tǒng)的差分方程為y試求它的單位沖激響應，并判斷它是否為因果系統(tǒng)，是否為穩(wěn)定系統(tǒng)。解：在差分方程兩邊求Z變換得1所以該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為HH該系統(tǒng)的極點有z=13當|z|<1/3時，?(n)=?3/8?[因為收斂域不含∞，所以是非因果系統(tǒng)；收斂域不含單位圓，不是穩(wěn)定系統(tǒng)。(2)當1/3<|z|<3因為收斂域不含∞，所以是非因果系統(tǒng)；收斂域含單位圓，是穩(wěn)定系統(tǒng)。當3<|z|時，因為收斂域包含∞，所以是因果系統(tǒng)；收斂域不含單位圓，不是穩(wěn)定系統(tǒng)。3.16某系統(tǒng)的差分方程為y求輸人為xn=12解:對差分方程的兩邊取單邊Z變換，得Y將初始條件代人上式整理得YY=故零輸入響應y由xY=故零狀態(tài)響應為y綜上所述，系統(tǒng)的相應為y3.17設確定性序列xn的自相關函數(shù)為

rxx=n=?∞∞xnxn+m

，試用xn解:Z令n+m=iZ所以Z由于Xeiω是單位圓上的Z變換，所以3.18已知線性因果網(wǎng)絡用下面差分方程描述y1求網(wǎng)絡的系統(tǒng)函數(shù)2寫出頻率響應He3設輸入解:1對差分方程兩邊取Z變換得Y系統(tǒng)函數(shù)為H因為H所以?2

系統(tǒng)的零點為z=?0.9，極點為z=0.9，如圖3.9所示。將系統(tǒng)的幅頻響應記為He①當②隨ω的增大，由0變到π，B越來越小,A越來越大，則∣Hejω∣越來越??；④隨ω的繼續(xù)增大，由π變到2π,B越來越大,A越來越?、莓敠?2π時0Re(z)0Re(z)Im(z)-110π2πHω19圖3.9幅頻特性圖3X其中,Y所以，當輸入為xny3.19研究一個線性非移變的系統(tǒng)，其差分方程為y判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定，是否因果沒有限制；研究這個差分方程的零極點圖，求系統(tǒng)單位沖激響應的三種可能的選擇方案，驗證每一種方案都滿足差分方程。解:對所給的差分方程的兩邊作Z變換得YH則系統(tǒng)函數(shù)為可求得極點為z1=2,z21當收斂域?經(jīng)驗證，將以上的單位抽樣響應代入原方程計算，兩邊相等，即滿足差分方程。(2)?3當收斂區(qū)域為?經(jīng)驗證，將以上的單位抽樣響應代入原方程計算，兩邊相等，即滿足差分方程。2.20若序列?nH求序列?n及其傅里葉變換H解：因為H令z=H求上式逆Z變換，得序列?n的共軛對稱序列?則F因為?n是因果序列,?e當n≥1?當n=0F所以?又因為?所以??其對應的傅里葉變換為H3.21試用Matlab編程計算習題3.8和3.9。解：（1）3.8題編程。求系統(tǒng)輸出yncloseall;clear;a=0.5;n=100;x=[102];h=a.^[0:n-1];%(a)卷積輸出y=conv(x，h);figure(1)，plot(0:length(y)-1，y)圖3.10卷積結(jié)果圖計算x(n)，h(n)，y(n)的傅里葉變換，代碼如下。%代碼中，有一個可替換的參數(shù)，其中對于x(n)，BBB=1+2*exp(-2*j*w)，結(jié)果參看圖3.11；%對于h(n)，BBB=1./(1-0.5*exp(-j*w))，結(jié)果參看圖3.12;對于y(n)，BBB=1./(1-%0.5*exp(-j*w))+2*exp(-2*j*w)./(1-0.5*exp(-j*w))，結(jié)果參看圖3.13。closeall;clear;figure;w=[0:0.1:pi];func=BBB;%計算復數(shù)的幅值magnitude=abs(func);subplot(1，2，1)plot(w，magnitude)xlabel('頻率')ylabel('幅值')%計算相位phase=angle(func);%將相位轉(zhuǎn)換為度phase_in_degrees=phase*180/pi;subplot(1，2，2)plot(w，phase_in_degrees)xlabel('頻率')ylabel('相位/度')圖3.11x(n)的頻譜圖3.12h(n)的頻譜圖3.13y(n)的頻譜（2）3.9題編程。x由奈奎斯特采樣定理：XajΩcloseall;clear;figure;w=[-2000:1:2000];func=zeros(1，length(w));fori=-100:100func=func+dirac(w-800*i-200)+dirac(w-800*i+200);endfunc=800*pi*func;%計算復數(shù)的幅值magnitude=abs(func);magnitude(magnitude==inf)=3;plot(w，magnitude)xlabel('頻率')ylabel('幅值')圖3.14xaX(n)傅里葉變換：Xejωcloseall;clear;figure;w=[0:0.1:pi];func=zeros(1，length(w));fori=1:1000func=func+exp(j*(pi/2-w)*i)+exp(-j*(pi/2-w)*i);end%計算復數(shù)的幅值magnitude=abs(func);subplot(1，2，1)plot(w，magnitude)xlabel('頻率')ylabel('幅值')%計算相位phase=angle(func);%將相位轉(zhuǎn)換為度phase_in_degrees=phase*180/pi;subplot(1，2，2)plot(w，phase_in_degrees)xlabel('頻率')ylabel('相位/度')圖3.15x(n)的頻譜3-1計算下列序列的N點DFT1x(n)=12x(n)=δ(n)

解:

123456X=7X(k)&=X(k)=9X(k)=10X(k)=再將Y=X(k)=?當k=0時，因為WX(k綜上可得X(k)=3-2已知下列X(k)，求其離散傅里葉逆變換x1式中，m為整數(shù)0<m<解：3-3已知周期序列xn，其主值序列x(n)=[5,4,3,2,1,3,2]，試求xn的傅里級數(shù)系數(shù)解:根據(jù)已知條件，xnXX(0)=XXXX(4)=X(5)=XX(k)即是以N=7為周期，以{X(0),X(1),X(2),X(3),X(4),X(5),X(6)}3-4設有兩個序列為{1,2,3,4,5,0,0}和它們的圓周卷積(序列長度為N=7);用圓周卷積定理求兩序列的線性卷積(請用N1=7解：(1)設這兩個序列分別為x1(n)和x2(n)，其周期取為N=7來計算圓周卷積。做兩個同心圓，把序列yy3y4y5y綜上得到兩個序列的圓周卷積為y(n)={6,3,6,10,14,12,9}。(2)對x1(n)和所以x1(n)3-5設有兩序列x(n)=&x(n),????&&0?n?5&0,????&&其他和y(n)=&y(n),????&&0?n?15&0,????&&解:序列x(n)長度N1=6,序列y(n)的長度N2=16,故其線性卷積的長度N=3-6設x(n)長度為N，且X令H(k)=求解：

令,，則因此，，即綜上，3-7已知x(n)是長度為N的有限長序列，Xy(n)=試求Y(k)=DFT解3-8已知x(n)是長度為N的有限長序列，Xk=DFTxn,y(n)=&x(n/r),????&&n=ir,i=0,1,?,N?1&0,????&&其他解因為

X(k)=Y(k)=又已知n=ir,i=0,1,?,N?1時令

n所以

Y(k)=3-9如果xn是周期為N的周期序列，那么xn是周期為2N的周期序列。假定X1(k)表示xn以N為周期的DFS的系數(shù),X2(k)解:依題意可得XX令n'X所以

X3-10若x1(n)與x2(n)都是長度為N的序列,X1(k)與解：

因為X(k)=上式第二項求和得X1X(k)=3-11一個有限長序列x(n)={1,1,1,1,1,1},設其Z變換為Xz。如果在Zk=ej2πk/4,k=0,1,2,3點時對解：對Xz在單位圓上等間隔采樣4點將造成x(n)y(n)=[所以y(n)=2δ(n)+2δ(n?1)+δ(n?2)+δ(n?3)3-12一個長度為N1=100點的序列x(n)與長度為N2=64點的序列h(n)用解：因為線性卷積的長度為N3=N1+3-13xn表示一周期為N的周期序列,Xk表示其離散傅里葉級數(shù)的系數(shù),Xk也是一周期為N的周期序列。試由式x解因為

X所以

DFS[因為

k=0則

DFS3-14有限時寬序列的N點離散傅里葉變換相當于其Z變換在單位圓上的N點等間隔采樣;求出X(z)在半徑為r的圓上的N點等間隔采樣，即X試給出一種用DFT計算得到X(k)解因為

X(z)=所以。X計算方法是：先構(gòu)造一個序列x(n)r?n,5.1一臺通用計算機的速度為：平均每次復數(shù)乘法需要100μs，每次復數(shù)加法需要20μs，今用來計算N=1024點的DFT[x(n)]。問直接運算需要多少時間？用FFT運算需要多少時間？解直接計算DFT需要N2次復數(shù)乘法、N(N-1)次復數(shù)加法；當N=1024=210復數(shù)乘法：N2=10242復數(shù)加法：N(N-1)=1024×(1024-1)≈10242=1048576所以直接運算需要的時間為1048576×100μs+1048576×20μs=125829120μs≈125.829s而如果用DIT-FFT算法，需要的運算量如下：復數(shù)乘法：m復數(shù)加法：m所以采用DIT-FFT算法需要的時間為5120×100μs+10240×20μs=716800μs=0.7168s5.2一個線性非移變系統(tǒng)的單位取樣響應為，已知輸入信號為，請用FFT方法求，要求畫出詳細的運算流圖，并寫出計算步驟。解由題意y(n)=x(n)??(n)，根據(jù)圓周卷積定理可知Y(k)=X(k)H(k)，又因為當N≥N1+N2?1=時，可用圓周卷積替代線性卷積。若用基-2FFT，N取4，先計算x(n)和?(n)的FFT，再求X(k)和H(k)乘積得到Y(jié)(k)圖5.6圖5.7因此，Y(k)=X(k)H(k)={3,1求Y(k)的IFFT的方法有兩種：方法一：因為y(n)=1NDFTY圖5.8所以y(n)=方法二：可利用4點的DIF-IFFT計算y(n)結(jié)果，如圖5.9所示。圖5.9所以y(n)=1,5.3試畫出為復合數(shù)時的FFT算法求的結(jié)果（采用基）。解依題意：，∴對于，有有，同樣，令對于頻率變量有，∴∴圖5.105.4已知是一個點實序列的DFT，現(xiàn)在要用為求，為提高運算效率，試設計一個點IFFT運算一次完成。解將x(n)奇偶分組得{x1因為x(n)為實序列，因此構(gòu)造一個復序列wn設{X{X(所以如果已知X(k)，可得令{WWk=也即wn5.5一個長度為的復序列與一個長度為的復序列卷積。(1)求直接進行